1.2 一定是直角三角形吗（讲义）数学新教材北师大版八年级上册

本讲义聚焦勾股定理的逆定理这一核心知识点，系统梳理其内容（由三边长关系判定直角三角形）、勾股数（正整数组及倍数性质）、判定步骤（确定最长边并计算平方关系），与勾股定理形成互逆知识支架，覆盖网格判定、线段垂直证明及实际应用等场景。 该资料以核心素养为设计亮点，通过几何直观（网格中计算边长平方简化判定）、逻辑推理（规范勾股定理与逆定理的使用流程）、模型意识（将实际问题抽象为三角形模型）构建分层练习，课中助力教师高效教学，课后通过基础通关与素养提升练习帮助学生强化知识应用，弥补学习盲点。

第一章 勾股定理 1.2 一定是直角三角形吗 课标要点 1. 掌握勾股定理的逆定理的内容，明确该定理是由边长关系判定三角形形状的核心依据，与勾股定理（直角三角形推边长关系）互为逆定理。 2. 理解勾股数的定义并熟记常见勾股数，掌握勾股数的基本性质，熟练记忆基础常用勾股数，可快速用于解题判断。 3. 会用判定定理解决基础几何问题与实际应用问题，能结合图形、实际场景（距离、垂直判定、图形形状判定），运用逆定理解决简单证明、计算、实际应用题。 4.区分勾股定理与勾股定理逆定理的因果关系，清晰辨析两个定理的使用场景。 学习重难点 重点： 1.熟练掌握勾股定理的逆定理内容，能规范运用定理判定一个三角形是否为直角三角形。 2.牢记常见基础勾股数，掌握勾股数的倍数规律，能快速判断一组正整数是否为勾股数。 3.掌握判定直角三角形的标准解题步骤，会通过计算三边平方关系完成三角形形状判定。 难点： 1.准确找准斜边（最长边），区分勾股定理与逆定理，避免逻辑混淆。 2.根据题干条件，精准选择对应定理：已知直角用勾股定理，证直角用逆定理。 3.在含小数、分数边长，或边长含参数、几何图形拼接、实际生活场景的复杂题目中，灵活运用逆定理判定直角三角形，结合线段计算、垂直证明、图形面积求解等综合解题。 勾股数的精准辨析 4.理解勾股数的核心前提：必须是正整数，小数、分数即使满足平方关系，也不属于勾股数，这是选择、填空题高频易错难点。 知识点 勾股定理的逆定理 概念：如果一个三角形的三边长（为最长边）满足等式，那么这个三角形是直角三角形，边长所对的角为直角. 特别提醒 1）此定理是直角三角形的判定方法，用来证直角；勾股定理是性质，已知直角求边长，二者互为逆定理. 2）必须先确定最长边，短边平方和只能与最长边平方对比. 易错提醒 1.不区分边长长短，随意拿任意两边平方和与第三边比较，导致判断出错。 2.因果倒置：已知三边证直角却套用勾股定理，逻辑书写错误。 教材延伸 拓展判定：①⇒锐角三角形；②⇒钝角三角形，可直接判断三角形类型。 随学随练 1．以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（     ） A．3，4，5 B．4，6，10 C．6，8，15 D．5，12，14 【答案】A 【详解】解：A、∵，，∴，∴可以构成直角三角形，符合题意； B、∵，∴不能构成三角形，不符合题意； C、∵，∴不能构成三角形，不符合题意； D、∵，，∴，∴不可以构成直角三角形，不符合题意. 2．下列各组边长组成的三角形，不是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用勾股定理的逆定理，通过验证两较短边的平方和是否等于最长边的平方，判断三角形是否为直角三角形． 【详解】A选项：， 该三角形是直角三角形，不符合题意； B选项：， 该三角形是直角三角形，不符合题意； C选项：， 该三角形是直角三角形，不符合题意； D选项：，，， 该三角形不是直角三角形，符合题意． 3．木工用三根木条围框架，长度分别为、、2，这个框架是_____三角形． 【答案】等腰直角 【详解】解：由题意可知，三角形三边长分别为，，． 该三角形是等腰三角形． 又，， ． 根据勾股定理的逆定理可知，该三角形是直角三角形． 4．在中，，，，则的度数为______． 【答案】 【详解】解：∵在中，，，， ∴，， ∴， ∴ 知识点 勾股数（重点） 勾股数的概念：能够满足等式的三个正整数，叫做一组勾股数。 特别提醒 1.三个数必须同时是正整数，小数、分数、根式组合不叫勾股数。 2.基础勾股数：3,4,5；5,12,13；7,24,25；8,15,17。 易错提醒 1.误将 6，8，10 这类倍数数组当成基础勾股数；或把 0.3，0.4，0.5 算作勾股数。 2.只验证等式成立，忽略 “正整数” 这一必备条件。 教材延伸 勾股数性质：一组勾股数同时乘同一个正整数，得到的新数组仍然是勾股数。例：3,4,5 同乘2得 6,8,10。 随学随练 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（     ） A．12，13，14 B．24，25，26 C．9，30，31 D．9，40，41 【答案】D 【分析】勾股数的定义为：三个正整数中，若两个较小数的平方和等于最大数的平方，则这组数是勾股数. 本题只需依次验证各选项是否满足该条件即可． 【详解】解：A：∵ ，，， ∴ 12，13，14不是勾股数； B：∵ ，， ， ∴ 24，25，26不是勾股数； C：∵ ，， ， ∴ 9，30，31不是勾股数； D：∵ ， ∴ 9，40，41是勾股数． 2．若3、4、a为勾股数，则a的相反数的值为（　　） A． B．5 C．或 D．5或 【答案】A 【分析】根据勾股数定义，勾股数是满足勾股定理的三个正整数，因此分a是斜边、4是斜边两种情况计算，舍去不符合勾股数定义的结果，最后求a的相反数即可． 【详解】解：∵勾股数是能构成直角三角形三边的正整数， ∴a为正整数，分两种情况讨论： 当a为斜边时，根据勾股定理得： ． ∵， ∴，符合勾股数定义； 当4为斜边时，根据勾股定理得： ，解得． ∵不是正整数，不符合勾股数定义，舍去； ∴，a的相反数为，故选A． 3．若，，是勾股数，则的值是________． 【答案】 【分析】勾股数是满足勾股定理的正整数.需分两种情况讨论，分别为是最长边，是最长边，利用勾股定理计算后，根据勾股数的定义筛选结果即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 当为最长边时，由勾股定理得， 不是完全平方数，不是正整数，不符合勾股数定义，舍去； 当为最长边时，由勾股定理得 ， ，是正整数，符合勾股数定义． 4．杨老师在讲勾股数时，在黑板上写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②6，8，10；③8，15，17；④10，24，26；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为______． 【答案】12， 35， 37 【分析】观察已知各组勾股数，总结各位置数字的变化规律，根据规律推导第⑤组勾股数，再验证是否满足勾股定理. 【详解】解：观察已知勾股数： 第①组：3，4，5 第②组：6，8，10 第③组：8，15，17 第④组：10，24，26 总结规律可得：从第②组开始，每组第一个数依次增加，因此第⑤组第一个数为 ， 对从第②组开始的勾股数，设第一个数为，可得第二个数为，第三个数为，验证规律： 当，对应第②组，， ， ，符合， 当，对应第③组，， ， ，符合， 当，对应第④组，，， ，符合， 因此第⑤组对应，计算得： ， ， ， 验证：，满足勾股数定义． 知识点 网格中利用逆定理判定直角三角形 定义：方格网格中，横向格数、纵向格数的线段，线段长度平方为；求出三角形三边平方，用逆定理判断是否为直角三角形． 特别提醒 网格解题优先计算三边平方，不用开方求边长，简化计算步骤. 易错提醒 1.数格子时横、竖格数数错，导致线段平方计算偏差。 2.分不清斜边，把较短线段平方当作代入公式。 教材延伸 网格中证明两线段垂直：两条线段作为三角形两边，结合第三条线段构成三角形，满足逆定理即可证垂直。 随学随练 1．如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点，，构成一个三角形，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对 【答案】A 【详解】解：设正方形地砖边长为1， ， ， ， 在中， ，， ， 是直角三角形． 故选：A 2．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，，，三点均在格点上，则的大小是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理以及其逆定理即可得到问题答案． 【详解】解：， ， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理以及逆定理的运用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．熟记勾股定理的内容是解题得关键． 3．如图，在正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别画三角形，则图中直角三角形是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】根据勾股定理及其逆定理计算判断即可． 【详解】解：①中三角形三边的平方分别为9、13、10，由于9+10=19≠13，所以①不是直角三角形； ②中三角形三边的平方分别为5、20、25，由于5+20=25，所以②是直角三角形； ③中三角形三边的平方分别为8、10、10，由于8+10=18≠10，所以③不是直角三角形； ④中三角形三边的平方分别为8、5、9，由于8+5=13≠9，所以④不是直角三角形 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握在网格中判断直角三角形的方法是解答的关键． 知识点 利用逆定理证明线段互相垂直 概念：在几何图形中，通过计算三角形三边长度，验证，证明三角形存在直角，进而推出两条线段垂直。 特别提醒 证明题书写格式完整，必须写出三边平方的计算过程，再下直角结论，不可跳步。 易错提醒 直接写边长相等就判定垂直，缺少平方计算的关键步骤，答题扣分。 教材延伸 常用于四边形、折叠图形、多边形内部垂直证明，是几何综合题基础工具。 随学随练 1．如图，四边形中，，，，，．则（    ） A．是锐角 B．是直角 C．是钝角 D．不确定大小 【答案】B 【分析】此题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 直接利用勾股定理可得的长；再根据勾股定理逆定理判定即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B 2．已知，，，，，连接，则的度数为______． 【答案】 【分析】先使用勾股定理计算出，再根据勾股定理的逆定理判断出． 【详解】解：在中，， ∵， ∴． 3．如图，四边形中，，，，，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查勾股定理的逆定，先利用勾股定理求出，进而得到，即可证明为直角三角形，且，即可得出结论． 【详解】证明：在中， ∴， ∴， 在中，，， ， 为直角三角形，， ． 知识点 勾股逆定理实际生活应用 内容：生活中通过测量三段长度，利用逆定理检测墙角、门框、地基是否构成标准直角。 特别提醒 实际应用题必须先构建几何模型，把文字条件转化为三角形三边长度再计算。 易错提醒 读题遗漏长度单位、看错线段对应三角形边长。 教材延伸 工程测量、行程问题（两人分岔行走）均会用到，是解答大题常考类型。 随学随练 1．如图，某港口C在南北方向的海岸线上，快、慢两艘船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，已知快、慢两船每小时分别航行12海里和5海里，2小时后两船分别位于点A，B处，且相距26海里，如果知道快船沿北偏西方向航行，那么慢船沿什么方向航行？ 【答案】慢船沿南偏西方向航行 【分析】根据三角形的三边长，可知，得，从而得出答案． 【详解】解：由题意知，海里，海里，海里， ∵，， ∴， ∴， ∵快船沿北偏西方向航行， ∴慢船沿南偏西方向航行． 2．为落实教育部中小学生劳动教育要求，某学校将校内如图所示的四边形空地改造成校园劳动实践基地．为了精准规划种植区域，需先测算空地相关数据．经测量，米，米，米，米，． (1)为方便分区管理，学校计划在、两点之间搭建篱笆，至少需要多少米的篱笆． (2)请计算出这块劳动实践基地的总面积，为后续的种植规划提供数据支持． 【答案】(1)至少需要米的篱笆 (2)这块劳动实践基地的总面积为平方米 【详解】（1）解：如图，连接， 在中，， ∵，， ∴； 答：至少需要10米的篱笆； （2）解：∵，，， ，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∵， ∴． 答：这块劳动实践基地的总面积为平方米． 3．如图，一条东西走向的公路一侧有一村庄，从村庄到公路原有两个出口，，其中，．由于暴雨导致到的小路路面塌陷，现已不通，该村为方便村民出行，决定在旁边新修一条小路（，，在同一条直线上），测得，． (1)从村庄到公路，请通过计算说明是否为距离最近的路； (2)求新修的路比原来的路短多少． 【答案】(1)是 (2) 【详解】（1）解：，，， ，， ． 是直角三角形，且， ∴， 是村庄到公路距离最短的路； （2）解：， ． 由（1）可知， ， ， ，解得， ， 答：新修的小路比原来的路短． 拓展 几何直观素养内涵 借助数形结合思想，将几何图形问题转化为代数运算，通过边长的数量关系判断三角形形状，建立 “以数判形” 的数学思维。打破仅依靠角度判断直角的局限，构建代数量化几何图形的思维模式，是初中数形结合思想的重要基础，为后续几何综合题学习铺垫核心能力。 1．依据三角形三边平方关系，直接判定三角形类型（设 为最长边） 2．网格图形运算 网格中横向格数为 ，纵向格数为 ，线段平方公式：，通过求出格点三角形三边的平方，即可判定是否为直角三角形，无需开方运算。 3.能将工程测量、行程问题、检测垂直等生活实际场景，抽象为三角形几何模型，利用公式解决实际问题。 活学活用 1．如图1，在四边形中，，取边的中点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)如图2，连接，当，，时，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质及中点的定义得出，，，利用即可证明； （2）根据全等三角形的性质得出，，进而可得，根据勾股定理的逆定理得出，利用三角形面积公式即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵是边的中点， ∴， 在和中，， ∴． （2）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∵， ∴， ∴． 2．（1）仅用无刻度的直尺在图1中斜边上找一点，使得到，的距离相等． （2）仅用无刻度的直尺在图2中作中的角平分线 【答案】（1）详见解析（2）详见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的判定和性质，矩形和正方形的性质，无刻度的直尺作图，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． （1）利用正方形的性质和角平分线的判定和性质，解答即可； （2）利用矩形的性质，勾股定理，三角形的面积公式和到角的两边距离相等的点在角的平分线上，解答即可． 【详解】（1）解：如图1， 过点作点所在的两个方格的正方形的对角线并延长交于点， ∵刚好在边长为两个方格的正方形的对角线所在直线上， ∴平分， ∴到，的距离相等， ∴点即为所求； （2）解：如图2，连接， 由网格和勾股定理知，， 当平分交边为点时， ∵， ∴， ∴在边上找一点到的距离为即可， 由矩形的性质和网格知，为一个方格的中点， ∴此时， ∴和重合， ∴此时即为所求作的角平分线． 拓展 逻辑推理素养内涵 依据数学定义、定理进行严谨的演绎推理，明确因果关系、规范解题步骤、分类讨论全面，做到每一步推导有理有据。重点培养学生严谨的推理逻辑与规范书写能力，是中考几何证明、解答题重点考查的核心素养。 1.区分勾股定理与逆定理的互逆逻辑： 勾股定理（由形推数，已知直角求边长）：；勾股定理逆定理（由数推形，已知边长证直角）： 2.固定严谨推理流程：先将三边从小到大排序 ，再计算、对比 与 的大小关系，最后得出结论，杜绝逻辑倒置。 3.含参数题型分类推理（以三边 为例）：若为最长边：；若为最长边： 通过分类讨论，保证推理严谨、答案不重不漏。 活学活用 1．已知、、为直角三角形三边，且为斜边，为斜边上的高． (1)下列说法正确的是_________． A．、、能组成三角形；B．、、能组成直角三角形三边； C．、、能组成直角三角形三边；D．、、能组成直角三角形三边． (2)请选择一个正确选项进行证明． 【答案】(1)C； (2)见详解． 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理和三角形的三边关系进行逐个分析即可； （2）根据勾股定理的逆定理和三角形的三边关系证明即可． 【详解】（1）解：A、，不符合三角形的两边之和大于第三边； 不能组成三角形，错误； B 、，， 由题意得， 、、不能组成直角三角形三边，错误； C、、、为直角三角形三边，且为斜边，为斜边上的高， ，且， 又， 将，，代入得： ， 根据勾股定理逆定理，、、能组成直角三角形三边，正确； D、，，二者不相等， 同理证，，可知均不满足勾股定理逆定理， 、、不能组成直角三角形三边，错误； （2）证明C选项： 、、为直角三角形三边，且为斜边，为斜边上的高， ，且， 又， 将，，代入得：， 根据勾股定理逆定理，、、能组成直角三角形三边． 2．下面给出了勾股定理的逆定理及其证明方法，请根据证明中辅助线的作法用尺规完成作图，并将证明过程补充完整． 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形． 已知：在中，，，，且． 求证：是直角三角形． 证明：作，在上截取，上截取，连接． （________）（填推理的依据）， 即． ________（已知）， ． 在和中， ，，________， （________）（填推理的依据）． ，即是直角三角形． 【答案】如下 【分析】先作一个直角，使其两条直角边与已知的两边对应相等，利用勾股定理算出新三角形斜边长度等于，再通过证明两个三角形全等，从而推出有直角，完成逆定理证明． 【详解】解：如图 勾股定理； ； ； ． 题型 判断能否构成直角三角形 解题贴士 先将三角形三边长度从小到大排序确定最长边，分别计算两条较短边长的平方之和与最长边的平方，依据公式是否成立判定直角三角形，若为锐角三角形，则为钝角三角形，全程仅对比平方数值，不随意组合边长运算. ▌例1 下列各组数据中，能构成直角三角形的是（     ） A．2，3，4 B．，， C．4，5， D．12，13，14 【答案】C 【分析】若三角形较短两边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，逐项验证即可． 【详解】解：选项A．∵，，，∴不能构成直角三角形； 选项B．∵，，，∴不能构成直角三角形； 选项C．∵，，∴，能构成直角三角形； 选项D．∵，，，∴不能构成直角三角形． ▌对点练1-1．将下列长度的三条线段首尾顺次连接，不能组成直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【详解】解：A．最长边为，，，，能组成直角三角形，选项不符合要求； B．最长边为，，，，能组成直角三角形，选项不符合要求； C．最长边为，，，，能组成直角三角形，选项不符合要求； D．最长边为，，，，，不能组成直角三角形，选项符合要求． ▌对点练1-2．由线段a、b、c组成的三角形，不是直角三角形的是（     ） A．     B．     C．     D．     【答案】D 【分析】通过验证两小边的平方和是否等于最长边的平方，判断三角形是否为直角三角形，找出不符合条件的选项即可． 【详解】解：选项A，最长边为， ，，，是直角三角形； 选项B，最长边为， ，，，是直角三角形； 选项C，最长边为， ，，，是直角三角形； 选项D，最长边为， ，，，不是直角三角形． 