黑龙江大庆实验中学2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题

大庆实验中学2025级高一下学期期末考试 数学学科试题（答案) 一、单选题 ADBBD BAC 二、多选题 BC AC ABD 三、填空题 12.18 14.1 50元 四、解答题 15.答案：(1)众数为85，平均数为89.75.(2)每天应该进102.5千克苹果. 解析：(1)由图可知，区间[80,90)的频率最大，所以众数为85： 所以x=(65×0.0025+75×0.01+85×0.04+95×0.035+105×0.01+115×0.0025)×10=89.75 该水果店苹果日销售量的众数为85，平均数为89.75. (2)日销售量在区间「60,100)的频率为0.875<0.9，日销售量在区间[60,110)的频率为0.975>0.9， 故所求的量位于[100,110)内. 由0.9-0.025-0.1-0.4-0.35=0.025，得100+ 0.025 0.01 =102.5. 所以每天应该进102.5千克苹果 16答案：(1)吾(2)18 4 解析：(1)由正弦定理边化角得2 sinCcosA=V3(sinAcosB+sinBcosA), 所以2 sinCcosA=V3sin(A+B)=V3sin(π-C)=V3sinC,因为Ce(0,π)，所以sinC≠0， 所以cosA=5,又AE(0,m四，所以A=君 (2)因为周长为3V3,且a=5,所以b+c=2V3, 由余弦定理得a2=b2+c2-2 bccosA=(b+c)2-2bc-2bcx5=3, 2 所以12-2bc-V3bc=3,解得6c=5=18-9V3, 所以△ABC的面积S=besinA=×(18-9V同×；89S 4 试卷第1页，共5页 17.答案：见解析)回 解析：(1)证明：取CD中点E,连接PE,BE,已知△PCD为等边三角形，边长为4， 则PELCD,且PB=5, ×4=2V5,DE=AB=2, 己知AD⊥DC,ABIICD,则四边形ABED是矩形，BE=AD=2,BE⊥CD, BE2+PE2=2+(25=16=PB2,BE1PE, :CD⊥PE,CD⊥BE,PE∩BE=E,PE,BEC平面PEB,.CD⊥平面PEB,又：PBC平面PEB, PB⊥CD. D B (2)由(1)知，PE⊥BE,PE⊥CD,BE∩CD=E, 故PE⊥底面ABCD,以D为坐标原点，DA方向为x轴，DC方向为y轴， 垂直于平面ABCD的方向为z轴，建立下图所示空间直角坐标系， ZA 则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0)C0,4,0)P,2,25), 设平面PBC的法向量为i=(xy,=),因PB=(2,0,-2V3),BC=(-2,2,0), 则 n=-2xf2y=0,令：=1，则i=55, pB.i=2x-23z=0 又PD=(0,-2,-2V3),设直线PD与平面PBC所成角为6， PD.n 则sin8=cos PD,元= 0×V5-2×5-25x1 46V2 PD V-2+(-25)×3+3+1 4V分 7· 试卷第2页，共5页 18.答案：@a8e5-1 、19 解折：（1Dcos21+cos2B-cosC+咖4snB,1-2im2M1-2mB-1-im2C+s血4simB, 2 ..sin2A+sin2 B-sin2C=-sin Asin B,.a2+b2-c2=-ab. ·cosc-a+b-c--1.又C∈(0，，∴C=2π 2b- 31 (2)△ABC周长为19，.a+b+c=19,.a+b=10①. △1BC中，由余弦定理cosC=1)=-，即+b+b=81②.联立①②可得b=19 设CD=m,CD为C的角平分线，：∠ACD=∠BCD=元 3 则5eSc+ax,即片的cm受-m骨+m分，解得m 兀.1 19 321 10 (3):D是边AB上靠近A的一个三等分点，：CD=2C+B 3 两边平方可得9CD=4C+CB2+4CA.CB 又丽-可-行，fc2-4+d-2ab 由正弦定理可得tsin2C=4sin2B+sin2A-2sin4sinB, =4sm（管A+sm4-2m（gA4 =3cos2A+sin2A-2 sinAcosA+sin2A-sinAcos4+sin24 -3sin+3co-33sinAcos4=333si 2 -sin 24 f-425sn24,4eo}24@）m24e0 t=4-2W3sin2A∈4-2W3,4,teV3-1,2） 试卷第3页，共5页 19.答案：()见解析2)3)号 D(M 解析：（1) E 证明：当点M与端点D重合时，由∠BAD=90°可知A'B⊥A'D, 由题意知AE⊥平面BCD,CDC平面BCD,所以AE⊥CD, 又BC⊥CD,AEOBC=E,A'EC平面ABC,BCC平面A'BC, 所以CD⊥平面ABC,又ABC平面ABC,可知A'B⊥CD A'DOCD=D,CDC平面ACD,A'DC平面ACD,所以AB⊥平面ACD. (2) D(M) B 作A'OLBD于点O,连接EO,因AE⊥平面BCD,BDC平面BCD,则AE⊥BD, 又A'O⌒AE=A,A'O,A'EC平面AOE,则BD⊥平面AOE,又OEc平面A'OE,则BD⊥OE, 故∠AOE为二面角A'-BD-C的平面角 在RtMABD中B=山，AD=3,则∠ABD=3′则A0,B0 =21 在△B8中，易得∠OBB-云，则OE=Oim点 66 3 在a10中，0sAOE秀月即-面角4-BD-C的余弦值为 3 2 (3) M M H: B H 试卷第4页，共5页 作Q1ICD交BM于Q,所以直线EQ与平面A'BM所成的角即为直线CD与平面A'BM所成的 角， 作AO⊥BM于点O,连接EO,因AE⊥平面BCD,BMc平面BCD,则AE⊥BM, 又A'O∩A'E=A',A'O,A'EC平面AOE,则BM⊥平面A'OBE,又BMC平面ABM,所以平面A'BM⊥ 平面AOB, 作EH⊥AO,垂足为H,平面ABMO平面A'OE=A'O,EHC平面A'OE,可得EH⊥平面A'BM, 连接HQ,∠EOH是直线EQ与平面A'BM所成的角，即∠EOH=&, 因为aA5aa,满足铝 AM=10s153,BE=-,BM=V+1.OB=-1 P+ 因为在a4O驱中，斜边大于直角边，即AO>OB,即FP+, 1 解得1<t<3, 又4B=√4O-O8_F,在A4O驱中，由等面积得BH-4BOBF, AO 因即分，ma(阅=17 EH 1 又因A'OLBM,OE⊥BM,所以∠A'OE是二面角A-BM-C平面角，即∠A'OE=B, 则o0-8,所以面aw9-)（}片当且仅当1=5时=减立 故sim2a,cos0的最大值为} 试卷第5页，共5页大庆实验中学2025级高一下学期期末考试 数学学科试题 说明：1.请将答案填涂在答题卡的指定区域内。 2.满分150分，考试时间120分钟。 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有 一个符合题目要求. 1.(1-3i)i的虚部为 A.1 B.i C.3 D.-3 2.如图，一个水平放置的梯形由斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰梯形OABC',则原梯 形面积为 y 45 A.√5 B.2√2 c.3√2 D.4W2 3.样本数据2,8,14,16,20,24的中位数是 A.14 B.15 C.16 D.18 4.在正方体ABCD-AB,CD中，M为AA的中点，则BM与AC夹角的余弦值为 A.5 B. √10 c.5 D. 2W5 5 5 5 5。已知平面向量a6是两个单位向量，且a(a+万)-号，则a在5上的投影狗量为 A.b B.2 C.28 第1页 6.不透明口袋中装有大小相同的五个球，分别标有1、2、3、4、5五个号码，依次不放回从中取 得两个球，如果第二次取得号码比第一次大，则记录第二个球号码；如果第二次取得号码比第一次 小，则记录袋中剩余球最大的号码，则记录号码为4的概率为 1 3 A. 10 B.0 c D.5 7.现有两个完全相同的四棱柱材料（如图一所示）某课外手工小组的同学将其中一个切掉一个三 棱柱后拼接成如图二所示的“V型”几何体（正方形AB,CD与正方形EFGH在同一平面内，A,B, E,F四点在一条直线上)，AB=2,A4=10,∠AAB=120°，∠AAD=90°，则图二所示的几 何体的体积为 D G (图一) (图二) A.38V5 B.36√5 c.185 D.143 8.已知平面向量a,b,,且=2，向量a与c所成的角为60°，且a+2t≥a-对任意实数t恒 成立，则2a+b+b+d的最小值为 A.4V5 B.4V5 C.2√13 D.2W21 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，至少有 一个符合题目要求，每道题全对得6分，部分选对得2分或3分. 9.已知向量=（2,1)，b=(x,4),则下列说法正确的是 A.a=6 B.若a/b,则x=8 C.若a⊥i,则x=-2 D.若2=，则x=2 共3页 10.1 已知随机事件4与B相西独立.若P(④=，且P4B)=,则 A.到-号 cPi)-号 D.P(AB)-12 5 11.如图，已知正三棱锥P-ABC的棱长均为6，点O为点P在底面ABC上的射影，G,M分别为 线段PO,PC的中点，过点G作平面与平面PBC平行，点Q为侧面PBC上一动点（含边界）， 且A2=27,则 G A A. P0=2√6 B.平面“截三棱锥P-ABC所得截面的面积为253 C.三棱锥P-ABC的内切球的表面积为√6π D.点2的轨迹长度为2π 第川卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每空5分，共15分.把答案填在答题卡的相应位置 12.已知样本x1,2,…,xn的方差是2，样本3x1+2,3x2+2,,3xn+2的方差是 13.已知在△ABC中，D是线段AB上一点满足AD=3DB,连接CD,F在线段CD上，若 AF=1AB+mAC,则m= 31 14.在正四棱柱ABCD-AB,CD中，底面边长为3，侧棱长为4，M为平面ADC内一动点，且满 足DM.MB=0,则所有满足条件的点M所围成平面区域的面积是 第2页 四、解答题：本大题共5小题，其中15题满分13分，16、17题满分15分，18、19题满分17， 共77分.把答案填在答题卡的相应位置， 15.(13分)某家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了近期连续120天苹果的日销 售量（单位：kg),并绘制频率分布直方图如下图所示. +频率 组距 0.04 0.035 0.01 0025 60708090100110120销售量/kg (1)请根据频率分布直方图估计该水果店苹果日销售量的众数和平均数（同一组中的数据以这组 数据所在区间中点的值作代表)： (2)一次进货太多，水果会变得不新鲜：进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果 尽量新鲜，又能90%地满足顾客的需求（即在10天中，大约有9天可以满足顾客的需求）.请问每天 应该进多少千克苹果？ 16.(15分)已知△4BC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2 c cosA=√3(acos B+bcosA) (1)求角A; (2)若△4BC的周长为3√3，且a=√3，求△4BC的面积. 共3页 17.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，△PCD为等边三角形，底面ABCD为直角梯形，AB/CD, CDLAD,PB=CD=4,AB=AD=2. B (1)求证：PB⊥CD; (2)求直线PD与平面PBC所成角的正弦值. cos24+cos2B 18.(17分)在△4BC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c, 2 cos2C+sin Asin B, 点D为边AB上一点. (1)求角C的大小： (2)若CD是C的角平分线，c=9,△ABC的周长为19，求CD的长度； (3)若D是边AB上靠近点A的一个三等分点，CD=AD,求实数t的取值范围. 第3页 19.(17分)如图，在矩形ABCD中，AB=1,BC=√3，M是线段AD上的一动点，将△ABM沿 着BM折起，使点A到达点A'的位置，满足点A平面BCDM且点A'在平面BCDM内的射影E落 在线段BC上. M A D M B (I)当点M与点D重合时，证明：AB⊥平面ACD; (2)当点M与点D重合时，求二面角A'-BD-C的余弦值； (3)设直线CD与平面A'BM所成的角为&，二面角A'-BM-C的平面角为B,求sina.cosB的 最大值。 共3页