13.3.1三角形的内角 同步练 2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 初中数学新授课同步练，聚焦三角形内角和定理及应用，通过基础到综合的分层设计，培养推理意识与几何直观，实现知识巩固与能力进阶。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|内角和定理、角平分线基础应用|以静态图形计算为主（如单选1-5），强化概念理解| |能力提升|角平分线与高线综合、折叠旋转动态问题|引入动态情境（如填空13旋转平行），发展空间观念| |综合应用|证明与复杂计算（等面积法、动态探究）|结合探究性问题（如解答18数量关系猜想），提升推理能力|

13.3.1 三角形的内角 同步练 一、单选题 1．如图，，平分，，，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，是的角平分线，点E在上，且，的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，从纸片中剪去，得到四边形．如果，那么度数为（   ） A． B． C． D． 4．直线与直线 垂直相交于O，点A 在射线上运动，点B 在射线 上运动．如图，已知，分别是和的角平分线，点A，B 在运动的过程中，度数为（  ） A． B． C． D．无法确定 5．在中，平分，则等于（   ） A． B． C． D． 6．如图，，过点B作于B，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，则的度数是（    ） A．100° B．110° C．120° D．130° 8．如图，于点O，点E，F分别是射线上的动点（不与点O重合），延长至点G，的角平分线及其反向延长线分别交的角平分线于点M，N．若中有一个角是另一个角的4倍，则为（   ）． A．或 B．或 C．或 D．或 二、填空题 9．如图，在中，是的角平分线，，则_______． 10．如图，在中，是边上的高，是边上的高，点F是两条高线的交点，若，，则______° 11．如图，在中，平分，平分，、交于点O，，若，，则_____________． 12．如图，在中，，，平分，是边上高，则的度数是__________． 13．将一副直角三角尺按如图1方式叠放，点D，B，A在同一直线上（，，，），若将含的三角尺绕顶点A顺时针旋转一周，使两块三角尺至少有一组边互相平行，直接写出符合条件的的度数为________．    三、解答题 14．如图，在中，，点在边上（不与点，点重合）． (1)若点在边上，且，求证：； (2)请用尺子在图中画出的边上的高，若，，，求的长度． 15．如图，，，是边上的高，是的角平分线． (1)求的度数； (2)是的角平分线，与交于点．求的度数． 16．如图，中，平分，P为延长线上一点，于E，已知． (1)的度数为_______； (2)求的度数． 17．如图，在中，于点，平分交于点． (1)若，，求的度数； (2)若，求的度数． 18．如图所示，有一块直角三角板（足够大），其中，把直角三角板放置在锐角上，三角板的两边，恰好分别经过点，． (1)若，则 ， ， ； (2)若，则 ； (3)请探究与的数量关系． 解：在中，，（ ）（写出依据） 在中，，（ ）（写出依据） ∴， ∴ ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《13.3.1 三角形的内角 同步练》参考答案 1．C 【分析】本题考查平行的性质、平分线的性质和三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质和三角形内角和定理是解题的关键，根据，可得，再由平分，得到，最后利用三角形内角和定理即可求得的度数． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ， 故选：C． 2．A 【分析】此题考查了三角形内角和定理、平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据三角形内角和求出，由角平分线求出，最后由平行线的性质即可求出答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 3．B 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理， 根据平角的定义得出，再根据三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B． 4．B 【分析】本题考查了垂直的定义、角平分线的定义、三角形的内角和定理，熟练掌握角平分线的定义是解题关键． 先根据垂直的定义可得，从而可得，再根据角平分线的定义、三角形的内角和定理即可得． 【详解】解：， ， ， ，分别是和的角平分线， ， ， ， 故选：B． 5．B 【分析】本题主要考查直角三角形的性质（两锐角互余）以及角平分线的定义，先根据直角三角形两锐角互余求出的度数，再利用角平分线的性质求出的度数． 【详解】解：在中，，， , 平分， ． 故选：B． 6．B 【分析】根据互余得出的度数，进而利用两直线平行，同位角相等解答即可； 此题考查平行线的性质，直角三角形的两个锐角互余，关键是利用两直线平行，同位角相等解答． 【详解】解：于B，， ， ， ， 故选：B． 7．B 【分析】本题考查三角形内角和定理及角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和是是解题关键．