13.3.1.1 三角形的内角（八大题型 一例三练） 2026--2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 以三角形内角和定理为核心，通过八大题型一例三练，系统整合导角模型与综合应用，培养推理意识与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角形内角和的证明|1例3练|辅助线构造（平行线）、逻辑推理|从实验验证到严谨证明，建立定理推导思维| |导角/判断形状|2例6练|共顶角/“8”字/箭头模型、内角计算|定理直接应用，衔接三角形分类| |与平行线/角平分线综合|2例6练|平行性质转化、角平分线分角|定理与几何性质融合，提升综合推理| |折叠/三角板/应用|3例9练|折叠不变性、三角板角度特征、实际建模|从图形变换到实际问题，强化模型意识与应用能力|

13.3.1.1 三角形的内角八大题型 一例三练（学生版） （2026年7月） 【题型1 三角形内角和的证明】 2 【题型2 三角形内角和导角】 7 【题型3 三角形内角和判断三角形形状】 7 【题型4 三角形内角和与平行线的综合运用】 8 【题型5 三角形内角和与角平分线的综合运用】 9 【题型6 三角形内角和与折叠相结合问题】 10 【题型7 三角形内角和与三角板相结合问题】 12 【题型8 三角形内角和定理的应用】 14 知识点1 三角形内角和定理 （1）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于． （2）任何一个三角形中至少有两个锐角，最多有一个钝角或直角． 知识点2 三角形内角和导角模型 1.共顶角模型：由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4． 2.“8” 字形：由三角形的内角和定理易得：∠A+∠B=∠C+∠D． 3.箭头模型：∠A+∠B+∠C=∠D 【题型1 三角形内角和的证明】 【例1】问题解决 问题 三角形内角和为什么等于 问题提出 如图1，通过裁剪，将三角形纸片的三个角拼成一个平角，从而验证猜想：然而实验会存在误差．不符合数学的严谨性．是否可以通过逻辑推理来说明三角形内角和等于呢？    思路启迪 从逻辑推理的角度思考：有什么方法（知识点）使角可以"移动"、组成一个平角呢？ 尝试思考 请过三角形的顶点A添加辅助线．使角“移动”到合适位置．便于说明三角形内角和等于．要求如下： 1．用两种不同的方法对图2、图3添加辅助线；2．用简短、专业的数学语言对添加辅助线的操作进行描述．    逻辑说理 在上述图形中，选择其中一种方法，说明三角形内角和等于的理由． 触类旁通 小华同学通过思考，发现在边上任意取一点（不与点、重合）．如图4，添加合适的辅助线，也能说明“三角形内角和定理”．    (1)完成“尝试思考”中的操作与描述； 方法一：如图2，延长至点，过点作___________、利用平行线的性质得到即可求解． 方法二：如图3，过点作，利用平行线的性质得到___________． 再利用平角定义和等量代换可得结论：_________．    (2)写出“逻辑说理”中的说理过程：选择图___________，证明过程如下： (3)写出“触类旁通”中的说理过程．（在图4画出图形，写出证明过程）   【变式1-1】在探究证明“三角形的内角和等于”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，点D、E、F分别在、、上，且，， 下面写出了说明“”的过程，请填空： 解： ，（       ） ， ．（ ） （已知）， ．（ ） （已知）， ．（两直线平行，同位角相等） （ ） (平角的定义) （等量代换） 【变式1-3】证明“三角形内角和定理”的方法有很多．除了教材中提到的两种方法外，下面三种同样可以证明： 在边上任取一点，并分别作其余两边的平行线 在三角形内任取一点，分别作三边的平行线 同时过三角形的三个顶点作三条互相平行的直线 (1)请从上面三种方法中任选一种进行证明； (2)在第二种方法中：若点为三角形外一点，是否同样可以完成该定理的证明？___________（填“可以”或“不可以”）． 【题型2 三角形内角和导角】 【例2】如图，直线，点A在直线m上，点B在直线n上，连接，过点A作，交直线n于点C．若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【变式2-1】已知在△ABC中，∠ACB＝90，∠A＝60，则∠B的度数是（　　） A．30 B．35 C．40 D．50 【变式2-2】在△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，则∠A度数为(    ). A．30° B．40° C．50° D．60° 【变式2-3】如图，点为凸透镜的光心，点为凸透镜的焦点，根据凸透镜成像规律：过光心的光线经凸透镜后传播方向不变；过焦点的光线经凸透镜折射后，折射光线平行于主光轴．发光点发出的光经过凸透镜折射后所成的像为，已知，，则______． 【题型3 三角形内角和判断三角形形状】 【例3】如图，一张三角形纸片被不小心撕掉一个角，则按角分这个三角形形状是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【变式3-1】一个三角形的两个内角分别是和，则这个三角形是（  ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【变式3-2】在中，，，则该三角形为（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【变式3-3】若一个三角形的三个内角度数的比为，则这个三角形是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【题型4 三角形内角和与平行线的综合运用】 【例4】已知：如图，，． (1)求证：； (2)若平分，平分，且，求的度数． 【变式4-1】如图，直线，于点D，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，直线，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】如图，，被直线所截，，将线段沿着直线平移得到线段，连接．在平移过程中，当时，的度数是_______． 【题型5 三角形内角和与角平分线的综合运用】 【例5】如图，在中，、分别平分和，连接，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，在中，，平分交于点D，交边上的高于点F，若，则（   ）      A． B． C． D． 【变式5-2】如图，在中，，，．则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】．如图，在中，，，平分，于点D，于点F，求的度数． 【题型6 三角形内角和与折叠相结合问题】 【例6】如图，把纸片沿着折叠，使点落在四边形内部点处，已知，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，将直角三角形纸片的直角沿折叠，点落到纸片内部的点处．如果，那么____________． 【变式6-2】如图，中，，，、分别是边、上的点，将沿着折叠，得到，当时，的度数是_________________． 【变式6-3】如图，等边三角形纸片中，点在边（不包含端点，）上运动，连接，将对折，点落在直线上的点处，得到折痕；将对折，点落在直线上的点处，得到折痕．    (1)若，求的度数； (2)试问：的大小是否会随着点的运动而变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由． 【题型7 三角形内角和与三角板相结合问题】 【例7】一把直尺和一把含有角的直角三角板按如图方式摆放，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式7-1】将一副三角板按如图的方式摆放，已知点在的延长线上，，，要使得，则的度数应该是（     ）    A． B． C． D． 【变式7-2】如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】综合与实践： 实验操作 如图1，将一把直尺放在一张长方形纸片上（），画直线，分别交，于，． (1)证明：； (2)分别作和的角平分线，相交于点，若的三个内角中，有一个角是另一个角的两倍，试求的度数； (3)在（2）的条件下，延长交于点，是线段上的一动点，连接，作的角平分线，再作的平分线．试探究，随着点的运动，的大小将发生怎样的变化？通过推理和计算说明理由． 【题型8 三角形内角和定理的应用】 【例8】如图是一辆变速自行车的实物图，图是抽象出来的部分示意图，已知直线与相交于点，，，，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【变式8-1】日常生活中，我们观察到的池塘水深比实际情况浅一些．如图，眼睛看到的点实际是在更深处的池底点处（点，在一条竖直直线上）．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式8-2】如图是路政部门利用折臂升降机维修路灯的图片和它的平面示意图．已知路灯和折臂的底座都与地面垂直，同时上折臂与下折臂的夹角，下折臂与底座的夹角，那么上折臂与路灯的夹角的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式8-3】操作与探究 【知识发现】汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献．书中记载“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”是古人利用光的反射定律改变光路的方法． 如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内，法线垂直于平面镜（即），反射光线、入射光线分别位于法线两侧，反射角等于入射角（即）． (1)【观察图形】试判断和的数量关系，并说明理由； (2)【结论应用】如图2，直线，点在直线上，点在直线上，光线被反射后再次被反射，入射光线经过两次反射的光线为，其中点在直线上．利用（1）中发现的结论，试探究与的位置关系，并说明理由； (3)【深度探究】如图3，将支架平面镜（可调节角度）放置在水平地面上，激光笔在点处发出的光束经过镜面反射后与天花板形成的点记为，光束与水平天花板所成的锐角为，支架平面镜与地面的夹角（）．若，求反射光束与天花板所形成的角的度数． 13.3.1.1 三角形的内角八大题型 一例三练（教师版） （2026年7月） 【题型1 三角形内角和的证明】 17 【题型2 三角形内角和导角】 25 【题型3 三角形内角和判断三角形形状】 26 【题型4 三角形内角和与平行线的综合运用】 28 【题型5 三角形内角和与角平分线的综合运用】 31 【题型6 三角形内角和与折叠相结合问题】 35 【题型7 三角形内角和与三角板相结合问题】 38 【题型8 三角形内角和定理的应用】 43 知识点1 三角形内角和定理 （1）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于． （2）任何一个三角形中至少有两个锐角，最多有一个钝角或直角． 知识点2 三角形内角和导角模型 1.共顶角模型：由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4． 2.“8” 字形：由三角形的内角和定理易得：∠A+∠B=∠C+∠D． 3.箭头模型：∠A+∠B+∠C=∠D 【题型1 三角形内角和的证明】 【例1】问题解决 问题 三角形内角和为什么等于 问题提出 如图1，通过裁剪，将三角形纸片的三个角拼成一个平角，从而验证猜想：然而实验会存在误差．不符合数学的严谨性．是否可以通过逻辑推理来说明三角形内角和等于呢？    思路启迪 从逻辑推理的角度思考：有什么方法（知识点）使角可以"移动"、组成一个平角呢？ 尝试思考 请过三角形的顶点A添加辅助线．使角“移动”到合适位置．便于说明三角形内角和等于．要求如下： 1．用两种不同的方法对图2、图3添加辅助线；2．用简短、专业的数学语言对添加辅助线的操作进行描述．    逻辑说理 在上述图形中，选择其中一种方法，说明三角形内角和等于的理由． 触类旁通 小华同学通过思考，发现在边上任意取一点（不与点、重合）．如图4，添加合适的辅助线，也能说明“三角形内角和定理”．    (1)完成“尝试思考”中的操作与描述； 方法一：如图2，延长至点，过点作___________、利用平行线的性质得到即可求解． 方法二：如图3，过点作，利用平行线的性质得到___________． 再利用平角定义和等量代换可得结论：_________．    (2)写出“逻辑说理”中的说理过程：选择图___________，证明过程如下： (3)写出“触类旁通”中的说理过程．（在图4画出图形，写出证明过程）   【答案】．(1)． ，内角和为． (2)选择图2，证明过程如下： ∵， ∴，， 又∵， ∴， 即内角和为； 选择图3，证明过程如下： ∵， ∴，， 又∵， ∴， 即内角和为； (3)证明：过点作交于点，过点作交于点， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴ ∵， ∴ 即内角和为． 【分析】（1）方法一：过点A作，利用平行线的性质得到，即可求解． 方法二：过点A作，利用平行线的性质得到，，再利用平角定义和等量代换可得结论； （2）根据平行线的性质进行证明即可； （3）过点作交于点，过点作交于点，由两直线平行，同位角相等，内错角相等易证． 【变式1-1】在探究证明“三角形的内角和等于”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理和平行线的性质的知识点，熟悉以上知识点是解题关键．根据平行线性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：A、∵，∴，，由，得，故此选项不符合题意； B、∵，∴，，由，得，故此选项不符合题意； C、∵，，，无法证得三角形的内角和等于，故此选项符合题意； D、如图， ∵，∴，，∵，∴，∵，∴， ∴，故此选项不符合题意． 故选：C． 【变式1-2】如图，点D、E、F分别在、、上，且，， 下面写出了说明“”的过程，请填空： 解： ，（       ） ， ．（ ） （已知）， ．（ ） （已知）， ．（两直线平行，同位角相等） （ ） (平角的定义) （等量代换） 【答案】已知，；；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，内错角相等；；等量代换． 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等．两直线平行，同旁内角互补．两直线平行，内错角相等．利用平行线的性质进行推理即可． 【详解】证明：，，（已知） ，．（两直线平行，同位角相等） ，（已知） ．（两直线平行，内错角相等） ，（已知） ．（两直线平行，同位角相等） ．（等量代换） ，（平角的定义） ．（等量代换） 【变式1-3】证明“三角形内角和定理”的方法有很多．除了教材中提到的两种方法外，下面三种同样可以证明： 在边上任取一点，并分别作其余两边的平行线 在三角形内任取一点，分别作三边的平行线 同时过三角形的三个顶点作三条互相平行的直线 (1)请从上面三种方法中任选一种进行证明； (2)在第二种方法中：若点为三角形外一点，是否同样可以完成该定理的证明？___________（填“可以”或“不可以”）． 