第十六课时-对数-同步训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本同步练聚焦对数核心考点，通过基础巩固-能力提升-综合应用三层设计，实现从概念理解到运算推理的渐进式知识巩固，适配新授课学情。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|对数概念、性质|选择/填空题（12题），如指数式与对数式互化（第1题）、基本性质应用（第5题对数恒等式），强化符号意识| |能力提升|对数运算法则|解答题（13题），如简单运算（log₂4+log₂8），培养运算能力与推理意识| |综合应用|法则综合应用|解答题（14-15题），如用lg2、lg3表示lg12，提升知识迁移与数学表达能力|

高一数学必修一 · 课时同步训练 第十六课时 对数 姓名：______________ 班级：______________ 得分：______________ 用时：______ 分钟 【考试说明】本试卷满分100分，建议用时45分钟。包含选择题（8题×5分=40分）、填空题（4题×5分=20分）、解答题（3题共40分）。请认真审题，规范作答。 核心考点清单 考点一 对数的概念 一般地，如果 aˣ ＝ N（a ＞ 0且a ≠ 1），那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数（logarithm），记作 x ＝ logₐN，其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数。对数式 logₐN ＝ x 与指数式 aˣ ＝ N 是等价的，表示的是同一个量之间的关系，只是表达形式不同。需要注意：①对数的底数 a 必须满足 a ＞ 0且a ≠ 1；②真数 N 必须大于 0，即负数和零没有对数；③对数 logₐN 是一个实数，表示的是 a 的多少次方等于 N。通常将以 10 为底的对数叫做常用对数，记作 lgN；以 e 为底的对数叫做自然对数，记作 lnN。 考点二 对数的性质 对数有以下几个重要性质：①logₐ1 ＝ 0（因为 a⁰ ＝ 1）；②logₐa ＝ 1（因为 a¹ ＝ a）；③a^(logₐN) ＝ N（对数恒等式，a ＞ 0且a ≠ 1，N ＞ 0）；④logₐ(aˣ) ＝ x（a ＞ 0且a ≠ 1）。这些性质是对数运算的基础，需要熟练掌握。其中对数恒等式 a^(logₐN) ＝ N 非常重要，它将指数和对数联系起来，在化简和求值中经常使用。需要注意的是，这些性质的使用都有前提条件：底数 a ＞ 0且a ≠ 1，真数 N ＞ 0。 考点三 对数的运算法则 对数的运算法则是对数计算的核心，包括：①logₐ(MN) ＝ logₐM ＋ logₐN（积的对数等于对数的和）；②logₐ(M/N) ＝ logₐM － logₐN（商的对数等于对数的差）；③logₐ(Mⁿ) ＝ n·logₐM（幂的对数等于对数的倍数）；④logₐ(ⁿ√M) ＝ (1/n)·logₐM（根式的对数，即n次根式的对数等于对数的1/n）。这些法则的使用条件是 a ＞ 0且a ≠ 1，M ＞ 0，N ＞ 0。需要注意的是，logₐ(MN) ≠ logₐM · logₐN，logₐ(M＋N) ≠ logₐM · logₐN，这些是常见的错误。运算法则可以将复杂的对数运算化简为简单的加减乘除运算。 考点四 换底公式 换底公式：logₐN ＝ (logbN)/(logba)（a ＞ 0且a ≠ 1，b ＞ 0且b ≠ 1，N ＞ 0）。换底公式的作用是将不同底的对数化为同底的对数，便于计算和比较。换底公式的推论：①logₐb · logbₐ ＝ 1（即 logₐb 与 logbₐ 互为倒数）；②log(aᵐ)(bⁿ) ＝ (n/m)·logₐb；③logₐb ＝ logₐc · logc_b（链式法则）。换底公式在解决不同底对数的运算和比较问题时非常重要，特别是将一般对数化为常用对数或自然对数后，可以利用计算器求值。 考点五 指数式与对数式的互化 指数式 aˣ ＝ N 与对数式 logₐN ＝ x 可以相互转化，这是解决对数问题的基本方法。互化时要注意：①底数 a 不变；②指数式的指数 x 对应对数式的对数（即对数的值）；③指数式的幂 N 对应对数式的真数。利用互化可以解决以下问题：①求对数值，如 log₂8 ＝ log₂2³ ＝ 3；②求底数，如 logₐ16 ＝ 4 则 a⁴ ＝ 16，a ＝ 2；③求真数，如 log₃N ＝ －2 则 N ＝ 3⁻² ＝ 1/9（即1/9是3的－2次方）。在解题时，遇到对数问题可以先转化为指数问题，利用指数的性质求解，再转化回对数形式。 知识结构思维导图 图1 对数知识结构图 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．将指数式 2³ ＝ 8 化为对数式为（ ） A．log₂8 ＝ 3 B．log₈2 ＝ 3 C．log₃2 ＝ 8 D．log₂3 ＝ 8 2．log₃() 的值为（ ） A．2 B．－2 C． D．－ 3．lg100 ＋ lg0.01 的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．4 4．已知 logₐ2 ＝ m，logₐ3 ＝ n，则 logₐ6 ＝ （ ） A．m ＋ n B．m － n C．mn D．m/n 5．2^(log₂3) 的值为（ ） A．2 B．3 C．8 D．9 6．log₂(8 × 4) 的值为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．log₃(√3) 的值为（ ） A． B．－ C．2 D．－2 8．已知 lg2 ＝ a，lg3 ＝ b，则 lg12 ＝ （ ） A．a ＋ b B．2a ＋ b C．a ＋ 2b D．2a ＋ 2b 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案填在横线上） 9．log₅25 ＝ ____________。 10．log₂() ＝ ____________。 11．ln(e²) ＝ ____________。 12．已知 log₃x ＝ 2，则 x ＝ ____________。 三、解答题（本大题共3小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13．（12分）计算下列各式的值： （1）log₂4 ＋ log₂8； （2）lg5 ＋ lg2； 14．（14分）已知 lg2 ＝ a，lg3 ＝ b。 （1）用 a, b 表示 lg6； （2）用 a, b 表示 lg12； （3）用 a, b 表示 lg()。 15．（14分）已知 logₐ2 ＝ m，logₐ3 ＝ n（a ＞ 0且a ≠ 1）。 （1）用 m, n 表示 logₐ6； （2）用 m, n 表示 logₐ(8/3)； （3）用 m, n 表示 logₐ12。 参考答案与详细解析 ■ 答案速查 1． A 2． B 3． A 4． A 5． B 6． A 7． A 8． B 9． 2 10． －3 11． 2 12． 9 ■ 详细解析 一、选择题 1．【答案】A 【解析】由指数式aˣ ＝ N化为对数式logₐN ＝ x，底数a不变，指数x变为对数，幂N变为真数。故2³ ＝ 8化为log₂8 ＝ 3，选A。 2．【答案】B 【解析】log₃(1/9) ＝ log₃(3⁻²) ＝ －2，选B。本题关键：1/9 ＝ 3⁻²，即1/9是3的－2次方，利用logₐ(aˣ) ＝ x。 3．【答案】A 【解析】lg100 ＝ lg(10²) ＝ 2，lg0.01 ＝ lg(10⁻²) ＝ －2。故lg100 ＋ lg0.01 ＝ 2 ＋ (－2) ＝ 0，选A。 4．【答案】A 【解析】logₐ6 ＝ logₐ(2 × 3) ＝ logₐ2 ＋ logₐ3 ＝ m ＋ n，选A。本题关键：积的对数等于对数的和。 5．【答案】B 【解析】由对数恒等式a^(logₐN) ＝ N，得2^(log₂3) ＝ 3，选B。本题关键：对数恒等式a^(logₐN) ＝ N。 6．【答案】A 【解析】log₂(8 × 4) ＝ log₂8 ＋ log₂4 ＝ 3 ＋ 2 ＝ 5，选A。本题关键：积的对数等于对数的和，log₂8 ＝ 3，log₂4 ＝ 2。 7．【答案】A 【解析】log₃(√3) ＝ log₃(3^(1/2)) ＝ 1/2，选A。本题关键：√3 ＝ 3的1/2次方，利用logₐ(aˣ) ＝ x。 8．【答案】B 【解析】lg12 ＝ lg(4 × 3) ＝ lg4 ＋ lg3 ＝ lg(2²) ＋ lg3 ＝ 2lg2 ＋ lg3 ＝ 2a ＋ b，选B。本题关键：12 ＝ 4 × 3 ＝ 2² × 3，利用积的对数和幂的对数。 二、填空题 9．【答案】2 【解析】log₅25 ＝ log₅(5²) ＝ 2。本题关键：25 ＝ 5²，利用logₐ(aˣ) ＝ x。 10．【答案】－3 【解析】log₂(1/8) ＝ log₂(2⁻³) ＝ －3。本题关键：1/8 ＝ 2⁻³，即1/8是2的－3次方，利用logₐ(aˣ) ＝ x。 11．【答案】2 【解析】ln(e²) ＝ 2。本题关键：ln是以e为底的自然对数，ln(eˣ) ＝ x。 12．【答案】9 【解析】由log₃x ＝ 2，得x ＝ 3² ＝ 9。本题关键：对数式logₐN ＝ x化为指数式aˣ ＝ N。 三、解答题 13．【答案】（1）5；（2）1 【解析】（1）log₂4 ＋ log₂8 ＝ log₂(4 × 8) ＝ log₂32 ＝ 5。 也可分别计算：log₂4 ＝ 2，log₂8 ＝ 3，故log₂4 ＋ log₂8 ＝ 2 ＋ 3 ＝ 5。 （2）lg5 ＋ lg2 ＝ lg(5 × 2) ＝ lg10 ＝ 1。 本题关键：积的对数等于对数的和，即logₐ(MN) ＝ logₐM ＋ logₐN。 14．【答案】（1）a ＋ b；（2）2a ＋ b；（3）b － a 【解析】已知lg2 ＝ a，lg3 ＝ b。 （1）lg6 ＝ lg(2 × 3) ＝ lg2 ＋ lg3 ＝ a ＋ b。 （2）lg12 ＝ lg(4 × 3) ＝ lg(2² × 3) ＝ 2lg2 ＋ lg3 ＝ 2a ＋ b。 （3）lg(3/2) ＝ lg3 － lg2 ＝ b － a。本题关键：商的对数等于对数的差。 本题关键：利用对数运算法则——积的对数等于对数的和，商的对数等于对数的差，幂的对数等于对数的倍数。 15．【答案】（1）m ＋ n；（2）3m － n；（3）2m ＋ n 【解析】已知logₐ2 ＝ m，logₐ3 ＝ n。 （1）logₐ6 ＝ logₐ(2 × 3) ＝ logₐ2 ＋ logₐ3 ＝ m ＋ n。 （2）logₐ(8/3) ＝ logₐ8 － logₐ3 ＝ logₐ(2³) － logₐ3 ＝ 3logₐ2 － logₐ3 ＝ 3m － n。 （3）logₐ12 ＝ logₐ(4 × 3) ＝ logₐ(2² × 3) ＝ 2logₐ2 ＋ logₐ3 ＝ 2m ＋ n。 本题关键：利用对数运算法则——积的对数等于对数的和，商的对数等于对数的差，幂的对数等于对数的倍数。 高一数学必修一 · 第十六课时 对数 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $