精品解析：贵州遵义航天高级中学2025-2026学年第二学期第一次月考高一数学

遵义航天高级中学2025-2026学年第二学期第一次月考 高一数学 一､单选题：（每小题5分，共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简集合A，再根据并集的定义计算即可得到结果. 【详解】首先化简集合：已知，其中指正整数集，不等式两边平方得， 结合，可得的取值为1,2,3，即. 已知，根据并集的定义可得. 【点睛】 2. 已知点是第二象限的点，则的终边位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】由为第二象限的点确定与的符号，再由与的符号确定的终边所在象限即可. 【详解】∵点是第二象限的点， ∴，， 由可得，的终边位于第二象限或第三象限或轴的非正半轴； 由可得，的终边位于第一象限或第三象限， 综上所述，的终边位于第三象限. 故选：C. 3. 已知角的终边上一点，则（ ） A. B. C. 1 D. -1 【答案】C 【解析】 【分析】先根据三角函数的定义求出，再利用诱导公式化简目标式，结合齐次式弦切互化的方法计算结果. 【详解】由角的终边上一点， 可得， 所以 . 4. 甲和乙进行一个游戏：初始时每人各持有2枚徽章．根据游戏规则，每局由丙负责投掷一枚均匀的骰子，出现奇数点则甲胜，出现偶数点则乙胜，胜负概率均为．输的一方需将自己的1枚徽章交给赢的一方．游戏进行到其中一人拥有全部徽章时立即终止，且各局结果相互独立．则游戏恰好进行4局终止且甲拥有全部徽章的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据题意知恰好进行4局终止且甲拥有全部徽章， 则第3，4局必有甲胜，乙负，且前2局中，甲胜一局乙胜一局， 所以所求概率为. 5. 已知两个随机事件和，其中，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】， ． 6. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】当时，因为，所以， 所以， 当时，因为，所以，所以， 所以时，则“”是“”的“必要不充分条件”. 7. 已知，则在下列各命题中，正确的命题有（ ） ①时，与的方向一定相反 ②时，与的方向一定相同 ③时，与的方向一定相同 ④时，与的方向一定相同 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据数乘向量的定义和性质进行判断. 【详解】由与向量的积的方向规定，易知①②正确， 对于命题③④，当时，，同正或同负，与或者都与同向，或者都与反向．与同向， 当时．则与异号，与中，一个与同向，一个与反向，与反向，故③正确④错误． 8. 若对任意的都成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先对分情况讨论确定的范围，再利用函数单调性求出的最小值，进而求解． 【详解】若，当时，，不符合题设条件； 若，是减函数，是减函数， 故在上单调递减， 已知对任意的都成立，则只需， 即，故， ， ，解得， 综上可得，． 二､多选题（每小题6分，共18分） 9. 某中学高一年级100名学生的数学期中考试成绩的频率分布直方图如图所示，下列说法正确的有（ ） A. 成绩落在区间的频率为0.03 B. 这100名学生成绩的中位数为76.25 C. 这100名学生成绩的众数为75 D. 成绩低于60分的学生人数为5人 【答案】BCD 【解析】 【详解】A选项：成绩落在区间的频率为，故A错误. B选项：成绩落在区间的频率， 成绩落在区间的频率， 成绩落在区间的频率，故中位数在， 设中位数为，则，解得，故中位数为76.25， B正确. C选项：成绩落在区间的频率最大，故众数为75，C正确. D选项：成绩低于60分的频率为，其人数为，故D正确. 10. 已知函数下列关于该函数的说法正确的有（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 在区间上单调递增 D. 的图象可由的图象向右平移个单位得到 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正弦型三角函数的性质与图象变换逐项分析判断即可. 【详解】对于A：的最小正周期为，A正确. 对于B：令，解得， 代入得不是最值，因此不是对称轴，B错误. 对于C：令，解得， 取得，递增区间，又是其子区间，因此在该区间单调递增，C正确. 对于D：根据图象平移“左加右减”规则，向右平移个单位得，D正确. 11. 定义在上的奇函数在上为增函数，且为偶函数，则（ ） A. 函数的图象关于对称 B. C. 当时， D. 若，且，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性，结合函数对称性判断选项A；利用函数单调性和周期性，判断选项B；利用函数单调性和奇偶性，判断选项C；利用函数单调性及对称性，结合基本不等式判断选项D． 【详解】为偶函数，则，由函数对称性定义， 函数的图象关于直线对称，故A正确； 已知是上的奇函数，故，且， 由对称性知，代入奇函数性质得， 故，则函数周期为， ， 由对称性， 又在上为增函数，故， 故，故B错误； 当时，在上单调递增，； 在上单调递减，， 故在区间内； 当时，由奇函数性质，时， 故，故内，且，故， 综上，时，，故C正确； 由且，结合在递增，递减， 且关于对称，可得， 将代入目标式，则 ， 当且仅当，即时取等号， 结合得，满足，故D正确． 三､填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知平面直角坐标系中，角的始边与轴正半轴重合，终边落在直线上，则满足条件的角的正切值为_________ 【答案】 【解析】 【详解】终边落在直线上，则， 所以. 13. 设，是两个不共线的向量，若，，且三点共线，则实数的值为_________ 【答案】 【解析】 【分析】由三点共线推出与共线，结合共线向量定理和平面向量基本定理列方程组求解即可. 【详解】因为三点共线，所以. 根据共线向量定理，存在实数，使得， 即 ，整理得：. 由于，是不共线的向量，所以， 解得. 故实数的值为. 14. 方程根的个数为_________ 【答案】6 【解析】 【分析】将问题转换成函数图象交点，结合函数图象即可求解. 【详解】画出的函数图象， 由图象可知，两个函数共有6个交点， 故方程根的个数为6. 四､解答题（要求书写必要的解答过程） 15. 化简求值 （1）； （2）已知，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1) 运用指数及对数运算性质进行运算； (2) 运用三角函数诱导公式进行化简. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 16. 中国新能源技术领跑世界，新能源汽车备受人们欢迎.某科研所新研发了一种新能源汽车，为检测这类汽车的续航能力，在不同路段进行了400次实验，根据续航能力（单位：百公里）分成，共六组，并制作如下频率分布直方图. （1）求续航能力在区间内的实验次数； （2）估计这类汽车的续航能力的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）若按分层随机抽样的方法从续航能力在和的实验中随机抽取7次实验，再从这7次实验中随机抽取2次实验，求这2次实验中续航能力都在的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中小矩形面积之和为求出，进而计算频数； （2）利用每组区间的中点值乘以对应频率求和即可； （3）根据分层抽样确定两组抽取的样本数，利用古典概型概率公式求解. 【小问1详解】 由频率分布直方图的性质可知，所有小矩形的面积之和为 ， 即， 解得. 所以续航能力在区间内的频率为， 故续航能力在区间内的实验次数为. 【小问2详解】 根据频率分布直方图平均数的计算公式，可得：   ， 所以估计这类汽车的续航能力的平均数为百公里. 【小问3详解】 由频率分布直方图可知，续航能力在 的频率为，在的频率为， 两者的频率之比为. 按分层随机抽样的方法从这两组中随机抽取次实验， 则在中抽取的实验次数为次，记为； 在中抽取的实验次数为次，记为. 从这次实验中随机抽取次实验， 样本空间包含的基本事件总数为 ：， ，共个. 设事件“这次实验中续航能力都在中”， 则事件包含的基本事件是从次在中的实验中抽取次， 其个数为个. 所以事件的概率为. 故这次实验中续航能力都在的概率为. 17. 已知函数的最小正周期为，最大值为. （1）求函数的解析式和单调递减区间； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象.设函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】（1）；单调递减区间为， （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的周期、最值、特殊点函数值求解参数得到解析式，再结合正弦函数的单调区间推导的单调递减区间； （2）按照图象平移、伸缩变换规则得到的解析式，将零点问题转化为函数图象交点问题，结合在给定区间的单调性与端点取值求解的范围 【小问1详解】 由函数的最小正周期为，根据周期公式，解得. 由的最大值为，正弦函数最大值为1，得，解得. 代入，得，即， 又，故，因此. 令，，得，， 即，， 即的单调递减区间为， 【小问2详解】 将的图象向左平移个单位长度，得. 将所得函数图象横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得. 因为在上有两个不同零点，等价于在该区间有两个不同实根， 即与的图象在该区间有两个不同交点. 当时，单调递增，且； 当时，单调递减，且. 又，，， 故当时，两个图象有两个不同交点，即的取值范围为. 18. 已知. （1）当时，且，求的值； （2）若，求的最值. 【答案】（1）或 （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）利用两向量平行的坐标关系列出等式，再借助同角三角函数平方关系统一为，解出方程后结合限定的取值范围舍去不合理根，最后求出区间内全部解； （2）利用同角三角函数平方关系将函数化为仅含的式子，通过换元得到定义域为的二次函数，根据二次函数开口方向与对称轴位置，算出对称轴处的最大值和区间端点中的最小值. 【小问1详解】 因为，，且， 根据两向量平行坐标性质得. 因为，所以 ， 整理得. 令，则. 因式分解：，解得或， 又，所以，故舍去. 所以，又，所以或. 【小问2详解】 令，则， 设，二次函数开口朝下. 对称轴：，所以在单调递增，在单调递减. 所以. 当时，； 当时，. 由，所以. 综上所述，最大值为，最小值为. 19. 函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.事实上该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. （1）证明：函数的图象关于点成中心对称图形； （2）若函数的图象关于点成中心对称图形. （i）证明：； （ii）已知函数的图象过点，下面含有实数的不等式对任意非零实数都成立，求的取值范围. 【答案】（1）令， 定义域为关于原点对称，又， 所以是奇函数， 所以函数的图象关于点成中心对称图形； （2）（i）由推论知是奇函数，则， 即，即， 令，则，即； （ii） 【解析】 【分析】（1）令，利用奇偶性的定义证明； （2）（i）由是奇函数证明；（ii）求得，再由求得，然后将问题转化为求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）略； （ii）因为函数的图象过点， 所以，解得，则， 因为，所以， ， 当且仅当，即时，等号成立，又，则， 因为， 所以， 所以对任意非零实数都成立， 即为对任意非零实数都成立， 而，所以，则的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义航天高级中学2025-2026学年第二学期第一次月考 高一数学 一､单选题：（每小题5分，共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知点是第二象限的点，则的终边位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知角的终边上一点，则（ ） A. B. C. 1 D. -1 4. 甲和乙进行一个游戏：初始时每人各持有2枚徽章．根据游戏规则，每局由丙负责投掷一枚均匀的骰子，出现奇数点则甲胜，出现偶数点则乙胜，胜负概率均为．输的一方需将自己的1枚徽章交给赢的一方．游戏进行到其中一人拥有全部徽章时立即终止，且各局结果相互独立．则游戏恰好进行4局终止且甲拥有全部徽章的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知两个随机事件和，其中，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知，则在下列各命题中，正确的命题有（ ） ①时，与的方向一定相反 ②时，与的方向一定相同 ③时，与的方向一定相同 ④时，与的方向一定相同 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 若对任意的都成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题（每小题6分，共18分） 9. 某中学高一年级100名学生的数学期中考试成绩的频率分布直方图如图所示，下列说法正确的有（ ） A. 成绩落在区间的频率为0.03 B. 这100名学生成绩的中位数为76.25 C. 这100名学生成绩的众数为75 D. 成绩低于60分的学生人数为5人 10. 已知函数下列关于该函数的说法正确的有（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 在区间上单调递增 D. 的图象可由的图象向右平移个单位得到 11. 定义在上的奇函数在上为增函数，且为偶函数，则（ ） A. 函数的图象关于对称 B. C. 当时， D. 若，且，则的最小值为 三､填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知平面直角坐标系中，角的始边与轴正半轴重合，终边落在直线上，则满足条件的角的正切值为_________ 13. 设，是两个不共线的向量，若，，且三点共线，则实数的值为_________ 14. 方程根的个数为_________ 四､解答题（要求书写必要的解答过程） 15. 化简求值 （1）； （2）已知，求. 16. 中国新能源技术领跑世界，新能源汽车备受人们欢迎.某科研所新研发了一种新能源汽车，为检测这类汽车的续航能力，在不同路段进行了400次实验，根据续航能力（单位：百公里）分成，共六组，并制作如下频率分布直方图. （1）求续航能力在区间内的实验次数； （2）估计这类汽车的续航能力的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）若按分层随机抽样的方法从续航能力在和的实验中随机抽取7次实验，再从这7次实验中随机抽取2次实验，求这2次实验中续航能力都在的概率. 17. 已知函数的最小正周期为，最大值为. （1）求函数的解析式和单调递减区间； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象.设函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围. 18. 已知. （1）当时，且，求的值； （2）若，求的最值. 19. 函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.事实上该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. （1）证明：函数的图象关于点成中心对称图形； （2）若函数的图象关于点成中心对称图形. （i）证明：； （ii）已知函数的图象过点，下面含有实数的不等式对任意非零实数都成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $