广东茂名市2025-2026学年高一下学期期末质量抽测数学试题

2025—2026学年高一年级期末质量抽测 数学 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． A． B． C． D． 2．函数的最小正周期为 A． B． C． D． 3．在中，，，，则 A． B． C． D． 4．已知平面向量，满足，，且，则 A． B． C． D． 5．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为6，圆心角为的扇形，则该圆锥的高为 A． B．4 C． D．3 6．已知复数，满足，，则 A．2 B． C． D． 7．已知函数向左平移个单位长度后得到函数，则在区间上的值域为 A． B． C． D． 8．在中，点满足，且线段上存在一点，使得，则的取值范围为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设，则 A． B． C．的虚部是 D．在复平面内对应的点位于第三象限 10．在直三棱柱中，，为的中点，则 A． B．与异面 C．平面平面 D．平面与平面的交线平行于 11．声音由物体振动产生的声波形成，日常听到的是复合音．定义阶复合音函数为（），例如，1阶复合音函数为，阶复合音函数为．结合材料及所学知识，下列说法正确的是 A．2阶复合音函数的图象关于对称 B．3阶复合音函数在区间上单调递增 C．，使得 D．，，． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为__________． 13．在复平面内，为坐标原点，点在第二象限，点所对应的复数，是以为斜边的等腰直角三角形，则点所对应的复数__________． 14．在正四棱台中，，，，为的三等分点（靠近），则过点且与直线，都平行的平面截棱台所得截面周长为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 在平行四边形中，，，，为的中点，点满足． （1）用和表示； （2）求． 16．（本小题满分15分） 如图，在四棱柱中，底面为菱形，，，且，分别为，的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17．（本小题满分15分） 在中，角，，所对的边分别为，，，． （1）求； （2）若为的中点，，且外接圆的半径为． （i）求内切圆的半径； （ii）的平分线与交于点，求． 18．（本小题满分17分） 如图，弹簧挂着一个不考虑半径的小球做上下振动，最高可到达点，最低可到达点，且．开始观察的时间点记为（）（单位：），小球相对于参照面的高度（单位：）与的相关数据如下表： 0 4 6 9 3 0 6 9 （1）现有以下2个函数模型：模型①：（，，）；模型②：．请选出你认为最符合实际的函数模型（不用说明理由），并求出相应的函数解析式； （2）根据（1）中所选的函数模型，解决下列问题： （i）每分钟小球能往复振动多少次？ （ii）从开始观察计时起的前内，小球相对于参照面的高度不低于的时间有多少？ 19．（本小题满分17分） 如图1，在三棱锥中，平面，，，为的中点，点在线段上且（）． （1）求证：平面； （2）如图2，空间点满足，，且为锐角． （i）求证：； （ii）当变化时，求二面角的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $参考答案及解析 ·高一数学· 2025一2026学年高一年级期末质量抽测 数学参考答案及解析 一、选择题 7.C【解析】化简f(x)=sin(2x-),故g(x) 1.D【解析】i(1十i)=-1十i.故选D. 2.B【解析】y=sin2x十cos2x=sin(2x+于)，所 sin(2x+晋)g(x)在区间[-吾，晋]上的值域为 以最小正周期T==.