根据折叠得出，，再由三角形内角和和平角定义求出．根据三角形内角和定理可得，根据角平分线的定义可得由此即可得答案． 【详解】解：由折叠可知：，， ∴，． ∴， 又∵， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 8．A 【分析】本题考查角平分线的定义、直角三角形的性质、三角形内角和定理及外角性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．先根据角平分线和平角的定义可得：，分4种情况讨论，①当时，②当时，③当时，④当时，根据三角形内角和及外角的性质可得结论． 【详解】解：平分平分， ， ， ； ①当时 ， 平分， ， ， ， ； ②当时， ， ， 此种情况不成立； ③当时， 设， ， ， ， ， ； ④当时， 设， ， ， 此种情况不成立； 综上所述，的度数为或； 故选：A． 9．/度 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，由角平分线的定义可得的度数，再由三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴， 又∵，， ∴， 故答案为：． 10．55 【分析】本题主要考查三角形内角和定理、三角形的高等知识点，灵活运用三角形的内角和定理成为解题的关键．先根据三角形内角和定理求得，根据求解即可． 【详解】解：∵是边上的高，是边上的高， ， ， ， ， 故答案为：55． 11．/10度 【分析】本题主要查了三角形内角和定理，三角形外角的性质．根据三角形内角和定理，可得，从而得到，再由三角形外角的性质求得的度数，再利用直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 12．20 【分析】本题考查了三角形的高线，角的平分线，三角形内角和定理，直角三角形的性质，正确理解概念是解题的关键．根据，，结合三角形内角和定理得结合角的平分线解答即可．根据高线的定义，得到，，结合解答即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∵平分， ∴． ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴． 故答案为：20． 13．或或或或或． 【分析】此题考查了直角三角形两锐角互余，平行线的性质， 根据题意分情况讨论，然后利用直角三角形两锐角互余和平行线的性质求解即可． 【详解】如图所示，当时，    ∴ ∴ ∴； 如图所示，当时，    ∴； 如图所示，当时，    ∴； 如图所示，当时，    ∴ ∴； 如图所示，当时，    ∴ ∴； 如图所示，当时，    ∴ ∴； 综上所述，的度数为或或或或或． 故答案为：或或或或或． 14．(1)证明见解析； (2)的长为． 【分析】（）由，则，故有，从而可得，根据直角三角形的判定方法即可求证； （）先画出图形，再根据即可求解； 本题考查了直角三角形的性质和判定，等面积法，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图， ∵， ∴， ∴ ∴的长为． 15．(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的内角和定理以及角平分线的定义，三角形高线的定义，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形内角和为． （1）根据角平分线定义求出，根据是边上的高， 得出，然后在中，利用直角三角形的两锐角互余求得的度数，根据即可求解； （2）根据角平分线定义求出，根据三角形内角和定理求出，进而根据外角的性质求出． 【详解】（1）解：在中，，是的平分线， ， 是边上的高， ， ， ， 即的度数为； （2）解：是的角平分线， ， ，， ， ， 即的度数为． 16．(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及对顶角，利用三角形内角和定理及角平分线的定义，求出的度数是解题的关键． （1）在中，利用三角形内角和定理可求出的度数； （2）结合角平分线的定义可得出的度数，在中，利用三角形内角和定理可求出的度数，结合对顶角相等可得出的度数，再在中利用三角形内角和定理可求出的度数． 【详解】（1）解：∵中，， ， 故答案为：． （2）解：∵平分， ， 在中，， ， ， ， ， ． 17．(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义． （1）先由三角形内角和定理求出，再由角平分线的定义得到，由垂线的定义得到，则，根据即可解题； （2）仿照（1）的步骤求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 18．(1)；；． (2) (3)见解析． 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和为． （1）根据三角形内角和定理可得，，进而整理可求出的度数； （2）根据三角形内角和定理可得，，进而整理可求出的度数； （3）根据三角形内角和定理有，整理得． 【详解】（1）解：∵在中，， ， ∵在中，， ， ． 故答案为：；；． （2）解：∵在中，， ， ∵在中，， ， ． 故答案为：． （3）解：与之间的数量关系为：．证明如下： 在中，，（三角形的内角和等于）， 在中，，（直角三角形的两锐角互余）， ∴， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $