精品解析：辽宁省铁岭市昌图县2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题

昌图县中小学2024～2025第二学期期末质量监测试卷 八年数学（北师大） 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； B．该图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．该图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；； D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：C． 2. 若点在第四象限内，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了象限内点的坐标特征，解不等式组，掌握第四象限内点的坐标特征是解题关键．根据第四象限内的点横坐标大于0，纵坐标小于0，列不等式组求解即可． 【详解】解：∵点在第四象限内， 则， 解得：， ∴， 故选：B． 3. 下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解的概念可进行排除选项． 【详解】解：A、，属于整式的乘法，故不符合题意； B、，不符合几个整式乘积的形式，不是因式分解；故不符合题意； C、，属于因式分解，故符合题意； D、因为，所以因式分解错误，故不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的概念是解题的关键． 4. 关于的一元一次不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则的值为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】先求出不等式的解集，然后对比数轴求解即可． 【详解】解：解得， 由数轴得：， 解得：， 故选：B． 【点睛】题目主要考查求不等式的解集及参数，熟练掌握求不等式解集的方法是解题关键． 5. 如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中．如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正八边形的外角和为，结合正八边形的每一个外角都相等，再列式计算即可． 【详解】解：∵正八边形的外角和为， ∴， 故选A 【点睛】本题考查的是正多边形的外角问题，熟记多边形的外角和为是解本题的关键． 6. 下列命题是真命题的是（ ） A. 有一个角是的三角形是等边三角形 B. 若，则 C. 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 D. 用反证法证明：“已知，，求证：．”第一步应先假设 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了判断命题真假，等边三角形的判定，角平分线的性质，反证法中的假设，根据等边三角形的判定定理可判断A；根据时，满足，但不满足可判断B；根据角平分线的性质可判断C；反证法中第一步应假设结论不成立，即假设，据此可判断D． 【详解】解：A、有一个角是的等腰三角形是等边三角形，原命题是假命题，不符合题意； B、由，不能得到，例如时，满足，但不满足，原命题是假命题，不符合题意； C、角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等，原命题是真命题，符合题意； D、用反证法证明：“已知，，求证：．”第一步应先假设，原命题是假命题，不符合题意； 故选：C． 7. 如图，在平行四边形中，的平分线交的延长线于点，交于点，，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得，则，而，所以，因为，所以，则，所以，于是得到问题的答案． 此题重点考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，推导出及是解题的关键． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 8. 某班组织学生参加植树活动，第一组植树12棵，第二组比第一组多6人，植树36棵，结果两组平均每人植树的棵树相等．设第一组学生有人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，根据题干中的等量关系列式即可． 【详解】解：根据两组平均每人植树的棵树相等可得，． 故选：B． 9. 如图，在中，，，将绕点B逆时针旋转得到，当点落在边上时，连接，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据旋转可得，，，得，根据，即可得到得的度数． 【详解】解：∵，将绕点B逆时针旋转得到，使点C的对应点恰好落在边上， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 10. 现有一张平行四边形纸片，，要求用尺规作图的方法在边，上分别找点，，使得四边形为平行四边形．甲、乙两位同学的作法如图所示，下列判断正确的是（ ） A. 甲对、乙不对 B. 甲不对、乙对 C. 甲、乙都对 D. 甲、乙都不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作线段的垂直平分线，作线段，平行四边形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定并弄懂作图能使得哪些线段相等是解题的关键．根据作图以及平行四边形的性质与判定分别分析甲，乙证明是平行四边形即可． 【详解】解：甲：设与相交于点， 由作图可知，， 四边形是平行四边形， ， ， 又， ， ， 四边形是平行四边形； 乙：由作图可知，平分，平分， ，， 四边形是平行四边形， ，， ，， ，， ，， ， ，， 四边形是平行四边形； 故选：C． 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 先提取公因式，然后利用平方差公式因式分解． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 已知等腰三角形的一个角是，则底角的度数是________． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形性质和三角形的内角和．分100°角是顶角和底角两种情况讨论即可． 【详解】解：∵等腰三角形的一个角是， ∴这个角是顶角时， ∴底角的度数是， 当这个角是底角时， 则，不能构成三角形； 故答案为：． 13. 如图，把两根钢条的一个端点连在一起，点分别是的中点．若，则该工件内槽宽的长为__________． 【答案】8 【解析】 【分析】利用三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：∵点分别是的中点， ∴， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理的应用，掌握“三角形的中位线是第三边的一半”是解题的关键． 14. 年墨西哥“世界杯”使用的足球采用了不同以往的革命性构造设计，至今仍是各种足球的原型．其由块手缝嵌面组成（块黑色的正五边形和块白色的正六边形），这种构造使足球拥有更浑圆更完美的外形，如图是其侧面展开图局部，则图中度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角，先求出正五边形和正六边形的每个内角，进而根据镶嵌的定义即可求出，掌握正多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图所示， ∵正五边形的每个内角为， 正六边形的每个内角为， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】 15. 如图，在中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动．点在边上以每秒的速度从点出发，在之间往返运动．两个点同时出发，当点到达点时停止（同时点也停止运动），设运动时间为秒．当时，运动时间____________________时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】秒或8秒 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质以及一元一次方程的应用，弄清在上往返运动情况是解决此题的关键．根据的速度为每秒，可得，从而得到，由四边形为平行四边形可得出，结合平行四边形的判定定理可得出当时以、、、四点组成的四边形为平行四边形，当时，分两种情况考虑，在每种情况中由即可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：四边形为平行四边形， ． 若要以、、、四点组成的四边形为平行四边形，则． 当时，，，，， ， 解得：； 当时，，，， ， 解得：． 综上所述：当运动时间为秒或8秒时，以、、、四点组成的四边形为平行四边形． 故答案为：秒或8秒． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. （1）解不等式组：． （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，解分式方程； （1）先求出每个不等式的解集，再根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，确定不等式组的解集； （2）先去分母，化为整式方程，解方程并检验，即可求解． 【详解】解：（1） 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：； （2）解：， ∴， ∴ ∴， 解得：， 经检验是原方程的解． 17. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值、分母有理化，括号内先通分，再将除法转化为乘法，即可化简，再代入计算即可得出答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，在坐标系中的位置如图所示． （1）将向右平移8个单位长度后得到，请画出． （2）请画出关于原点O的中心对称图形． （3）若将绕某一点旋转可得，则旋转中心的坐标为______． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了利用平移、中心对称作图，求旋转中心的坐标，利用平移变换作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． （1）根据平移性质分别作出A、B、C的对应点、、，再顺次连接、、，即可； （2）根据中心对称的定义分别作出点、、的对应点、、，再顺次连接、、即可； （3）连接，，，根据对应点连线的交点即为旋转中心，进而写出旋转中心的坐标． 【小问1详解】 解：所作如图所示： 【小问2详解】 解：所作如图所示： 【小问3详解】 解：连接，，如图所示： 这三条线段的交点即是旋转中心， 旋转中心的坐标为． 19. 如图，点O是内一点，连接，并将的中点D，E，F，H依次连接，得到四边形． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）如果，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）的长是． 【解析】 【分析】此题重点考查三角形中位线定理、平行四边形的判定、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）由D，E，F，H分别是的中点，根据三角形中位线定理得，且，即可证明四边形是平行四边形； （2）作于点G，因为，利用等腰三角形的性质，直角三角形的性质结合勾股定理求得，，再根据三角形中位线定理求得即可． 【小问1详解】 证明：∵D，E，F，H分别是的中点， ∴，且，，且， ∴，且， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：作于点G，则， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴的长是． 20. 宋代是茶文化发展的第二个高峰，宋代的饮茶主要以点茶为主，煎茶为辅，在点茶的基础上升华为斗茶、分茶和茶百戏．某网店销售两种点茶器具套装，已知甲种点茶器具套装的单价比乙种点茶器具套装的单价少30元，花2220元购进甲种点茶器具套装的数量是花1780元购进乙种点茶器具套装数量的1.5倍． （1）求甲、乙两种点茶器具套装的单价． （2）某学校社团开展茶文化学习活动，打算从该网店购进甲、乙两种点茶器具共30套，且经费预算不超过5000元，则学校最多可以购进乙种点茶器具套装多少套？ 【答案】（1）甲种点茶器具套装单价是148元，乙种点茶器具套装的单价是178元； （2）学校最多可以购进乙种点茶器具套装18套． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设甲种点茶器具套装的单价是x元，则乙种点茶器具套装的单价是元，根据花2220元购进甲种点茶器具套装的数量是花1780元购进乙种点茶器具套装数量的1.5倍，列出分式方程，解方程即可； （2）设学校购进乙种点茶器具套装m套，则购进甲种点茶器具套装套，根据经费预算不超过5000元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设甲种点茶器具套装的单价是x元，则乙种点茶器具套装的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲种点茶器具套装的单价是148元，乙种点茶器具套装的单价是178元； 【小问2详解】 解：设学校购进乙种点茶器具套装m套，则购进甲种点茶器具套装套， 根据题意得：， 解得：， ∴整数m的最大值为18， 答：学校最多可以购进乙种点茶器具套装18套． 21. 【知识回顾】：本册第二章教材中，我们曾探究过函数的图象上点的坐标的特征，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系． 发现：一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合． 【解决问题】： （1）如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是_____． （2）如图2，观察图象，两条直线的交点坐标为_____．方程的解是_____，不等式的解是_____． 【拓展延伸】 （3）如图3，一次函数和的图象相交于点，分别与轴相交于点和点．结合图象，直接写出当两个函数的函数值呈现时，自变量的取值范围_____． 【答案】（1） ；（2）；；；（3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数和一元一次方程，一次函数与不等式，熟练掌握图象法求方程的解，求不等式的解集，是解题的关键． （1）图象法求不等式的解集即可； （2）数形结合，确定两条直线的交点坐标，进而求出方程的解，不等式的解集即可； （3）先求出两点的坐标，再根据图象法求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1）由图象可知，的解集是； 故答案为：； （2）由图象可知，两条直线的交点坐标为， ∴方程的解是； 不等式的解是； 故答案为：；；； （3）对于，当时，， ∴点的横坐标为4， 令，解得：， ∴点的横坐标为2， 由图象可知：当时，两个函数的函数值呈现， 当两个函数的函数值呈现时，自变量的取值范围为． 故答案为：． 22. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化．如图1，可以表示为公式①：． （1）观察下列图形，将它们与下列公式对应起来．（填写对应公式的序号） 公式②： 公式③： 公式④： 图2对应公式_______，图3对应公式_______，图4对应公式_______，（填序号）； （2）如图3，若，，且空白部分的面积为48，求大正方形的边长的值． 为了解决这个问题，小敏将阴影部分平移至如图5所示位置，则空白部分的面积可表示为，小敏运用“整体思想”，设，，结合公式①，则可计算出的值，从而求出边长x．请根据材料，帮助小敏完成后续的解答过程： （3）如图6，若，空白部分的面积为121，且正方形与正方形的面积之和为173，求正方形与正方形的面积之差． 【答案】（1） ①. ③ ②. ④ ③. ② （2）10 （3）165 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式在几何中的应用．熟练掌握完全平方公式、平方差公式在几何中的应用是解题的关键． （1）由题意知，图1对应公式，图2对应公式，图3对应公式，图4对应公式，然后作答即可； （2）由，可得，，由题意知，，由公式①，可得，可得的结果，计算求出满足要求的解即可； （3）由题意知，，，可得，，整理得，则，即，根据，代值求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，图2对应公式，图3对应公式，图4对应公式， 故答案为：③，④，②． 【小问2详解】 解：设， ∴，， 由题意知，， ∴， 由公式②，可得，即， ∴， ∴或， ∴或， 解得，或（舍去）， ∴大正方形的边长的值为． 【小问3详解】 解：由题意知，，， ∴或（舍去） ∴，整理得， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴正方形与正方形的面积之差为． 23. 下面是某数学兴趣小组探究问题的片段，请仔细阅读，并完成任务． 【问题探究】 （1）如图1，在中，，点D在上，连接，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接，请猜想和的数量关系与位置关系，并说明理由． 【问题再探】 （2）在（1）的条件下，连接AE．兴趣小组的同学们在电脑中用几何画板软件测量发现和的面积相等．为了证明这个发现，甲组同学延长线段AC至F点，使，连接EF，从而得以证明（如图2）；乙组同学过点D作于点M，过点E作于点N，从而得以证明（如图3），请你选取甲组或乙组中的一种方法完成证明过程． 问题解决】 （3）如图4，已知，，点D在AB上，，若在射线上存在点E，使，请直接写出相应的的长． 【答案】（1），证明见解析；（2）见解析；（3）的长为或 【解析】 【分析】（1）根据题意得出，，再由全等三角形的判定和性质证明确定，利用等量代换即可证明垂直； （2）选甲组同学，延长线段至F点，使，连接，则是的中线，证明，由全等三角形的性质得出， 选乙组同学，过点D作于点M，过点E作于点N，证明≌，得出，则可得出结论； （3）过点C作交于E，于H，连接并延长交于F，由（2）可知：，求出，求出的长，根据三角形面积公式求出，则可得出答案． 【详解】（1）解：，理由如下： 根据题意得，， ∵， ， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）选甲组同学证明如下：延长线段至F点，使，连接，则是的中线， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ； 选乙组同学则证明如下：过点D作于点M，过点E作于点N， ， ， ，， ， 即， 在和中， ， ， ， ，， 又， ； （3）解：过点C作交于E，于H，连接并延长交于F， 由（2）可知：， ，， ， ， ， ， ， ， ， 当时，， ， 此时，， ， 综上所述，的长为或 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，三角形的面积，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 昌图县中小学2024～2025第二学期期末质量监测试卷 八年数学（北师大） 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 2. 若点在第四象限内，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 3. 下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 关于的一元一次不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则的值为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 5. 如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中．如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题是真命题的是（ ） A. 有一个角是的三角形是等边三角形 B. 若，则 C. 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 D 用反证法证明：“已知，，求证：．”第一步应先假设 7. 如图，在平行四边形中，的平分线交的延长线于点，交于点，，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 某班组织学生参加植树活动，第一组植树12棵，第二组比第一组多6人，植树36棵，结果两组平均每人植树的棵树相等．设第一组学生有人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，将绕点B逆时针旋转得到，当点落在边上时，连接，则（ ） A. B. C. D. 10. 现有一张平行四边形纸片，，要求用尺规作图的方法在边，上分别找点，，使得四边形为平行四边形．甲、乙两位同学的作法如图所示，下列判断正确的是（ ） A. 甲对、乙不对 B. 甲不对、乙对 C. 甲、乙都对 D. 甲、乙都不对 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 分解因式：______． 12. 已知等腰三角形的一个角是，则底角的度数是________． 13. 如图，把两根钢条的一个端点连在一起，点分别是的中点．若，则该工件内槽宽的长为__________． 14. 年墨西哥“世界杯”使用的足球采用了不同以往的革命性构造设计，至今仍是各种足球的原型．其由块手缝嵌面组成（块黑色的正五边形和块白色的正六边形），这种构造使足球拥有更浑圆更完美的外形，如图是其侧面展开图局部，则图中度数为______． 15. 如图，在中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动．点在边上以每秒的速度从点出发，在之间往返运动．两个点同时出发，当点到达点时停止（同时点也停止运动），设运动时间为秒．当时，运动时间____________________时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16 （1）解不等式组：． （2）解方程：． 17. 先化简，再求代数式的值，其中． 18. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，在坐标系中的位置如图所示． （1）将向右平移8个单位长度后得到，请画出． （2）请画出关于原点O的中心对称图形． （3）若将绕某一点旋转可得，则旋转中心的坐标为______． 19. 如图，点O是内一点，连接，并将中点D，E，F，H依次连接，得到四边形． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）如果，，，求的长． 20. 宋代是茶文化发展的第二个高峰，宋代的饮茶主要以点茶为主，煎茶为辅，在点茶的基础上升华为斗茶、分茶和茶百戏．某网店销售两种点茶器具套装，已知甲种点茶器具套装的单价比乙种点茶器具套装的单价少30元，花2220元购进甲种点茶器具套装的数量是花1780元购进乙种点茶器具套装数量的1.5倍． （1）求甲、乙两种点茶器具套装的单价． （2）某学校社团开展茶文化学习活动，打算从该网店购进甲、乙两种点茶器具共30套，且经费预算不超过5000元，则学校最多可以购进乙种点茶器具套装多少套？ 21. 【知识回顾】：本册第二章教材中，我们曾探究过函数的图象上点的坐标的特征，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系． 发现：一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合． 【解决问题】： （1）如图1，观察图象，一次函数图象经过点，则不等式的解集是_____． （2）如图2，观察图象，两条直线的交点坐标为_____．方程的解是_____，不等式的解是_____． 【拓展延伸】 （3）如图3，一次函数和的图象相交于点，分别与轴相交于点和点．结合图象，直接写出当两个函数的函数值呈现时，自变量的取值范围_____． 22. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化．如图1，可以表示为公式①：． （1）观察下列图形，将它们与下列公式对应起来．（填写对应公式序号） 公式②： 公式③： 公式④： 图2对应公式_______，图3对应公式_______，图4对应公式_______，（填序号）； （2）如图3，若，，且空白部分的面积为48，求大正方形的边长的值． 为了解决这个问题，小敏将阴影部分平移至如图5所示位置，则空白部分的面积可表示为，小敏运用“整体思想”，设，，结合公式①，则可计算出的值，从而求出边长x．请根据材料，帮助小敏完成后续的解答过程： （3）如图6，若，空白部分的面积为121，且正方形与正方形的面积之和为173，求正方形与正方形的面积之差． 23. 下面是某数学兴趣小组探究问题的片段，请仔细阅读，并完成任务． 【问题探究】 （1）如图1，在中，，点D在上，连接，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接，请猜想和的数量关系与位置关系，并说明理由． 【问题再探】 （2）在（1）的条件下，连接AE．兴趣小组的同学们在电脑中用几何画板软件测量发现和的面积相等．为了证明这个发现，甲组同学延长线段AC至F点，使，连接EF，从而得以证明（如图2）；乙组同学过点D作于点M，过点E作于点N，从而得以证明（如图3），请你选取甲组或乙组中的一种方法完成证明过程． 【问题解决】 （3）如图4，已知，，点D在AB上，，若在射线上存在点E，使，请直接写出相应的的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$