故选B, [-1]故选c 2 8.A【解析】不妨设AD=2DB=2,DE=x,x∈ 3C【解]市正玻定理得：品瓷代入数据可 [0,1门，由平面向量三点共线可知，市-=2”定 得simA=号，在△ABC中，C=60,则A∈ 千，则成=2告市-受则水 (0°，120°)，所以A=45°.故选C. 4.B【解析】因为a⊥(a十b),所以a2十a·b=0,即a ②+=-(x+2x).∈[-是，0]故 4 ·b=-a=-1,所以cos(a,b)=TaTb1X3 a·b -1 选A. 二、选择题 -合故选B 9.AB【解析】之=2十i,x=√5，之的共轭复数为2一 5.A【解析】该圆锥母线长为l=6,扇形弧长（即圆锥 i,x在复平面内对应的点(2,1)，x2=3十4i.故选AB. 底面周长)为红=6×要=4，得圆锥底面半径r=2, 10.BCD【解析】BC1在平面BCCB,内，A不在这个 3 平面内，M在该平面内，因此AM与平面BCC1B:相 于是圆锥的高h=√一r=√36-4=4√2.故 交，不可能平行，A错误；如图，显然AM与AB异 选A. 面，B正确；：∠ABB1=90°，.AB⊥BB,:∠ABC 6.B【解析】法1：如图，设复数≈，所对应的点为 =90°，AB⊥BC,而BC∩BB=B,则AB⊥平面 Z,Z2,名十x=Oi=0克十0立，由已知|x十|= BCCB.又·ABC平面ABC,.平面ABC⊥平 √3十5=2√2，∴.平行四边形OZPZ,为正方形， 面BCCB1,C正确；注意到BC∥平面AMC,BCC |-2|=ZZ|=22.故选B. 平面ABC,故平面AMC与平面ABC的交线平行 于BC,D正确，故选BCD 法2：|十212=5-√52=8=|112十|212 十12十12，.1十12=0，则|名1一之2|2 ||2十|2|2-（十2）=8，则|一2| 2√2.故选B. 11.ABD【解析】A选项：：f2(4π一x)=sin(4π-x) ·高一数学· 参考答案及解析 sin 2(4r-x)--sin sin +1 ∴2阶复合音函数的图象关于(2π，0)对称，正确；B 选项：由于y=sinx在[0，吾]上单调递增，y 分sin2x在[0，吾]上单调递增，y=子sin3x在 14.6+419 [0,吾]上单调递增，故f()=sinx+号sin2x十 3 【解析】连接AB,过M分别作ME∥ BC交CC于E,作MN∥AB交AB于N,再过 名sn3x在[0，晋]上单调递增，正确：C选项： N作NF∥BC交DC于F,连接EF,易知平面 MNFE∥平面AB,D,于是BD∥平面MNFE,而 F(x)=i(x)-f(x+受)=sinx-sin(r+受） BC∥平面MNFE,于是平面MNFE即为所得截 sin(2x+x)=sinx-cosx+号sin2x,令t 1 面，易知四边形MNFE为等腰梯形.由几何关系，可 得BN=号，BM=2,NF=2,ME=4由BB,=3,BC sinx-cosx,t∈[-√2，W2],平方可得：f=1 =2,BC=5,可知等腰梯形BCCB:的高为h= 2 sin rcos x=1-sin2x,代入上式得F(t)=t十 1=--1D+14e[-EwE]由二次函 VB-(CCT-39,即m∠B,- 2 h= 数知识，F(x)∈[-E-,1]即斤(x)≤ BB =气，则∠BBC=苓，从而∠NBM=∠B,BC 经，由余弦定理可得MN=BN2+Bf-2BN· f(x十受)十1恒成立，错误；D选项：对于x∈ [-品无]注意到f.川=(x),故仅考 BM·s等-9即MN-2平，放酸面网长 3 CewE=6十4厘，故答案为6+4 虑xe[0,无]的情形，此时0≤r≤ax≤受，即0≤ 3 3 D sinx≤sin nr,故|fn(x)|=fn(x)=fn(x)≥ (1+合+…十)1f,正确，故选ABD, 三、填空题 12.(分，号）【解析】向量a在向量6上的投影向量 的坐标为“6。=子。=（合，号）故答案 四、解答题 为（合2） 15,解：()：E为CD的中点EC=DC=A成 :B萨=2F元C市=号Ci=-号Ad 13.