精品解析：贵州遵义市仁怀市第五中学2025-2026学年高一下学期第一学月学情诊断数学试题

高一第一学月学情诊断数学试题 命题人：李洪强 审题人：田宏 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确答案填在答题卡相应位置） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由集合的交集运算求解． 【详解】，则． 2. 下列与2025°终边相同的角是（ ） A. 205° B. 215° C. 225° D. 235° 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以角的终边与角的终边相同. 3. （ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】． 4. 向量与共线，则的值为（ ） A. -4 B. 4 C. 9 D. -9 【答案】A 【解析】 【详解】由向量与共线，得， 所以. 5. “”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义判断. 【详解】，则，充分性满足， 反之，若，但，必要性不满足. 所以答案为充分非必要条件， 故选：A. 6. 已知是两个不共线的向量，若，，，则中共线的三点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为， 所以三点共线； 由，所以与不平行，所以三点不共线； 因为，所以与不平行，所以三点不共线； ， 因，所以与不平行，所以三点不共线. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据诱导公式计算可得结果. 【详解】因为， 所以由诱导公式得． 故选：A 8. 已知中满足：，过点的直线与线段、分别交于,，，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】将中的分别用表示，由三点共线，得，故，结合基本不等式即可求解. 【详解】如图： 由，得, 所以，又三点共线，所以. 所以， 因为，故，当且仅当时， 即时等号成立,所以 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法中错误的是（ ） A. 平行向量一定是共线向量 B. 单位向量都相等 C. 长度相等的向量叫相等向量 D. 共线向量都是在同一条直线上的向量 【答案】BCD 【解析】 【分析】由向量的概念进行求解． 【详解】对于A项，显然正确； 对于B项，单位向量的模都相等，但方向不一定相同，故B项错误； 对于C项，长度相等且方向相同的向量叫相等向量，故C项错误； 对于D项，共线向量都是平行向量，则都可以平移在同一条直线上，故D项错误． 10. 已知是第四象限角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用第四象限角的三角函数符号判断各选项. 【详解】因为是第四象限角，所以，，. A.，正确. B.，与矛盾，错误. C. 由平方关系知，在第四象限不等于，错误. D. 由且得，正确. 【点睛】第四象限：正弦负、余弦正、正切负；开方得绝对值. 11. 已知，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由的范围以及可判断，，根据符号规律可判断A选项；对两边平方，利用同角关系化简可得的值，由，求出的值，可判断选项D，与已知联立，求出，进而求出，则可判断B，C两选项的正误. 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以可得，A符合题意； 又，则， 可得， 所以，D符合题意； 由加减法联立解得，，，B错误； 所以，C符合题意； 故选：ACD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分） 12. 已知角为第三象限角，且，则__________. 【答案】## 【解析】 【详解】由条件可知，. 13. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用奇函数的性质求出函数值. 【详解】函数是定义在上的奇函数，且当时，， 则. 故答案为： 14. 设，其中a，b，，，若，则__________. 【答案】1 【解析】 【详解】因为， 则，， 故， 又因为，所以. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解时应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤） 15. 已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l. （1）若，，求扇形的弧长l； （2）若，，求扇形的面积； （3）若扇形的周长是，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接根据弧长公式进行计算即可； （2）根据扇形面积公式求解； （3）由题意知，可得，然后结合二次函数的最值求解即可. 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 ． 【小问3详解】 由已知得，， 所以． 所以当时，S取得最大值， 此时． 16. 某大学随机统计了800名学生的一个学期自习时间（单位：小时），所得数据都在内，将所得的数据分成4组：得到如图所示的频率分布直方图. （1）求a的值以及自习时间在内的学生人数； （2）估计该校每个学生一个学期自习的平均时间（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （3）从和用分层随机抽样的方法抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取2名学生调查他们的学习成绩，求抽到的这2名学生恰有1名一个学期自习时间落在内的概率. 【答案】（1）； （2）105小时 （3） 【解析】 【分析】（1）利用频率直方图的性质即可求解； （2）利用频率直方图的中点值结合均值算法，可估计总体平均值； （3）利用分层抽样和古典概型公式可求出概率. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知：，解得， 一个学期自习时间在内的学生人数为； 【小问2详解】 该校学生一个学期自习平均时间 ， 即估计该校每个学生一个学期自习平均时间为105小时； 【小问3详解】 一个学期自习时间落在的抽取人数为， 这4人分别记为A，B，C，D， 一个学期自习时间落在的抽取人数为， 这2人分别记为a，b， 再从这6名学生中随机抽取2名学生的样本空间为： ，共有15个样本点， 其中恰有1名一个学期自习时间落在内的样本点，共8个样本点， 所以抽到这2名学生恰有1名一个学期自习时间落在内的概率. 17. 在平面直角坐标系中，角的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合. （1）若终边上有一点，求； （2）若角的终边上一点（）求及； （3）点在角的终边上，且，求t的值. 【答案】（1） （2）；当时，；当时， （3） 【解析】 【小问1详解】 由终边上有一点，得. 【小问2详解】 由角的终边上一点，得； 当时，，； 当时，，. 【小问3详解】 由点在角的终边上，得，， 而，则， 整理得且，所以. 18. 已知. （1）求：及的值； （2）求的值； （3）若为第二象限角，求的值. 【答案】（1）, （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用齐次式法求解即得. （2）利用诱导公式化简，结合同角公式求解. （3）利用同角公式化简求解. 【小问1详解】 当时，； . 【小问2详解】 当时，. 【小问3详解】 当，为第二象限角时，， . 19. 已知点，，，. （1）若，求实数m，n的值； （2）若，，求t的值； （3）求的最小值. 【答案】（1），. （2）. （3）. 【解析】 【分析】（1）利用向量加法坐标运算列方程组求解； （2）根据向量共线定理的坐标表示列方程求解； （3）先利用坐标表示出向量，结合模长公式将模长的平方化为关于t的二次函数，利用二次函数性质求的最小值. 【小问1详解】 由已知得， 由得， 则，解得； 【小问2详解】 ，所以， 因为，所以，解得； 【小问3详解】 ， 则； 函数是一个开口向上的二次函数，其对称轴为， 所以当时函数取到最小值，所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一第一学月学情诊断数学试题 命题人：李洪强 审题人：田宏 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确答案填在答题卡相应位置） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列与2025°终边相同的角是（ ） A. 205° B. 215° C. 225° D. 235° 3. （ ） A. 0 B. C. D. 4. 向量与共线，则的值为（ ） A. -4 B. 4 C. 9 D. -9 5. “”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 6. 已知是两个不共线的向量，若，，，则中共线的三点是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知中满足：，过点的直线与线段、分别交于,，，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 6 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法中错误的是（ ） A. 平行向量一定是共线向量 B. 单位向量都相等 C. 长度相等的向量叫相等向量 D. 共线向量都是在同一条直线上的向量 10. 已知是第四象限角，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分） 12. 已知角为第三象限角，且，则__________. 13. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则_______. 14. 设，其中a，b，，，若，则__________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解时应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤） 15. 已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l. （1）若，，求扇形的弧长l； （2）若，，求扇形的面积； （3）若扇形的周长是，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 16. 某大学随机统计了800名学生的一个学期自习时间（单位：小时），所得数据都在内，将所得的数据分成4组：得到如图所示的频率分布直方图. （1）求a的值以及自习时间在内的学生人数； （2）估计该校每个学生一个学期自习的平均时间（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （3）从和用分层随机抽样的方法抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取2名学生调查他们的学习成绩，求抽到的这2名学生恰有1名一个学期自习时间落在内的概率. 17. 在平面直角坐标系中，角的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合. （1）若终边上有一点，求； （2）若角的终边上一点（）求及； （3）点在角的终边上，且，求t的值. 18. 已知. （1）求：及的值； （2）求的值； （3）若为第二象限角，求的值. 19. 已知点，，，. （1）若，求实数m，n的值； （2）若，，求t的值； （3）求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $