精品解析：辽宁铁岭市昌图县2025-2026学年八年级下学期期末考试数学试题

八年数学北师大 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 3. 一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则它是（　　）边形． A. 六 B. 七 C. 八 D. 九 4. 分式有意义的条件是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，对角线与交于点，，若，，则的长度（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 下列由左边到右边的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，两地被池塘隔开，小明通过如图所示的方法估测出间的距离；先在外选一点，然后步测出的中点，并测出，则间的距离是（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 8. 如图，在平面直角坐标系中，，点为坐标原点，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 已知五个正数的和等于1，用反证法证明“这五个正数中至少有一个数大于或等于”时，应先作出的假设（ ） A. 这五个正数中只有一个数大于或等于 B. 这五个正数中至多有一个数大于或等于 C. 这五个正数中没有一个数大于或等于 D. 这五个正数中都大于或等于 10. 某班举行环保知识竞赛，规则如下：每位选手有基础分20分，需回答20道题，每答对一道题得4分，每答错或不答一道题扣1分．在这次竞赛中，小明被评为优秀选手（85分或85分以上），为求小明至少答对几道题，设小明答对了道题，下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：=___． 12. 当x=____时，分式的值为0 13. 如图，函数和的图像相交于，则不等式的解集为__________． 14. 如图，已知，按以下步骤作图：①分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点；②作直线交于点，连接．若，，，则的周长为__________． 15. 如图，在中，，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是__________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解不等式组、解方程： （1） （2） 17. 先化简，再求值：，其中是使不等式成立的正整数． 18. 如图，平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）将先向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，画出平移后的图形（点，，的对应顶点分别为，，）； （2）画出绕原点顺时针旋转的图形，（点，，的对应顶点分别为，，）． 19. 某非遗工坊的两位匠人制作传统油纸伞，匠人甲比匠人乙每天多制作10把油纸伞，匠人甲制作300把油纸伞所用的时间是匠人乙制作120把油纸伞所用时间的2倍，求匠人甲和匠人乙每天各制作多少把油纸伞． 20. 已知：如图，点是外部一点，，，，垂足分别为，且，交于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，，求的长． 21. 【阅读理解】阅读材料：形如的式子称为完全平方式．当多项式不是完全平方式时，我们常通过“加项再减项”的方法构造完全平方式，这种方法不仅可以分解因式，还能解决与非负数相关的最值问题． 例1：分解因式： 例2：求最值：， ，，∴当时，的最小值为－1． 【类比探究】请用上述方法解决问题： （1）将多项式因式分解； （2）求多项式的最大值． 22. 已知：如图，在中，点，分别在边和上，点，在对角线上，且，，连接，，，，连接交于点，为的中点，连接，． （1）求证：； （2）求证：四边形是平行四边形； （3）若，，求的面积． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，与经过点的直线相交于点，过点作轴，交直线于点，延长到，平分，平分，且与相交于点． （1）不等式的解集为_____；直线的解析式为_____； （2）求的度数； （3）求证：四边形是平行四边形； （4）若点在线段上，点在直线上，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年数学北师大 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A，B，C不是中心对称图形，不符合题意； D是中心对称图形，符合题意． 2. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质移项计算，即可得到解集． 【详解】解：， 移项，得， 解得． 3. 一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则它是（　　）边形． A. 六 B. 七 C. 八 D. 九 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查多边形的内角和计算公式，多边形的外角和．关键是根据题意利用多边形的外角和及内角和之间的关系列出方程求边数．边形的内角和可以表示成，外角和为，根据题意列方程求解． 【详解】解：设多边形的边数为，依题意，得： ， 解得， 故选：A 4. 分式有意义的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵分式有意义的条件是分母不等于 ∴ 解得． 5. 如图，在中，对角线与交于点，，若，，则的长度（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】首先利用勾股定理求出，然后利用平行四边形的性质求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 6. 下列由左边到右边的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】因式分解是将多项式转化为几个整式乘积的变形，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．是整式乘法运算，结果为多项式，不是乘积形式，不符合定义，不是因式分解； B．，将多项式分解为整式乘积，符合因式分解定义，是因式分解； C．，结果是和的形式，不是整式乘积，不符合定义，不是因式分解； D．是整式乘法运算，结果为多项式，不是乘积形式，不符合定义，不是因式分解． 7. 如图，两地被池塘隔开，小明通过如图所示的方法估测出间的距离；先在外选一点，然后步测出的中点，并测出，则间的距离是（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵点分别为的中点，， ∴是的中位线， ∴． 8. 如图，在平面直角坐标系中，，点为坐标原点，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，结合旋转的性质，构造，推出，，结合点B所在象限，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D， 则， ， ，， 由旋转得，， ， ， ， ， 在和中， ， ，， 点B在第四象限， 点的坐标为． 9. 已知五个正数的和等于1，用反证法证明“这五个正数中至少有一个数大于或等于”时，应先作出的假设（ ） A. 这五个正数中只有一个数大于或等于 B. 这五个正数中至多有一个数大于或等于 C. 这五个正数中没有一个数大于或等于 D. 这五个正数中都大于或等于 【答案】C 【解析】 【详解】解：用反证法证明“这五个正数中至少有一个数大于或等于”时， 应先作出的假设为这五个正数中没有一个数大于或等于． 10. 某班举行环保知识竞赛，规则如下：每位选手有基础分20分，需回答20道题，每答对一道题得4分，每答错或不答一道题扣1分．在这次竞赛中，小明被评为优秀选手（85分或85分以上），为求小明至少答对几道题，设小明答对了道题，下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设答对道题，先表示出答错或不答的题量，再根据竞赛规则计算总得分，结合优秀的得分要求列出不等式即可． 【详解】解：∵设小明答对了道题，一共回答道题， ∴答错或不答的题量为道． 由题意可得：总得分为． ∵优秀选手要求得分是分或分以上，即总得分大于等于， ∴列出不等式为． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：=___． 【答案】 【解析】 【分析】根据提公因式法和公式法因式分解． 【详解】解：原式 ． 12. 当x=____时，分式的值为0 【答案】3 【解析】 【分析】直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零，进而得出答案． 【详解】解：∵ 分式的值为0， ∴x-3=0，x+3≠0， 解得：x=3． 故答案为3． 【点睛】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握相关性质是解题关键． 13. 如图，函数和的图像相交于，则不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】观察函数图像得，当时，即的图像在函数上方，即不等式的解集． 【详解】解：由图像可得：当时，即的图像在函数上方， ∴不等式的解集为． 14. 如图，已知，按以下步骤作图：①分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点；②作直线交于点，连接．若，，，则的周长为__________． 【答案】12 【解析】 【分析】首先利用垂直平分线的性质得到，然后利用勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】解：由作图得，垂直平分 ∴ ∵， ∴ ∴的周长为． 15. 如图，在中，，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】在上取一点，使得，连接，证明，将转化为，根据垂线段最短可知当、、三点共线且时，取得最小值，即点到的距离． 【详解】解：在上取一点，使得，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 根据垂线段最短可知，当点、、在同一条直线上且时，有最小值， 即的最小值为点到的距离， 过点作于点，则即为所求最小值， 在中，，， ， 在中，，，， ， 的最小值为． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解不等式组、解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为； 【小问2详解】 解：， 将原方程变形为， 方程两边同乘，得， 展开整理得， 移项合并同类项得， 系数化为1得， 经检验，当时，， 所以是原方程的解． 17. 先化简，再求值：，其中是使不等式成立的正整数． 