4.4 对数函数 同步训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学对数函数同步练，以“基础巩固-综合应用-拓展提升”分层设计，覆盖概念、性质、比较大小等核心考点，通过阶梯式题型培养数学抽象与逻辑推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|对数函数概念、定义域、定点|选择题1-5直接考查概念辨析，填空题9-12强化基本运算| |中档|单调性、图象变换、底数范围|选择题6-8结合图象变换与符号判断，体现逻辑推理| |提升|定义域综合、不等式求解|解答题13-15融合多考点，如含参数对数不等式，培养数学应用能力|

高一数学必修一 · 课时同步训练 第十七课时 对数函数 姓名：______________ 班级：______________ 得分：______________ 用时：______ 分钟 【考试说明】本试卷满分100分，建议用时45分钟。包含选择题（8题×5分=40分）、填空题（4题×5分=20分）、解答题（3题共40分）。请认真审题，规范作答。 核心考点清单 考点一 对数函数的概念 一般地，函数 y ＝ logₐx（a ＞ 0且a ≠ 1）叫做对数函数（logarithmic function），其中 x 是自变量，函数的定义域是 (0, ＋∞)。对数函数的特点是：底数 a 是大于 0 且不等于 1 的常数，真数是自变量 x。对数函数 y ＝ logₐx 与指数函数 y ＝ aˣ 互为反函数，它们的图象关于直线 y ＝ x 对称。对数函数 y ＝ logₐx 的图象恒过定点 (1, 0)，即当 x ＝ 1 时 y ＝ 0。判断一个函数是否为对数函数，关键是看它能否化为 y ＝ logₐx 的形式，且系数必须为 1。需要注意对数函数与指数函数的区别：对数函数底数为常数、真数为自变量，指数函数底数为常数、指数为自变量。 考点二 对数函数的图象与性质 对数函数 y ＝ logₐx 的图象和性质分两种情况：①当 a ＞ 1 时，函数在 (0, ＋∞) 上单调递增，图象过点 (1, 0) 和 (a, 1)，当 x ＞ 1 时 y ＞ 0，当 0 ＜ x ＜ 1 时 y ＜ 0，y 轴（x ＝ 0）是图象的渐近线；②当 0 ＜ a ＜ 1 时，函数在 (0, ＋∞) 上单调递减，图象过点 (1, 0) 和 (a, 1)，当 x ＞ 1 时 y ＜ 0，当 0 ＜ x ＜ 1 时 y ＞ 0，y 轴（x ＝ 0）是图象的渐近线。无论 a ＞ 1 还是 0 ＜ a ＜ 1，对数函数的图象都在 y 轴右侧，且恒过定点 (1, 0)。对数函数的值域都是 R。 考点三 对数函数的比较大小 利用对数函数的单调性可以比较两个对数值的大小。①同底数对数比较：若 a ＞ 1，则 logₐx 单调递增，x 大的对数大；若 0 ＜ a ＜ 1，则 logₐx 单调递减，x 大的对数小。②同真数对数比较：利用换底公式 logₐx ＝ logb x / logb a，或利用图象关系。③不同底不同真数对数比较：找中间值，常用 0 和 1 作为中间值。logₐx ＝ 0 当且仅当 x ＝ 1；logₐx ＝ 1 当且仅当 x ＝ a。比较时需注意对数式的符号，当 a ＞ 1 时，x ＞ 1 则 logₐx ＞ 0，0 ＜ x ＜ 1 则 logₐx ＜ 0；当 0 ＜ a ＜ 1 时情况相反。 考点四 对数函数的反函数 对数函数 y ＝ logₐx（a ＞ 0且a ≠ 1）与指数函数 y ＝ aˣ（a ＞ 0且a ≠ 1）互为反函数。反函数的性质：①反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域；②互为反函数的两个函数图象关于直线 y ＝ x 对称；③互为反函数的两个函数具有相同的单调性。求反函数的步骤：①由 y ＝ f(x) 解出 x ＝ f⁻¹(y)；②将 x、y 互换，得到 y ＝ f⁻¹(x)；③确定反函数的定义域（即原函数的值域）。 考点五 对数函数的综合应用 对数函数的综合应用主要包括：①求定义域，需保证真数大于 0，底数大于 0 且不等于 1；②求值域，利用对数函数的单调性；③解对数不等式，利用单调性转化为真数的大小关系，注意底数 a 的取值对单调性的影响；④图象变换，包括平移变换（y ＝ logₐ(x ＋ k) 左右平移、y ＝ logₐx ＋ k 上下平移）、对称变换（y ＝ logₐ(－x) 关于 y 轴对称、y ＝ －logₐx 关于 x 轴对称）。解题时需特别注意对数函数的定义域限制，真数必须大于 0。 知识结构思维导图 图1 对数函数知识结构图 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列函数中是对数函数的是（ ） A．