-√3十i【解析】如图所示：x1=-√3+i,故答案为 -√3+i :求-武+C=A-}Ad (6分) ·%2· 参考答案及解析 ·高一数学· (2)由AB=2,AD=1,∠BAD=号 注意到A1E=DE=√3a, 故△ADE为等腰三角形，即FE⊥AD, 可得AC.市=(A店+A市)·（号A成-子Aò》 而AD=2a,则FD=a,故sin∠FED=FD-」 ED 3 =号Ai+合AB.AD-AD 则直线EF与平面ABCD所成角的正弦值为 = 号×2+×2X1号-×1= 6 .(13分) (15分) 16.解：(1)连接AD1,BD1, 17.解：(1)因为sin(A-B)=sinB+sinC且C=元-A D -B, 所以sin(A-B)=sinB+sin(A十B), 展开得sin Acos B-cos Asin B=sinB+sin Acos B 十cos Asin B, C 即sinB+2 cos Asin B=0. A 因为sinB≠0，所以cosA=一 由条件可知四边形AADD为平行四边形， 因为A∈(0，π)，所以A= 3 (4分) 而F为A1D的中点，故F为AD1的中点. E为AB的中点， (2)(ⅰ)设三角形外接圆的半径为R,内切圆的半径 ∴.EF为△ABD的中位线，即EF∥BD. 为 EF丈平面BDD1B,BDC平面BDD1B, 由正弦定理可知snA=2R, .EF∥平面BDDB (6分) (2)连接DE,A1E,BA,过F作FN⊥DE于点N, 因为△ABC外接圆的半径为医A=等。 D 可得a=√7， 由余弦定理可得b2十c2十bc=7.① 号，且cos∠BDA=-cos∠CDA, 因为AD=3」 -… a 2x号× 2x号×号 设AA1=2a, 即F+c=+3=5,@ 则由条件及余弦定理可得BA1=DA1=BD=2a, 2 故△AA1B,△DAB均为等边三角形 联立①②，可得b十c=3,bc=2, E为AB的中点，∴.AELAB,DELAB. 由Saam=26 esin A=(a+b计c)r, A1E∩DE=E,∴AB⊥平面ADE. :FNC平面ADE,∴.AB⊥FN, 可得，=3-2 2 (10分) DE∩AB=E,FN⊥平面ABD, (i)因为S△ABc=S△ABE十S△CE,AE为∠BAC的平 ∴.∠FED为直线EF与平面ABCD所成角， 分线， ·3 ·高一数学· 参考答案及解析 所以ksin∠BAC=子c·AEsin∠BAE+合b: 所以在△ADE中，由余弦定理得cOs∠EAD= 347 AEsin∠CAE, AD+AE-DE=车936-5 2AD·AE 2 所以AE=年。=子 因为AE为∠BAC的平分线， 因为∠EAD∈(0，号)，所以∠EAD=若.I5分) 所以烘 7AB·AEsin∠BAE BE l8.解：(1)选择模型①，h(t)=Asin(at十p)十ho. AC·AEsin∠CAE CE (2分) 2 由于PQ=12=2A,则A=6, 又根据数据可知h。=9士（)一3》=3. 2 即BE=6千a=号CE= b 3 且T-号=4= BD=CD=24, 1 故w受 1b=21b=1 因为b十c=3,bc=2,所以 或 c=1c=2 所以h(t)=6sin(受f计）+3， 所以ED= 6 由h(号）=6sim(号十g)+3=9,0<9<受， 所以在△ADE中，由余弦定理得cos∠EAD= 得9=晋， 347 AD:+AE -DE49 363 2AD·AE 所以h()=6sim(受十计晋）十3. (8分) 2x号×号 (2)(1)因为T=4s,所以每分钟小球能往复振动 因为∠EAD∈(0，于)，所以∠EAD= .(15分) 60=15次， (10分) 1b=21b=1 另法：因为b十c=3,bc=2,所以 或 ()从开始观察计时起的前6s内，小球相对于参 {c=1或{c=2 照面l的高度h不低于6cm, 1b=2 假设b>c,则 c=1 即t[0,6]时，h()=6sin(受t+石)十3≥6， 因为AE为∠BAC的平分线， 所以s如（受计晋）≥， 所以 3AB·ABs∠BAE BE ZAC·AEsinCAE CE 故若+2km≤受+吾<晋+2kx,k∈Z. 故把 1 故4h≤≤号十4h,k∈Z =6=2 又e[0,6],故k=0,1,则e[0,专]U[4,] 1 √7 听以BE=7BD一2☑=2， 所以持续时间为+9-4一号、 8 (17分) 所以ED=BD-BE= 6 ·4 参考答案及解析 ·高一数学· 19.解：(1)连接AS, D 易知SH⊥AD,AD⊥OS, 由DA⊥平面ABC,则DA⊥AC,DA⊥AB. 因为SH∩OS=S,所以AD⊥平面OHS, 由AC=AD=4且AC⊥AD, 则AD⊥HO, 可得△DAC为等腰直角三角形. 故二面角C-AD-O的平面角y为∠OHS, 又S为DC的中点，故AS⊥DC 则amy=1m∠0HS=架=1.则7÷ 而AB⊥AC,且DA∩AC=A, 所以AB⊥平面DAC, 记二面角P-AD一O、二面角P-AD-C的平面角 故AB⊥DC, 分别为a,8, 又AB∩AS=A, 由条件可知。一引 所以DC⊥平面ABS,即DC⊥平面ABP.(4分) 过P作PI⊥AS于点I,过I作IK⊥AD于点K,连 (2)(1)由(1)可知DS=2√2，而OD=2√5，OS=2, 接PK 于是DS2+OS=12=OD,故DS⊥OS. 同理可得AS十OS=OA2,即AS⊥OS. 而AS∩DS=S,所以OS⊥平面DAC, 于是OS∥AB,即O在平面ABS内且∠OSP =∠ABP. 在R△SAB中，由于A型=BP S△SAP PS =√2tan0, 且Se 之AB·AP.in∠BAP 由(1)可知PI⊥DC, S△saP ZSA·APsin∠SAP 因为AS∩DC=S,所以PI⊥平面DAC, 则PI⊥AD. =sin.∠BAP=Esin∠BAp sn(受-∠BAP） cos∠BAP 因为PI∩KI=I,所以AD⊥平面PIK, 则PK⊥AD, =√2tan∠BAP, 因此∠PKI为二面角P-AD一C的平面角， 则tang=tan∠BAP, 即∠PKI=B且PI⊥KI. 而0K∠BAP<受，则9=∠BAP, 在R△AIP中，∠PAI=受-0， 因此∠SPA=0十∠ABP=0+∠OSP. (10分) BS=√/BA+AS=2√6. (iⅱ)法1：过S作SH∥AC交AD于点H,连 接HO, 由正弦定理，可知AB AP sin∠APB sin∠ABP1 ·%5 ·高一数学· 参考答案及解析 则AP=ABsin.∠ABP 4sin∠ABP 因为SH∩OS=S,所以AD⊥平面OHS, sin∠APB sin(O+∠ABP) 则AD⊥HO, √2sin0+cosa 故∠MHO为二面角P-AD-O的平面角. 4sin 0 记BD的中点为N,连接NH, 于是AI=APcos,∠PAI= √/2sin0+cos日 随着9变化，P带动着M的变化， PI=APsin∠PAI= 4cos 0 连接NO,显然H为DA的中点且HS=2. √2sing+cos0 由于N为BD的中点， 在R△AKI中，由∠KAI=平， 所以NH∥AB且NH=号AB=2. 可得K1=号A1 2√2sin0 √2sin0+cosa 因为OS∥AB且OS=2=号AB, 则m=aPKI-君品g 所以NH∥OS,NH=OS, 则四边形NHSO为平行四边形. 注意到ana=tang子=am(g平) 又AB⊥平面DAC,则VH⊥平面DAC, 2-tan 0 故NH⊥HS, √2+tan 又NH=HS,则四边形NHSO为正方形， 22 2+tan 0 所以∠NH0=∠SH0=平， 易知M在正方形NHSO内， 因为tang>0,所以0< 22 2, 2+tang 因此0≤∠MHO∠NHO=∠SHO, 则-1反十1an 2√2 -1<1,则0≤tana<1, 则二面角P-AD一O的取值范围为0，T): (17分) 则二面角P-AD-O的取值范围为0，平)： (17分) 法2：过S作SH∥AC交AD于点H,连接HO, 易知SH⊥AD,AD⊥OS, 过H作MH⊥AD交PD于点M, ·%6