【答案】， 【解析】 【分析】先运用分式的混合运算法则化简，再求不等式的正整数解，并选择分式有意义的a的值，最后代入求值即可． 【详解】解： ， ． 解不等式可得：， ∴不等式的正整数解为：， 当时，原分式无意义，故； 当时，原式． 18. 如图，平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）将先向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，画出平移后的图形（点，，的对应顶点分别为，，）； （2）画出绕原点顺时针旋转的图形，（点，，的对应顶点分别为，，）． 【答案】（1）如图，即为所求； （2）如图，即为所求； 【解析】 【分析】（1）将三个顶点向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到其对应点，再首尾顺次连接得出图形； （2）将点A，B，C绕点O顺时针旋转得到其对应点，再首尾顺次连接得出图形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 某非遗工坊的两位匠人制作传统油纸伞，匠人甲比匠人乙每天多制作10把油纸伞，匠人甲制作300把油纸伞所用的时间是匠人乙制作120把油纸伞所用时间的2倍，求匠人甲和匠人乙每天各制作多少把油纸伞． 【答案】匠人甲每天制作50把油纸伞，匠人乙每天制作40把油纸伞． 【解析】 【分析】设匠人乙每天制作x把油纸伞，则匠人甲每天制作把油纸伞，然后根据题意列分式方程求解即可． 【详解】解：设匠人乙每天制作x把油纸伞，则匠人甲每天制作把油纸伞， 由题意可得：，解得：， 经检验，是分式方程的解． 所以． 答：匠人甲每天制作50把油纸伞，匠人乙每天制作40把油纸伞． 20. 已知：如图，点是外部一点，，，，垂足分别为，且，交于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明：∵ ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴是等腰三角形； （2） 【解析】 【分析】（1）首先由等边对等角得到，然后证明，得到，进而证明即可； （2）首先求出，求出，利用勾股定理得到，然后求出，进而求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 21. 【阅读理解】阅读材料：形如的式子称为完全平方式．当多项式不是完全平方式时，我们常通过“加项再减项”的方法构造完全平方式，这种方法不仅可以分解因式，还能解决与非负数相关的最值问题． 例1：分解因式： 例2：求最值：， ，，∴当时，的最小值为－1． 【类比探究】请用上述方法解决问题： （1）将多项式因式分解； （2）求多项式的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题中所给方法进行因式分解即可； （2）根据题中所给方法求解最大值即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：， ， ∴， ∴当时，的最大值为． 22. 已知：如图，在中，点，分别在边和上，点，在对角线上，且，，连接，，，，连接交于点，为的中点，连接，． （1）求证：； （2）求证：四边形是平行四边形； （3）若，，求的面积． 【答案】（1）证明：∵ ∴，即 ∵在中， ∴ 又∵ ∴； （2）证明：∵ ∴， ∴ ∴四边形是平行四边形； （3） 【解析】 【分析】（1）首先由得到，然后由得到，即可证明； （2）由全等三角形的性质得到，，推出即可证明； （3）首先利用平行四边形的性质得到，，然后利用三角形中位线定理得到，利用勾股定理求出，进而求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵四边形是平行四边形 ∴， ∵为的中点 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴的面积． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，与经过点的直线相交于点，过点作轴，交直线于点，延长到，平分，平分，且与相交于点． （1）不等式的解集为_____；直线的解析式为_____； （2）求的度数； （3）求证：四边形是平行四边形； （4）若点在线段上，点在直线上，求的最小值． 【答案】（1）， （2） （3）证明：∵直线与轴，轴分别交于，两点， ∴当时， ∴， 当时， 解得 ∴ ∵过点作轴，交直线于点 ∴将代入得， ∴ ∴ ∵直线的解析式为 ∴当时， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形； （4） 【解析】 【分析】（1）根据图象可得不等式的解集；求出，然后利用待定系数法即可求出直线的解析式； （2）首先得到，由角平分线的定义得到，，然后利用三角形外角的性质求解； （3）求出，，，，得到，然后结合即可证明； （4）首先得到，，，然后表示出，然后利用一次函数的性质求解． 【小问1详解】 解：∵直线与直线相交于点 ∴由图象可得，当时，直线在直线上方 ∴不等式的解集为； 将代入得， ∴ 将，代入得， 解得 ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∵平分，平分 ∴， ∴ ； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：∵点在线段上，点在直线上， ∴，， ∴ ∵ ∴随t的增大而增大 ∴当时，取得最小值，最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $