专题1.2 一定是直角三角形吗【导图+知识卡片+知识梳理+5个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共45题】-2026-2027学年北师大版数学八年级上册同步讲义

本初中数学讲义聚焦“一定是直角三角形吗”，核心梳理直角三角形的判定（勾股定理逆定理：若三边长a,b,c满足a²+b²=c²则为直角三角形）及勾股数（满足a²+b²=c²的正整数），构建勾股定理（以形定数）到逆定理（以数定形）的知识支架，明确判定步骤与勾股数判断方法。 资料以思维导图直观呈现知识结构（数学眼光），通过5个题型讲练（如勾股树问题、网格中判断直角三角形）结合中考真题与分层训练（基础夯实、培优拔高），培养推理能力与运算能力（数学思维），情境化问题（如港口航行距离计算）提升应用意识（数学语言），课中辅助教师系统授课，课后助力学生分层巩固查漏。

null 专题1.2 一定是直角三角形吗『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+5个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共45题） 【北师大版数学新教材•八年级上册】 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 直角三角形的判定 2 知识点二 勾股数 3 题型讲练 3 题型一 勾股树(数)问题 3 题型二 判断三边能否构成直角三角形 4 题型三 在网格中判断直角三角形 4 题型四 利用勾股定理的逆定理求解 6 题型五 勾股定理逆定理的拓展问题 6 中考真题演练 7 难度分层训练 9 【基础夯实】 9 【培优拔高】 12 知识点一 直角三角形的判定 1. 直角三角形的判定条件 如果三角形的三边长a，b，c 满足a2 +b2=c2， 那么这个三角形是直角三角形。 2.利用边的关系判断一个三角形是否为直角三角形的步骤 3. 归纳： 勾股定理与直角三角形的判定条件的区别与联系 类别 勾股定理 直角三角形的判定条件 区别 勾股定理以“直角三角形”为条件， 得到数量关系“a² +b²=c²”，以“形”定“数” 直角三角形的判定条件以“三角形的三边长a，b，c 满足a² +b²=c²”为条件，得到这个三角形是直角三角形，以“数”定“形” 联系 (1)都与“三角形的三边关系a² +b²=c²”有关； (2)都与“直角三角形”有关 知识点二 勾股数 1.勾股数：满足a² +b²=c² 的三个正整数，称为勾股数。常见的勾股数有3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17 等。 勾股数应具备两个条件： (1)这三个数均为正整数； (2)两个较小数的平方和等于最大数的平方。 2.判断勾股数的方法 (1)判断三个数是否都是正整数； (2)若是，确定出最大数，并计算最大数的平方与另外两个较小数的平方和； (3)进行比较，若相等，则是勾股数，否则不是。 题型一 勾股树(数)问题 【典例精讲】（25-26八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．6，8，10 B．4，5，6 C．2，3，4 D．1，2， 【变式训练1】（25-26八年级上·陕西西安·期中）下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．1，3， B．2，4，5 C．6，8，10 D．5，10，15 【变式训练2】（25-26八年级上·广西贵港·期末）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑥组勾股数为________ 【变式训练3】（25-26八年级上·浙江湖州·期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为2，1，3，2，则最大的正方形的面积为_________． 题型二 判断三边能否构成直角三角形 【典例精讲】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如果下列各组数是三角形的三边长，那么能组成直角三角形的一组数是（   ） A．2，3，4 B．，3，5 C．5，12，13 D．6，8，9 【变式训练1】（24-25八年级上·广东梅州·阶段检测）下列各组数中，能构成直角三角形三边长的是（　　） A．2，3，4 B．4，7，5 C．6，7，8 D．5，12，13 【变式训练2】（25-26八年级上·广东佛山·期末）边长为a，，5的三角形是直角三角形，则________． 【变式训练3】（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口P，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个小时后分别位于点Q、R处，且相距20海里．已知“远航”号沿东北方向航行，则“海天”号沿____方向航行． 题型三 在网格中判断直角三角形 【典例精讲】（25-26八年级上·山西忻州·阶段检测）如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，从中任意找出3点组成三角形，下列选项中，是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25八年级下·福建福州·阶段检测）如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．已知点A和点B在格点上，在网格中的格点上另找一点C，使A，B，C三点构成一个直角三角形，则这样的点C共有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式训练2】（25-26八年级上·重庆·阶段检测）图中，是直角三角形的序号是________． 【变式训练3】（25-26八年级上·江西鹰潭·阶段检测）如图，在每个小正方形的边长均为1的正方形网格中，有三条线段（线段端点都在格点上），以这三条线段为边能否组成一个直角三角形？答：________（填“能”或“不能”）． 题型四 利用勾股定理的逆定理求解 【典例精讲】（24-25八年级上·陕西榆林·期末）在中，，，，则的面积为 _______________． 【变式训练1】（25-26八年级上·河北石家庄·期末）如图所示的是一块不规则的绿地，已知，则这块绿地的面积为______． 【变式训练2】（24-25八年级上·河南平顶山·期中）如果的三边长分别是，则这个三角形中最大的内角的度数是___________． 【变式训练3】（25-26八年级上·福建漳州·期末）在中，若，则（    ） A． B． C． D．无法确定 题型五 勾股定理逆定理的拓展问题 【典例精讲】（25-26八年级上·江苏泰州·期中）已知：，，． (1)当时，的值等于______．（结果用科学记数法表示） (2)当时，以a，b，c的值为三边长的三角形面积是______．（直接写出答案） (3)若两个正整数的平方和等于另一个正整数的平方，则称这三个数为勾股数．小明发现：当n取大于1的整数时，a，b，c为勾股数．你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由． 【变式训练1】（24-25八年级上·全国·课后作业）若正整数a，b，c满足方程，则称这一组正整数为“商高数”．下面列举5组“商高数”：，，，，，注意这5组“商高数”的结构有如下规律： 根据以上规律，回答以下问题： (1)写出各数都大于30的两组“商高数”； (2)用两个正整数表示一组“商高数”，并证明你的结论． 【变式训练2】（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）若一个三角形的三条边的长度分别为，则这个三角形是(   ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【变式训练3】如图，在笔直的公路旁有一条河流，为方便运输货物，现要从公路上的D处建一座桥梁到达C处，已知点C与公路上的停靠站A的直线距离为，与公路上另一停靠站B的直线距离为，公路AB的长度为，且． (1)求证：； (2)求修建的桥梁的长． 【真题演练1】（2025·重庆忠县·中考真题）中国古代称直角三角形为勾股形，如果勾股形的三边长为三个正整数，则称三边长叫“勾股数”；如果勾股形的两直角边长为正整数，那么称斜边长的平方叫“整弦数”对于以下结论：①20是“整弦数”；②两个“整弦数”之和一定是“整弦数”；③若c2为“整弦数”，则c不可能为正整数；④若m＝a12+b12，n＝a22+b22，≠，且m，n，a1，a2，b1，b2均为正整数，则m与n之积为“整弦数”；⑤若一个正奇数（除1外）的平方等于两个连续正整数的和，则这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”．其中结论正确的个数为(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【真题演练2】（2025·河南开封·中考真题）若的三边长a、b、c满足，那么是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【真题演练3】（2025·山西晋中·中考真题）如图，在中，点在边上，已知，，，点在上，且，若，则的长为______． 【真题演练4】（2025·河北邯郸·中考真题）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积是______．. 【真题演练5】（2025·江西九江·中考真题）如图，在中，，为边上一点，且，，，点是边上的动点，连接． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的长； (3)当是直角三角形时，求的长． 【基础夯实】 1．（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）如图，正方形的面积为100，点E在正方形内，，，则阴影部分的面积是（   ） A．48 B．60 C．76 D．80 2．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为，则次操作后图形中所有正方形的面积和为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图正方形的边长为，，连接，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 4．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为，其中是互质的奇数，则，为勾股数．我们令，得到下列顺序排列的等式： 根据规律写出第⑦个等式为_____． 5．（25-26八年级上·四川宜宾·期末）以一个正方形的一边为斜边，向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边为边向外作正方形，然后又以正方形的边向外作直角三角形，依次循环，就得到一棵美丽的“勾股树”．如图是一棵“勾股树”的一部分，已知，，，则______． 6．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）在中，，，上的中线，则________． 7．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）为增加趣味性，某科技馆计划展出一款恐龙互动模型（图1），为避免在互动过程中模型出现关节卡顿、失衡等风险，该模型一条大腿支架与小腿支架需满足互相垂直的条件，设计人员计划利用现有支架实施固定，其示意图如图2所示，实际测得数据如下：，． (1)与垂直吗？请说明理由； (2)据设计人员介绍，支架的比长，求支架的长度． 8．（25-26八年级上·全国·阶段检测）如图，四边形ABCD中，，，，，．求四边形ABCD的面积． 9．（24-25八年级上·甘肃白银·期中）如图，在四边形中，，求四边形的面积． 10．（25-26八年级上·广东河源·阶段检测）如图，在中，E为边上一点，连接，过点A作交的延长线于点D，已知． (1)试说明：为直角三角形； (2)求的值． 【培优拔高】 1．（25-26八年级上·江西南昌·期末）为直角三角形的三边，且为斜边，为斜边上的高，有下列说法正确结论的个数是（    ） ①，，能组成三角形； ②能组成三角形； ③能组成直角三角形； ④能组成直角三角形． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）五根小棒，其长度（单位：）分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，，，点D、E分别是，上的动点，且，连接，，则的最小值是（   ） A．7 B． C． D． 4．（25-26八年级上·上海·期末）如图，中，，，，将沿射线折叠，使点与边上的点重合，为射线上的一个动点，当周长最小时，的长为__________． 5．（25-26八年级上·甘肃天水·阶段检测）如图，中，．将沿射线折叠，使点A与边上的点D重合，E为射线上一个动点，当周长最小时，的长为______________． 6．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在等腰直角三角形中，，O是内一点，，，，为外一点，且，则四边形的面积为______． 7．（25-26八年级上·河南洛阳·期末）阅读材料：若，求m和n的值． 解：， ， ∴， ，， ，． 像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”．请利用配方法，解决下列问题： (1)已知，则 ， ； (2)已知的三边长、、都是正整数，且满足，判断的形状． 8．（25-26八年级上·江苏·阶段检测）我们知道，两边及一条中线对应相等的两个三角形全等．已知，是边上中线． (1)若，，，则 ． (2)如图①，若，，，求的长度． (3)如图②，若，，，求的长度． 9．（25-26八年级上·湖南常德·期末）如图，在四边形中，． (1)请你判断与的位置关系，并说明理由； (2)求四边形的面积． 10．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，，且m，n满足，D，E分别是边，上的动点，连接．将沿直线折叠得到，点F恰好落在边上． (1)求证：是直角三角形； (2)如图1，若D为的中点，求证：； (3)如图2，若F为的中点，判断线段，与之间的数量关系，并说明理由． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $null 专题1.2 一定是直角三角形吗『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+5个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共45题） 【北师大版数学新教材•八年级上册】 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 直角三角形的判定 2 知识点二 勾股数 3 题型讲练 3 题型一 勾股树(数)问题 3 题型二 判断三边能否构成直角三角形 5 题型三 在网格中判断直角三角形 7 题型四 利用勾股定理的逆定理求解 10 题型五 勾股定理逆定理的拓展问题 12 中考真题演练 15 难度分层训练 19 【基础夯实】 19 【培优拔高】 27 知识点一 直角三角形的判定 1. 直角三角形的判定条件 如果三角形的三边长a，b，c 满足a2 +b2=c2， 那么这个三角形是直角三角形。 2.利用边的关系判断一个三角形是否为直角三角形的步骤 3. 归纳： 勾股定理与直角三角形的判定条件的区别与联系 类别 勾股定理 直角三角形的判定条件 区别 勾股定理以“直角三角形”为条件， 得到数量关系“a² +b²=c²”，以“形”定“数” 直角三角形的判定条件以“三角形的三边长a，b，c 满足a² +b²=c²”为条件，得到这个三角形是直角三角形，以“数”定“形” 联系 (1)都与“三角形的三边关系a² +b²=c²”有关； (2)都与“直角三角形”有关 知识点二 勾股数 1.勾股数：满足a² +b²=c² 的三个正整数，称为勾股数。常见的勾股数有3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17 等。 勾股数应具备两个条件： (1)这三个数均为正整数； (2)两个较小数的平方和等于最大数的平方。 2.判断勾股数的方法 (1)判断三个数是否都是正整数； (2)若是，确定出最大数，并计算最大数的平方与另外两个较小数的平方和； (3)进行比较，若相等，则是勾股数，否则不是。 题型一 勾股树(数)问题 【典例精讲】（25-26八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．6，8，10 B．4，5，6 C．2，3，4 D．1，2， 【答案】A 【分析】能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数． 【详解】解：A、因为，且6，8，10均为正整数，所以这组数是勾股数； B、，，，所以这组数不是勾股数； C、，，，所以这组数不是勾股数； D、不是正整数，所以这组数不是勾股数． 【变式训练1】（25-26八年级上·陕西西安·期中）下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．1，3， B．2，4，5 C．6，8，10 D．5，10，15 【答案】C 【分析】勾股数是指满足的三个正整数，需同时满足是正整数且符合勾股定理这两个条件． 【详解】解：A选项：不是正整数，不符合勾股数定义，故A不符合题意； B选项：∵，，，不满足勾股定理，故B不符合题意； C选项：∵，，即，且6、8、10均为正整数，符合勾股数定义，故C符合题意； D选项：∵，，，不满足勾股定理，故D不符合题意． 【变式训练2】（25-26八年级上·广西贵港·期末）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑥组勾股数为________ 【答案】13，84，85 【分析】本题考查勾股定理，数字类规律探究，观察勾股数序列，每组第一个数为奇数，且第n组第一个数为；设第二个数为x，第三个数为，根据勾股定理列方程求解． 【详解】解：由题意得，第⑥组第一个数为，设第二个数为x，则第三个数为， 由勾股定理得， 解得，则， 故第⑥组勾股数为13,84,85． 故答案为：13，84，85． 【变式训练3】（25-26八年级上·浙江湖州·期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为2，1，3，2，则最大的正方形的面积为_________． 【答案】8 【分析】本题考查以勾股定理为背景的图形面积的计算，理解图示，掌握勾股定理计算图形面积的方法是解题的关键． 设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，根据题意，运用勾股定理可得，正方形的面积是正方形的面积和，正方形的面积是正方形的面积和，正方形的面积是正方形的面积和，由此即可求解． 【详解】解：如图，设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为， 根据题意可得，，， ∴， ∴正方形的面积为3，即正方形的面积是正方形的面积和， 同理，正方形的面积是正方形的面积和，即正方形的面积为， ∴同理可得，正方形的面积为， 故答案为：8． 题型二 判断三边能否构成直角三角形 【典例精讲】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如果下列各组数是三角形的三边长，那么能组成直角三角形的一组数是（   ） A．2，3，4 B．，3，5 C．5，12，13 D．6，8，9 【答案】C 【分析】根据勾股定理的逆定理：“如果三角形的三条边满足，则这个三角形为直角三角形”，由此选出答案． 【详解】解：A、，故不能组成直角三角形，不符合题意； B、，故不能组成直角三角形，不符合题意； C、，故能组成直角三角形，符合题意； D、，故不能组成直角三角形，不符合题意． 【变式训练1】（24-25八年级上·广东梅州·阶段检测）下列各组数中，能构成直角三角形三边长的是（　　） A．2，3，4 B．4，7，5 C．6，7，8 D．5，12，13 【答案】D 【分析】先找出每组边长中的最大边，再验证两条较短边的平方和是否等于最大边的平方，即可判断能否构成直角三角形． 【详解】解：A选项，，，，不能构成直角三角形． B选项，，，，不能构成直角三角形． C选项，，，，不能构成直角三角形． D选项，，，，能构成直角三角形． 【变式训练2】（25-26八年级上·广东佛山·期末）边长为a，，5的三角形是直角三角形，则________． 【答案】3或12 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解决本题的关键． 根据勾股定理，分三种情况讨论哪条边为斜边，解方程即可得解． 【详解】解：当斜边为5时，则 解得或（舍去）， 此时边长为3，4，5，满足三角形条件． 当斜边为时，则 解得， 此时边长为12，13，5，满足三角形条件． 当斜边为时，则 解得（舍去）． 故或． 故答案为：3或12． 【变式训练3】（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口P，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个小时后分别位于点Q、R处，且相距20海里．已知“远航”号沿东北方向航行，则“海天”号沿____方向航行． 【答案】西北 【分析】本题考查了勾股定理逆定理的应用和方向角，解题的关键是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形进行解答． 根据题意，得出的三边长，再利用勾股定理的逆定理推出是直角三角形，再求解即可． 【详解】解：由题知，海里，海里，海里，， ， ， 是直角三角形，且， ， “海天”号沿西北方向航行． 故答案为：西北． 题型三 在网格中判断直角三角形 【典例精讲】（25-26八年级上·山西忻州·阶段检测）如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，从中任意找出3点组成三角形，下列选项中，是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了网格与勾股定理、勾股定理的逆定理，先利用网格与勾股定理分别求出各边长，然后按照勾股定理逆定理依次判断即可． 【详解】解：由网格特点，，，，，， A. 中，，则不是直角三角形，故该选项不符合题意； B. 中，，则是直角三角形，故该选项符合题意；     C. 中，，则不是直角三角形，故该选项不符合题意；     D. 中，，则不是直角三角形，故该选项不符合题意； 故选：B． 【变式训练1】（24-25八年级下·福建福州·阶段检测）如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．已知点A和点B在格点上，在网格中的格点上另找一点C，使A，B，C三点构成一个直角三角形，则这样的点C共有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】此题考查了直角三角形的判定，网格的性质， 根据题意分别作出以A，B，C三点为顶点的直角三角形，进而求解即可． 【详解】如图所示， ∴这样的点C共有5个． 故选：A． 【变式训练2】（25-26八年级上·重庆·阶段检测）图中，是直角三角形的序号是________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理求边长及逆定理证明直角三角形；先分别求出每个三角形的边长，再根据勾股定理逆定理判断即可． 【详解】解：三角形的三边长分别为，，3，因为，所以不是直角三角形，故不符合题意； 三角形的三边长分别为，，3，因为，所以不是直角三角形，故不符合题意； 三角形的三边长分别为，，，因为，所以不是直角三角形，故不符合题意； 三角形的三边长分别为，，，因为，所以是直角三角形，故符合题意； 三角形的三边长分别为，，，因为，所以是直角三角形，故符合题意； 三角形的三边长分别为，，，因为，所以不是直角三角形，故不符合题意； 故答案为： ． 【变式训练3】（25-26八年级上·江西鹰潭·阶段检测）如图，在每个小正方形的边长均为1的正方形网格中，有三条线段（线段端点都在格点上），以这三条线段为边能否组成一个直角三角形？答：________（填“能”或“不能”）． 【答案】不能 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，掌握知识点是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】解：由图，得 ，，， ∵， 即， ∴三条线段不能组成直角三角形． 故答案为：不能． 题型四 利用勾股定理的逆定理求解 【典例精讲】（24-25八年级上·陕西榆林·期末）在中，，，，则的面积为 _______________． 【答案】 【分析】根据勾股定理逆定理判断的形状，再利用直角三角形面积公式计算面积． 【详解】解：由题意得 ，，， 可得 ， 根据勾股定理逆定理可知 是直角三角形，， 由三角形面积公式得 ． 【变式训练1】（25-26八年级上·河北石家庄·期末）如图所示的是一块不规则的绿地，已知，则这块绿地的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，连接，由勾股定理得，即得，进而得到是直角三角形，且，再根据绿地的面积解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴这块绿地的面积， 故答案为：． 【变式训练2】（24-25八年级上·河南平顶山·期中）如果的三边长分别是，则这个三角形中最大的内角的度数是___________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理，判断三角形是否为直角三角形，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，满足勾股定理的逆定理， ∴是直角三角形， ∴最大内角为． 故答案为：． 【变式训练3】（25-26八年级上·福建漳州·期末）在中，若，则（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】勾股定理逆定理：若一个三角形三边长为，且满足，则该三角形是直角三角形，边长为的边所对的角为直角．根据勾股定理逆定理即可求解． 【详解】解：∵在中，满足， 根据勾股定理逆定理，两条较短边的平方和等于最长边的平方，最长边所对的角是直角， ∴是斜边，斜边所对的角是， 因此． 题型五 勾股定理逆定理的拓展问题 【典例精讲】（25-26八年级上·江苏泰州·期中）已知：，，． (1)当时，的值等于______．（结果用科学记数法表示） (2)当时，以a，b，c的值为三边长的三角形面积是______．（直接写出答案） (3)若两个正整数的平方和等于另一个正整数的平方，则称这三个数为勾股数．小明发现：当n取大于1的整数时，a，b，c为勾股数．你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)60 (3)正确，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，科学记数法，整式的混合运算，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据题意可得，把代入计算，并应用科学记数法表示方法表示即可； （2）先由勾股定理的逆定理证明这个三角形是直角三角形，且是斜边，再利用三角形的面积公式计算即可； （3）先计算，再由勾股定理的逆定理即可得出结论． 【详解】（1）解：， 当时， ； 故答案为：； （2）解：，，， 当时，，，， ， 这个三角形是直角三角形，且是斜边， 这个三角形的面积是， 故答案为：； （3）解：小明的发现正确，理由如下： ， ， 当取大于1的整数时，、、为一组勾股数． 【变式训练1】（24-25八年级上·全国·课后作业）若正整数a，b，c满足方程，则称这一组正整数为“商高数”．下面列举5组“商高数”：，，，，，注意这5组“商高数”的结构有如下规律： 根据以上规律，回答以下问题： (1)写出各数都大于30的两组“商高数”； (2)用两个正整数表示一组“商高数”，并证明你的结论． 【答案】(1)两组数为：   (2)“商高数”可表示为由, , 三个数构成的数组，证明见解析 【分析】（1）根据“商高数”的规律，设正整数，则“商高数”可表示为由, , 三个数构成的数组，取适当的值代入即可； （2）由（1）总结的“商高数”规律，直接证明即可. 【详解】（1）解：根据“商高数”的规律，设正整数，则“商高数”可表示为由, , 三个数构成的数组，通过选择合适的使用均大于； 第一组：取，即. 第二组：取，即. （2）解：用两个正整数，则“商高数”可表示为由, , 三个数构成的数组， 设， 证明：， ， ， . . 即：“商高数”可表示为由, , 三个数构成的数组”． 【变式训练2】（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）若一个三角形的三条边的长度分别为，则这个三角形是(   ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的拓展知识，只需比较较小的两边的平方和与最长边的平方的大小关系即可得解．若三角形的三边分别是、、，是三角形的最长边，则有：（1） 这个三角形是锐角三角形；（2） 这个三角形是直角三角形；（3） 这个三角形是钝角三角形．掌握利用比较较小的两边的平方和与最长边的平方的大小关系来推导三角形的形状是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴这个三角形是锐角三角形． 故选：A． 【变式训练3】如图，在笔直的公路旁有一条河流，为方便运输货物，现要从公路上的D处建一座桥梁到达C处，已知点C与公路上的停靠站A的直线距离为，与公路上另一停靠站B的直线距离为，公路AB的长度为，且． (1)求证：； (2)求修建的桥梁的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可求证； （2）根据即可求解． 【详解】（1）证明：由题可知，，． ∵， 即， ∴是直角三角形，且， ∴． （2）解：∵，，，， ∴． 答：修建的桥梁CD的长为． 【真题演练1】（2025·重庆忠县·中考真题）中国古代称直角三角形为勾股形，如果勾股形的三边长为三个正整数，则称三边长叫“勾股数”；如果勾股形的两直角边长为正整数，那么称斜边长的平方叫“整弦数”对于以下结论：①20是“整弦数”；②两个“整弦数”之和一定是“整弦数”；③若c2为“整弦数”，则c不可能为正整数；④若m＝a12+b12，n＝a22+b22，≠，且m，n，a1，a2，b1，b2均为正整数，则m与n之积为“整弦数”；⑤若一个正奇数（除1外）的平方等于两个连续正整数的和，则这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”．其中结论正确的个数为(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①根据“整弦数”的定义即可求解；②根据定义举出反例即可求解；③根据“整弦数”的定义即可求解；④先求出m与n之积，再根据“整弦数”的定义即可求解；⑤先设一个正奇数（除1外）为2n+1（n为正整数），进一步得到两个连续正整数，再根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】解：①∵ ∴20是“整弦数”，符合题意； ②如5，2是“整弦数”， ∵不是“整弦数”， ∴两个“整弦数”之和不一定是“整弦数”，不符合题意； ③若，则，，c2为“整弦数”，则c为正整数”，不符合题意； ④∵m＝a12+b12，n＝a22+b22，≠，且m，n，a1，a2，b1，b2均为正整数， ∴m与n之积为“整弦数”，符合题意； ⑤设一个正奇数（除1外）为2n+1（n为正整数）， ∵（2n+1）2=4n2+4n+1且等于两个连续正整数的和， ∴较小的正整数为2n2+2n，较小的正整数为2n2+2n+1， ∵（2n+1）2+（2n2+2n）2=（2n2+2n）2+4n2+4n+1=（2n2+2n）2+2（2n2+2n）+1=（2n2+2n+1）2， ∴这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”，符合题意． 故选：C． 【真题演练2】（2025·河南开封·中考真题）若的三边长a、b、c满足，那么是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【分析】先用完全平方公式进行因式分解求出a、b、c的值，再确定三角形的形状即可． 【详解】解：， 移项得，， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形， 故选：B． 【真题演练3】（2025·山西晋中·中考真题）如图，在中，点在边上，已知，，，点在上，且，若，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质，由勾股定理的逆定理可得为直角三角形，即得，进而由可得，最后根据勾股定理解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【真题演练4】（2025·河北邯郸·中考真题）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积是______．. 【答案】4 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，连接，先在中，利用勾股定理求出的长，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，最后根据四边形的面积的面积的面积，进行计算即可解答． 【详解】解：连接， 在中，， 由勾股定理可得： 在中， 是直角三角形， 故答案为：． 【真题演练5】（2025·江西九江·中考真题）如图，在中，，为边上一点，且，，，点是边上的动点，连接． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的长； (3)当是直角三角形时，求的长． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理和等腰直角三角形的性质，解决此题的关键是注意分类讨论； （1）根据勾股定理的逆定理即可得到答案； （2）根据勾股勾股定理即可得到答案； （3）不知道哪个角是直角，所以要分情况讨论； 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵， ，， ∴， ， ∴， ∴ ∴是直角三角形且； （2）解：∵， ， ∴， 由（1）可知：； 又， 在中， ∴， ∴； （3）解：由（2）得：， ∴， 当时， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，\ 综上可知：当是直角三角形时，的长为或． 【基础夯实】 1．（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）如图，正方形的面积为100，点E在正方形内，，，则阴影部分的面积是（   ） A．48 B．60 C．76 D．80 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理； 先利用勾股定理的逆定理求出，再根据列式计算即可． 【详解】解：∵正方形的面积为100， ∴正方形的边长， ∵，，， ∴， ∴， ∴ ， 故选：C． 2．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为，则次操作后图形中所有正方形的面积和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形规律，直角三角形的性质、勾股定理、正方形的性质，关键是勾股定理的应用；根据题意分别计算出图①、图②和图③的面积，得出规律即可求解． 【详解】解：∵图①中所有正方形的面积和为：； 第一次操作后所有正方形的面积和为：； 第二次操作后所有正方形的面积和为：； …… 第次操作后所有正方形的面积和为：； ∴当时，， 故选：C ． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图正方形的边长为，，连接，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的综合运用．延长交于点，根据正方形的性质证明，可得、、，由勾股定理可得的长． 【详解】解：如图，延长交于点， ，，， ， 和是直角三角形， 在和中， ， ， ，， ，， 又，， ，， 在和中， ， ， ，，， ， 同理可得， 在中， ， 故选：B． 4．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为，其中是互质的奇数，则，为勾股数．我们令，得到下列顺序排列的等式： 根据规律写出第⑦个等式为_____． 【答案】 【分析】通过观察已知等式中各底数的变化规律，分别归纳出第k个等式中三个数的底数表达式，再代入计算得到结果． 【详解】解：观察已知等式可得 第k个等式中，第一个数的底数为，指数为2， 第二个数的底数为，指数为2， 第三个数的底数为，指数为2， 则第k个等式为 当时 ， ， ， 所以第⑦个等式为． 5．（25-26八年级上·四川宜宾·期末）以一个正方形的一边为斜边，向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边为边向外作正方形，然后又以正方形的边向外作直角三角形，依次循环，就得到一棵美丽的“勾股树”．如图是一棵“勾股树”的一部分，已知，，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意得，，所以，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）在中，，，上的中线，则________． 【答案】17 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，线段垂直平分线的性质，熟练掌握勾股定理的逆定理及线段垂直平分线的性质是关键．先根据勾股定理的逆定理，证明，再根据线段垂直平分线的性质，即可求得答案． 【详解】解：是上的中线， ， ， 是直角三角形，， ， ， 是的垂直平分线， ． 故答案为：17． 7．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）为增加趣味性，某科技馆计划展出一款恐龙互动模型（图1），为避免在互动过程中模型出现关节卡顿、失衡等风险，该模型一条大腿支架与小腿支架需满足互相垂直的条件，设计人员计划利用现有支架实施固定，其示意图如图2所示，实际测得数据如下：，． (1)与垂直吗？请说明理由； (2)据设计人员介绍，支架的比长，求支架的长度． 【答案】(1)垂直，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据勾股定理逆定理解答即可； （2）根据勾股定理列出方程，求出解即可． 【详解】（1）解：与垂直，理由如下： ∵， ∴， ∴，即； （2）解：由题意设，则，根据勾股定理，得 ， 即， 解得， 所以． 8．（25-26八年级上·全国·阶段检测）如图，四边形ABCD中，，，，，．求四边形ABCD的面积． 【答案】 【分析】根据勾股定理可知,再根据勾股定理的逆定理可知，即可求解面积． 【详解】解：连接, ∵，，， 根据勾股定理可知，, ∵，， ∴, , 则． 9．（24-25八年级上·甘肃白银·期中）如图，在四边形中，，求四边形的面积． 【答案】114 【分析】利用勾股定理求出的长，利用勾股定理的逆定理可证明，再根据列式求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴； 在中，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴ ． 10．（25-26八年级上·广东河源·阶段检测）如图，在中，E为边上一点，连接，过点A作交的延长线于点D，已知． (1)试说明：为直角三角形； (2)求的值． 【答案】(1)见解析 (2)66 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理证明； （2）根据计算即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴为直角三角形； （2）解： ． 【培优拔高】 1．（25-26八年级上·江西南昌·期末）为直角三角形的三边，且为斜边，为斜边上的高，有下列说法正确结论的个数是（    ） ①，，能组成三角形； ②能组成三角形； ③能组成直角三角形； ④能组成直角三角形． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查三角形三边关系与勾股定理逆定理的应用，需结合直角三角形的勾股定理、面积公式，对每个结论逐一分析判断． 【详解】解：是的三边，为斜边，为斜边上的高 ，， ， ①，不满足三角形两边之和大于第三边的条件， ①错误； ②，， 又能组成三角形， ， ， 即， 均为正数， ， ∴能组成三角形，②正确； ③， 又， 根据勾股定理逆定理，能组成直角三角形， ③正确； ④， 又， ， ， 即， 不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形， ④错误； 综上，正确的结论有2个． 故选：B． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）五根小棒，其长度（单位：）分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，掌握通过验证三角形三边的平方关系判断直角三角形是解题的关键． 将五根小棒分成两组，分别验证每组三边是否满足较短两边的平方和等于最长边的平方，以此判断能否构成直角三角形． 【详解】解：A、分组为、、和、、， ，不满足勾股定理逆定理，不是直角三角形，不符合题意； B、分组为、、和15、20、24，，不满足勾股定理逆定理，不是直角三角形，不符合题意； C、分组为7、24、25 和、、，，满足逆定理，是直角三角形；，满足逆定理，是直角三角形，符合题意； D、分组为、、和、、，，，不满足逆定理，不符合题意． 故选：C． 3．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，，，点D、E分别是，上的动点，且，连接，，则的最小值是（   ） A．7 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、两点之间线段最短、勾股定理等知识点，正确地添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点C作，且使，连接，由勾股定理逆定理可知，以及勾股定理可得，证明，进而依据“”判定和全等得，继而得，由此得当为最小时，为最小，根据“两点之间线段最短”得，据此即可得出的最小值． 【详解】解：如图：过点C作，且使，连接， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∵， ， 在中，，， ∴， ∴，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ∴当为最小时，为最小， 根据“两点之间线段最短”得：， ∴当点F，E，B共线时，为最小，最小值是， ∴的最小值是． 故选：B． 4．（25-26八年级上·上海·期末）如图，中，，，，将沿射线折叠，使点与边上的点重合，为射线上的一个动点，当周长最小时，的长为__________． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质，线段和最值问题，勾股定理及逆定理，熟练运用轴对称解决线段和最值问题是解题关键． 连接，设与交于点，设，由折叠的性质可得，，，，．由线段公理可得，当、、三点共线时， 周长最小，此时点与点重合．使用勾股定理的逆定理可判断出，则．使用勾股定理构造方程并求解出的值，进而求出的长． 【详解】解：如图，连接，设与交于点，设， 由折叠的性质可知，，，，， ∴，， ∴周长为， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值，即周长最小，此时点与点重合， ∵， ∴是直角三角形，， ∴， ∴， 在直角中，， ∴， 解得，， ∴． 故答案为：． 5．（25-26八年级上·甘肃天水·阶段检测）如图，中，．将沿射线折叠，使点A与边上的点D重合，E为射线上一个动点，当周长最小时，的长为______________． 【答案】 【分析】本题主要考查了翻折变换、勾股定理及逆定理，轴对称的性质，掌握其性质是解决此题关键，根据翻折的性质及勾股定理的逆定理可得为直角三角形，设，则，然后再由勾股定理可得答案． 【详解】解：由题意可知，两点关于射线对称， ∴， ∵为定值， 要使周长最小，即最小， ∴由两点之间线段最短知，与射线的交点，即为使周长最小的点，如图所示， ∵ ，且， ∴ ， ∴为直角三角形， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，，即， ∴， ∴， 故答案为： ． 6．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在等腰直角三角形中，，O是内一点，，，，为外一点，且，则四边形的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理与逆定理，根据全等三角形的性质得出，， ，根据等式的性质得出，在中，根据勾股定理求出，在中，根据勾股定理的逆定理得出，然后根据求解即可． 【详解】解：连接． ， ，， ， ，即， 在中，， ，，， ， ， ． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·河南洛阳·期末）阅读材料：若，求m和n的值． 解：， ， ∴， ，， ，． 像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”．请利用配方法，解决下列问题： (1)已知，则 ， ； (2)已知的三边长、、都是正整数，且满足，判断的形状． 【答案】(1)4，4 (2)为直角三角形 【分析】本题考查完全平方公式的应用、勾股定理的逆定理． （1）按题设的方法进行恒等变形，利用完全平方式的非负性即可求解； （2）按题设的方法进行恒等变形，求出a、b、c的值，再根据勾股定理的逆定理即可判断． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ∴， ∴， 故答案为：4，4； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，，， 解得：，，， ∵， ∴为直角三角形． 8．（25-26八年级上·江苏·阶段检测）我们知道，两边及一条中线对应相等的两个三角形全等．已知，是边上中线． (1)若，，，则 ． (2)如图①，若，，，求的长度． (3)如图②，若，，，求的长度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）延长至，使得，连接，证明，得出，，再由勾股定理逆定理得出是直角三角形，即，即可得出结果； （2）延长至，使，连接，过点作于点，则，、和都是直角三角形，设，求出，，同（1）证明，得出，由勾股定理可得，则，，，再由中线的性质即可得出结果； （3）延长到，使得，连接，过点作于点，则，，和都是直角三角形，设，则，，同（1）证明，得出，由勾股定理可得 ，则，，求出，再结合中线的性质即可得出结果． 【详解】（1）解：延长至，使得，连接，如图所示： ∴， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，，，， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，延长至，使，连接，过点作于点，如图： ∴，、和都是直角三角形， 设， ∴，， 同（1）证明：， ∴， 在中，由勾股定理可得：， 在中，由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∵是边上的中线， ∴， 即的长度为； （3）解：延长到，使得，连接，过点作于点，如图： ∴，，和都是直角三角形， 设， ∴，， 同（1）证明：， ∴， 在中，由勾股定理可得：， 在中，由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴，， 在中，由勾股定理可得：， ∵是边上的中线， ∴， 即的长度为． 9．（25-26八年级上·湖南常德·期末）如图，在四边形中，． (1)请你判断与的位置关系，并说明理由； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2)234 【分析】(1)利用勾股定理，勾股定理的逆定理，计算求解即可． (2)判定是直角三角形，根据面积公式计算即可． 本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】（1）解：连接， ∵，，， ∴， ∵，，， 且， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴四边形面积为： =． 10．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，，且m，n满足，D，E分别是边，上的动点，连接．将沿直线折叠得到，点F恰好落在边上． (1)求证：是直角三角形； (2)如图1，若D为的中点，求证：； (3)如图2，若F为的中点，判断线段，与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据二次根式和绝对值的非负性，求得，，再根据勾股定理的逆定理证明即可； （2）连接，根据轴对称的性质可得，然后根据三角形中位线定理证明，即可证明结论； （3）过点A作，交的延长线于点H，连接，先证明，得到，，再证明，最后根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：， ，， ，， ， ， ， 即是直角三角形； （2）证明：连接， 沿直线折叠得到， ，， ， 为的中点， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ； （3）解：． 理由如下： 过点A作，交的延长线于点H，连接， ，， 为的中点， ， ， ，， 沿直线折叠得到， ， ， ， ， ， ． 第 1 页 共 12 页 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