【答案】(1)见解析 (2)可以 【分析】根据平行线的性质进行角的转换即可进行论证. 【详解】（1）选第一种： 证明：过点作， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即：三角形的内角和是； 选第二种： 过三角形内任取一点作， ∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴， 即：三角形的内角和为：； 选第三种： 如图所示，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， 即：三角形的内角和为：； （2）可以，理由如下： 如图所示： 过点作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即：三角形的内角和是. 【题型2 三角形内角和导角】 【例2】如图，直线，点A在直线m上，点B在直线n上，连接，过点A作，交直线n于点C．若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】 B 【分析】首先根据平行线的性质求出的度数，然后利用三角形内角和性质列式，即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2-1】已知在△ABC中，∠ACB＝90，∠A＝60，则∠B的度数是（　　） A．30 B．35 C．40 D．50 【答案】A 【详解】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90，∠A＝60， ∴∠B＝30， 故选：A． 【变式2-2】在△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，则∠A度数为(    ). A．30° B．40° C．50° D．60° 【答案】D 【分析】由三角形内角和定理得． 【详解】∠A＝180°−∠B−∠C＝180°−45°−75°＝60°． 故选：D． 【变式2-3】如图，点为凸透镜的光心，点为凸透镜的焦点，根据凸透镜成像规律：过光心的光线经凸透镜后传播方向不变；过焦点的光线经凸透镜折射后，折射光线平行于主光轴．发光点发出的光经过凸透镜折射后所成的像为，已知，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角相等、三角形内角和定理、平行线的性质．根据对顶角相等可知，根据三角形内角和为可以求出，根据两直线平行同位角相等可得． 【详解】解：， ， 在中，， ， ， ． 故答案为：． 【题型3 三角形内角和判断三角形形状】 【例3】如图，一张三角形纸片被不小心撕掉一个角，则按角分这个三角形形状是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【分析】根据三角形的内角和求出第三个角的度数，然后根据三角形按角分类求解解即可． 【详解】解：根据题意得：这个三角形的两个内角的度数为， ∴这个三角形的第三个内角的度数为， 根据题意可知这是按角分类，则这个三角形形状是锐角三角形．故选A 【变式3-1】一个三角形的两个内角分别是和，则这个三角形是（  ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的分类． 求出第三个角，进而判断即可． 【详解】解：∵一个三角形的两个内角分别是和， ∴三角形的第三个内角， ∴这个三角形是直角三角形． 故选：B． 【变式3-2】在中，，，则该三角形为（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和． 设，则，利用三角形内角和定理求出各角，再根据角度判断三角形类型即可． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴是钝角三角形． 故选：C． 【变式3-3】若一个三角形的三个内角度数的比为，则这个三角形是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据内角度数比计算出最大内角的度数，即可判断三角形类型． 【详解】解：∵三角形三个内角度数的比为， ∴可设三个内角分别为，，， ∵三角形内角和为， ∴， 解得：， ∴最大内角为， ∵， 即三个内角都为锐角， ∴这个三角形是锐角三角形． 【题型4 三角形内角和与平行线的综合运用】 【例4】已知：如图，，． (1)求证：； (2)若平分，平分，且，求的度数． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ； (2)解：， ，， 平分， ， ，        平分， ， ． 【分析】（1）根据平行线的性质得到，，据此可证明结论； （2）根据平行线的性质得到，，由角平分线的定义得到，进而求出的度数，再由三角形内角和定理可得答案． 【变式4-1】如图，直线，于点D，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据两直线平行，同旁内角互补，得出的度数，再根据三角形的内角和为180度，即可解答． 【详解】解：∵直线，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式4-2】如图，直线，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，先求出，再根据三角形内角和求出结论即可． 【详解】解：如下图： ，， ， ， ， ， 故选：D． 【变式4-3】如图，，被直线所截，，将线段沿着直线平移得到线段，连接．在平移过程中，当时，的度数是_______． 【答案】 【分析】两直线平行，同位角相等，得出的度数，利用平角得出的度数，根据三角形内角和为即可求出的度数． 【详解】解：线段和线段交于点D， ∵ 线段平移后得到线段， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， 解得． 【题型5 三角形内角和与角平分线的综合运用】 【例5】如图，在中，、分别平分和，连接，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理及三角形角平分线的性质，根据三角形的三条角平分线相交于同一点，得出平分是解题的关键．先由三角形的角平分线的定义得出，，根据三角形内角和定理得出，再由三角形的三条角平分线相交于同一点，可知平分，进而可求出答案． 【详解】解： 平分，， ， 平分，， ， ． 在中，、分别平分和， 平分， ， 故选：C． 【变式5-1】如图，在中，，平分交于点D，交边上的高于点F，若，则（   ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质，角平分线的定义，根据直角三角形两锐角互余，得到，再根据较平县的定义求出，再根据直角三角形两锐角互余求出，由对顶角的定义即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式5-2】如图，在中，，，．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的定义得出，最后代入计算即可． 【详解】解：在中，， ， ，， ，， ， ． 【变式5-3】．如图，在中，，，平分，于点D，于点F，求的度数． 【答案】． 【分析】在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，结合角平分线的定义，可得出的度数，由，可得出，利用三角形内角和定理，可求出的度数，将其代入中，可求出的度数，由，可得出，再利用三角形内角和定理，即可求出的度数． 【详解】解：在中，，， ， 平分， ． ， ， ， ． ， ， ． 【题型6 三角形内角和与折叠相结合问题】 【例6】如图，把纸片沿着折叠，使点落在四边形内部点处，已知，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据折叠的性质得出，，利用平角的定义推导出，从而求出的度数，最后根据三角形内角和定理及求解即可. 【详解】解：∵把纸片沿着折叠，点A落在四边形内部点处， ∴，， ∵，， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∴， 在中，，且， ∴， ∴． 【变式6-1】如图，将直角三角形纸片的直角沿折叠，点落到纸片内部的点处．如果，那么____________． 【答案】 【分析】根据折叠的性质可得对应角相等，利用三角形内角和定理求出 的度数，再结合平角的定义计算即可． 【详解】解： 由 翻折得到，， ，， ， ． 【变式6-2】如图，中，，，、分别是边、上的点，将沿着折叠，得到，当时，的度数是_________________． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论：当点在下方时和当点在上方时，利用平行和折叠的性质分别求出，再结合三角形内角和定理求解即可． 【详解】中，，， ， 如图，当点在下方时， ， ， 由折叠可知，， ； 如图，当点在上方时， ， ， ， 由折叠可知，， ； 综上可知，的度数是或． 【变式6-3】如图，等边三角形纸片中，点在边（不包含端点，）上运动，连接，将对折，点落在直线上的点处，得到折痕；将对折，点落在直线上的点处，得到折痕．    (1)若，求的度数； (2)试问：的大小是否会随着点的运动而变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)不变， 【分析】本题主要考查了三角形的折叠问题，解题的关键是熟练掌握折叠的性质，数形结合． （1）根据折叠得出，，根据，求出，即可求出结果； （2）根据，，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵将对折，得到折痕， ∴， ∵将对折，得到折痕， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：不变．理由如下： ∵，，， ∴， 即． ∴的大小不随点的运动而变化． 【题型7 三角形内角和与三角板相结合问题】 【例7】一把直尺和一把含有角的直角三角板按如图方式摆放，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质求出，再结合三角板角的特征，利用角的和差关系计算即可． 【详解】解：∵直尺的两边互相平行， ∴， ∵该三角板为含有角的直角三角板， ∴， ∴． 【变式7-1】将一副三角板按如图的方式摆放，已知点在的延长线上，，，要使得，则的度数应该是（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先利用的条件，根据平行线的性质，确定与的数量关系结合已知的等腰直角三角板角度，求出的度数，进而得到的度数根据含角的直角三角板的内角特征，求出的度数利用平角为的性质，结合、的度数，计算的度数． 【详解】解：在等腰直角三角板中，，， ∴。 在三角板中，，， ∴ ． ，直线截两条平行线， ∴． 四点共线， ∴． 【变式7-2】如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图， ∵直尺的两边互相平行， ∴， ∴， ∴． 【变式7-3】综合与实践： 实验操作 如图1，将一把直尺放在一张长方形纸片上（），画直线，分别交，于，． (1)证明：； (2)分别作和的角平分线，相交于点，若的三个内角中，有一个角是另一个角的两倍，试求的度数； (3)在（2）的条件下，延长交于点，是线段上的一动点，连接，作的角平分线，再作的平分线．试探究，随着点的运动，的大小将发生怎样的变化？通过推理和计算说明理由． 【答案】(1)证明：∵， ∴ 又∵， ∴； (2)解：∵， ∴ ∵与的角平分线交于点， ∴， ∴； ①当时，，， ②当时 ，， ③当或者时 ，，， 综上所述，度数为，，． (3)解：由（2）得， ①当点在线段上时，如图 ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴ 此时，的大小不发生变化，大小为． ②当点在线段上时，如图 ∵平分，平分， ∴，． ∵， ∴ ． 此时，的大小不发生变化，大小为． 综上所述，当点在线段上运动时，大小为；当点在线段上运动时，大小为． 【题型8 三角形内角和的应用】 【例8】如图是一辆变速自行车的实物图，图是抽象出来的部分示意图，已知直线与相交于点，，，，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由邻补角定义求出，再由三角形内角和定理求出，最后由平行线性质求解即可． 【详解】解： ， ， 在中，，，则， ， ． 故选D 【变式8-1】日常生活中，我们观察到的池塘水深比实际情况浅一些．如图，眼睛看到的点实际是在更深处的池底点处（点，在一条竖直直线上）．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用邻补角的性质求出的度数，再根据直角三角形两锐角互余求出，最后利用对顶角相等即可求解． 【详解】解：∵点在一条竖直直线上， ， ， ， ∵水面 水平，竖直直线垂直于水面， ， ∴， ∵人眼逆着折射光线看去，感觉光线是从发出的， ∴点在同一直线上， 又∵点在同一直线上， ∴ 和是对顶角， ． 故选D 【变式8-2】如图是路政部门利用折臂升降机维修路灯的图片和它的平面示意图．已知路灯和折臂的底座都与地面垂直，同时上折臂与下折臂的夹角，下折臂与底座的夹角，那么上折臂与路灯的夹角的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点E作交于点F，过点D作，由平行线的性质求出，进而求得，然后由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：如图，过点E作交于点F，过点D作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 故选D 【变式8-3】操作与探究 【知识发现】汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献．书中记载“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”是古人利用光的反射定律改变光路的方法． 如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内，法线垂直于平面镜（即），反射光线、入射光线分别位于法线两侧，反射角等于入射角（即）． (1)【观察图形】试判断和的数量关系，并说明理由； (2)【结论应用】如图2，直线，点在直线上，点在直线上，光线被反射后再次被反射，入射光线经过两次反射的光线为，其中点在直线上．利用（1）中发现的结论，试探究与的位置关系，并说明理由； (3)【深度探究】如图3，将支架平面镜（可调节角度）放置在水平地面上，激光笔在点处发出的光束经过镜面反射后与天花板形成的点记为，光束与水平天花板所成的锐角为，支架平面镜与地面的夹角（）．若，求反射光束与天花板所形成的角的度数． 【答案】(1)，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴． (2)，理由如下： 由（1）的结论可知，，， ∵， ∴，， ∴， ∴． (3) 解：如图，延长交于点， 由题意可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由光的反射原理可得，， ∴， ∴． 试卷第2页，共3页 18 / 48 学科网（北京）股份有限公司 48 / 48 学科网（北京）股份有限公司 $