2.4 用一元二次方程解决问题（第1课时）（教学设计）数学新教材苏科版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦用一元二次方程解决矩形周长与面积、图形镶边裁剪问题，掌握“审设列解验答”步骤及根的判别式可行性分析。课堂以“篱笆围地”情境导入，先回顾旧知搭建支架，衔接新知探究。 特色在于情境化探究与步骤化建模，通过“篱笆围地”“镶边问题”引导学生用数学眼光抽象等量关系，以六步法规范数学语言表达，结合判别式推理方案可行性。提升学生建模与推理能力，为教师提供清晰教学路径和分层练习设计。

2.4 用一元二次方程解决问题（1） 教学设计 1.教学内容 本课为新教材苏科版九年级上册·数学·第二章 一元二次方程2.4 “用一元二次方程解决问题”。核心知识点：1）周长（或边长）已知、求矩形面积或边长的建模；2）图形四周等宽镶边/裁剪形成新图形的建模；3）一元二次方程应用题的一般步骤“审—设—列—解—验—答”；4）根的判别式 在可行性分析中的应用。 2.内容解析 本节以“篱笆围地”情境导入，引出“周长一定求面积”“面积一定求边长”两类几何模型，通过“设元—列方程—解—检验”实现数量关系向代数方程的转化，体现“数形结合”的思想。教学价值在于让学生理解一元二次方程不仅能求根，更能描述实际问题并作出可行性判断（ 判别）。重点在于建立等量关系并正确列式，难点在于审题设元与判别式的合理应用。 1.教学目标 •能根据矩形面积类实际问题，找出等量关系，列一元二次方程求解。 •掌握一元二次方程解实际应用题的一般步骤：审题→设元→列方程→解方程→检验根的实际意义→作答。 •会利用根的判别式判断实际问题是否存在符合条件的解。 2.目标解析 •面对“周长一定”“面积一定”“镶边/裁剪”等问题，能正确设未知量，用 等关系列出 。 •全过程写出文字表述与数学表达，能独立完成“审—设—列—解—验—答”，并在“验”中剔除不合实际的虚根或超范围实根。 • 能用 判断方程实根情况，进一步判断“方案可行/不可行”，并能口头或书面说明理由。 3.重点难点 • 教学重点：建立等量关系并准确列出一元二次方程。 • 教学难点：① 合理设元并对根进行实际意义检验；② 运用判别式进行可行性分析。 学生已掌握一元一次方程应用题建模，会使用长方形周长、面积公式，具备基本代数运算能力；对一元二次方程的解法（配方法、公式法）已初步掌握。但在新情境中常出现： 1.难以准确提取“周长一定”与“面积一定”的等量关系，导致列式错误； 2.忽视单位及正负意义，未能有效检验根的合理性； 3.对判别式理解停留在机械计算，不能与“方案能否实现”联系。因此，本课需通过丰富的几何情境、表格式步骤引导和对比分析，帮助学生突破“设元与列方程”及“判别式应用”两大难点，提升数学建模与逻辑推理能力。 创设情景，引入新课 知识回顾： 1.列方程解应用题的一般步骤是什么？ 审→设→列→解→验→答 2.一元二次方程根的判别式 Δ＝－4ac 有哪些情况，分别代表什么？ Δ＞0，有两个不相等实数根；Δ＝0，有两个相等实根；Δ＜0，无实根． 【设计意图】快问快答温故判别式与“六步法”，为后续探究奠基。 探究点：用一元二次方程解决实际问题的一般步骤 1.问题情景： 在劳动实践中，九年级 (1) 班想用长22m 的篱笆围成面积是 30的矩形菜园，九年级 (2) 班想用同样长的篱笆围成面积是 32 的矩形菜园，他们可以做到吗？ 分析：① 22 m 的篱笆围成的矩形菜园周长是多少？ ② 若设一边长为 x m，则另一边如何表示？ ③ 矩形面积如何计算？ 2.新知探究 ①设篱笆围成的矩形的一边为 x m，则邻边为 (11－x) m． ◎若要围成面积是 30的矩形菜园，则 x (11－x)＝30， 即 ． 解这个方程， 得． 当一边为5m时,邻边为11－5＝6(m);当一边为6m时,邻边为11－6＝5(m)． 所以可以围成面积是30的矩形菜园． ◎若要围成面积是 32的矩形菜园，则 x (11－x)＝32， 化简，得 －11x＋32＝0． 由 －4ac＝－4×1×32＝－7＜0， 可得此方程没有实数根． 所以不能围成面积是 32 m²的矩形菜园． 【注意】当题目问“能否做到（是否存在）”时， 可以利用根的判别式 Δ＝－4ac 分析方程是否有实数根： 方程有正实数根→方案可行； Δ＜0(无实根)→方案不可行． ②用 22 m 长的篱笆围成矩形菜园的最大面积是多少？ 3.典例分析 例1 如图，要在一幅长 80cm，宽 50cm的矩形风景画的四周镶一条等宽的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积为5400 ，金色纸边的宽应为多少厘米？ ①镶边后的挂图的长和宽如何表示？ 挂图的长＝风景画长＋2倍金色纸边的宽，宽＝风景画宽＋2金色纸边的宽 ② 这个问题中的相等关系是什么？ 挂图的长×挂图的宽＝5400 cm² 解：设金色纸边的宽为x cm，则挂图的长 为 (80＋2x)cm，宽为(50＋2x)cm． 根据题意，得 (80＋2x)(50＋2x)＝5400， 化简，得 x²＋65x－350＝0． 解这个方程，得 ＝5，＝－70 (不合题意，舍去)． 答：金色纸边的宽应为5 cm． 4.交流讨论 用一元二次方程解决实际问题的一般步骤是什么？ (1) 审：审清题意，找出已（未）知量，明确等量关系； (2) 设：设未知数（直接设或间接设），注意写好单位名称； (3) 列：根据题目中的等量关系，列出方程； (4) 解：化成一元二次方程的一般形式并求解(先用根的判别式分析方程是否有实数根)； (5) 验：既要检验根是否满足原方程，又要检验根是否符合实际意义；（如：根是否为正、是否符合图形尺寸范围） (6) 答：写出完整规范的答语（注意单位）． 【设计意图】通过函数思想渗透最值观念，培养学生用多种方法（代数、几何、技术手段）解决问题的能力。 1．一个长方形广场的面积是 600 ．如果它的长减少10m，那么就成为正方形广场．求该长方形广场的长和宽． 解：设该长方形广场的宽是 x m，则长为(x＋10)m． 根据题意，得 x(x＋10)＝600， 解这个方程，得 ＝20， ＝－30 (不合题意，舍去)． 长为20＋10＝30m． 答：该长方形广场的宽是20m，长是30m． 2.有一块长方形纸板，长31 cm，宽18 cm，在四个角都剪去相同的小正方形，折起来做成一个无盖的盒子，使盒子的底面积是300 c． 求盒子的高． 解：设盒子的高为 xcm． 根据题意，得 (31－2x)(18－2x)＝300， 化简，得 2x²－49x＋129＝0． 解这个方程，得＝3，＝21.5＞18÷2 (不合题意，舍去)． 答：盒子的高为3cm． 除了常规的“负数根无意义需舍去”外，特别要注意：超出实际图形尺寸范围的正数根也必须舍去 拓展提升 1. 如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个宽2m的门（建在EF处，另用其他材料） (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ 解：(1) 设矩形ABCD的边AB＝x m，则边BC＝70＋2－2x＝(72－2x) m． 根据题意，得 x(72－2x)＝640． 化简，得 x²－36x＋320＝0． 解得 ＝16，＝20． 当x＝16时，72−2x＝72－32＝40m； 当x＝20时，72−2x＝72－40＝32m． 答：当羊圈的长为40m，宽为16m或长为32m，宽为20m时，能围成一个面积为640 的羊圈． (2)羊圈的面积能达到650吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 解：不能，理由如下： 由题意，得 x(72－2x)＝650． 化简，得 x²－36x＋325＝0． ∵ －4×325＝－4＜0， ∴ 一元二次方程没有实数根． ∴ 羊圈的面积不能达到 650 ． 2．将一根长为24 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形． (1)要使这两个正方形的面积之和等于26 c，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？ 解：(1)设其中一个正方形的边长为x cm，则另一个正方形的边长为 (6－x)cm . 依题意，得 ＋＝26， 整理，得 －6x＋5＝0 ， 解得 ＝1， ＝5， ∴ 1×4＝4(cm)， 24－4＝20(cm) ∴ 这段铁丝剪成两段后的长度分别是4 cm、 20 cm． (2)两个正方形的面积之和能等于17 c吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由． 解：(2)两个正方形的面积之和不能等于17 c. 理由：依题意，得　　＋＝17， 化简，得 　　　　　2－12x＋19＝0 . ∵－4ac＝－4×2×19＝－8，∴方程无实数解． ∴两个正方形的面积之和不能等于17 c． 【设计意图】本环节通过例题练习，融合判别式与配方法，渗透函数思想，培养学生综合运用数学工具解决实际问题的核心素养。 主板书 2.4 用一元二次方程解决问题（1） 探究点 用一元二次方程解决实际问题的一般步骤 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 课后习题练习。 学科网（北京）股份有限公司 $