2.4 用一元二次方程解决问题（第2课时）（教学设计）数学新教材苏科版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦连续两次平均增长(降低)率模型建立与求解、动态运动情境中勾股定理建模，通过复习列一元二次方程解应用题步骤及矩形面积问题，搭建新旧知识支架，引出新模型。 资料以“问题情境—模型构建—解的检验”为主线，通过药品降价、缉私艇拦截等实例，培养模型意识与几何直观，动态问题“化动为静”提升推理能力，助力学生掌握建模方法，教师教学更具针对性与高效性。

2.4 用一元二次方程解决问题（2） 教学设计 1.教学内容 本课为新教材苏科版九年级上册第二章《一元二次方程》2.4 用一元二次方程解决问题（2）。核心知识点： 1.连续两次平均增长(降低)率模型 的建立与求解； 2.将直角三角形中的动态运动情境“化动为静”，利用勾股定理建模得到一元二次方程； 结合实际背景对方程根进行合理性检验并完成答案的规范表述。 2.内容解析 本节聚焦“如何用一元二次方程刻画与解决实际问题”。首先，以“价格两次变动”与“产量两年增长”为例，引出“连续两次平均变化率”这一数量关系，通过列表法概括出不变量“原量×=现量”，帮助学生体会“同一对象、分步变化、逐步乘积”的建模逻辑。其次，借助“缉私艇拦截”“矩形内点运动”等情境，引导学生将动态过程转化为直角三角形中的静态几何关系，凭借勾股定理构建方程 ，进而转化为一元二次方程求解。最后，突出“解的检验”理念：负根、百分率超 或超出图形、时间、长度实际范围的正根均须舍弃。通过两大典型模型的比较与拓展，培养学生用方程思想解决问题的能力，体验数学建模的价值。 1.教学目标 •理解“连续两次平均增长率(降低率)”问题的数量关系，能正确列出并求解形如 的一元二次方程。 •能将含直角三角形的动态运动情境转化为勾股定理方程，建立一元二次方程模型。 •能依据实际情境检验方程根的合理性，正确舍弃不合题意的解。 2.目标解析 •会用列表或变量替换明确“原量—变化—现量”之间的乘积关系，熟练解 并求百分率 •通过“画图—化动为静—应用定理—列方程”四步法，掌握将运动问题模型化为 的二次方程的策略 •在检验根意义的过程中，体验数学模型与现实世界的密切联系，树立严谨求真的科学态度 3.重点难点 • 教学重点：连续两次平均变化率模型 的建立与求解。 • 教学难点：对“平均每次变化率”含义的正确理解与表达。 学生已掌握一次方程与一元二次方程的解法，对勾股定理、矩形与直角三角形的性质有基本认识，能进行简单的图形分析。但在实际问题中，往往忽视“变化率的乘积关系”与“动态—静态”转换，列式欠准确；同时，对方程解的意义检验意识薄弱，易保留负根或超范围正根。针对这些薄弱环节，需通过典型示例与探究活动，强化模型思想、检验意识和规范化表达，帮助学生突破“建模与解的取舍”两大难点。 创设情景，引入新课 知识回顾： 1.列一元二次方程解应用题的一般步骤是什么？ 审题→设元→列方程→解方程→检验→作答 2．上节课我们解决了哪些类型的问题？在解的取舍方面要注意什么？ 矩形面积类实际问题．除了常规的“负数根无意义需舍去”外，特别要注意，超出实际图形尺寸范围的正数根也必须舍去． 【设计意图】借助复习旧知，引出“连续两次平均增长率(降低率)”的数学模型 ，为后续探究做好铺垫。 探究点：连续两次平均增长(降低)率模型 1.典例分析： 例2 某种药品原价 125 元/盒，经过连续两次降价，现价格为 80 元/盒，这种药品平均每次降价的百分率是多少？ 分析：① “连续两次降价”是什么意思？ ② 如果平均每次降价的百分率是 x，第一次降价后的价格如何表示？ ③ 第二次降价是在哪个价格基础上进行的？如何表示？ ④ 这个问题的等量关系是什么？ 设这种药品平均每次降价的百分率是 x ，可以列表分析如下： 等量关系：两次降价后价格＝现价 解：设这种药品平均每次降价的百分率是 x． 根据题意，得 125(1－x)²＝80． 解这个方程，得 ＝0.2＝20%， ＝1.8 (不合题意，舍去)． 答：这种药品平均每次降价的百分率是20%． 注意：变化率 0＜x＜1，大于1的根无实际意义，必须舍去． 连续两次下降模型： 原量×＝现量． 2.新知巩固 1．某种帆布鞋原价每双160元，经过两次降价，现售价每双102.4元．求该种帆布鞋平均每次降价的百分率． 解：设这种帆布鞋平均每次降价的百分率是 x． 根据题意，得 160(1－x)²＝102.4． 化简，得 (1－x)²＝0.64 解这个方程，得 ＝0.2＝20%， ＝1.8 (不合题意，舍去)． 答：这种帆布鞋平均每次降价的百分率是 20%． 2．某农场的粮食产量在两年内从 3 000t 增加到 3 630 t，平均每年增产的百分率是多少？ 分析：这道题与“药品降价”问题有什么相同点和不同点？ 相同：都是连续两次变化； 不同：药品是降价（降低率），粮食是增产（增长率） 解：设平均每年增产的百分率是 x． 根据题意，得 3000(1＋x)²＝3630． 化简，得 (1＋x)²＝1.21 解这个方程，得＝0.1＝10%， ＝－2.1 (不合题意，舍去)． 答：平均每年增产的百分率是 10%． 3.例题讲解 例3 如图，海关缉私人员驾艇在 C 处发现正北方向 30 km 的 A 处有一艘可疑船只，并测得它正以 60 km/h 的速度向正东方向航行，缉私艇随即以 75 km/h 的速度沿直线行驶，在 B 处将可疑船只拦截．缉私艇从 C 处到 B 处需航行多长时间？ 分析：① 设缉私艇从C到B需航行 x h，则BC的长度为多少？ ② 同一段时间内，可疑船只从A到B航行了多少？ ③ 观察△ABC,这是什么三角形？三边之间有什么关系？ 解：设缉私艇从C处到B处需航行 x h． 根据题意，得△ABC是直角三角形，AC=30km， AB＝60x km，BC＝75x km． 于是 ＋ ＝． 解这个方程，得＝，＝－(不合题意，舍去)． 答：缉私艇从C处到B处需航行 h ． 2.交流讨论 解决动态运动问题的基本步骤是什么？ (1) 画图标注：画出运动过程中的关键状态图，标注所有已知量和含未知数的代数式； (2) 化动为静：分析运动过程中的不变量，将动态问题转化为静态几何关系； (3) 寻找定理：根据图形特征选择几何定理（如勾股定理），建立方程； (4) 双重检验：既要检验方程解是否为实数且为正，还要检验是否满足几何条件． 【设计意图】通过“列表—等量关系—列方程—检验”的完整链条，使学生体会到一元二次方程模型 的来源及解的合理性判断标准。 1．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝7，BC＝2，点 P 从点 A 出发沿 AB 以每秒 1 个单位长度的速度向点 B 移动．点 P 出发几秒后，点 P，A 的距离是点 P，C 的距离的 2 倍？ 解：设点P出发 x s后，点 P、A 的距离是点 P、C 的距离的 2 倍． 根据题意，得 ＝4[＋] 解这个方程，得＝6，＝≈12.67＞7 (超出范围，舍去)． 答：点P出发 6s 后，点P、A的距离是点P、C的距离的2倍． 2.《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲行几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直往东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲走了多远？ 解：设经 x 秒二人在 B 处相遇，这时 乙共行走：AB＝3x，甲共行走：AC＋BC＝7x， ∵ AC＝10，∴ BC＝7x－10， 又∵ ∠A＝90°，∴ ＝＋， ∴ ＝＋， 解得：x＝0（舍去）或 x＝3.5， ∴ AB＝3x＝10.5，AC＋BC＝7x＝24.5. 答：相遇时甲走了24.5步. 思维提升 如图所示，四边形ABCD为矩形，AB＝6cm，AD＝4cm，若点Q从A点出发沿AD以1cm/s的速度向D运动，P从B点出发沿BA以2cm/s的速度向A运动，如果P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为t（s）． (1) 当 t 为何值时，△PAQ为等腰三角形？ 解：(1) 根据题意，得AQ＝t cm，BP＝2t cm，AP＝(6－2t)cm， ∵ △PAQ为等腰三角形，∠A＝90°， ∴ AQ＝AP，即 t＝6－2t， 解得：t＝2， 答：当t＝2时，△PAQ为等腰三角形． (2) 当 t 为何值时，△APD的面积为 6 ？ 解：(2) ∵ ＝ AD·AP＝×4×(6－2t)＝(12－4t) ()， ∴ 12－4t＝6，解得：t＝， 答：当 t＝ 时，△APD的面积为6． (3) 五边形PBCDQ的面积能否达到20c？若能，请求出 t 的值；若不能，请说明理由． 解：(3) ∵＝－＝6×4－t (6－2t) ＝(24－3t＋)（）， ∴ 24－3t＋＝20，整理得：－3t＋4＝0， ∵ Δ＝－4×1×4＝－7＜0，∴该方程没有实数根， 答： 五边形PBCDQ的面积不能达到20． (4) 当 t 为何值时，P、Q两点之间的距离为2cm？ 解：(4) 在Rt△APQ中，PQ＝＝， 根据题意，得 ＝2， 化简，得：5－24t＋16＝0，解得：＝4，＝， ∵ 6÷2＝3，4÷1＝4，∴ 0≤t≤3，∴ t＝． 答：当 t 为s，P、Q两点之间的距离为2cm． 【设计意图】通过“例题同构＋数据迁移”练习，帮助学生巩固课堂所学两大模型；同时在每题后设置“检验提示”，强调对根的合理性筛选。 主板书 2.4 用一元二次方程解决问题（2） 探究点 连续两次平均增长(降低)率模型 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 课后习题练习。 学科网（北京）股份有限公司 $