y ＝ log₂(x ＋ 1) B．y ＝ log₂x ＋ 1 C．y ＝ log₂x D．y ＝ 2log₂x 2．函数 f(x) ＝ log₃(x － 1) 的定义域为（ ） A．{x | x ≥ 1} B．{x | x ＞ 1} C．{x | x ≠ 1} D．{x | x ≤ 1} 3．函数 f(x) ＝ log₂x 的图象过定点（ ） A．(0, 1) B．(1, 0) C．(0, 0) D．(1, 1) 4．函数 f(x) ＝ log₀.₅x 的单调性为（ ） A．在(0, ＋∞)上单调递增 B．在(0, ＋∞)上单调递减 C．在(－∞, ＋∞)上单调递增 D．在(－∞, ＋∞)上单调递减 5．比较 log₂3 与 log₂5 的大小（ ） A．log₂3 ＞ log₂5 B．log₂3 ＝ log₂5 C．log₂3 ＜ log₂5 D．无法比较 6．函数 f(x) ＝ log₃(x ＋ 2) 的图象由 f(x) ＝ log₃x 的图象（ ） A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位 C．向上平移2个单位 D．向下平移2个单位 7．若 logₐ(1/2) ＞ 0，则实数 a 的取值范围是（ ） A．a ＞ 1 B．0 ＜ a ＜ 1 C．a ＞ 0且a ≠ 1 D．a ＞ 2 8．函数 f(x) ＝ ln(x² － 1) 的定义域为（ ） A．{x | x ＞ 1} B．{x | x ＜ －1} C．{x | x ＞ 1或x ＜ －1} D．{x | －1 ＜ x ＜ 1} 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案填在横线上） 9．函数 f(x) ＝ log₂(x － 3) 的定义域为 ____________。 10．已知 f(x) ＝ log₃x，则 f(9) ＝ ____________。 11．比较 log₀.₅2 与 log₀.₅3 的大小：____________。 12．已知 log₂x ＝ 3，则 x ＝ ____________。 三、解答题（本大题共3小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13．（12分）求下列函数的定义域： （1）f(x) ＝ log₂(x － 1) ＋ log₃(2 － x)； （2）f(x) ＝ log₀.₅(x² － 4)。 14．（14分）已知函数 f(x) ＝ log₂x。 （1）求 f(1), f(2), f(4) 的值； （2）比较 f(3) 与 f(5) 的大小； （3）若 f(x) ＞ 2，求 x 的取值范围。 15．（14分）已知函数 f(x) ＝ logₐ(x ＋ 1)（a ＞ 0且a ≠ 1）的图象过点(1, 1)。 （1）求 a 的值； （2）求 f(3) 和 f(－1/2) 的值； （3）若 f(x) ＞ 1，求 x 的取值范围。 参考答案与详细解析 ■ 答案速查 1． C 2． B 3． B 4． B 5． C 6． A 7． B 8． C 9． {x | x ＞ 3} 10． 2 11． log₀.₅2 ＞ log₀.₅3 12． 8 ■ 详细解析 1．【答案】C 【解析】对数函数的形式为y ＝ logₐx（a ＞ 0且a ≠ 1），底数为常数a，真数为自变量x，且系数为1。选项A：y ＝ log₂(x ＋ 1)真数为x ＋ 1，不是对数函数；选项B：y ＝ log₂x ＋ 1有常数项，不是对数函数；选项C：y ＝ log₂x是对数函数（底数为2，真数为x，系数为1），正确；选项D：y ＝ 2log₂x系数为2，不是对数函数。故选C。 2．【答案】B 【解析】对数函数log₃(x － 1)有意义需真数x － 1 ＞ 0，即x ＞ 1，故定义域为{x | x ＞ 1}，选B。本题关键：对数函数的真数必须大于0。 3．【答案】B 【解析】对数函数y ＝ logₐx恒过定点(1, 0)，即当x ＝ 1时y ＝ logₐ1 ＝ 0。故f(x) ＝ log₂x过定点(1, 0)，选B。 4．【答案】B 【解析】f(x) ＝ log₀.₅x，底数a ＝ 0.5，满足0 ＜ a ＜ 1，故f(x)在(0, ＋∞)上单调递减，选B。本题关键：0 ＜ a ＜ 1时对数函数单调递减。 5．【答案】C 【解析】f(x) ＝ log₂x，底数a ＝ 2 ＞ 1，f(x)在(0, ＋∞)上单调递增。由3 ＜ 5，得log₂3 ＜ log₂5，选C。本题关键：同底数对数比较大小利用单调性。 6．【答案】A 【解析】f(x) ＝ log₃(x ＋ 2)的图象由f(x) ＝ log₃x的图象向左平移2个单位得到（x → x ＋ 2表示左移2），选A。本题关键：y ＝ f(x ＋ k)表示将y ＝ f(x)向左平移k个单位。 7．【答案】B 【解析】logₐ(1/2) ＞ 0，即logₐ(1/2) ＞ logₐ1（因logₐ1 ＝ 0）。若a ＞ 1，logₐx单调递增，由1/2 ＜ 1得logₐ(1/2) ＜ logₐ1 ＝ 0，不符合；若0 ＜ a ＜ 1，logₐx单调递减，由1/2 ＜ 1得logₐ(1/2) ＞ logₐ1 ＝ 0，符合。故0 ＜ a ＜ 1，选B。 8．【答案】C 【解析】对数函数ln(x² － 1)有意义需真数x² － 1 ＞ 0，即x² ＞ 1，解得x ＞ 1或x ＜ －1，故定义域为{x | x ＞ 1或x ＜ －1}，选C。 ■ 填空题解析 9．【答案】{x | x ＞ 3} 【解析】对数函数log₂(x － 3)有意义需真数x － 3 ＞ 0，即x ＞ 3，故定义域为{x | x ＞ 3}。 10．【答案】2 【解析】f(9) ＝ log₃9 ＝ log₃(3²) ＝ 2。本题关键：logₐ(aⁿ) ＝ n。 11．【答案】log₀.₅2 ＞ log₀.₅3 【解析】f(x) ＝ log₀.₅x，底数a ＝ 0.5，满足0 ＜ a ＜ 1，f(x)在(0, ＋∞)上单调递减。由2 ＜ 3，得log₀.₅2 ＞ log₀.₅3（单调递减时，自变量小的函数值大）。也可验证：log₀.₅2 ＝ －1，log₀.₅3 ＝ log₀.₅3，因0.5³ ＝ 1/8 ＜ 1/2 ＝ 0.5¹，故3 ＞ 1时log₀.₅3 ＜ log₀.₅1 ＝ 0，即log₀.₅3 ＜ －1 ＝ log₀.₅2。故log₀.₅2 ＞ log₀.₅3。 12．【答案】8 【解析】由log₂x ＝ 3，得x ＝ 2³ ＝ 8。本题关键：对数式logₐN ＝ x化为指数式aˣ ＝ N。 ■ 解答题解析 13．【答案】（1）{x | 1 ＜ x ＜ 2}；（2）{x | x ＞ 2或x ＜ －2} 【解析】（1）f(x) ＝ log₂(x － 1) ＋ log₃(2 － x)有意义需： ①log₂(x － 1)的真数x － 1 ＞ 0，即x ＞ 1； ②log₃(2 － x)的真数2 － x ＞ 0，即x ＜ 2。 综合①②得1 ＜ x ＜ 2，故定义域为{x | 1 ＜ x ＜ 2}。 （2）f(x) ＝ log₀.₅(x² － 4)有意义需真数x² － 4 ＞ 0，即x² ＞ 4，解得x ＞ 2或x ＜ －2。 故定义域为{x | x ＞ 2或x ＜ －2}。 本题关键：对数函数的真数必须大于0，多个对数函数相加时需同时满足所有真数大于0。 14．【答案】（1）f(1) ＝ 0，f(2) ＝ 1，f(4) ＝ 2；（2）f(3) ＜ f(5)；（3）x ＞ 4 【解析】f(x) ＝ log₂x。 （1）f(1) ＝ log₂1 ＝ 0（因2⁰ ＝ 1）。 f(2) ＝ log₂2 ＝ 1（因2¹ ＝ 2）。 f(4) ＝ log₂4 ＝ 2（因2² ＝ 4）。 （2）f(x) ＝ log₂x，底数a ＝ 2 ＞ 1，f(x)在(0, ＋∞)上单调递增。 由3 ＜ 5，得f(3) ＜ f(5)。 （3）由f(x) ＞ 2，即log₂x ＞ 2 ＝ log₂4。 因f(x) ＝ log₂x单调递增（a ＝ 2 ＞ 1），故x ＞ 4。 故x的取值范围为x ＞ 4。 本题关键：利用对数函数的单调性比较大小和解对数不等式。 15．【答案】（1）a ＝ 2；（2）f(3) ＝ 2，f(－1/2) ＝ －1；（3）x ＞ 1 【解析】（1）由f(x) ＝ logₐ(x ＋ 1)的图象过点(1, 1)，得logₐ(1 ＋ 1) ＝ 1，即logₐ2 ＝ 1。 故a¹ ＝ 2，a ＝ 2。 故f(x) ＝ log₂(x ＋ 1)。 （2）f(3) ＝ log₂(3 ＋ 1) ＝ log₂4 ＝ 2。 f(－1/2) ＝ log₂(－1/2 ＋ 1) ＝ log₂(1/2) ＝ log₂(2⁻¹) ＝ －1。 （3）由f(x) ＞ 1，即log₂(x ＋ 1) ＞ 1 ＝ log₂2。 因f(x) ＝ log₂(x ＋ 1)中底数a ＝ 2 ＞ 1，对数函数单调递增， 故x ＋ 1 ＞ 2，即x ＞ 1。 又对数函数的真数x ＋ 1 ＞ 0即x ＞ －1，与x ＞ 1取交集得x ＞ 1。 故x的取值范围为x ＞ 1。 本题关键：利用对数函数过点求底数，利用单调性解对数不等式，注意真数必须大于0。 高一数学必修一 · 第十七课时 对数函数 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $