专题4 带电粒子在交变电场中的运动 讲义 -2026-2027学年高二物理暑期能力提升

高中物理 高二暑期能力提升 专题4 带电粒子在交变电场中的运动 【方法解读】 1.当粒子垂直于交变电场方向射入时，沿初速度方向的分运动为匀速直线运动，沿电场方向的分运动具有周期性。 2.研究带电粒子在交变电场中的偏转运动，关键是根据电场变化的特点，利用牛顿第二定律正确地判断粒子的运动情况。根据电场的变化情况，分段求解带电粒子运动的末速度、位移等。 3.对于锯齿波和正弦波等电压产生的交变电场，若粒子穿过板间的时间极短，带电粒子穿过电场时可认为是在匀强电场中运动。 【例1】　如图(a)所示，水平放置的两正对、平行金属板A、B间加有如图(b)所示的交流电压UAB，现有一带电粒子从A板左端边缘以速度v0水平射入电场。粒子电荷量为+q，质量为m，不计粒子重力。 (1)若粒子能够射出电场，已知金属板长度为L，求粒子在电场中的运动时间t； (2)若粒子在t=0时刻射入电场，经过一段时间后从B板右侧边缘水平射出。 ①定性画出垂直板方向的速度vy(规定竖直向下为正方向)随时间变化的图像。 ②求出板长L和两板间距d分别满足的条件。 (3)若粒子在t=时刻射入电场，经过一段时间后从A板右侧边缘水平射出，则板长L和两板间距d分别满足什么条件？ 答案　(1)　(2)①见解析图　②见解析 (3)L=nv0T(n=1，2，3，…)　d≥ 解析　(1)根据题意可知，粒子在电场中，水平方向上做匀速直线运动，若粒子能够射出电场，则粒子在电场中的运动时间为t= (2)①②由对称性可知，粒子可能在t1=nT，即vy=0时从B板右边缘水平射出， L=v0t1=nv0T(n=1，2，3，…)， d=2n·a()2 由牛顿第二定律有a=， 联立得d=(n=1，2，3，…) (3)根据题意可知，若粒子在t=时刻射入电场，且经过一段时间后能够从A板右侧边缘水平射出，则在竖直方向上，粒子在~时间内，做向下的匀加速直线运动，在~时间内，向下做匀减速直线运动，由对称性可知，粒子在时，竖直分速度减小到0，此时，粒子未达到B板上，然后在~T时间内，向上做匀加速直线运动，在T~时间内，向上做匀减速直线运动，由对称性可知，在时，粒子恰好回到A板边缘，且竖直分速度为0，由上述分析可知，两板间距d满足条件d≥2×a()2 由牛顿第二定律可得a= 联立解得d≥ 粒子在电场中的运动时间为t2=nT(n=1，2，3，…) 则板长为L=v0t2=nv0T(n=1，2，3，…) 【例2】如图所示，A、B是一对平行的金属板，在两板间加上一周期为T的交流电压U，A板的电势φA＝0，B板的电势φB随时间的变化规律如图所示。现有一电子从A板上的小孔进入两板间的电场区域内，设电子的初速度和重力的影响可忽略。则(　　) A.若电子是在t＝0时刻进入的，它将一直向B板运动 B.若电子是在t＝时刻进入的，它可能时而向B板运动，时而向A板运动，最后打在B板上 C.若电子是在t＝时刻进入的，它可能时而向B板运动，时而向A板运动，最后打在B板上 D.若电子是在t＝时刻进入的，它可能时而向B板运动，时而向A板运动 答案　AB 解析　根据电子进入电场后的受力和运动情况，作出如图所示的图像。由图丁可知，当电子在t＝0时刻进入电场时，电子一直向B板运动，故A正确;若电子在t＝时刻进入，则由图丁知，向B板运动的位移大于向A板运动的位移，因此最后仍能打在B板上，故B正确;若电子在t＝时刻进入电场，则由图丁知，在第一个周期电子即返回至A板，故C错误;若电子是在t＝时刻进入，则它一靠近小孔便受到排斥力，根本不能进入电场，故D错误。 拓展 若已知电子质量为m、电荷量大小为e，电子仅在静电力作用下，在t＝时刻从A板的小孔处由静止释放进入两极板间运动，恰好到达B板。 求: (1)A、B两板间的距离; (2)电子在两板间的最大速度。 答案　(1)　(2) 解析　(1)电子在t＝时刻由静止释放恰好打在B板上，则电子先加速后减速，在t＝T时刻到达B板且速度为零，设两板的间距为d，加速度大小为a＝，则有d＝2×a，解得d＝。 (2)由题意可知，经过时间电子速度最大，则最大速度为vm＝a·。 在画速度—时间图像时，要注意以下几点 (1)带电粒子进入电场的时刻。 (2)速度—时间图像的斜率表示加速度，因此加速度相同的运动的图像一定是平行的直线。 (3)图线与时间轴围成的“面积”表示位移，且在横轴上方所围成的“面积”为正，在横轴下方所围成的“面积”为负。 (4)注意对称性和周期性变化关系的应用。 (5)图线与横轴有交点，表示此时速度为零;对于运动很复杂，不容易画出速度—时间图像的问题，还应逐段分析求解。 【针对性训练】 1.(2025·甘肃卷·7)离子注入机是研究材料辐照效应的重要设备，其工作原理如图甲所示。从离子源S释放的正离子(初速度视为零)经电压为U1的电场加速后，沿OO'方向射入电压为U2的电场(OO'为平行于两极板的中轴线)。极板长度为l、间距为d，U2-t关系如图乙所示。长度为a的样品垂直放置在距U2极板L处，样品中心位于O'点。假设单个离子在通过U2区域的极短时间内，电压U2可视为不变，当U2=±Um时，离子恰好从两极板的边缘射出。不计重力及离子之间的相互作用。下列说法正确的是(　　) A.U2的最大值Um=U1 B.当U2=±Um且L=时，离子恰好能打到样品边缘 C.若其他条件不变，要增大样品的辐照范围，需增大U1 D.在t1和t2时刻射入U2的离子，有可能分别打在A和B点 答案　B 解析　离子在加速电场中被加速时U1q=m，在偏转电场中做类平抛运动，则l=v0t，=·t2，解得Um=U1，选项A错误；当U2=±Um时离子从板的边缘射出，恰能打到样品边缘时，根据相似三角形，则=，解得L=，选项B正确；根据y=·t2=，若其他条件不变，增大U1，则y变小，样品的辐照范围变小，选项C错误；由题图可知t1时刻所加的电场电压小于t2时刻所加的电场的电压，则t1时刻射入的离子打到A点时的竖直位移小于t2时刻射入的离子打到B点时的竖直位移，则选项D错误。 2.(2025·四川内江市检测)如图甲，一带电粒子沿平行板电容器中线MN以速度v平行于极板进入(记为t=0时刻)，同时在两板上加一按图乙变化的电压。已知粒子比荷为k，带电粒子只受静电力的作用且不与极板发生碰撞，经过一段时间，粒子以平行极板方向的速度射出。则下列说法中正确的是(　　) A.粒子射出时间可能为t=4 s B.粒子射出的速度大小为2v C.极板长度满足L=3vn(n=1，2，3，…) D.极板间最小距离为 答案　D 解析　粒子进入电容器后，在平行于极板方向做匀速直线运动，垂直极板方向的运动v-t图像如图所示 因为粒子平行极板射出，可知粒子垂直极板的分速度为0，所以射出时刻可能为1.5 s、3 s、4.5 s…，满足t=1.5n(n=1，2，3，…)，粒子射出的速度大小必定为v，故A、B错误；极板长度L=v·1.5n(n=1，2，3，…)，故C错误；因为粒子不跟极板碰撞，则应满足≥vy×1.5 s，vy=a×1 s，a=，联立求得d≥，故D正确。 3 如图甲，一带电粒子沿平行板电容器中线MN以速度v平行于极板进入(记为t＝0时刻)，同时在两板上加一按图乙变化的电压。已知粒子比荷为k，带电粒子只受静电力的作用且不与极板发生碰撞，经过一段时间，粒子以平行极板方向的速度射出。则下列说法中正确的是(　　) A.粒子射出时间可能为t＝4 s B.粒子射出的速度大小为2v C.极板长度满足L＝3vn(n＝1，2，3，…) D.极板间最小距离为 答案　D 解析　粒子进入电容器后，在平行于极板方向做匀速直线运动，垂直极板方向运动的v－t图像如图所示，因为粒子平行极板射出，可知粒子垂直极板的分速度为0，所以射出时刻可能为1.5 s、3 s、4.5 s、…，满足t＝1.5n(n＝1，2，3，…)，粒子射出的速度大小必定为v，故A、B错误;极板长度L＝v·1.5n(n＝1，2，3，…)，故C错误;因为粒子不跟极板碰撞，则应满足≥vy×1.5 s，其中vy＝a×1 s，a＝，联立解得d≥，故D正确。 4.如图甲所示，两平行金属板长为L、间距为d，加有如图乙所示的交流电压。现有一质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子，在t＝0时刻以初速度v0沿中线射入两金属板间，不计粒子重力及粒子间的相互作用，求下列情况下交流电压的周期T和电压U0满足的条件。 (1)粒子射出电场时的动能最大; (2)粒子射出电场时的动能最小。 答案　(1)T≥　U0≤　 (2)T＝(n＝1，2，3，…)　U0≤(n＝1，2，3，…) 解析　(1)粒子在水平方向做匀速直线运动，只要保证粒子在竖直方向一直加速(即一个周期内)，竖直速度就可以达到最大值。t＝≤，得T≥ 保证粒子能射出电场，有y＝at2＝≤ 解得U0≤。 (2)只要粒子的竖直速度为零，射出电场时速度最小，动能最小，运动时间 t＝＝nT 则T＝(n＝1，2，3，…) 保证粒子能射出电场，有y＝2n×a＝2n×≤ 解得U0≤(n＝1，2，3，…)。 5．（16分）(2026广东三校联考）如图甲所示，某装置由直线加速器、偏转电场和荧光屏三部分组成。直线加速器由n个金属圆筒依次排列(图中只画出4个)，直线加速器的交变电压的变化规律如图乙所示，在t＝0时，奇数圆筒相对偶数圆筒的电势差为正值，此时位于序号为0的金属圆板中央的一个电子由静止开始加速，冲进圆筒1，电子穿过圆筒与圆筒之间各个间隙时，都能恰好使所受静电力的方向与运动方向相同而不断加速。已知电子的质量为m、电荷量为e、交变电压的绝对值为U0，周期为T，电子通过圆筒间隙的时间忽略不计。偏转电场由两块相同的平行金属极板A与B组成，板长为L，两板间距为2L，UAB＝8U0，忽略边缘效应，距两极板右侧1.5L处竖直放置一足够大的荧光屏。电子自直线加速器射出后，沿两板的中心线PO射入偏转电场，最后打到荧光屏上。 (1)求第2个金属圆筒的长度s2； (2)若金属圆筒个数n＝4，求电子打在荧光屏的位置与O点间的距离Y1； (3)金属圆筒个数n取何值时，电子打在荧光屏上的动能最小，动能最小值为多少？并求出此时打在荧光屏上的位置到O点的距离Y2。 解析．（16分） （1）根据图乙可知，为了达到同步加速，电子在圆筒中做匀速直线运动，运动的时间均为，电子加速两次过程，根据动能定理有 2eU0＝m（1分） 解得 =2 第2个金属圆筒的长度s2＝v2·，解得 s2＝T（1分） （2）电子整个加速过程，根据动能定理得 4eU0＝m（1分） 解得= 电子在两极板之间偏转过程，根据类平抛运动规律有 L＝v4t1，y1＝a（1分） 其中a=（1分） 解得 ＝（1分） 射出极板后电子做匀速直线运动，沿轴线方向有 1.5L＝v4t2 沿竖直方向 y2＝vyt2，vy＝at1 解得＝（1分）……用相似也可得分 电子打在荧光屏的位置与O点间的距离为Y1＝y1＋y2＝L（1分） （3）电子通过n个圆筒后，根据动能定理有 neU0＝m（1分） 电子在两极板之间偏转过程，根据类平抛运动规律有 L＝vntn，yn＝a （1分） 令电子打在荧光屏上的动能为Ek，根据动能定理有 ＝ - m（1分） 解得Ek＝(n+)eU0 根据数学函数规律可知，当n等于2时，电子打在荧光屏上的动能最小，动能最小值为 Ekmin＝4eU0（1分） 电子通过2个圆筒加速后在两极板之间偏转过程，根据类平抛运动规律有 L＝v2t3，y3＝a 解得y3＝（1分） 射出极板后电子做匀速直线运动，沿轴线方向有 1.5L＝v2t4， 沿竖直方向 y4＝vy1t4，vy1＝at3 解得y4＝（1分） 电子打在荧光屏的位置与O点间的距离为Y2＝y3＋y4＝2L（1分） 6 （2024年10月黑龙江名校联考）中科院高能物理研究所利用电场约束带电粒子的运动，其简化模型如图1所示，在平面内的第一象限和第四象限加一沿轴正方向的匀强电场（未知），一粒子发射源固定在坐标原点，该装置可以沿轴正方向发射质量为、电荷量为的粒子，粒子的初速度均为，刚好能过第一象限内的点，已知点的横坐标为，不计重力及粒子间的相互作用。 （1）已知粒子过点时速度为，求匀强电场的场强大小和点的纵坐标； （2）若将原来的匀强电场替换为另一交变电场，如图2所示，场强为正值时表示电场方向沿轴正方向，题干中其他条件均不变，时刻从坐标原点射出的粒子仍能过点，求图2中与的比值； （3）如图3所示，在处放置一垂直于轴、可吸收带电粒子的挡板，并在第一和第四象限内加如图2所示的交变电场，图3中两条虚线的纵坐标为在至时间内从坐标原点沿轴正方向连续发射粒子，粒子的初速度均为，求在哪个时间范围内发射出的粒子，运动轨迹始终在图3中两条虚线之间（含虚线），并求出这些粒子落在挡板上的纵坐标范围。   【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】（1）粒子P在电场中做类平抛运动，将粒子P运动到M点时的速度正交分解，其沿轴方向的上分速度为，根据勾股定理其沿y轴方向的分速度 (1分) 根据动力学， （4分） 联立可得 (1分) (1分) （2）换成交变电场后，粒子P运动至M点的运动时间仍为(1分) 结合题图2可知，交变电场在此期间经历了两个周期，粒子P沿y轴的分速度随时间变化的图像如图甲所示，所以整个运动过程其在y轴方向运动的距离为(2分) 又知道 可解得(1分) 故(1分)    （3）设时刻发射出的粒子P恰好能运动至虚线，结合粒子P沿y轴的分速度随时间变化的图像如图乙所示，根据匀变速运动规律可知 (2分) 可解得 由图乙可知在时刻射出的粒子P最终打在挡板上时的纵坐标为 设时刻发射出的粒子P恰好能运动至虚线，结合运动图像如图丙所示，根据匀变速运动规律有 (2分) 解得 由图丙可知在时刻射出的粒子P最终打在挡板上时的纵坐标为 综上所述，在时间范围内射出的粒子P运动轨迹始终在题图3中两虚线之间。(2分) 这些粒子落在挡板上范围为<y<0(2分) 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中物理 高二暑期能力提升 专题4 带电粒子在交变电场中的运动 【方法解读】 1.当粒子垂直于交变电场方向射入时，沿初速度方向的分运动为匀速直线运动，沿电场方向的分运动具有周期性。 2.研究带电粒子在交变电场中的偏转运动，关键是根据电场变化的特点，利用牛顿第二定律正确地判断粒子的运动情况。根据电场的变化情况，分段求解带电粒子运动的末速度、位移等。 3.对于锯齿波和正弦波等电压产生的交变电场，若粒子穿过板间的时间极短，带电粒子穿过电场时可认为是在匀强电场中运动。 【例1】　如图(a)所示，水平放置的两正对、平行金属板A、B间加有如图(b)所示的交流电压UAB，现有一带电粒子从A板左端边缘以速度v0水平射入电场。粒子电荷量为+q，质量为m，不计粒子重力。 (1)若粒子能够射出电场，已知金属板长度为L，求粒子在电场中的运动时间t； (2)若粒子在t=0时刻射入电场，经过一段时间后从B板右侧边缘水平射出。 ①定性画出垂直板方向的速度vy(规定竖直向下为正方向)随时间变化的图像。 ②求出板长L和两板间距d分别满足的条件。 (3)若粒子在t=时刻射入电场，经过一段时间后从A板右侧边缘水平射出，则板长L和两板间距d分别满足什么条件？ 【例2】如图所示，A、B是一对平行的金属板，在两板间加上一周期为T的交流电压U，A板的电势φA＝0，B板的电势φB随时间的变化规律如图所示。现有一电子从A板上的小孔进入两板间的电场区域内，设电子的初速度和重力的影响可忽略。则(　　) A.若电子是在t＝0时刻进入的，它将一直向B板运动 B.若电子是在t＝时刻进入的，它可能时而向B板运动，时而向A板运动，最后打在B板上 C.若电子是在t＝时刻进入的，它可能时而向B板运动，时而向A板运动，最后打在B板上 D.若电子是在t＝时刻进入的，它可能时而向B板运动，时而向A板运动 拓展 若已知电子质量为m、电荷量大小为e，电子仅在静电力作用下，在t＝时刻从A板的小孔处由静止释放进入两极板间运动，恰好到达B板。 求: (1)A、B两板间的距离; (2)电子在两板间的最大速度。 在画速度—时间图像时，要注意以下几点 (1)带电粒子进入电场的时刻。 (2)速度—时间图像的斜率表示加速度，因此加速度相同的运动的图像一定是平行的直线。 (3)图线与时间轴围成的“面积”表示位移，且在横轴上方所围成的“面积”为正，在横轴下方所围成的“面积”为负。 (4)注意对称性和周期性变化关系的应用。 (5)图线与横轴有交点，表示此时速度为零;对于运动很复杂，不容易画出速度—时间图像的问题，还应逐段分析求解。 【针对性训练】 1.(2025·甘肃卷·7)离子注入机是研究材料辐照效应的重要设备，其工作原理如图甲所示。从离子源S释放的正离子(初速度视为零)经电压为U1的电场加速后，沿OO'方向射入电压为U2的电场(OO'为平行于两极板的中轴线)。极板长度为l、间距为d，U2-t关系如图乙所示。长度为a的样品垂直放置在距U2极板L处，样品中心位于O'点。假设单个离子在通过U2区域的极短时间内，电压U2可视为不变，当U2=±Um时，离子恰好从两极板的边缘射出。不计重力及离子之间的相互作用。下列说法正确的是(　　) A.U2的最大值Um=U1 B.当U2=±Um且L=时，离子恰好能打到样品边缘 C.若其他条件不变，要增大样品的辐照范围，需增大U1 D.在t1和t2时刻射入U2的离子，有可能分别打在A和B点 2.(2025·四川内江市检测)如图甲，一带电粒子沿平行板电容器中线MN以速度v平行于极板进入(记为t=0时刻)，同时在两板上加一按图乙变化的电压。已知粒子比荷为k，带电粒子只受静电力的作用且不与极板发生碰撞，经过一段时间，粒子以平行极板方向的速度射出。则下列说法中正确的是(　　) A.粒子射出时间可能为t=4 s B.粒子射出的速度大小为2v C.极板长度满足L=3vn(n=1，2，3，…) D.极板间最小距离为 3 如图甲，一带电粒子沿平行板电容器中线MN以速度v平行于极板进入(记为t＝0时刻)，同时在两板上加一按图乙变化的电压。已知粒子比荷为k，带电粒子只受静电力的作用且不与极板发生碰撞，经过一段时间，粒子以平行极板方向的速度射出。则下列说法中正确的是(　　) A.粒子射出时间可能为t＝4 s B.粒子射出的速度大小为2v C.极板长度满足L＝3vn(n＝1，2，3，…) D.极板间最小距离为 4.如图甲所示，两平行金属板长为L、间距为d，加有如图乙所示的交流电压。现有一质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子，在t＝0时刻以初速度v0沿中线射入两金属板间，不计粒子重力及粒子间的相互作用，求下列情况下交流电压的周期T和电压U0满足的条件。 (1)粒子射出电场时的动能最大; (2)粒子射出电场时的动能最小。 5．（16分）(2026广东三校联考）如图甲所示，某装置由直线加速器、偏转电场和荧光屏三部分组成。直线加速器由n个金属圆筒依次排列(图中只画出4个)，直线加速器的交变电压的变化规律如图乙所示，在t＝0时，奇数圆筒相对偶数圆筒的电势差为正值，此时位于序号为0的金属圆板中央的一个电子由静止开始加速，冲进圆筒1，电子穿过圆筒与圆筒之间各个间隙时，都能恰好使所受静电力的方向与运动方向相同而不断加速。已知电子的质量为m、电荷量为e、交变电压的绝对值为U0，周期为T，电子通过圆筒间隙的时间忽略不计。偏转电场由两块相同的平行金属极板A与B组成，板长为L，两板间距为2L，UAB＝8U0，忽略边缘效应，距两极板右侧1.5L处竖直放置一足够大的荧光屏。电子自直线加速器射出后，沿两板的中心线PO射入偏转电场，最后打到荧光屏上。 (1)求第2个金属圆筒的长度s2； (2)若金属圆筒个数n＝4，求电子打在荧光屏的位置与O点间的距离Y1； (3)金属圆筒个数n取何值时，电子打在荧光屏上的动能最小，动能最小值为多少？并求出此时打在荧光屏上的位置到O点的距离Y2。 6 （2024年10月黑龙江名校联考）中科院高能物理研究所利用电场约束带电粒子的运动，其简化模型如图1所示，在xOy平面内的第一象限和第四象限加一沿轴正方向的匀强电场（未知），一粒子发射源固定在坐标原点O，该装置可以沿轴正方向发射质量为m、电荷量为的粒子P，粒子的初速度均为，刚好能过第一象限内的M点，已知M点的横坐标为，不计重力及粒子间的相互作用。 （1）已知粒子P过M点时速度为，求匀强电场的场强大小和M点的纵坐标； （2）若将原来的匀强电场替换为另一交变电场，如图2所示，场强为正值时表示电场方向沿轴正方向，题干中其他条件均不变，时刻从坐标原点射出的粒子P仍能过M点，求图2中与的比值； （3）如图3所示，在处放置一垂直于轴、可吸收带电粒子的挡板，并在第一和第四象限内加如图2所示的交变电场，图3中两条虚线的纵坐标为.。 在至时间内从坐标原点沿轴正方向连续发射粒子，粒子的初速度均为，求在哪个时间范围内发射出的粒子，运动轨迹始终在图3中两条虚线之间（含虚线），并求出这些粒子落在挡板上的纵坐标范围。 1 学科网（北京）股份有限公司 $