题型 勾股数问题 解题贴士 严格遵循勾股数必须是正整数、满足两大条件快速筛选，直接排除小数、分数、无理数形式的数组，利用 3、4、5；5、12、13 等基础勾股数的整数倍数仍为勾股数的规律快速解题. ▌例1勾股数是能构成直角三角形三边长的一组正整数．据此判断，下列是勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据勾股数的定义，需要同时满足两个条件：三个数都是正整数，两个较小数的平方和等于最大数的平方． 据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：对选项A：，，，因此A不符合要求． 对选项B：不是正整数，因此B不符合要求． 对选项C：，，，因此C不符合要求． 对选项D：，，都是正整数，且，满足定义，因此D是勾股数． ▌对点练1-1手工课上，同学们制作直角三角形书签，需要选择三条整数长度的纸条作为三边．下列四组纸条长度中，能构成直角三角形三边的勾股数是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】勾股数是指满足（为三个数中的最大数）的三个正整数，逐项判断即可． 【详解】解：对于选项A：，故A不满足勾股数的定义； 对于选项B：，故B不满足勾股数的定义； 对于选项C：，，都不是正整数，故C不满足勾股数的定义； 对于选项D：，且，，都是正整数，满足勾股数的定义，故D正确． ▌对点练1-2定义：如果一个正整数m能表示成两个不同的正整数a和b的平方和，即，那么称m为广义勾股数．给出下面四个结论：①不是广义勾股数；②是广义勾股数；③广义勾股数的2倍是广义勾股数；④不同的广义勾股数的和是广义勾股数．正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查新定义的理解与应用，有理数的计算，理解题目的定义并正确应用是解题关键．根据题目的定义逐项判断即可． 【详解】解：①∵ 其中2和3是两个不同的正整数，满足广义勾股数的定义， ∴是广义勾股数，故①错误． ②∵ 其中3和是两个不同的正整数，满足广义勾股数的定义， ∴是广义勾股数，故②正确． ③设m是广义勾股数，且 (a、b为不同的正整数)， 则 ， ∵a、b是不同的正整数， ∴和也是正整数，且，满足广义勾股数的定义， ∴广义勾股数的2倍是广义勾股数，故③正确． ④例如 它们都是广义勾股数， 但无法表示成两个不同正整数的平方和，不满足广义勾股数的定义， ∴不同的广义勾股数的和不一定是广义勾股数，故④错误． 综上，正确的结论有②③，共2个， 故选：B． 题型 网格中直角三角形问题 解题贴士 借助网格线段平方公式（分别为横向、纵向格数）计算三角形三边平方值，全程不开根号简化计算，选取平方数值最大的边作为假想斜边，验证两较小平方之和是否等于最大平方，以此确定是否为直角三角形. ▌例1如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，从中任意找出3点组成三角形，下列选项中，是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了网格与勾股定理、勾股定理的逆定理，先利用网格与勾股定理分别求出各边长，然后按照勾股定理逆定理依次判断即可． 【详解】解：由网格特点，，，，，， A. 中，，则不是直角三角形，故该选项不符合题意； B. 中，，则是直角三角形，故该选项符合题意；     C. 中，，则不是直角三角形，故该选项不符合题意；     D. 中，，则不是直角三角形，故该选项不符合题意； 故选：B． ▌对点练1-1如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个三角形，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键． 根据勾股定理及其逆定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解： A、如图： ，，， 不是直角三角形，故本选项符合题意； B、如图： ，，， 是直角三角形，故本选项不符合题意； C、如图： ，，， 是直角三角形，故本选项不符合题意； D、如图： ，，， 是直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：A． ▌对点练1-2如图，在6×4的小正方形网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，E均在格点上．则∠ABC﹣∠DCE＝（　　） A．30° B．42° C．45° D．50° 【答案】C 【分析】在A的右边距离A点1个单位的网格上取一点F，在点F下方1 个单位处取一点G，连接AF，FG，BG，CG，DF，证明得，从而得，再证明是等腰直角三角形即可得到结论． 【详解】解：在A的右边距离A点1个单位的网格上取一点F，在点F下方1 个单位处取一点G，连接AF，FG，BG，CG，DF， ∵BF=CF=3，FG=ED=1，BG=CD= ∴ ∴ ∴ 在中，， ∴ ∴是等腰直角三角形，且 ∴ ∴ 故选：C． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的判定以及等腰三角形的性质等知识，证明是解答此题的关键． 题型 利用勾股定理的逆定理求线段长 解题贴士 先根据已知边长判定三角形为直角三角形，确定直角对应的斜边，再套用勾股公式变形计算未知线段长度，题目未指明斜边时分情况讨论最长边，舍去边长负数结果. ▌例1一个三角形的三边长分别为，则这个三角形最长边上的高是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题先利用勾股定理逆定理判断三角形的形状，确定最长边为直角三角形的斜边，再利用三角形面积的两种表示方法列方程求解最长边上的高． 【详解】解：∵， ∴该三角形是直角三角形，最长边是斜边， 设最长边上的高为， ∵ 三角形面积可表示为，也可表示为， ∴， 解得． ▌对点练1-1如图，，，，P是线段上一点，连接，则的长不可能是（    ） A．3.5 B．2.5 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查垂线段的性质勾股定理的逆定理，解题的关键是学会由面积法求高．根据垂线段最短可知，当P与D重合时取最小值，利用等面积法求出的最小值，即可从选项中找出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 过点B作于点D， 则， ∴， 故选C． ▌对点练1-2一个三角形的三边长分别为a，b，c，且满足，则这个三角形最短边上的高为______ ． 【答案】8 【分析】利用非负数的性质求出a，b，c的值，证明是直角三角形，再求出斜边上的高即可． 【详解】解：， 又，，， ，，， ，，， ， 是直角三角形， 这个三角形最短边上的高为 故答案为： ▌对点练1-3如图，点为直线上的一个动点，于点，于点，，，当长为______ 时， 为直角三角形． 【答案】或或 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是关键．作于，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理用表示出、，分类讨论，根据勾股定理的逆定理列式计算，得到答案． 【详解】解：作于，如图： 则四边形为长方形， ∴，， ∴， 由勾股定理得，，， ， 当时，， 即， ， 解得，； 当时，如图：作于， 由勾股定理得，，， ， 在中，， 即， ， 解得：； 当时，在中， 则， 解得：， 综上：的长为：或或． 故答案为：或或． 题型 与勾股定理的逆定理有关的角度问题 解题贴士 通过边长平方关系证明三角形存在直角，直接锁定 90° 特殊角，结合三角形内角和、互余角度关系，推导其余所求角的度数，把边长的数量关系转化为角度几何关系. ▌例1如图，四边形中，，，，，．则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出，再结合勾股定理逆定理求出即可． 【详解】解：，，， ， ，， ，， ， ． ▌对点练1-1如图，在四边形中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握定理是解题的关键． 连接，可求，再由，可得是直角三角形，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵ ，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 故选：C． ▌对点练1-2如图，点P是等边三角形ABC内一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，则∠APB的度数是（      ）． A．90° B．100° C．120° D．150° 【答案】D 【分析】将绕点逆时针旋转得，根据旋转的性质得，，，则为等边三角形，得到，，在中，，，，根据勾股定理的逆定理可得到为直角三角形，且，即可得到的度数． 【详解】解：为等边三角形， ， 可将绕点逆时针旋转得， 如图，连接， ，，， 为等边三角形， ，， 在中，，，， ， 为直角三角形，且， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形，解题的关键是掌握旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等． ▌对点练1-338．如图，在中，，，，，则的度数为____________．    【答案】 【分析】由勾股定理的逆定理得到，则为直角三角形，由勾股定理计算出，得出，从而得到结论． 【详解】解： ，，， ， 是直角三角形，， ． ，， ， ， ， 是直角三角形，． 故答案为：． 题型 利用勾股定理的逆定理求面积 解题贴士 先用逆定理确定直角三角形的两条互相垂直直角边，以两条直角边作为底和高，套用面积公式直接计算面积，不规则图形可拆分为多个三角形，分别判定直角后分段算面积再求和. ▌例1如图，公园里有一块草坪，已知米，米，米，米，且，这块草坪的面积是（     ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理得到，最后根据草坪的面积，即可求解． 【详解】解： ，米，米， 米， 米，米， ， ， 这块草坪的面积为平方米， 故选：B． ▌对点练1-1如图，在四边形中，，，，，，则四边形的面积为（   ） A．108 B．114 C．122 D．158 【答案】B 【分析】连接，勾股定理求出的长，勾股定理逆定理得到为直角三角形，再利用分割法求出四边形的面积即可． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵， ∴为直角三角形，且， ∴四边形的面积． ▌对点练1-2如图，在中，，，，B是延长线上的一点，连接．若，则的面积为____________． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用． 先用勾股定理逆定理证明是直角三角形，且.再由勾股定理求出的长，得到的长，利用三角形面积公式即可求出答案． 【详解】解：在中，，，， ∴，即， ∴是直角三角形，且. 在中，，即， 解得（负值已舍去）， ∴， ∴的面积为 故答案为： ▌对点练1-3如图中，点为的中点，，，，则的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理逆定理等知识；延长至，使，连接CE，得到，证明，得到，进而证明，即可求出△ABC面积． 【详解】解：如图，延长至，使，连接CE， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ． 故答案为： 题型7 与勾股定理的逆定理拓展的相关问题 解题贴士 综合折叠、动点、多图形组合等条件，先依托折叠对应边相等、动点距离表达式等条件表示三角形三边，再使用逆定理建立方程求解参数、证明垂直关系，灵活结合前一问结论当作已知条件逐层推导综合问题答案. ▌例1已知一个三角形三边长分别是4，9，12，要作最长边上的高正确的图形做法是（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形的三边为4，9，12，可知该三角形为钝角三角形，其最长边上的高在三角形内部，即过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上． 【详解】解：∵42+92=97＜122， ∴三角形为钝角三角形， ∴最长边上的高是过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形高的画法．当三角形为锐角三角形时，三条高在三角形内部；当三角形是直角三角形时，两条高是三角形的直角边，一条高在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，两条高在三角形外部，一条高在内部． ▌对点练1-1已知：，，． (1)当时，的值等于______．（结果用科学记数法表示） (2)当时，以a，b，c的值为三边长的三角形面积是______．（直接写出答案） (3)若两个正整数的平方和等于另一个正整数的平方，则称这三个数为勾股数．小明发现：当n取大于1的整数时，a，b，c为勾股数．你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)60 (3)正确，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，科学记数法，整式的混合运算，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据题意可得，把代入计算，并应用科学记数法表示方法表示即可； （2）先由勾股定理的逆定理证明这个三角形是直角三角形，且是斜边，再利用三角形的面积公式计算即可； （3）先计算，再由勾股定理的逆定理即可得出结论． 【详解】（1）解：， 当时， ； 故答案为：； （2）解：，，， 当时，，，， ， 这个三角形是直角三角形，且是斜边， 这个三角形的面积是， 故答案为：； （3）解：小明的发现正确，理由如下： ， ， 当取大于1的整数时，、、为一组勾股数． ▌对点练1-2阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． （1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是__________； （2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为__________； （3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是__________三角形． 【答案】 锐角三角形 或 钝角 【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案； （2）直接利用勾股定理得出x的值； （3）直接利用已知结合三边关系得出答案． 【详解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92， ∴三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角三角形； （2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边， ∴52+122=x2， ∴x=13， 当12是斜边， 则52+x2=122， 解得：x=， 综上所述：x=13或． 故答案为：13或； （3）∵a2-b2-c2=x2+3z2-x+y2-2y+=(x-)2+(y-1)2+3z2+＞0， ∴a2＞b2+c2， ∴该三角形是钝角三角形． 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确进行相关计算是解题关键． ▌对点练1-3若正整数a，b，c满足方程，则称这一组正整数为“商高数”．下面列举5组“商高数”：，，，，，注意这5组“商高数”的结构有如下规律： 根据以上规律，回答以下问题： (1)写出各数都大于30的两组“商高数”； (2)用两个正整数表示一组“商高数”，并证明你的结论． 【答案】(1)两组数为：   (2)“商高数”可表示为由, , 三个数构成的数组，证明见解析 【分析】（1）根据“商高数”的规律，设正整数，则“商高数”可表示为由, , 三个数构成的数组，取适当的值代入即可； （2）由（1）总结的“商高数”规律，直接证明即可. 【详解】（1）解：根据“商高数”的规律，设正整数，则“商高数”可表示为由, , 三个数构成的数组，通过选择合适的使用均大于； 第一组：取，即. 第二组：取，即. （2）解：用两个正整数，则“商高数”可表示为由, , 三个数构成的数组， 设， 证明：， ， ， . . 即：“商高数”可表示为由, , 三个数构成的数组”． 基础通关 1．下列四组数据中，是勾股数的是（    ） A．5，12，13 B．0.3，0.4，0.5 C．5，6，7 D．1，， 【答案】A 【分析】勾股数需满足两个条件，一是三个数均为正整数，二是两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：对于选项A，5，12，13都是正整数，且，∴是勾股数； 对于选项B，0.3，0.4，0.5都不是正整数，∴不是勾股数； 对于选项C，，，，∴不是勾股数； 对于选项D，，不是正整数，∴不是勾股数． 2．下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题根据勾股定理的逆定理判断，先确定每组的最大边，再计算两条较小边的平方和，验证是否等于最大边的平方，即可得出结论． 【详解】解：对于选项A，三个数为，，，最大边为，，这组数能作为直角三角形的三边长； 对于选项B，最大边为，，，，这组数不能作为直角三角形的三边长； 对于选项C，最大边为，，，，这组数不能作为直角三角形的三边长； 对于选项D，最大边为，，，，这组数不能作为直角三角形的三边长． 3．在中，若，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先对已知等式变形，再根据勾股定理逆定理判断直角位置即可得到结论． 【详解】解：∵ ， ∴  ， 根据勾股定理的逆定理，可知为斜边，斜边所对的角为， ∴ ． 4．将一个直角三角形的三条边长都扩大到原来的2022倍，得到的新三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．形状不能确定 【答案】B 【分析】原直角三角形三边满足勾股定理，三边扩大相同倍数后，仍满足勾股定理，即可判断形状． 【详解】解：设原直角三角形的两直角边长为、，斜边长为， 由勾股定理得， 三边扩大到原来的2022倍后，新三角形三边长为、、， ， 新三角形满足勾股定理的逆定理，新三角形为直角三角形． 5．已知的三边，，满足，则的形状为________． 【答案】直角三角形 【分析】根据勾股定理的逆定理判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形． 6．勾股定理本身就是一个关于，，的方程，显然这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解通常叫做勾股数组．若直角三角形的边长都是正整数，则这三个数便构成一组勾股数．在学习“勾股数”的知识时，爱思考的小琦发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中： 6 8 10 12 14 … 8 15 24 35 48 … c 10 17 26 37 50 … 则当时，的值为_____． 【答案】6560 【分析】先观察表格中勾股数的规律，得到与的关系，再结合勾股定理求出和的值，进而计算的值． 【详解】解：观察表格中数据可得，表格中的勾股数均满足． 已知，由勾股定理，代入得： 展开得： 整理得： 解得，则． 因此． 7．若7，24，x是一组勾股数，则x的值为________． 【答案】25 【分析】分两种情况讨论，为最长边和为最长边，结合勾股定理计算后筛选符合条件的的值． 【详解】解：勾股数是满足勾股定理的三个正整数，分两种情况讨论： 当为最长边时，根据勾股定理得： 由，得 ，是正整数，符合要求； 当为最长边时，根据勾股定理得： 因为不是完全平方数，不是正整数，不符合勾股数定义，舍去． 8．如图，点E在边长为13的正方形内，，，求出图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【分析】根据题意证明，得到，据此根据进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴ ∴． 9．如图，在的正方形网格中标出了和，则_____． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定和性质．根据题意，作出合适的辅助线，然后根据勾股定理的逆定理即可解答本题． 【详解】解：如图所示，作，连接，    则， 设每个小正方形的边长为， 则，，， ，， 是等腰直角三角形，， ， ， ， 故答案为：． 10．如图，按如下步骤画图： 第一次操作：以面积为1的正方形的一条边为斜边画一个直角三角形，再分别以这个直角三角形的两条直角边为边长画两个正方形； 第二次操作：分别以这两个正方形的一条边为斜边画直角三角形，再分别以所画直角三角形的两条直角边为边长画四个正方形； … 重复以上操作，则完成第10次操作后图中所有正方形的面积和是__________． 【答案】11 【分析】如图，设正方形B的边长为b，正方形C的边长为c，根据题意可得每一次操作，面积和增加1，据此求解即可． 【详解】解：如图，设正方形B的边长为b，正方形C的边长为c， 由题意得：， 由勾股定理得：， 则第一次操作后形成的图形中所有的正方形的面积和为， 同理可得：第二次操作后形成的图形中所有的正方形面积和为， 第三次操作后形成的图形中所有正方形的面积和为， …… 完成第10次操作后图中所有正方形的面积和是11． 11．如图，在三角形支架中， (1)求的长； (2)判断支架外框的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)为直角三角形，理由如下： 由（1）知，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴ ∴是直角三角形． 【分析】（1）对和运用勾股定理求解即可； （2）证明三边长满足，由勾股定理的逆定理可知，为直角三角形． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，，， ∴ 在中，， ∴ ∴的长为； （2）略 12．如图，在四边形中，，，，． (1)求长度 (2)求的度数； 【答案】(1)； (2). 【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理． 利用勾股定理即可求出的长度； 由可知，又因为，，可得：，利用勾股定理的逆定理可知，由，，可知，由角之间的关系即可求出的度数． 【详解】（1）解：如下图所示，连接， ，， ； （2）解： ，， ， ，， 由可知， ， 是直角三角形，， ． 13．如图，在中，，，，点是外一点，连接，，且，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，以及直角三角形面积的计算，熟练运用勾股定理和逆定理判定直角三角形是解题的关键． （1）利用勾股定理，在直角三角形中，结合已知的斜边和直角边长度，直接计算出的长； （2）先通过勾股定理的逆定理判定为直角三角形，再将四边形的面积拆分为两个直角三角形面积之和，代入数据计算即可． 【详解】（1）解：在中，，，，由勾股定理 的长为； （2）解：在中， ，， ， 又， ， 是直角三角形． ． 14．在中，，，的对边，，分别为下列长度，请判断该三角形是不是直角三角形．若是，请指出哪一个角是直角，并说明理由． (1)，，． (2)，，． 【答案】(1)是直角三角形．是直角．理由见解析 (2)是直角三角形．是直角．理由见解析 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理． （1）计算较小的两边的平方和，看是否等于较大的边的平方即可； （2）计算较小的两边的平方和，看是否等于较大的边的平方即可． 【详解】（1）解：是直角三角形，是直角．理由如下： ∵，即， ∴是直角三角形，且 （2）解：是直角三角形，是直角．理由如下： ∵，即， ∴是直角三角形，且． 15．数学兴趣小组开展探究活动，研究“勾股数”．指导老师首先提出一个猜想：如果n表示大于1的整数，则，，为勾股数．例如：当时，，，． ∵， ∴数据3，4，5是勾股数． 对于此规律，兴趣小组的成员进行了如下证明： ∵， ∴， ∴① ．（填“”或“”） ∵， ∴． ∵② ③ ，④ ， ∴， ∴为勾股数． (1)请补全横线上所缺的内容． (2)若数据8，a，b为勾股数，且，求a，b的值． 【答案】(1)①；②；③；④． (2)，或，． 【分析】本题考查了勾股数及其应用． （1）根据解题过程，结合上下文即可完成； （2）分三种情况：；；，分别求出n，由（1）中结论即可求出余下两个数． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴为勾股数． ①；②；③；④． （2）解：分三种情况： ①若，则， ， ； ②若，则， ， ； ③若，则不是有理数，故舍去． 综上所述，，或，． 素养提升 1．如图，某海警舰艇A在海岛O的北偏西，处，遇险渔船B与海警舰艇A相距，渔船B与海岛O相距，则渔船B在海岛O的（     ） A．北偏东 B．北偏东 C．东偏北 D．东偏北 【答案】B 【分析】根据勾股定理的逆定理判断为直角三角形，得出，再结合方位角的定义计算即可. 【详解】解：由题意，， ， ，， 是直角三角形，且， 舰艇在海岛的北偏西方向 与正北方向的夹角为， 与正北方向的夹角为， 渔船在海岛的北偏东方向 上. 2．下列命题：①若a、b、c为一组勾股数，则4a，4b，4c仍为勾股数；②若直角三角形的两边长是3和4，则另一边必是5；③若一个三角形的三边分别是12，25，21，则此三角形是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c（），那么：1：1．其中正确的是（     ） A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 【答案】C 【分析】本题考查勾股数的定义，勾股定理和直角三角形的判定，根据相关概念和定理逐一判断每个命题即可得到答案； 【详解】解： ①∵、、为一组勾股数，不妨设，且、、都是正整数， ∴， 且、、都是正整数，因此、、仍是勾股数，故①正确； ②直角三角形的两边长为3和4时，若4是斜边，第三边长为，不一定为5，故②错误； ③∵，， ∴，因此这个三角形不是直角三角形，故③错误； ④∵等腰直角三角形中，是斜边， ∴，即， ∴，故④正确； 综上，正确的命题是①④； 3．数学活动课上，老师让同学们用五根长度分别为7，15，20，24，25的小木棒摆成两个直角三角形，下列摆法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两边平方和等于第三边平方的三角形是直角三角形，得出两三角形为斜边相等的直角三角形，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴长度为7，24，25的三根小棒构成一个直角三角形，其中长度为25的小棒是斜边； 长度为15，20，25的三根小棒构成一个直角三角形，长度为25的小棒是斜边． 符合条件的图形为选项B． 4．勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以正方形的一边为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第2026个图形中正方形的个数为（     ） A．2027 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题图可知，第1个图形有1个正方形， 第2个图形中共有个正方形， 第3个图形中共有个正方形， 第4个图形中共有个正方形， 第5个图形中共有个正方形， …… 第2026个图形中共有个正方形． 5．如图，在中，点在边上，，交于点．若点是边的中点，，，，则四边形的面积等于________． 【答案】 【分析】证明是直角三角形，求得，由，得，而，，即可根据“”证明，则，即可推导出，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵，，，， ， ∵， ， 点是边的中点， ， 在和中， ， ， ， ∴． 6．如图，三角形纸片，，，，将折叠，使点B与点A重合，折痕为．则的长为____． 【答案】 /3厘米 【分析】根据勾股定理的逆定理判定为直角三角形，利用折叠的性质得出，设长为，在中利用勾股定理列方程求解； 【详解】解：，，， ，， ， ， 设，则， 由折叠的性质可知，， 在中，由勾股定理得， 即， 整理得， 解得， ． 7．如图，正方形的边，向外作，，，以，，，为边向外作正方形，面积分别为6，2，，11，则的值为_______． 【答案】3 【详解】解：在中，由勾股定理得：， ∴ 同理可得：， ∴， ∴． 8．图是远光超市的购物车，图为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离．      (1)判断的形状，并说明理由． (2)若购物车上篮子的左边缘与点的距离，，且，和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘到的距离． 【答案】(1)是直角三角形；理由如下： 购物车侧面简化示意图中，支架，，两轮中心的距离， ，即， 是直角三角形． (2) 【分析】（1）运用勾股定理逆定理判定即可； （2）运用勾股定理可得，运用等面积法可得，由此即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点作于点， ，，， ， 由（1）得，是直角三角形， ， ， 购物车上篮子的左边缘到的距离为． 9．【问题背景】勾股定理是数学中最重要的定理之一，它首次将代数与几何紧密联系，其证明过程培养了演绎推理能力，为后续几何学发展奠定基础． (1)【初步感知】勾股定理的证明方法非常丰富．如图1，四个全等的直角三角形（阴影部分）围成一个大正方形，中间空白部分是一个小正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为c．请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积，并由此推导出勾股定理； (2)【问题解决】如图2，，，，，，求阴影部分的面积； (3)【拓展延伸】如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，使，现测得千米，千米，千米，求新修路的长为________千米．（只填空） 【答案】(1)见解析 (2)24 (3)1.2 【分析】（1）根据面积法求解即可； （2）先由勾股定理求解，然后由勾股定理逆定理证明，最后由求解即可； （3）设，则，然后对运用勾股定理建立方程求解． 【详解】（1）解：方法一：； 方法二：； 整理，得， 所以； （2）解：∵，，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：设千米，则千米， ∵， ∴ ∴， 解得， ∴（千米）． 迁移创新 1．如图1，四边形中，，分别以线段，，，边向外作正方形，正方形的面积分别为，，，，连接，利用勾股定理可以得到：．根据材料提示完成下列问题： (1)如图2，是中边上的高，分别以线段，，，为边向外作正方形，正方形的面积分别为，，，，请写出，，，的等量关系___________； (2)如图3，在中，，，点是上一点，且，若，求证：是直角三角形； (3)如图4，在中，分别以线段，，为边向外作正方形，正方形的面积分别，，试求出的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）在两个直角三角形中利用勾股定理分别表示，得出各边平方的关系，将正方形面积转化为边长平方，即可得出四个面积的等量关系； （2）设表示出，利用双直角三角形共高列方程求出，再用勾股定理逆定理证明是直角三角形即可； （3）由正方形面积得三边平方与长，作高设元，利用共高列方程求高，最后用面积公式计算的面积即可． 【详解】（1）解：在和中， ，， ∴， ∴， ∵，，，， ∴； （2）证明：∵， ∴设，则， ∵ ∴， ∵，， ∴在和中， ， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， ∵， ， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：如图，过点作于点， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴和中， ， 解得， ∴， ∴， ∴． 2．定义：若a，b，c是的三边，且，则称为“方倍三角形”． (1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ． A．①一定是“方倍三角形”                B．②一定是“方倍三角形” C．①②都一定是“方倍三角形”            D．①②都一定不是“方倍三角形” (2)如图，中，，，P为边上一点，将沿直线进行折叠，点A落在点D处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求的面积． 【答案】(1)A (2) 【分析】本题考查了翻折变换、等边三角形的性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性质． （1）根据“方倍三角形”定义可得，等边三角形一定是“方倍三角形”，直角三角形不一定是“方倍三角形”进而可以判断； （2）根据题意可得，根据“方倍三角形”定义可得为等边三角形，从而证明为等腰直角三角形，可得，延长交于点，根据勾股定理求出的长，根据为等腰直角三角形，可得，进而可以求的面积． 【详解】（1）解：对于①等边三角形，三边相等， 设边长为， 则， 根据“方倍三角形”定义可知： 等边三角形一定是“方倍三角形”； 对于②直角三角形，三边满足关系式： ， 根据“方倍三角形”定义可知： 直角三角形不一定是“方倍三角形”； 故答案为：； （2）由题意可知： ， ，， 根据“方倍三角形”定义可知： ， ， 为等边三角形，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 延长交于点，如图， ， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ． 3．【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点B和E重合（图2），这时，，，问题就变成“点B在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． 【模型应用】 (1)代数式的最小值为 ； (2)变式训练：利用图3，求代数式 的最小值； 【模型拓展】 (3)根据以上学习，解决问题：已知正数x满足 ，求x的值． 【答案】(1)13 (2) (3) 【分析】（1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； （2）根据题目所给的方法建立直角三角形然后进行求解即可； （3）先建立模型，然后根据题意直接进行求解即可． 【详解】（1）解：，，， 根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值．如图，当三点共线时，作于点，则有， ∴， ∴的最小值是13， 故答案为13； （2）如图，由 ， ， ∴， ∴ 的最小值是； （3）解：构造于，如图所示： 设，则， ， ， ， ， ， ∴方程的解是． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 勾股定理 1.2 一定是直角三角形吗 课标要点 1.掌握勾股定理的逆定理的内容，明确该定理是由边长关系判定三角形形状的核心依据，与勾股定理（直角三角形推边长关系）互为逆定理。 2.理解勾股数的定义并熟记常见勾股数，掌握勾股数的基本性质，熟练记忆基础常用勾股数，可快速用于解题判断。 3.会用判定定理解决基础几何问题与实际应用问题，能结合图形、实际场景（距离、垂直判定、图形形状判定），运用逆定理解决简单证明、计算、实际应用题。 4.区分勾股定理与勾股定理逆定理的因果关系，清晰辨析两个定理的使用场景。 学习重难点 重点： 1.熟练掌握勾股定理的逆定理内容，能规范运用定理判定一个三角形是否为直角三角形。 2.牢记常见基础勾股数，掌握勾股数的倍数规律，能快速判断一组正整数是否为勾股数。 3.掌握判定直角三角形的标准解题步骤，会通过计算三边平方关系完成三角形形状判定。 难点： 1.准确找准斜边（最长边），区分勾股定理与逆定理，避免逻辑混淆。 2.根据题干条件，精准选择对应定理：已知直角用勾股定理，证直角用逆定理。 3.在含小数、分数边长，或边长含参数、几何图形拼接、实际生活场景的复杂题目中，灵活运用逆定理判定直角三角形，结合线段计算、垂直证明、图形面积求解等综合解题。 勾股数的精准辨析 4.理解勾股数的核心前提：必须是正整数，小数、分数即使满足平方关系，也不属于勾股数，这是选择、填空题高频易错难点。 知识点 勾股定理的逆定理 概念：如果一个三角形的三边长（为最长边）满足等式，那么这个三角形是直角三角形，边长所对的角为直角. 特别提醒 1）此定理是直角三角形的判定方法，用来证直角；勾股定理是性质，已知直角求边长，二者互为逆定理. 2）必须先确定最长边，短边平方和只能与最长边平方对比. 易错提醒 1.不区分边长长短，随意拿任意两边平方和与第三边比较，导致判断出错。 2.因果倒置：已知三边证直角却套用勾股定理，逻辑书写错误。 教材延伸 拓展判定：①⇒锐角三角形；②⇒钝角三角形，可直接判断三角形类型。 随学随练 1．以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（     ） A．3，4，5 B．4，6，10 C．6，8，15 D．5，12，14 2．下列各组边长组成的三角形，不是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 3．木工用三根木条围框架，长度分别为、、2，这个框架是_____三角形． 4．在中，，，，则的度数为______． 知识点 勾股数（重点） 勾股数的概念：能够满足等式的三个正整数，叫做一组勾股数。 特别提醒 三个数必须同时是正整数，小数、分数、根式组合不叫勾股数；基础勾股数：3,4,5；5,12,13；7,24,25；8,15,17。 易错提醒 1.误将 6，8，10 这类倍数数组当成基础勾股数；或把 0.3，0.4，0.5 算作勾股数；只验证等式成立，忽略 “正整数” 这一必备条件。 教材延伸 勾股数性质：一组勾股数同时乘同一个正整数，得到的新数组仍然是勾股数。例：3,4,5 同乘 2 得 6,8,10。 随学随练 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（     ） A．12，13，14 B．24，25，26 C．9，30，31 D．9，40，41 2．若3、4、a为勾股数，则a的相反数的值为（　　） A． B．5 C．或 D．5或 3．若，，是勾股数，则的值是________． 4．杨老师在讲勾股数时，在黑板上写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②6，8，10；③8，15，17；④10，24，26；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为______． 知识点 网格中利用逆定理判定直角三角形 定义：方格网格中，横向格数、纵向格数的线段，线段长度平方为；求出三角形三边平方，用逆定理判断是否为直角三角形． 特别提醒 网格解题优先计算三边平方，不用开方求边长，简化计算步骤. 易错提醒 1.数格子时横、竖格数数错，导致线段平方计算偏差。 2.分不清斜边，把较短线段平方当作代入公式。 教材延伸 网格中证明两线段垂直：两条线段作为三角形两边，结合第三条线段构成三角形，满足逆定理即可证垂直。 随学随练 1．如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点，，构成一个三角形，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对 2．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，，，三点均在格点上，则的大小是（    ）    A． B． C． D． 3．如图，在正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别画三角形，则图中直角三角形是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 知识点 利用逆定理证明线段互相垂直 概念：在几何图形中，通过计算三角形三边长度，验证，证明三角形存在直角，进而推出两条线段垂直。 特别提醒 证明题书写格式完整，必须写出三边平方的计算过程，再下直角结论，不可跳步。 易错提醒 直接写边长相等就判定垂直，缺少平方计算的关键步骤，答题扣分。 教材延伸 常用于四边形、折叠图形、多边形内部垂直证明，是几何综合题基础工具。 随学随练 1．如图，四边形中，，，，，．则（    ） A．是锐角 B．是直角 C．是钝角 D．不确定大小 2．已知，，，，，连接，则的度数为______． 3．如图，四边形中，，，，，且．求证：． 知识点 勾股逆定理实际生活应用 内容：生活中通过测量三段长度，利用逆定理检测墙角、门框、地基是否构成标准直角。 特别提醒 实际应用题必须先构建几何模型，把文字条件转化为三角形三边长度再计算。 易错提醒 读题遗漏长度单位、看错线段对应三角形边长。 教材延伸 工程测量、行程问题（两人分岔行走）均会用到，是解答大题常考类型。 随学随练 1．如图，某港口C在南北方向的海岸线上，快、慢两艘船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，已知快、慢两船每小时分别航行12海里和5海里，2小时后两船分别位于点A，B处，且相距26海里，如果知道快船沿北偏西方向航行，那么慢船沿什么方向航行？ 2．为落实教育部中小学生劳动教育要求，某学校将校内如图所示的四边形空地改造成校园劳动实践基地．为了精准规划种植区域，需先测算空地相关数据．经测量，米，米，米，米，． (1)为方便分区管理，学校计划在、两点之间搭建篱笆，至少需要多少米的篱笆． (2)请计算出这块劳动实践基地的总面积，为后续的种植规划提供数据支持． 3．如图，一条东西走向的公路一侧有一村庄，从村庄到公路原有两个出口，，其中，．由于暴雨导致到的小路路面塌陷，现已不通，该村为方便村民出行，决定在旁边新修一条小路（，，在同一条直线上），测得，． (1)从村庄到公路，请通过计算说明是否为距离最近的路； (2)求新修的路比原来的路短多少． 拓展 几何直观素养内涵 借助数形结合思想，将几何图形问题转化为代数运算，通过边长的数量关系判断三角形形状，建立 “以数判形” 的数学思维。打破仅依靠角度判断直角的局限，构建代数量化几何图形的思维模式，是初中数形结合思想的重要基础，为后续几何综合题学习铺垫核心能力。 1．依据三角形三边平方关系，直接判定三角形类型（设 为最长边） 2．网格图形运算 网格中横向格数为 ，纵向格数为 ，线段平方公式：，通过求出格点三角形三边的平方，即可判定是否为直角三角形，无需开方运算。 3.能将工程测量、行程问题、检测垂直等生活实际场景，抽象为三角形几何模型，利用公式解决实际问题。 活学活用 1．如图1，在四边形中，，取边的中点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)如图2，连接，当，，时，求四边形的面积． 2．（1）仅用无刻度的直尺在图1中斜边上找一点，使得到，的距离相等． （2）仅用无刻度的直尺在图2中作中的角平分线 拓展 逻辑推理素养内涵 依据数学定义、定理进行严谨的演绎推理，明确因果关系、规范解题步骤、分类讨论全面，做到每一步推导有理有据。重点培养学生严谨的推理逻辑与规范书写能力，是中考几何证明、解答题重点考查的核心素养。 1.区分勾股定理与逆定理的互逆逻辑： 勾股定理（由形推数，已知直角求边长）：；勾股定理逆定理（由数推形，已知边长证直角）： 2.固定严谨推理流程：先将三边从小到大排序 ，再计算、对比 与 的大小关系，最后得出结论，杜绝逻辑倒置。 3.含参数题型分类推理（以三边 为例）：若为最长边：；若为最长边： 通过分类讨论，保证推理严谨、答案不重不漏。 活学活用 1．已知、、为直角三角形三边，且为斜边，为斜边上的高． (1)下列说法正确的是_________． A．、、能组成三角形；B．、、能组成直角三角形三边； C．、、能组成直角三角形三边；D．、、能组成直角三角形三边． (2)请选择一个正确选项进行证明． 2．下面给出了勾股定理的逆定理及其证明方法，请根据证明中辅助线的作法用尺规完成作图，并将证明过程补充完整． 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形． 已知：在中，，，，且． 求证：是直角三角形． 证明：作，在上截取，上截取，连接． （________）（填推理的依据）， 即． ________（已知）， ． 在和中， ，，________， （________）（填推理的依据）． ，即是直角三角形． 题型 判断能否构成直角三角形 解题贴士 先将三角形三边长度从小到大排序确定最长边，分别计算两条较短边长的平方之和与最长边的平方，依据公式是否成立判定直角三角形，若为锐角三角形，则为钝角三角形，全程仅对比平方数值，不随意组合边长运算. ▌例1 下列各组数据中，能构成直角三角形的是（     ） A．2，3，4 B．，， C．4，5， D．12，13，14 ▌对点练1-1．将下列长度的三条线段首尾顺次连接，不能组成直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， ▌对点练1-2．由线段a、b、c组成的三角形，不是直角三角形的是（     ） A．     B．     C．     D．     题型 勾股数问题 解题贴士 严格遵循勾股数必须是正整数、满足两大条件快速筛选，直接排除小数、分数、无理数形式的数组，利用 3、4、5；5、12、13 等基础勾股数的整数倍数仍为勾股数的规律快速解题. ▌例1勾股数是能构成直角三角形三边长的一组正整数．据此判断，下列是勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， ▌对点练1-1手工课上，同学们制作直角三角形书签，需要选择三条整数长度的纸条作为三边．下列四组纸条长度中，能构成直角三角形三边的勾股数是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， ▌对点练1-2定义：如果一个正整数m能表示成两个不同的正整数a和b的平方和，即，那么称m为广义勾股数．给出下面四个结论：①不是广义勾股数；②是广义勾股数；③广义勾股数的2倍是广义勾股数；④不同的广义勾股数的和是广义勾股数．正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型 网格中直角三角形问题 解题贴士 借助网格线段平方公式（分别为横向、纵向格数）计算三角形三边平方值，全程不开根号简化计算，选取平方数值最大的边作为假想斜边，验证两较小平方之和是否等于最大平方，以此确定是否为直角三角形. ▌例1如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，从中任意找出3点组成三角形，下列选项中，是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-1如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个三角形，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2如图，在6×4的小正方形网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，E均在格点上．则∠ABC﹣∠DCE＝（　　） A．30° B．42° C．45° D．50° 题型 利用勾股定理的逆定理求线段长 解题贴士 先根据已知边长判定三角形为直角三角形，确定直角对应的斜边，再套用勾股公式变形计算未知线段长度，题目未指明斜边时分情况讨论最长边，舍去边长负数结果. ▌例1一个三角形的三边长分别为，则这个三角形最长边上的高是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1如图，，，，P是线段上一点，连接，则的长不可能是（    ） A．3.5 B．2.5 C．2 D．3 ▌对点练1-2一个三角形的三边长分别为a，b，c，且满足，则这个三角形最短边上的高为______ ． ▌对点练1-3如图，点为直线上的一个动点，于点，于点，，，当长为______ 时， 为直角三角形． 题型 与勾股定理的逆定理有关的角度问题 解题贴士 通过边长平方关系证明三角形存在直角，直接锁定 90° 特殊角，结合三角形内角和、互余角度关系，推导其余所求角的度数，把边长的数量关系转化为角度几何关系. ▌例1如图，四边形中，，，，，．则（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-1如图，在四边形中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2如图，点P是等边三角形ABC内一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，则∠APB的度数是（      ）． A．90° B．100° C．120° D．150° ▌对点练1-338．如图，在中，，，，，则的度数为____________．    题型 利用勾股定理的逆定理求面积 解题贴士 先用逆定理确定直角三角形的两条互相垂直直角边，以两条直角边作为底和高，套用面积公式直接计算面积，不规则图形可拆分为多个三角形，分别判定直角后分段算面积再求和. ▌例1如图，公园里有一块草坪，已知米，米，米，米，且，这块草坪的面积是（     ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 ▌对点练1-1如图，在四边形中，，，，，，则四边形的面积为（   ） A．108 B．114 C．122 D．158 ▌对点练1-2如图，在中，，，，B是延长线上的一点，连接．若，则的面积为____________． ▌对点练1-3如图中，点为的中点，，，，则的面积是______． 题型7 与勾股定理的逆定理拓展的相关问题 解题贴士 综合折叠、动点、多图形组合等条件，先依托折叠对应边相等、动点距离表达式等条件表示三角形三边，再使用逆定理建立方程求解参数、证明垂直关系，灵活结合前一问结论当作已知条件逐层推导综合问题答案. ▌例1已知一个三角形三边长分别是4，9，12，要作最长边上的高正确的图形做法是（　　　） A． B． C． D． ▌对点练1-1已知：，，． (1)当时，的值等于______．（结果用科学记数法表示） (2)当时，以a，b，c的值为三边长的三角形面积是______．（直接写出答案） (3)若两个正整数的平方和等于另一个正整数的平方，则称这三个数为勾股数．小明发现：当n取大于1的整数时，a，b，c为勾股数．你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由． ▌对点练1-2阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． （1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是__________； （2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为__________； （3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是__________三角形． ▌对点练1-3若正整数a，b，c满足方程，则称这一组正整数为“商高数”．下面列举5组“商高数”：，，，，，注意这5组“商高数”的结构有如下规律： 根据以上规律，回答以下问题： (1)写出各数都大于30的两组“商高数”； (2)用两个正整数表示一组“商高数”，并证明你的结论． 基础通关 1．下列四组数据中，是勾股数的是（    ） A．5，12，13 B．0.3，0.4，0.5 C．5，6，7 D．1，， 2．下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．在中，若，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 4．将一个直角三角形的三条边长都扩大到原来的2022倍，得到的新三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．形状不能确定 5．已知的三边，，满足，则的形状为________． 6．勾股定理本身就是一个关于，，的方程，显然这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解通常叫做勾股数组．若直角三角形的边长都是正整数，则这三个数便构成一组勾股数．在学习“勾股数”的知识时，爱思考的小琦发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中： 6 8 10 12 14 … 8 15 24 35 48 … c 10 17 26 37 50 … 则当时，的值为_____． 7．若7，24，x是一组勾股数，则x的值为________． 8．如图，点E在边长为13的正方形内，，，求出图中阴影部分的面积是______． 9．如图，在的正方形网格中标出了和，则_____． 10．如图，按如下步骤画图： 第一次操作：以面积为1的正方形的一条边为斜边画一个直角三角形，再分别以这个直角三角形的两条直角边为边长画两个正方形； 第二次操作：分别以这两个正方形的一条边为斜边画直角三角形，再分别以所画直角三角形的两条直角边为边长画四个正方形； … 重复以上操作，则完成第10次操作后图中所有正方形的面积和是__________． 11．如图，在三角形支架中， (1)求的长； (2)判断支架外框的形状，并说明理由． 12．如图，在四边形中，，，，． (1)求长度 (2)求的度数； 13．如图，在中，，，，点是外一点，连接，，且，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 14．在中，，，的对边，，分别为下列长度，请判断该三角形是不是直角三角形．若是，请指出哪一个角是直角，并说明理由． (1)，，． (2)，，． 15．数学兴趣小组开展探究活动，研究“勾股数”．指导老师首先提出一个猜想：如果n表示大于1的整数，则，，为勾股数．例如：当时，，，． ∵， ∴数据3，4，5是勾股数． 对于此规律，兴趣小组的成员进行了如下证明： ∵， ∴， ∴① ．（填“”或“”） ∵， ∴． ∵② ③ ，④ ， ∴， ∴为勾股数． (1)请补全横线上所缺的内容． (2)若数据8，a，b为勾股数，且，求a，b的值． 素养提升 1．如图，某海警舰艇A在海岛O的北偏西，处，遇险渔船B与海警舰艇A相距，渔船B与海岛O相距，则渔船B在海岛O的（     ） A．北偏东 B．北偏东 C．东偏北 D．东偏北 2．下列命题：①若a、b、c为一组勾股数，则4a，4b，4c仍为勾股数；②若直角三角形的两边长是3和4，则另一边必是5；③若一个三角形的三边分别是12，25，21，则此三角形是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c（），那么：1：1．其中正确的是（     ） A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 3．数学活动课上，老师让同学们用五根长度分别为7，15，20，24，25的小木棒摆成两个直角三角形，下列摆法正确的是（     ） A． B． C． D． 4．勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以正方形的一边为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第2026个图形中正方形的个数为（     ） A．2027 B． C． D． 5．如图，在中，点在边上，，交于点．若点是边的中点，，，，则四边形的面积等于________． 6．如图，三角形纸片，，，，将折叠，使点B与点A重合，折痕为．则的长为____． 7．如图，正方形的边，向外作，，，以，，，为边向外作正方形，面积分别为6，2，，11，则的值为_______． 8．图是远光超市的购物车，图为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离．      (1)判断的形状，并说明理由． (2)若购物车上篮子的左边缘与点的距离，，且，和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘到的距离． 9．【问题背景】勾股定理是数学中最重要的定理之一，它首次将代数与几何紧密联系，其证明过程培养了演绎推理能力，为后续几何学发展奠定基础． (1)【初步感知】勾股定理的证明方法非常丰富．如图1，四个全等的直角三角形（阴影部分）围成一个大正方形，中间空白部分是一个小正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为c．请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积，并由此推导出勾股定理； (2)【问题解决】如图2，，，，，，求阴影部分的面积； (3)【拓展延伸】如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，使，现测得千米，千米，千米，求新修路的长为________千米．（只填空） 迁移创新 1．如图1，四边形中，，分别以线段，，，边向外作正方形，正方形的面积分别为，，，，连接，利用勾股定理可以得到：．根据材料提示完成下列问题： (1)如图2，是中边上的高，分别以线段，，，为边向外作正方形，正方形的面积分别为，，，，请写出，，，的等量关系___________； (2)如图3，在中，，，点是上一点，且，若，求证：是直角三角形； (3)如图4，在中，分别以线段，，为边向外作正方形，正方形的面积分别，，试求出的面积． 2．定义：若a，b，c是的三边，且，则称为“方倍三角形”． (1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ． A．①一定是“方倍三角形”                B．②一定是“方倍三角形” C．①②都一定是“方倍三角形”            D．①②都一定不是“方倍三角形” (2)如图，中，，，P为边上一点，将沿直线进行折叠，点A落在点D处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求的面积． 3．【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点B和E重合（图2），这时，，，问题就变成“点B在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． 【模型应用】 (1)代数式的最小值为 ； (2)变式训练：利用图3，求代数式 的最小值； 【模型拓展】 (3)根据以上学习，解决问题：已知正数x满足 ，求x的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $