广东揭阳市2025-2026学年高一下学期期末教学质量测试数学试题

揭阳市2025-2026学年度高中一年级教学质量测试 数学 本试题共4页，考试时间120分钟，总分150分 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处． 2．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效． 3．答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀．考试结束后，请将本试题及答题卡交回． 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，，则（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．已知集合，集合，则（ ） A． B． C． D． 3．已知，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．如图所示，在中，D为的中点，则（ ） A． B． C． D． 5．已知圆柱的底面直径和高都等于球的半径，则圆柱与球的体积之比为（ ） A． B． C． D． 6．已知函数，则（ ） A． B．1 C． D． 7．已知函数，其中，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 8．定义是a，b中的较大者．已知函数，．若，且方程有个不同的解，则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设函数，则下列结论正确的是（ ） A．的值域为 B．的图象关于直线对称 C．的最小正周期为 D．是的一个零点 10．一质地均匀正八面体八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件 “得到的点数为奇数”，事件 “得到的点数不大于4”，事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（ ） A．事件B与C互斥 B． C．事件A与C相互独立 D．事件与相互独立 11．已知函数的定义域为R，且满足为奇函数，为偶函数，且，则下列说法正确的是（ ） A．为偶函数 B．2是的一个周期 C．图象关于对称 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若复数z满足，则_________． 13．甲、乙、丙、丁四人各掷骰子5次（骰子每次出现的点数等可能为1，2，3，4，5，6），并分别记录每次出现的点数，四人根据统计结果对各自的试验数据分别做了如下描述：①中位数为3，众数为5；②中位数为3，极差为3；③中位数为2，平均数为3；④平均数为2，方差为2.4；可以判断一定没有出现6点的描述序号是_________．（错选或漏选不给分） 14．2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一，如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A、B、C三点，且A、B、C在同一水平面上的投影、、满足，，由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A、C两点到水平面的高度差为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，E，F分别是棱，的中点． （1）证明：平面； （2）证明：． 16．（15分）揭阳古城底蕴深厚，进贤门、揭阳学宫等历史建筑屹立千年，特色美食、传统非遗更是潮汕文化中亮眼的瑰宝．基于此，某中学积极响应，举行了一次古城文化知识竞赛．学校在竞赛后，随机抽查了100人的成绩整理后得到如图所示的频率分布直方图． （1）求a的值并估计样本的平均数； （2）若本次竞赛中，分数排名前的参赛人员为获奖人员，试估计获奖分数线（精确到0.1）； （3）现采用样本量按比例分配的分层随机抽样，从和两组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在这一组的概率． 17．（15分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且的外接圆的周长为． （1）求角A； （2）求边的长； （3）若为边上的高，且，求的面积． 18．（17分）如图，是圆O的直径，与圆O所在的平面垂直，且，B为圆周上不与点A，C重合的动点，M，N分别为点A在线段，的投影． （1）证明：平面； （2）求三棱锥外接球的表面积； （3）当的面积最大时，求二面角的平面角的大小． 19．（17分）已知函数． （1）证明：对，都有； （2）求不等式的解集； （3）是否存在实数，对任意一个整数，关于x的方程在区间内至少有3个互不相等的实数解？若存在，求出m的最小值；若不存在，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 揭阳市2025-2026学年度高中一年级教学质量测试 数学（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 B C B D D A B C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD BD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13．①④ 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．【详解】（1）如图，取的中点G，连接，， 由E，F分别是棱，的中点．可得，， 2分 又，，则，，即得四边形为平行四边形，所以． 4分 因平面，平面， 所以平面． 6分 （2）如图，连接，交于点O， 由四边形是正方形，可得， 8分 因平面，平面，则， 10分 又，，平面， 11分 所以平面，又平面， 12分 所以． 13分 16．【详解】（1）因为小长方形面积和为1， 所以，解得， 2分 则平均数为 4分 （2）由题意可得：本次竞赛中，分数排名前的参赛人员为获奖人员，即求第80百分位数， 5分 又，则分数线在内，且设分数线为x， 可得， 解得，即获奖分数线为78.6 7分 （3）由题意得两组的频率之比为，现从两组中用分层抽样的方法抽取6人， 则从中抽取4人，记为a，b，c，d，从两组中分别抽取2人， 记为A，B 9分 所有可能的情况为，，，，，，，，，，，，，，，共15种， 11分 其中至少有1人的年龄在的情况有，，，，，，，，，共9种， 13分 故所求概率 15分 17．【详解】（1）， 又， 2分 ， 4分 又，， 5分 ， 6分 （2）设的外接圆的半径为r， 则 7分 由正弦定理可得： 8分 （3）由余弦定理可得： ， 10分 ，， 又， ， 12分 即：， 结合：，解得：，， 14分 ． 15分 18．【详解】（1）因为点B在圆O的圆周上，为圆O的直径，所以， 1分 又平面，平面，所以， 2分 又，平面，，所以平面， 3分 因为平面，所以， 4分 又，，平面，，所以平面． 5分 （2）因为平面，平面，所以， 因为平面，平面，所以， 7分 因为M为的中点，所以， 所以三棱锥外接球的半径为， 9分 外接球的表面积为 10分 （3）因为平面，平面，所以， 11分 又，，平面，，所以平面， 12分 又平面，所以， 所以即为二面角的平面角， 13分 又平面，平面，所以，即为直角三角形， 且斜边为定值， 14分 所以，所以，当时等号成立， 所以，当时等号成立， 15分 此时为等腰直角三角形，所以， 16分 所以当的面积最大时，求二面角的平面角的大小为． 17分 19．【详解】（1）证明：对， 2分 所以对，都有 3分 （2）因为，且， 所以，所以， 4分 所以，即 5分 （i）当时，其中、， 即，解得 6分 （ii）当时，即， 得，其中、， 解得． 7分 综上，原不等式的解集为． 8分 （3）假设存在正数m，对于任意，关于x的方程在区间至少有三个不同实数解． 所以 所以①或②． 10分 对于方程①， 若，则，方程①不成立， 11分 所以，所以对于任意恒成立，所以，所以． 12分 对于方程②， （i）若，则， 当n为奇数，，方程②无解． 13分 （ii）若，则对于任意，，所以， 所以． 14分 （iii）若，则对于任意，，所以，所以． 15分 （iv）若，则， 所以且， 所以， 因此方程②无解． 16分 综上，原方程的解为或或． 所以存在，对任意一个整数，关于x的方程 在区间内至少有3个互不相等的实数解，正数m的最小值为． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $