专题2.4 用一元二次方程解决问题（暑假预习讲义）2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题2.4 用一元二次方程解决问题 【本节预习目标】 1.掌握列一元二次方程解决实际问题的一般步骤，能规范、完整地书写解题过程。 2.理解并掌握增长率、销售利润、图形面积、传播循环等常见题型的核心数量关系，能准确建立一元二次方程模型。 3.能结合实际情境对方程的根进行检验与合理取舍，培养严谨的数学应用意识。 4.通过动态几何、方案决策、跨学科情境等综合问题，发展分析问题与解决问题的能力，渗透转化、数形结合的数学思想。 【前置旧知回顾】 知识模块 已学旧知 本节新知关联 一元一次方程解应用题 审、设、列、解、验、答的解题步骤；找等量关系的方法 解题步骤通用，本节将等量关系从一次拓展到二次，解决更复杂的实际问题 一元二次方程的解法 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法 是解决实际问题的计算工具，通过解方程得到实际问题的解 常见数量关系 路程、工程、利润等基础公式 在原有一次关系基础上，拓展二次变化的数量关系，如连续增长率、销量随价格的二次变化 知识点1：列一元二次方程解应用题的一般步骤 1.审：认真审题，厘清已知量、未知量，明确题目中的核心等量关系。 2.设：设定未知数，通常直接设所求量为，复杂问题可采用间接设元法。 3.列：根据等量关系，用含未知数的代数式表示相关量，列出一元二次方程。 4.解：选择合适的方法解一元二次方程，求出未知数的值。 5.验：双重检验，一是检验是否为方程的解，二是检验是否符合实际意义，舍去不合题意的根。 6.答：写出完整、规范的答案。 知识点2：常见问题的核心数量关系 问题类型 核心公式与模型 关键说明 平均增长率（下降率） 基数为，平均变化率为，变化次后结果为： 增长用“+”，下降用“-”；连续两次变化时 销售利润 总利润=单件利润销售量 单件利润=售价-进价 价格每变化1个单位，销量对应变化固定数量 图形面积 长方形面积； 三角形面积 甬道、边框问题可通过平移法简化面积计算 传播问题 初始1个传染源，每轮每人传染个，两轮后总患病数： 每轮新感染者都会成为下一轮的传染源 循环问题 单循环（握手、比赛）：总场次双循环（互赠、主客场）：总场次 单循环两两只进行1次，双循环两两进行2次 【基础巩固题型】 【题型1】数字与数位问题 1.核心知识点 数位的代数式表示；一元二次方程的求解 2.解题方法技巧 ①两位数表示为十位数字+个位数字，三位数表示为百位数字十位数字+个位数字； ②根据数字间的和差、平方、倍数关系设未知数，列出一元二次方程； ③解得结果后检验数位合理性：单个数字范围为，首位数字不能为0。 .【例题1】.（25-26八年级·全国·暑假作业）若两数的和是，两数的平方和是，则这两数为________． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·浙江湖州·期末）“积幻方”由传统的和幻方衍生而来，在积幻方中，个小方格中的正整数互不相等，且每行、每列、每条对角线上的三个数的乘积相等．如图，已知一个“积幻方”只呈现了个小方格中的数，则其中的值是_________． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·福建福州·期末）月历中的奥秘（九年级版）：如图是年月的月历表，在此月历表上用一个矩形圈出三行三列的个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．试解决以下的问题： (1)用矩形任意圈出的三行三列个数中，若最小的数设为，那么最中间的数可用表示为________，最大的数可用表示为________； (2)若矩形圈出的个数中，最大数与最小数的积为，这个数的和是多少？（请列方程解决） 【变式题1-3】.（2026·江苏无锡·二模）如图为某年10月的月历表，小明和小亮分别用横着、竖着的透明“一”字形框框出3个数． (1)当小明与小亮的框有一个数相同时，他俩框出数的总和的最大值为 ； (2)小明对小亮说：“当我俩框的三个数的中间数相同时，你三数中的最小数与我三数中最小数的积可以为112．”小亮反驳道：“这种情况是不存在的．”请你判断他们俩谁的说法正确，并说明理由． 【题型2】传播与循环模型问题 1.核心知识点 传播问题的增长模型；单/双循环的计数公式 2.解题方法技巧 ①传播问题：初始个传染源，每轮每人传染个，两轮后总数为，注意区分“总人数”与“新增人数”； ②单循环（握手、单场比赛）：总次数；双循环（互赠贺卡、主客场）：总次数； ③审题时准确判断循环类型，避免公式混用。 【例题2】.（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，列方程为（     ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（2026·西藏拉萨·模拟预测）列方程（组）解应用题 某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛场，求参加此次比赛的球队数． 【变式题2-2】.（25-26九年级上·湖北咸宁·期末）某次同学聚会，所有到会同学都互相握一次手，共握手45次，则参加聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同学共有人． (1)填空：根据题意，可列方程： ； (2)我们都知道连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，也都知道四边形的对角线有2条，多边形的对角线可以有27条吗？如果可以，求出多边形的边数；如果不可以，请说明理由． 【变式题2-3】.（2026·山西忻州·一模）数学活动课上，同学们与智能体进行数字传播闯关游戏．智能体给出规则：游戏开始时有6名同学拥有通关密码，在每一轮传播中，每名拥有密码的同学都会传给相同数量的新同学，但每一轮传播结束后，都会随机有6名同学失去密码，不再参与下一轮传播．经过两轮完整传播后，场上共有114名同学持有通关密码．求每一轮传播中，1名同学传给多少名新同学． 【题型3】平均增长率与下降率问题 1.核心知识点 增长率公式；一元二次方程的实际应用 2.解题方法技巧 ①找准基数与最终量，明确增长次数，代入公式列方程； ②下降率问题对应公式，注意下降率的取值范围为； ③结果结合实际意义取舍，增长率通常化为百分数形式作答。 【例题3】.（25-26八年级下·江苏南通·期末）近年来，某市大力推进绿色低碳发展，持续优化产业结构，工业能耗稳步下降．2023年规模以上工业综合能源消费量为304.42万吨标准煤，2025年为75.39万吨标准煤．设这两年规模以上工业综合能源消费量的年平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·浙江杭州·期末）杭州某公司开展低空经济飞行器研发，2024年研发经费为2000万元，2026年研发经费达2310万元．已知2026年研发经费的增长率比2025年研发经费的增长率高．设2025年研发经费的增长率为，则（    ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·浙江金华·期末）某地农业研究所培育海水稻，其中第一期试验田亩产量为，在每期亩产量平均增长率保持不变的情况下，第三期亩产量达到． (1)求每期海水稻亩产量的平均增长率． (2)农业研究所将收获的海水稻对外售卖，且海水稻的进价为每千克4元．经市场调研发现：若售价定为每千克8元，则日销售量为200千克；若售价每提高0.5元，则日销售量减少10千克．当海水稻的定价为每千克多少元时，每天可获利960元？ 【变式题3-3】.（25-26八年级下·广西百色·期末）请完成“问题解决”中的任务1和任务2． “广西桂林三日游”调研分析 背景 10月份报名参加“广西桂林三日游”的人数为1000人，到12月份报名的人数将达到1440人． 素材1 该旅行社提供的“广西桂林三日游”旅行活动的初步方案为20人组团，每人的团费为800元． 素材2 经调查发现，若每人的团费每降低10元，平均每个团的报名人数会增加1人，但每人的团费不能低于600元． 问题解决： (1)任务1：求10月份至12月份“广西桂林三日游”旅行活动报名人数的月平均增长率； (2)任务2：若该旅行社要使平均每个团的总团费为24000元，求降低团费后每人的团费． 【题型4】边框与甬道类面积问题 1.核心知识点 矩形面积公式；平移转化思想 2.解题方法技巧 ①边框问题：设边框宽度为，用原图形的长、宽减去2x，得到内部图形的长与宽； ②甬道问题：通过平移将种植区域拼接为完整矩形，直接用“总长-道宽”表示新矩形的边长； ③根据面积等量关系列方程，解后检验边长是否为正数。 【例题4】.（25-26八年级下·江苏南通·期末）如图，学校为八年级“青春仪式”制作了长，宽的大背景板，学生们想在背景板四周贴一圈等宽的粘贴区，用于粘贴装饰品，中间空白部分面积为．设粘贴区宽度为，则可列方程（     ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（25-26八年级下·浙江温州·期末）如图，某学校有一块长，宽的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若两块矩形绿地的面积共，设人行通道的宽度为x米，根据题意列出方程（     ） A． B． C． D． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·山东东营·期末）综合与实践 【主题】“知耕园”生态农场田地设计 【情境】为了让同学们懂得劳动之义，知晓劳动之责，厚植劳动情怀；学校决定建立“知耕园”生态农场，开展种菜、采摘等劳动课程，老师请同学们参与一块长为60米，宽为40米的矩形菜地的方案设计，以下是同学们对菜地小路设计的研究过程． (1)【任务一】要求：设计的每一条小路都连接矩形菜地的一组对边．同学们设计的方案主要有如图1所示的甲、乙、丙三种典型的方案，三幅图中．为施工方便，学校选择甲方案设计，并要求菜地面积为2262平方米，则每条小路的宽度是______米． (2)【任务二】为了便于开展更多的劳动课程，学校打算在农场旁边建一个花圃．如图2，花圃一边利用水池，其它边用长为150米的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃．若可利用的水池长70米，花圃的面积刚好为1800平方米，求矩形花圃的一边的长． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·安徽宣城·期末）五一假期，全网出圈的“黄站长”带火宣城文旅，各地游客慕名前来游玩．宣城某乡镇果蔬专业合作社依托文旅热度，对果园进行适度改造，引入草莓种植，大力发展采摘旅游业．结合提供的素材，解决相关问题． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 该专业合作社辖区内有一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米．    素材2 经市场调查，奶油草莓深受游客喜爱，销售前景乐观．若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓．受天气诸多因素影响，草莓难以长时间保鲜，负责人决定将草莓降价销售．若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元．    问题解决： (1)若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． (2)若该专业合作社预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？ (3)若草莓降价模式保持不变，该专业合作社能否实现每月总利润60万元的预期目标？ 【培优提升题型】 【题型5】销售利润问题 1.核心知识点 利润、售价、销量的数量关系；一元二次方程建模 2.解题方法技巧 ①设降价（或涨价）金额为，用含的代数式分别表示单件利润和总销售量； ②根据“总利润=单件利润销售量”建立一元二次方程； ③若题目有“尽快减少库存”“让利于消费者”等要求，优先选择降价幅度更大的解。 【例题5】.（25-26八年级下·山东威海·期末）直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商对一款成本价为每件40元的小商品进行直播销售，据市场分析，销售单价定为50元时，一个月能售出500件；若销售单价每涨2元，月销售量就减少10件．若要保证每月盈利9000元，那么销售单价应定为多少元？设销售单价应定为元，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·江苏南通·期末）某网店销售一批同款护眼台灯，在销售过程中发现，这款护眼台灯销售单价为元时，每星期卖出个．如果调整销售单价，每降价元，每星期就可以多卖出个．现网店决定降价销售，设销售单价为元，每星期的销售量为个． (1)关于的函数解析式为 ； (2)若销售单价不低于元时，求最大销售量； (3)若这款护眼台灯进价为每个元，该网店能否达到元的利润？ 【变式题5-2】.（25-26八年级下·广西百色·期末）【背景素材】某工厂一车间对某款新能源汽车的关键零部件进行智能化、一体化加工，生产效率大幅提升．车间技术员记录了以下两组信息： 素材1 该车间4月份生产该零件100个，到6月份产量增加至144个，且每月增长率相同． 素材2 该零件的生产成本为每个30元．市场调研发现：当售价定为每个40元时，每月可销售600个；若售价每上涨1元，月销售量就会减少10个． 【任务驱动】 (1)任务一：求该车间4月份到6月份生产该零件数量的月平均增长率． (2)任务二：工厂为了提升利润，计划调整售价，并要求月销售利润达到10000元．同时，为了让更多消费者买得起，价格尽可能实惠．请你计算该零件的实际售价应定为每个多少元？ 【变式题5-3】.（25-26八年级下·浙江金华·期末）根据以下素材，探索完成任务． 13度的甜，14度的鲜，夏季的兰溪杨梅，不仅是自然的馈赠，更是交织成初夏最让人心动的味道，但由于“泡药风波”，使得杨梅的销售较往年增加了一些难度，为了促进销售，某农户决定采取网上和实体店同步销售，请你帮助一起设计兰溪杨梅的销售方案． 素材1 某农户在网上和实体店同时销售兰溪杨梅（以下简称杨梅），成本价为20元/千克． 素材2 杨梅的网上销售价定为30元/千克时，当天网上销售量是100千克，实体店的销售价定为40元/千克时，当天实体店销售量是50千克．一天内实体店的销售价保持不变，网上销售价可按实际情况进行适当调整，需确保网上销售价始终高于成本价． 素材3 据调查，网上销售价每降低1元，当天网上多售出20千克，实体店少售出2千克． 问题解决： (1)任务1：当杨梅网上销售价为25元/千克时，求农户在网上销售杨梅当天的毛利润（毛利润=销售总额-成本）与实体店销售该杨梅当天的毛利润各是多少元？ (2)任务2：杨梅的网上单价每千克降多少元时，农户一天的总毛利润（总毛利润=网上毛利润+实体店毛利润）为2040元？ (3)任务3：你觉得该农户一天的总毛利润能否达到3000元，若能，请求出杨梅的网上单价是每千克多少元？若不能，请说明理由． 【题型6】靠墙围建类面积问题 1.核心知识点 矩形面积公式；实际长度的限制条件 2.解题方法技巧 ①通常设垂直于墙的边长为，根据篱笆总长表示出平行于墙的边长，注意门的宽度需计入总长； ②根据面积列方程求解后，必须检验平行于墙的边长是否不超过墙的实际长度； ③含内部隔栏的问题，先数清垂直边的总条数，再准确表示各边长度。 【例题6】.（25-26八年级下·广西百色·期末）如图，为落实劳动教育，学校计划用总长为米的篱笆，在两面足够长的垂直围墙的墙角处，围出一块平方米的矩形劳动实践园地．若设矩形的一边长为米，则列出的方程式（     ） A． B． C． D． 【变式题6-1】.（25-26八年级下·广西崇左·期末）如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． (1)设花圃的一边长为x米，请你用含x的代数式表示另一边的长； (2)若此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的长与宽； (3)能否围成面积为的花圃？请说明理由． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·浙江杭州·期末）某农场要建一个大饲养场（矩形），两面靠墙，位置的墙最大可用长度为17米，位置的墙最大可用长度为12米，围成如图所示的矩形场地，每个场地各留一个1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长34米．设木栏的长为米． (1)①__________米（用含的代数式表示） ②若饲养场面积为160平方米时，求的长； (2)饲养场面积能达到170平方米吗？若能，请求出的长，若不能，请说明理由． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·山东烟台·期末）某农场准备利用长为的墙和一段长为的篱笆围建一个长方形菜地（篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分），设平行于墙的一边的长为． (1)如图1，如果长方形菜地的一边靠墙，另三边、、由篱笆围成，当菜地的面积为时，求x的值； (2)如图2，如果长方形菜地的一边由墙和一节篱笆构成，另三边、、由篱笆围成，当菜地面积为时，求x的值． 【题型7】工程效率问题 1.核心知识点 工作总量、工作效率、工作时间的关系；一元二次方程的应用 2.解题方法技巧 ①通常将工作总量看作单位“1”，单队工作效率； ②合作工作时总效率为各队效率之和，根据“各段工作量之和=总工作量”列方程； ③涉及效率提升的问题，准确表示变化后的效率与对应工作时长。 【例题7】.（25-26九年级上·重庆渝北·期末）列方程解下列问题： 某大型腊肉加工厂只加工甲、乙两种腊肉礼盒，已知每名工人每天加工甲种腊肉礼盒数量是加工乙种腊肉礼盒数量的1.5倍．某天，当分配加工甲种腊肉礼盒的工人比加工乙种腊肉礼盒的工人少20人时，当天加工出厂的甲、乙种腊肉礼盒数量均为14400个． (1)求每名工人每天加工甲、乙两种腊肉礼盒数量各多少个？ (2)春节将至，订单激增．该厂一方面对所有工人重新分配：名加工乙种腊肉礼盒，其余的工人加工甲种腊肉礼盒：另一方面提高生产效率：每名工人每天加工乙种腊肉礼盒比以前增加个，每名工人每天加工甲种腊肉礼盒比以前增加个．已知该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000个，求的值． 【变式题7-1】.（25-26九年级上·重庆·阶段检测）列方程解下列问题： 甲、乙两人加工生产同种零件．甲每小时比乙多生产10个，甲生产120个该种零件的时间与乙生产100个该种零件的时间相同． (1)求甲、乙两人每小时各生产多少个零件？ (2)由于市场需求量大幅增加，该厂更换了生产设备．更换设备后，甲每小时生产的零件数量比原来增长了，乙每小时比原来多生产个零件，甲、乙两人同时工作小时共可以生产1500个零件，求的值． 【变式题7-2】.（25-26九年级上·重庆黔江·期末）某快递公司分拣中心有两台自动分拣机（型号甲、型号乙），专门处理小件快递的分拣工作，机器效率稳定且符合行业实际标准：甲分拣机每小时能分拣400件快递，乙分拣机每小时能分拣500件快递． (1)电商大促期间，快件量激增，两台分拣机轮流工作共用了11小时，要确保分拣的快递总数不少于5000件才能避免快件积压，保障配送时效，则乙分拣机至少需要工作多少小时？ (2)日常运营中，原计划两台分拣机每天均工作8小时．为提升分拣效率，中心对机器进行了系统升级和算法优化：实际工作中，甲分拣机每小时比原计划多分拣100a件（），且每天比原计划少工作2a小时；乙分拣机每小时比原计划多分拣100件，每天比原计划少工作a小时．调整后，两台机器一天恰好分拣快递6000件，求a的值． 【变式题7-3】.（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）“万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋节，某月饼厂接到一笔盒月饼的订单，现决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工天，乙组加工8天就能完成这笔订单，且甲组3天加工的月饼数量比乙组2天加工的月饼数量多盒． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼； (2)甲、乙两组同时开工2天后，这笔订单临时又增加了盒月饼，甲组从第3天起提高了工作效率，而乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均每天每多加工盒月饼，则甲、乙两组就各自都提前1天完成任务，已知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前多少天完成了这笔订单？ 【压轴素养题型】 【题型8】双动点动态几何综合问题 1.核心知识点 勾股定理；特殊图形的性质；动点分类讨论 2.解题方法技巧 ①用含时间的式子表示两条动线段的长度，结合图形性质寻找等量关系； ②涉及直角三角形、等腰三角形等条件时，需分类讨论顶点的对应情况； ③所有解都要验证的取值范围，确保符合动点运动的实际情境。 【例题8】.（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．设动点运动的时间为． (1) ， （用含t的代数式表示） (2)则当t为何值时，的面积为． 【变式题8-1】.（25-26八年级下·安徽滁州·期中）如图，在中，，．点在边上，以的速度由点向点运动，同时，点在边上，以的速度由点向点运动，当一个点到达终点时，两个点同时停止运动．设运动时间为． (1)当时，求的面积． (2)当的面积为时，求的值． (3)的面积能否达到？若能，求出的值；若不能，说明理由． 【变式题8-2】.（25-26九年级下·山东淄博·期末）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 【变式题8-3】.（25-26八年级下·浙江湖州·期中）如图，在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)填空： ， ．（用含的代数式表示） (2)当五边形的面积等于时，求此时的值． (3)是否存在的值，使线段的长度最小，若存在，请求出此时的值和最小值，若不存在，请说明理由． 【题型9】方案优化与决策问题 1.核心知识点 一元二次方程建模；多方案比较与选择 2.解题方法技巧 ①针对每种方案分别建立方程，求解对应参数或结果； ②结合成本、时间、场地限制等实际条件，筛选出可行方案； ③通过计算对比各方案的总费用、总时长等指标，确定最优方案。 【例题9】.（2026·广西南宁·二模）广西绣球是广西壮族自治区级非物质文化遗产，造型精美、寓意吉祥，深受大众喜爱．为方便绣球的快递运输，现需设计一款有盖长方体快递包装盒，底面积为，所用材料为长、宽的长方形硬纸板．制作时，在纸板四个角分别剪去两个相同的正方形和两个相同的长方形（如方案1图所示），然后折叠成盒（盒盖与盒底大小形状相同）． 为了优化设计，传承人借助提出了一种改进方案（称为方案2），方案2也需要在四个角上分别剪去两个相同的正方形和两个相同的长方形，已知两种方案体积相同，底面积相同，对方案2的优点给出了如下评价： ①．减少纸张的浪费：方案2表面积更小． ②．结构更稳固：方案2底面更接近正方形，重心更稳，抗压性更好，运输时不易变形、挤压，能更好保护物品． 接下来请你解决以下问题： (1)方案1中，设剪去的正方形边长为．请写出该包装盒的表面积（单位：）关于的函数表达式，并求出方案1中的值及的值． (2)请你在答题卡指定位置画出方案2的示意图，并通过计算判断关于“方案2表面积更小”的评价是否准确． 【变式题9-1】.（2026·安徽合肥·模拟预测）综合实践： “耕读园”劳动实践基地设计方案 项目主题：“耕读园”花圃设计 项目情境：为了迎接校园丰收节，同学们参与一块长为50米，宽为40米的矩形花圃设计项目．以下为项目学习小组对花圃设计的研究过程． 活动任务一 请设计两条相同宽度的小路连接矩形花圃两组对边．小组内同学们设计的方案主要有甲、乙、丙、丁四种典型方案． 驱动问题一 (1)项目小组设计出来的四种方案中小路面积的大小关系？ ①直观猜想：我认为 ；（请用简洁的语言或代数式表达你的猜想） ②具体验证：选择最简单的甲、乙方案，假设小路宽为1米，则甲、乙方案中小路的面积分别为 和 ． ③一般验证：若小路宽为米，则甲、乙方案中小路所占的面积分别为 和 ． 活动任务二 为施工方便，学校选择甲种方案设计，并要求除小路后草坪面积约为1824平方米． 驱动问题二 (2)请计算两条小路的宽度是多少？ 活动任务三 为了布置劳动标志等元素，将在花圃靠墙（墙足够长）的位置，用篱笆围成三边，形成面积为100平方米的矩形花坛，如图所示（墙为一边，篱笆围另外三边）．设矩形垂直于墙的边长为米，平行于墙的边长为米． 驱动问题三 (3)若篱笆总长为30米，为了使篱笆恰好用完同时围住三面，项目小组的同学对下列问题展开探究，其中矩形宽，长 ①若30米长的篱笆，请用两种不同的函数表示关于的函数关系． ②数学之星小明提出一个问题：若米长的篱笆恰好用完，且存在两种不同方案（即墙作为长边或作为宽边两种围法）都可以围出面积为100平方米的矩形，并且两种方案中垂直于墙的边长（宽）之和小于15米．甲同学说“篱笆的长可以是28米”，乙同学说“篱笆的长可以是32米”．你认为他们俩的说法对吗？请说明理由． 【变式题9-2】.（2026·上海青浦·二模）被誉为“金果子”的草莓，是青浦区乡村产业振兴的一个亮点．某草莓采摘园计划通过互联网销售草莓，需设计一款底面积为的有盖子的长方体快递包装盒，所用的材料为长，宽的长方形硬纸板．制作方法如下：在每一张纸板的四个角上分别剪去两个相同的正方形和两个相同的长方形（如方案1图所示）．然后折叠成一个有盖纸盒（盒盖与盒底大小形状相同） 为了优化设计，草莓采摘园的老板借助提出了一种改进方案（称为方案2），方案2也需要在四个角上分别剪去两个相同的正方形和两个相同的长方形．对方案2的优点给出了如下评价： ①．节省材料，成本更低：两种方案体积相同，底面积相同，但方案2表面积更小，用料更省，长期生产可降低包装成本． ②．结构更稳固：方案2底面更接近正方形，重心更稳，抗压性更好，运输时不易变形、挤压，能更好保护物品． 接下来请你帮助老板解决以下问题： (1)设方案1中剪去的正方形的边长为，求包装盒的表面积； (2)尝试在备用图中画出方案2，并通过计算说明AI对方案2“表面积最小”的评价是否准确？ 【变式题9-3】.（25-26八年级下·安徽六安·期末）根据以下素材，探究完成任务： 制作长方体收纳盒 背景 某校数学项目化学习小组准备了一些长为，宽为的长方形硬纸板，准备利用纸板做长方体收纳盒（接缝处忽略不计）．    方案甲 如图所示，甲活动小组在长方形纸板的四个直角处裁掉四个边长均为的小正方形，再沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒，盒子的底面是矩形．    方案乙 如图所示，乙活动小组在长方形纸板的四个直角处裁掉四个长均为宽均为的小长方形，再沿虚线折成一个有盖的长方体收纳盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面是矩形．    (1)任务一：用含的代数式表示：方案甲制作出的无盖收纳盒的底面长为________，底面宽为________． (2)任务二：若方案甲制作出的无盖收纳盒的底面积为，求裁去小正方形的边长的值 (3)任务三：若方案乙制作出的有盖收纳盒的底面积为，请通过计算判断，图中长为，宽为，厚度为的书本能否完全放入该收纳盒内．    易错点 1、忽略实际意义检验：解出方程的根后，不结合实际情境验证，出现边长为负、人数为分数、下降率超过100%等不符合现实的错误。 2、核心公式混淆：传播问题与增长率问题公式混用，循环问题分不清单循环与双循环，导致计数错误。 3、围建问题漏限制：靠墙类问题忽略墙长的限制条件，未检验平行于墙的边长是否超出墙长。 4、利润关系错配：销售问题中，价格变化量与销量变化量的对应关系搞反，或漏乘变化的单位倍数。 重点 1、列一元二次方程解应用题的完整步骤，特别是验根环节的必要性与方法。 2、增长率、销售利润、图形面积三大核心题型的数量关系与建模方法。 难点 1、动态几何问题中的分类讨论思想，以及多动点情境下等量关系的建立。 2、复杂实际情境中的数学建模，以及多限制条件下解的筛选与方案决策。 一、单选题 1．某超市1月份营业额为90万元，1月、2月、3月总营业额为288万元，设平均每月营业额增长率为x，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 2．我国古代井田形制多为正方形，现对一块正方形井田修整，在田地四周向外修筑等宽田埂，四周每一侧均向外拓宽2丈，拓宽后整块田地仍为正方形，且新增开垦的田地面积恰好是原有井田面积的．设原正方形井田的边长为丈，则下列所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 3．2026年的世界杯足球赛中，组委会将参赛球队平均分成了个小组，在小组赛中，每支球队都要和组内其他球队进行一场比赛．小莹了解到本届世界杯小组赛共有场，但不知道每个小组有几支球队．若设每个小组有支球队，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出______个小分支． 5．某奶茶店销售一款招牌奶茶，每杯成本为5元．当售价为15元/杯时，平均每天能售出300杯．市场调查发现，售价每降价1元，平均每天就能多售出50杯．店主希望扩大销量，提高知名度，且使每天的销售利润仍保持在3000元，则每杯奶茶应降价____________元． 6．如图1为一矩形纸板，长，宽．在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（如图2）．如果要制作的无盖方盒的底面积为，则矩形纸板各角应切去正方形的边长为______． 三、解答题 7．一款服装每件进价为70元，销售价为120元时，每天可售出20件．经市场调查发现，如果每件服装每降价1元，那么平均每天可多售出2件．设每件服装降价x元． (1)每天销售量增加____________件，每件服装盈利_______________元（用含x的代数式表示）； (2)在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1600元？ 8．一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止滚动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动用了多少秒（结果保留根号）？ （提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．） 9．某电厂规定，该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过a度，那么这居民这个月只需缴30元电费；如果超过a度，那么这个月除了仍要缴30元的用电费以外，超过的部分还要每度按元缴费． (1)若该厂某户居民2月份用电度，超过了规定的a度，则超过的部分应缴电费多少元（用a表示）； (2)如表是这户居民3月、4月用电情况和缴费情况： 月份 用电量（度） 缴电费总数（元） 3 120 62 4 65 30 请根据如表数据，求出电厂规定的a的值． 10．如图，为深化劳动教育实践，某校计划将原长、宽的矩形劳动实践基地扩建为矩形，使其总面积达到．经规划测量，确定扩建时长与宽增加的长度之比为（即）． (1)求长和宽各增加了多少米？ (2)扩建后，为便于管理，准备在基地内修建一横一纵两条宽均为的十字形小路，剩余部分为试验园地，求试验园地的面积． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.4 用一元二次方程解决问题 【本节预习目标】 1.掌握列一元二次方程解决实际问题的一般步骤，能规范、完整地书写解题过程。 2.理解并掌握增长率、销售利润、图形面积、传播循环等常见题型的核心数量关系，能准确建立一元二次方程模型。 3.能结合实际情境对方程的根进行检验与合理取舍，培养严谨的数学应用意识。 4.通过动态几何、方案决策、跨学科情境等综合问题，发展分析问题与解决问题的能力，渗透转化、数形结合的数学思想。 【前置旧知回顾】 知识模块 已学旧知 本节新知关联 一元一次方程解应用题 审、设、列、解、验、答的解题步骤；找等量关系的方法 解题步骤通用，本节将等量关系从一次拓展到二次，解决更复杂的实际问题 一元二次方程的解法 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法 是解决实际问题的计算工具，通过解方程得到实际问题的解 常见数量关系 路程、工程、利润等基础公式 在原有一次关系基础上，拓展二次变化的数量关系，如连续增长率、销量随价格的二次变化 知识点1：列一元二次方程解应用题的一般步骤 1.审：认真审题，厘清已知量、未知量，明确题目中的核心等量关系。 2.设：设定未知数，通常直接设所求量为，复杂问题可采用间接设元法。 3.列：根据等量关系，用含未知数的代数式表示相关量，列出一元二次方程。 4.解：选择合适的方法解一元二次方程，求出未知数的值。 5.验：双重检验，一是检验是否为方程的解，二是检验是否符合实际意义，舍去不合题意的根。 6.答：写出完整、规范的答案。 知识点2：常见问题的核心数量关系 问题类型 核心公式与模型 关键说明 平均增长率（下降率） 基数为，平均变化率为，变化次后结果为： 增长用“+”，下降用“-”；连续两次变化时 销售利润 总利润=单件利润销售量 单件利润=售价-进价 价格每变化1个单位，销量对应变化固定数量 图形面积 长方形面积； 三角形面积 甬道、边框问题可通过平移法简化面积计算 传播问题 初始1个传染源，每轮每人传染个，两轮后总患病数： 每轮新感染者都会成为下一轮的传染源 循环问题 单循环（握手、比赛）：总场次双循环（互赠、主客场）：总场次 单循环两两只进行1次，双循环两两进行2次 【基础巩固题型】 【题型1】数字与数位问题 1.核心知识点 数位的代数式表示；一元二次方程的求解 2.解题方法技巧 ①两位数表示为十位数字+个位数字，三位数表示为百位数字十位数字+个位数字； ②根据数字间的和差、平方、倍数关系设未知数，列出一元二次方程； ③解得结果后检验数位合理性：单个数字范围为，首位数字不能为0。 .【例题1】.（25-26八年级·全国·暑假作业）若两数的和是，两数的平方和是，则这两数为________． 【答案】和 【分析】设两数中一个数为，则另一个数为，根据题意列出方程，即可求解． 【详解】解：设两数中一个数为，则另一个数为， 根据题意得， 解得，， 当时，另一个数为； 当时，另一个数为； 所以这两个数为和． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·浙江湖州·期末）“积幻方”由传统的和幻方衍生而来，在积幻方中，个小方格中的正整数互不相等，且每行、每列、每条对角线上的三个数的乘积相等．如图，已知一个“积幻方”只呈现了个小方格中的数，则其中的值是_________． 【答案】16 【分析】根据题意，得到，整理得，再根据解一元二次方程的方法解方程，即可求出的值． 【详解】解：根据题意，可得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 因式分解，得， 解得，， ∵个小方格中的正整数互不相等， ∴，即的值是16． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·福建福州·期末）月历中的奥秘（九年级版）：如图是年月的月历表，在此月历表上用一个矩形圈出三行三列的个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．试解决以下的问题： (1)用矩形任意圈出的三行三列个数中，若最小的数设为，那么最中间的数可用表示为________，最大的数可用表示为________； (2)若矩形圈出的个数中，最大数与最小数的积为，这个数的和是多少？（请列方程解决） 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据图中每行和每列数的关系，即可得到答案． （2）设最小数为，最大数为，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵每行的后一个数比前一个数大，每列的下一个数比上一个数大， ∴中间的数可用表示为， 最大的数可用表示为； （2）解：设最小数为，最大数为，根据题意可列方程：， ， 解得或（舍去）， 最小数为，最大数为， 个数为， 其和为． 【变式题1-3】.（2026·江苏无锡·二模）如图为某年10月的月历表，小明和小亮分别用横着、竖着的透明“一”字形框框出3个数． (1)当小明与小亮的框有一个数相同时，他俩框出数的总和的最大值为 ； (2)小明对小亮说：“当我俩框的三个数的中间数相同时，你三数中的最小数与我三数中最小数的积可以为112．”小亮反驳道：“这种情况是不存在的．”请你判断他们俩谁的说法正确，并说明理由． 【答案】(1)123 (2)小亮说法正确，理由见解析 【分析】（1）根据月历表找到符合题意的小明和小亮分别用横着、竖着的透明“一”字形框框出3个数，求和即可； （2）设两人框的中间相同的数为x，根据题意列方程并解方程即可． 【详解】（1）解：当小明框出3个数为，小亮框出3个数为，此时他俩框出数的总和最大， ∴最大值为； （2）解：小亮的说法是正确的． 理由：设两人框的中间相同的数为x， 则可得方程 ， 即 ，     解得（负数舍去），， 但是15在日历的最右侧，不可能成为横框的中间数，所以不符合题意舍去， 因此小亮说法正确． 【题型2】传播与循环模型问题 1.核心知识点 传播问题的增长模型；单/双循环的计数公式 2.解题方法技巧 ①传播问题：初始个传染源，每轮每人传染个，两轮后总数为，注意区分“总人数”与“新增人数”； ②单循环（握手、单场比赛）：总次数；双循环（互赠贺卡、主客场）：总次数； ③审题时准确判断循环类型，避免公式混用。 【例题2】.（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人． ∵初始有人患流感， ∴第一轮传染后，总患病人数为， ∵第二轮传染中，有个患者，每人传染人， ∴新增患病人数为， ∴． 【变式题2-1】.（2026·西藏拉萨·模拟预测）列方程（组）解应用题 某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛场，求参加此次比赛的球队数． 【答案】参加此次比赛的球队数是9队 【分析】设参加此次比赛的球队数为队，根据球赛问题模型列出一元二次方程即可求解． 【详解】解：设参加此次比赛的球队数为队，根据题意得 ， 化简，得， 解得，（舍去）， 答：参加此次比赛的球队数是9队． 【变式题2-2】.（25-26九年级上·湖北咸宁·期末）某次同学聚会，所有到会同学都互相握一次手，共握手45次，则参加聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同学共有人． (1)填空：根据题意，可列方程： ； (2)我们都知道连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，也都知道四边形的对角线有2条，多边形的对角线可以有27条吗？如果可以，求出多边形的边数；如果不可以，请说明理由． 【答案】(1) (2)多边形对角线可以有27条，即多边形的边数为9 【分析】（1）设参加聚会的同学共有人，每个人与其他个人握手，所有到会同学都互相握一次手，因此总次数为，根据共握手45次，列出方程即可． （2）设多边形的边数为，对角线数量为27，依题意可以得到方程，解方程即可． 本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设参加聚会的同学共有人，每个人与其他个人握手，所有到会同学都互相握一次手，因此总次数为，根据共握手45次， 列出方程为：， 故答案为：． （2）解：设多边形的边数为，对角线数量为27 依题意可以得到方程 化简为 解得或 因为为正整数，所以 答：多边形对角线可以有27条，即多边形的边数为9． 【变式题2-3】.（2026·山西忻州·一模）数学活动课上，同学们与智能体进行数字传播闯关游戏．智能体给出规则：游戏开始时有6名同学拥有通关密码，在每一轮传播中，每名拥有密码的同学都会传给相同数量的新同学，但每一轮传播结束后，都会随机有6名同学失去密码，不再参与下一轮传播．经过两轮完整传播后，场上共有114名同学持有通关密码．求每一轮传播中，1名同学传给多少名新同学． 【答案】4名 【分析】先设每一轮传播中，1名同学传给x名新同学，根据题意列出一元二次方程，求出解，舍去不合题意的即可． 【详解】解：设每一轮传播中，1名同学传给x名新同学， 根据题意，得． 解得，（不合题意，舍去）． 答：每一轮传播中，1名同学传给4名新同学． 【题型3】平均增长率与下降率问题 1.核心知识点 增长率公式；一元二次方程的实际应用 2.解题方法技巧 ①找准基数与最终量，明确增长次数，代入公式列方程； ②下降率问题对应公式，注意下降率的取值范围为； ③结果结合实际意义取舍，增长率通常化为百分数形式作答。 【例题3】.（25-26八年级下·江苏南通·期末）近年来，某市大力推进绿色低碳发展，持续优化产业结构，工业能耗稳步下降．2023年规模以上工业综合能源消费量为304.42万吨标准煤，2025年为75.39万吨标准煤．设这两年规模以上工业综合能源消费量的年平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】年平均下降率为，2023年初始消费量为万吨，经过2年下降后2025年消费量为万吨，第一年下降后的消费量为，第二年在第一年基础上继续下降，最终消费量为 ，即可列出一元二次方程． 【详解】解：设这两年规模以上工业综合能源消费量的年平均下降率为， 根据题意可列方程：． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·浙江杭州·期末）杭州某公司开展低空经济飞行器研发，2024年研发经费为2000万元，2026年研发经费达2310万元．已知2026年研发经费的增长率比2025年研发经费的增长率高．设2025年研发经费的增长率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件表示出2026年的增长率，再依次推导各年研发经费，最终根据2026年研发经费列出方程． 【详解】解：∵设2025年研发经费的增长率为，2026年研发经费的增长率比2025年高， ∴2026年研发经费的增长率为． ∵2024年研发经费为2000万元， ∴2025年研发经费为万元， ∴2026年研发经费为万元． 又∵2026年研发经费为2310万元， ∴列方程得． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·浙江金华·期末）某地农业研究所培育海水稻，其中第一期试验田亩产量为，在每期亩产量平均增长率保持不变的情况下，第三期亩产量达到． (1)求每期海水稻亩产量的平均增长率． (2)农业研究所将收获的海水稻对外售卖，且海水稻的进价为每千克4元．经市场调研发现：若售价定为每千克8元，则日销售量为200千克；若售价每提高0.5元，则日销售量减少10千克．当海水稻的定价为每千克多少元时，每天可获利960元？ 【答案】(1)平均增长率为 (2)海水稻的定价为每千克10元或12元 【分析】（1）设平均增长率为，根据“第三期亩产量达到”建立等式求解即可． （2）设海水稻的定价为每千克元，根据“每天可获利960元”建立等式求解即可． 【详解】（1）解：设平均增长率为， 则， 解得：（负值舍）， 答：每期海水稻亩产量的平均增长率为． （2）解：设海水稻的定价为每千克元，则每千克的利润为元， 根据题意可知，日销售量减少千克，则日销售量为千克， 则：，即， 解得：或12， 答：海水稻的定价为每千克10元或12元． 【变式题3-3】.（25-26八年级下·广西百色·期末）请完成“问题解决”中的任务1和任务2． “广西桂林三日游”调研分析 背景 10月份报名参加“广西桂林三日游”的人数为1000人，到12月份报名的人数将达到1440人． 素材1 该旅行社提供的“广西桂林三日游”旅行活动的初步方案为20人组团，每人的团费为800元． 素材2 经调查发现，若每人的团费每降低10元，平均每个团的报名人数会增加1人，但每人的团费不能低于600元． 问题解决： (1)任务1：求10月份至12月份“广西桂林三日游”旅行活动报名人数的月平均增长率； (2)任务2：若该旅行社要使平均每个团的总团费为24000元，求降低团费后每人的团费． 【答案】(1)10月份至12月份报名人数的月平均增长率为； (2)降低团费后每人的团费为元. 【分析】（1）设月平均增长率为，10月人数为基础量1000人，连续增长两个月到12月1440人，根据平均增长率公式：列一元二次方程求解，舍去负增长率． （2）设每人团费降低元，则单人团费变为元；每降元多人，每组人数变为人．总团费=单人团费每组人数，列方程求解后，结合限制条件每人团费元筛选合理解． 【详解】（1）解：设10月份至12月份报名人数的月平均增长率为． 由题意得方程：， 两边同除以1000：， 解得或（增长率不能为负，舍去）， 月平均增长率为． （2）解：设每人团费降低元（为正整数）， 则降低后单人团费：，每组报名人数：． 由总团费元列方程： ， 解得：，． 根据限制条件每人团费不能低于600元检验： ①当时，单人团费元，符合要求； ②当时，单人团费元，，不符合要求，舍去． 降低团费后每人的团费为600元． 【题型4】边框与甬道类面积问题 1.核心知识点 矩形面积公式；平移转化思想 2.解题方法技巧 ①边框问题：设边框宽度为，用原图形的长、宽减去2x，得到内部图形的长与宽； ②甬道问题：通过平移将种植区域拼接为完整矩形，直接用“总长-道宽”表示新矩形的边长； ③根据面积等量关系列方程，解后检验边长是否为正数。 【例题4】.（25-26八年级下·江苏南通·期末）如图，学校为八年级“青春仪式”制作了长，宽的大背景板，学生们想在背景板四周贴一圈等宽的粘贴区，用于粘贴装饰品，中间空白部分面积为．设粘贴区宽度为，则可列方程（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设粘贴区宽度为，则中间空白部分的长为，宽为， 则． 【变式题4-1】.（25-26八年级下·浙江温州·期末）如图，某学校有一块长，宽的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若两块矩形绿地的面积共，设人行通道的宽度为x米，根据题意列出方程（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意和图形可以得到相应的方程，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， ． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·山东东营·期末）综合与实践 【主题】“知耕园”生态农场田地设计 【情境】为了让同学们懂得劳动之义，知晓劳动之责，厚植劳动情怀；学校决定建立“知耕园”生态农场，开展种菜、采摘等劳动课程，老师请同学们参与一块长为60米，宽为40米的矩形菜地的方案设计，以下是同学们对菜地小路设计的研究过程． (1)【任务一】要求：设计的每一条小路都连接矩形菜地的一组对边．同学们设计的方案主要有如图1所示的甲、乙、丙三种典型的方案，三幅图中．为施工方便，学校选择甲方案设计，并要求菜地面积为2262平方米，则每条小路的宽度是______米． (2)【任务二】为了便于开展更多的劳动课程，学校打算在农场旁边建一个花圃．如图2，花圃一边利用水池，其它边用长为150米的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃．若可利用的水池长70米，花圃的面积刚好为1800平方米，求矩形花圃的一边的长． 【答案】(1)1 (2)30米 【分析】（1）设每条小路的宽度是米，根据除小路后菜地面积为2262平方米列方程，解方程即得答案； （2）设矩形花圃的一边的长为米，则的长为米，根据花圃的面积刚好为1800平方米列方程，解方程即得答案． 【详解】（1）解：设每条小路的宽度是米， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴每条小路的宽度是1米； （2）解：设矩形花圃的一边的长为米，则的长为米， ∵水池长70米， ∴，解得， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：的长为30米． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·安徽宣城·期末）五一假期，全网出圈的“黄站长”带火宣城文旅，各地游客慕名前来游玩．宣城某乡镇果蔬专业合作社依托文旅热度，对果园进行适度改造，引入草莓种植，大力发展采摘旅游业．结合提供的素材，解决相关问题． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 该专业合作社辖区内有一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米．    素材2 经市场调查，奶油草莓深受游客喜爱，销售前景乐观．若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓．受天气诸多因素影响，草莓难以长时间保鲜，负责人决定将草莓降价销售．若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元．    问题解决： (1)若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． (2)若该专业合作社预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？ (3)若草莓降价模式保持不变，该专业合作社能否实现每月总利润60万元的预期目标？ 【答案】(1)路面设置的宽度符合要求 (2)从购买草莓客户的角度应该降价元 (3)该合作社不能实现每月60万元的预期目标 【分析】（1）由果园的长、宽及四周道路的宽度，可得出中间种植部分是长为米、宽为米的长方形，根据中间种植的面积列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，取其符合题意的值，再对照的取值范围，即可得出结论； （2）设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓，利用总利润=销售利润−承包费，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合要让利于顾客，即可确定结论． （3）假设该专业合作社能实现每月总利润60万元的预期目标，根据（2）的总利润方程式得到，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 整理得， 解得， 当时，（不符合题意，舍去）， 故 ， 路面设置的宽度符合要求； （2）解：设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓， 根据题意得， 整理得， 解得，， 又 要让利于顾客， ． 答：每平方米草莓平均利润下调元． （3）解：根据题意得， 整理得 则 ∴方程在实数范围内无解 该合作社不能实现每月60万元的预期目标． 【培优提升题型】 【题型5】销售利润问题 1.核心知识点 利润、售价、销量的数量关系；一元二次方程建模 2.解题方法技巧 ①设降价（或涨价）金额为，用含的代数式分别表示单件利润和总销售量； ②根据“总利润=单件利润销售量”建立一元二次方程； ③若题目有“尽快减少库存”“让利于消费者”等要求，优先选择降价幅度更大的解。 【例题5】.（25-26八年级下·山东威海·期末）直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商对一款成本价为每件40元的小商品进行直播销售，据市场分析，销售单价定为50元时，一个月能售出500件；若销售单价每涨2元，月销售量就减少10件．若要保证每月盈利9000元，那么销售单价应定为多少元？设销售单价应定为元，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“总盈利每件商品利润月销售量”列方程，分别用表示出每件利润和实际月销售量，即可得到对应方程． 【详解】解：∵设销售单价定为元，成本为每件元， ∴每件商品的利润为元， 销售单价相比元上涨了元， ∵已知销售单价每涨元，月销售量减少件， ∴月销售量减少件，实际月销售量为件， ∵要求每月盈利元，总盈利每件利润销售量， ∴可列方程为． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·江苏南通·期末）某网店销售一批同款护眼台灯，在销售过程中发现，这款护眼台灯销售单价为元时，每星期卖出个．如果调整销售单价，每降价元，每星期就可以多卖出个．现网店决定降价销售，设销售单价为元，每星期的销售量为个． (1)关于的函数解析式为 ； (2)若销售单价不低于元时，求最大销售量； (3)若这款护眼台灯进价为每个元，该网店能否达到元的利润？ 【答案】(1) (2) 个 (3) 不能达到 【分析】（1）根据降价金额与销量增加的关系，推导y与x的函数解析式； （2）利用一次函数的增减性，结合自变量的取值范围，求出最大销售量； （3）根据总利润单个利润销售量列方程，通过判断方程是否存在实数解，得到能否达到目标利润的结论. 【详解】（1）解： 由题意可得，销售单价为元时，降价金额为元， 每降价1元多卖出2个，因此多卖出的销量为个， 总销量， 整理得； （2）解：由题意得，结合(1)可得， 函数中，， ∴随的增大而减小， 当取最小值时，取得最大值， 将代入得； 答：最大销售量为（个）. （3）解：由题意， ， 展开整理得， ∵， ∴该方程没有实数根， ∴不存在满足条件的销售单价； 答：该网店不能达到元的利润. 【变式题5-2】.（25-26八年级下·广西百色·期末）【背景素材】某工厂一车间对某款新能源汽车的关键零部件进行智能化、一体化加工，生产效率大幅提升．车间技术员记录了以下两组信息： 素材1 该车间4月份生产该零件100个，到6月份产量增加至144个，且每月增长率相同． 素材2 该零件的生产成本为每个30元．市场调研发现：当售价定为每个40元时，每月可销售600个；若售价每上涨1元，月销售量就会减少10个． 【任务驱动】 (1)任务一：求该车间4月份到6月份生产该零件数量的月平均增长率． (2)任务二：工厂为了提升利润，计划调整售价，并要求月销售利润达到10000元．同时，为了让更多消费者买得起，价格尽可能实惠．请你计算该零件的实际售价应定为每个多少元？ 【答案】(1)月平均增长率为 (2)该零件的实际售价应定为每个元 【分析】（1）本题为平均增长率问题，设月平均增长率为未知数，根据4月产量和6月产量的关系列一元二次方程，舍去不符合实际的负根即可得到结果； （2）本题为销售利润问题，利用“总利润单个利润月销售量”的关系列一元二次方程求解，结合“价格尽可能实惠”的要求，选择较小的解即可． 【详解】（1）解：设该车间4月份到6月份生产该零件数量的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得，（增长率为负不符合实际，舍去） 答：月平均增长率为． （2）解：设该零件的实际售价应定为每个元，则单个利润为元，售价上涨了元， 因此月销售量为个， 由月销售利润为元， 列方程得：， 整理得， 因式分解得， 解得，， ∵要求价格尽可能实惠，需选取较小的售价， ∴， 答：该零件的实际售价应定为每个(元)． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·浙江金华·期末）根据以下素材，探索完成任务． 13度的甜，14度的鲜，夏季的兰溪杨梅，不仅是自然的馈赠，更是交织成初夏最让人心动的味道，但由于“泡药风波”，使得杨梅的销售较往年增加了一些难度，为了促进销售，某农户决定采取网上和实体店同步销售，请你帮助一起设计兰溪杨梅的销售方案． 素材1 某农户在网上和实体店同时销售兰溪杨梅（以下简称杨梅），成本价为20元/千克． 素材2 杨梅的网上销售价定为30元/千克时，当天网上销售量是100千克，实体店的销售价定为40元/千克时，当天实体店销售量是50千克．一天内实体店的销售价保持不变，网上销售价可按实际情况进行适当调整，需确保网上销售价始终高于成本价． 素材3 据调查，网上销售价每降低1元，当天网上多售出20千克，实体店少售出2千克． 问题解决： (1)任务1：当杨梅网上销售价为25元/千克时，求农户在网上销售杨梅当天的毛利润（毛利润=销售总额-成本）与实体店销售该杨梅当天的毛利润各是多少元？ (2)任务2：杨梅的网上单价每千克降多少元时，农户一天的总毛利润（总毛利润=网上毛利润+实体店毛利润）为2040元？ (3)任务3：你觉得该农户一天的总毛利润能否达到3000元，若能，请求出杨梅的网上单价是每千克多少元？若不能，请说明理由． 【答案】(1)网店毛利润为1000元，实体店毛利润为800元 (2)网店单价每千克降低1元或2元时，总毛利润为2040元 (3)不能，理由： 设网店售价每千克降低元，假设总毛利润能达到3000元， 根据任务2的计算可得： 整理得： 可得： 由根的判别式得方程无解 所以该农户一天的总毛利润不能达到3000元． 【分析】（1）根据毛利润单件毛利润销售数量求解即可； （2）设网店售价每千克降低元，分别求得网店毛利润和实体店毛利润，根据题意列方程，解方程，即可求解． （3）设网店售价每千克降低元，假设总毛利润能达到3000元，根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）当网店售价为25元时，相比初始价30元降低了元． 网店情况：销量（千克） 单件毛利润（元/千克） 网店毛利润（元） 实体店情况：销量（千克） 单件毛利润（元/千克） 实体店毛利润（元） 答：网店毛利润为1000元，实体店毛利润为800元． （2）解：设网店售价每千克降低元， 则网店毛利润； 实体店毛利润 根据题意列方程： 化简可得： ∴ 解得：， 答：网店单价每千克降低1元或2元时，总毛利润为2040元． （3）略 【题型6】靠墙围建类面积问题 1.核心知识点 矩形面积公式；实际长度的限制条件 2.解题方法技巧 ①通常设垂直于墙的边长为，根据篱笆总长表示出平行于墙的边长，注意门的宽度需计入总长； ②根据面积列方程求解后，必须检验平行于墙的边长是否不超过墙的实际长度； ③含内部隔栏的问题，先数清垂直边的总条数，再准确表示各边长度。 【例题6】.（25-26八年级下·广西百色·期末）如图，为落实劳动教育，学校计划用总长为米的篱笆，在两面足够长的垂直围墙的墙角处，围出一块平方米的矩形劳动实践园地．若设矩形的一边长为米，则列出的方程式（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设矩形的一边长为米，则另一边长为米， 根据题意得． 【变式题6-1】.（25-26八年级下·广西崇左·期末）如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． (1)设花圃的一边长为x米，请你用含x的代数式表示另一边的长； (2)若此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的长与宽； (3)能否围成面积为的花圃？请说明理由． 【答案】(1)米 (2)花圃的长为9米，宽为5米 (3)解：不能围成面积为的花圃，理由如下： 当花圃的面积刚好为时， ， 化简得：， ∴， ∴该方程没有实数解， ∴不能围成面积为的花圃． 【分析】（1）设花圃的宽长为x米，则米； （2）由矩形面积，列出方程，解方程可得答案； （3）由矩形面积，列出方程，判断方程的解的情况可得答案． 【详解】（1）解：∵宽米， ∴长（米）； （2）解：∵花圃的面积刚好为平方米， ∴， 化简得：， 解得：，， 当时，长，不合题意，舍去； 当时，长，符合题意； 答：花圃的长为9米，宽为5米． （3）略 【变式题6-2】.（25-26八年级下·浙江杭州·期末）某农场要建一个大饲养场（矩形），两面靠墙，位置的墙最大可用长度为17米，位置的墙最大可用长度为12米，围成如图所示的矩形场地，每个场地各留一个1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长34米．设木栏的长为米． (1)①__________米（用含的代数式表示） ②若饲养场面积为160平方米时，求的长； (2)饲养场面积能达到170平方米吗？若能，请求出的长，若不能，请说明理由． 【答案】(1)①；②米； (2)解：不能，理由如下： 当饲养场面积为170平方米时，， 整理得， 判别式， 方程无实数根， 因此饲养场面积不能达到170平方米. 【分析】（1）①用总长加上两个门宽再减去2个的长，列出代数式即可；②根据矩形的面积公式列出方程进行求解即可； （2）根据矩形的面积公式列出方程，利用判别式判断方程的根的情况，即可. 【详解】（1）解：①由题意，（米）； ②由题意，得， 解得，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 故米； （2）略 【变式题6-3】.（25-26八年级下·山东烟台·期末）某农场准备利用长为的墙和一段长为的篱笆围建一个长方形菜地（篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分），设平行于墙的一边的长为． (1)如图1，如果长方形菜地的一边靠墙，另三边、、由篱笆围成，当菜地的面积为时，求x的值； (2)如图2，如果长方形菜地的一边由墙和一节篱笆构成，另三边、、由篱笆围成，当菜地面积为时，求x的值． 【答案】(1)6 (2)12 【分析】（1）根据“一段长为的篱笆”可表示出，再根据矩形的面积，列出方程，解之取符合题意的值即可； （2）先表示，再根据矩形的面积，列出方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 整理得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴x的值为6； （2）解：根据题意得， 整理得， 解得（不合题意，舍去），， 答：x的值为12． 【题型7】工程效率问题 1.核心知识点 工作总量、工作效率、工作时间的关系；一元二次方程的应用 2.解题方法技巧 ①通常将工作总量看作单位“1”，单队工作效率； ②合作工作时总效率为各队效率之和，根据“各段工作量之和=总工作量”列方程； ③涉及效率提升的问题，准确表示变化后的效率与对应工作时长。 【例题7】.（25-26九年级上·重庆渝北·期末）列方程解下列问题： 某大型腊肉加工厂只加工甲、乙两种腊肉礼盒，已知每名工人每天加工甲种腊肉礼盒数量是加工乙种腊肉礼盒数量的1.5倍．某天，当分配加工甲种腊肉礼盒的工人比加工乙种腊肉礼盒的工人少20人时，当天加工出厂的甲、乙种腊肉礼盒数量均为14400个． (1)求每名工人每天加工甲、乙两种腊肉礼盒数量各多少个？ (2)春节将至，订单激增．该厂一方面对所有工人重新分配：名加工乙种腊肉礼盒，其余的工人加工甲种腊肉礼盒：另一方面提高生产效率：每名工人每天加工乙种腊肉礼盒比以前增加个，每名工人每天加工甲种腊肉礼盒比以前增加个．已知该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000个，求的值． 【答案】(1)360个；240个 (2)80 【分析】本题考查分式方程和一元二次方程的实际应用： （1）设每名工人每日加工乙种腊肉礼盒个，则每名工人每日加工甲种腊肉礼盒个，根据题意列分式方程，解方程即可． （2）先根据（1）中结论求出工人总数，再根据该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000个，列一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设每名工人每日加工乙种腊肉礼盒个，则每名工人每日加工甲种腊肉礼盒个． 根据题意，得． 化为整式方程，得， 解方程，得． 经检验，是原方程的解． 则． 答：每名工人每日加工甲种腊肉礼盒360个，每名工人每日加工乙种腊肉礼盒240个． （2）解：工人总数为：（人）． 根据题意，得． 整理得． 解得，（舍去）． 答：的值为80． 【变式题7-1】.（25-26九年级上·重庆·阶段检测）列方程解下列问题： 甲、乙两人加工生产同种零件．甲每小时比乙多生产10个，甲生产120个该种零件的时间与乙生产100个该种零件的时间相同． (1)求甲、乙两人每小时各生产多少个零件？ (2)由于市场需求量大幅增加，该厂更换了生产设备．更换设备后，甲每小时生产的零件数量比原来增长了，乙每小时比原来多生产个零件，甲、乙两人同时工作小时共可以生产1500个零件，求的值． 【答案】(1)甲每小时生产60个零件， 则乙每小时生产50个零件 (2)10 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元二次方程的实际应用，根据题意，得到等量关系是解题的关键． （1）设甲每小时生产x个零件， 则乙每小时生产个零件，根据“甲生产120个该种零件的时间与乙生产100个该种零件的时间相同．”列出方程，即可求解； （2）先求出更换设备后，甲每小时生产的零件数量为，乙每小时生产个零件，根据“甲、乙两人同时工作小时共可以生产1500个零件，” 列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设甲每小时生产x个零件， 则乙每小时生产个零件，根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意，此时， 答：甲每小时生产60个零件， 则乙每小时生产50个零件； （2）解：更换设备后，甲每小时生产的零件数量为，乙每小时生产个零件，根据题意得： ， 整理得：， 解得：（舍去）， 即m的值为10． 【变式题7-2】.（25-26九年级上·重庆黔江·期末）某快递公司分拣中心有两台自动分拣机（型号甲、型号乙），专门处理小件快递的分拣工作，机器效率稳定且符合行业实际标准：甲分拣机每小时能分拣400件快递，乙分拣机每小时能分拣500件快递． (1)电商大促期间，快件量激增，两台分拣机轮流工作共用了11小时，要确保分拣的快递总数不少于5000件才能避免快件积压，保障配送时效，则乙分拣机至少需要工作多少小时？ (2)日常运营中，原计划两台分拣机每天均工作8小时．为提升分拣效率，中心对机器进行了系统升级和算法优化：实际工作中，甲分拣机每小时比原计划多分拣100a件（），且每天比原计划少工作2a小时；乙分拣机每小时比原计划多分拣100件，每天比原计划少工作a小时．调整后，两台机器一天恰好分拣快递6000件，求a的值． 【答案】(1)乙分拣机至少工作小时 (2)的值为 【分析】本题考查一元一次不等式和一元二次方程的实际应用，掌握一元二次方程的实际应用是解题的关键． （1）设乙分拣机工作小时，则甲分拣机工作小时，根据题意，列出不等式，求解即可； （2）根据题意，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设乙分拣机工作小时，则甲分拣机工作小时， 根据题意列不等式， 解得 答：乙分拣机至少工作小时； （2）根据题意，甲分拣机实际效率为件/小时，实际工作时间为小时；乙分拣机实际效率为件/小时，实际工作时间为小时， 根据题意列方程，， 解得（不符合题意，故舍去）， 答：的值为． 【变式题7-3】.（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）“万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋节，某月饼厂接到一笔盒月饼的订单，现决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工天，乙组加工8天就能完成这笔订单，且甲组3天加工的月饼数量比乙组2天加工的月饼数量多盒． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼； (2)甲、乙两组同时开工2天后，这笔订单临时又增加了盒月饼，甲组从第3天起提高了工作效率，而乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均每天每多加工盒月饼，则甲、乙两组就各自都提前1天完成任务，已知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前多少天完成了这笔订单？ 【答案】(1)甲组平均每天能加工盒月饼，乙组平均每天能加工盒月饼 (2)甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2天完成了这笔订单 【分析】本题考查列方程（组）解应用题，找到等量关系列出方程（组）是解决问题的关键． （1）设甲组平均每天能加工x盒月饼，乙组平均每天能加工y盒月饼，根据题意找到两个等量关系列方程再求解即可； （2）设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a天完成了这笔订单，根据题意列出方程求解并保留符合题意的整数解即可． 【详解】（1）解：设甲组平均每天能加工x盒月饼，乙组平均每天能加工y盒月饼， 根据题意，得， 解得， 答：甲组平均每天能加工盒月饼，乙组平均每天能加工盒月饼； （2）解：设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a天完成了这笔订单，根据题意，得 ， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2天完成了这笔订单． 【压轴素养题型】 【题型8】双动点动态几何综合问题 1.核心知识点 勾股定理；特殊图形的性质；动点分类讨论 2.解题方法技巧 ①用含时间的式子表示两条动线段的长度，结合图形性质寻找等量关系； ②涉及直角三角形、等腰三角形等条件时，需分类讨论顶点的对应情况； ③所有解都要验证的取值范围，确保符合动点运动的实际情境。 【例题8】.（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．设动点运动的时间为． (1) ， （用含t的代数式表示） (2)则当t为何值时，的面积为． 【答案】(1)； (2)或4时，的面积为 【分析】（1）根据点P、Q运动的速度，表示出、即可； （2）利用两点运动的速度表示出的长，进而表示出的面积；把代入，解方程可得结论． 【详解】（1）解：∵，点从点出发，以的速度沿运动， ∴； ∵点从点出发，以的速度沿运动， ∴； （2）解：由题意得：，，， ∴； 由题意得：， 解得：或， ∴或4时，的面积为． 【变式题8-1】.（25-26八年级下·安徽滁州·期中）如图，在中，，．点在边上，以的速度由点向点运动，同时，点在边上，以的速度由点向点运动，当一个点到达终点时，两个点同时停止运动．设运动时间为． (1)当时，求的面积． (2)当的面积为时，求的值． (3)的面积能否达到？若能，求出的值；若不能，说明理由． 【答案】(1) (2)的值为2或8秒 (3)的面积不能达到，理由见解析 【分析】（1）根据，可得，的长，即可求解； （2）由题意得，，，则，即可求解； （3）由（2）可得，令，进行判断即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∴． （2）解：由题意得，，， ∴， 整理，得， 解得． 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意；∴ ∴的值为2或8秒． （3）解：不能．理由如下： 由（2）可知，， 令， 整理，得， ∵， ∴无实数根， ∴的面积不能达到． 【变式题8-2】.（25-26九年级下·山东淄博·期末）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 【答案】(1)①经过2秒或4秒后，的面积等于；②的面积不能等于； (2)当为秒或秒，的面积等于． 【分析】（1）①设运动时间为x秒，根据三角形面积公式构建方程求解即可； ②设运动时间为x秒，的面积等于，根据三角形面积公式构建方程，解方程即可判断； （2）分两种情况讨论，用面积公式列方程即可得到答案． 【详解】（1）解：①设运动时间为x秒，则，， 又， ∴， 根据题意，得， 解得，． ∴经过2秒或4秒后，的面积等于； ②设运动时间为x秒，的面积等于， 根据题意，得， 整理得， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不能等于； （2）解：设运动的时间为t秒， ①当时，， 由题意，得， 解得：，； ②当时，， 由题意，得， 解得：，（舍去）， 综上所述，当为秒或秒时，的面积等于． 【变式题8-3】.（25-26八年级下·浙江湖州·期中）如图，在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)填空： ， ．（用含的代数式表示） (2)当五边形的面积等于时，求此时的值． (3)是否存在的值，使线段的长度最小，若存在，请求出此时的值和最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当五边形的面积等于104cm2时，此时的值为1 (3)存在，当时，线段的长度最小，最小值为 【分析】（1）根据P、Q两点的运动速度可得、的长度； （2）根据五边形的面积等于，代入相应数据解方程即可； （3）根据勾股定理求得，再根据配方法，求得最小值，即可求解． 【详解】（1）解：∵点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动， ∴； ∵P从点A开始沿边向终点B以的速度移动， ∴， ∵， ∴， （2）解：， ， ，， ， 整理得：， 解得：， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴当五边形的面积等于104cm2时，此时的值为1． （3）解：， ∵， ∴， ∴当时，线段的长度最小，此时． 【题型9】方案优化与决策问题 1.核心知识点 一元二次方程建模；多方案比较与选择 2.解题方法技巧 ①针对每种方案分别建立方程，求解对应参数或结果； ②结合成本、时间、场地限制等实际条件，筛选出可行方案； ③通过计算对比各方案的总费用、总时长等指标，确定最优方案。 【例题9】.（2026·广西南宁·二模）广西绣球是广西壮族自治区级非物质文化遗产，造型精美、寓意吉祥，深受大众喜爱．为方便绣球的快递运输，现需设计一款有盖长方体快递包装盒，底面积为，所用材料为长、宽的长方形硬纸板．制作时，在纸板四个角分别剪去两个相同的正方形和两个相同的长方形（如方案1图所示），然后折叠成盒（盒盖与盒底大小形状相同）． 为了优化设计，传承人借助提出了一种改进方案（称为方案2），方案2也需要在四个角上分别剪去两个相同的正方形和两个相同的长方形，已知两种方案体积相同，底面积相同，对方案2的优点给出了如下评价： ①．减少纸张的浪费：方案2表面积更小． ②．结构更稳固：方案2底面更接近正方形，重心更稳，抗压性更好，运输时不易变形、挤压，能更好保护物品． 接下来请你解决以下问题： (1)方案1中，设剪去的正方形边长为．请写出该包装盒的表面积（单位：）关于的函数表达式，并求出方案1中的值及的值． (2)请你在答题卡指定位置画出方案2的示意图，并通过计算判断关于“方案2表面积更小”的评价是否准确． 【答案】(1)，， (2)图形见详解，评价准确，理由见详解 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，多项式的运算等知识． （1）先表示出包装盒的长度、宽度，即可表示出包装盒的表面积，根据包装盒底面积为，可列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）转变思路，根据“在纸板宽的一侧裁剪两个正方形”的思路构图即可作答；同（1）先表示出包装盒的长度、宽度，即可表示出包装盒的表面积，根据包装盒底面积为，可列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）如图， 根据题意有：包装盒的长度为：， 包装盒的宽度为：， 即：包装盒的表面积为：， 由上图可知：纸板的宽刚好构成纸盒的两面高、底和盖，刚好底和盖的宽度相等，两面高的宽度也相等， ∵包装盒底面积为， ∴， 整理：， 解得：，（时，，明显不符合题意舍去）， 即：； （2）图形如下： 根据上图有：包装盒的长度为：， 包装盒的宽度为：， 根据图形有：此时包装盒的表面积为：， ∵包装盒底面积为， ∴， 整理：， 解得：，（，明显不符合题意舍去）， 即：； 方案1：包装盒的长度为：， 包装盒的宽度为：，高度：， 使用的纸板面积为：； 方案2：包装盒的长度为：， 包装盒的宽度为：，高度：， 使用的纸板面积为：； 综合比较：方案2使用的纸板面积更少，即减少纸张浪费；相比于方案1的纸盒，方案2的纸盒在高度相等的同时，底部的长宽比例更接近，图形更接近于正方形；相比于方案1的 “长条形”纸盒，方案2的纸盒则更加方正． 即“方案2表面积更小”的评价准确． 【变式题9-1】.（2026·安徽合肥·模拟预测）综合实践： “耕读园”劳动实践基地设计方案 项目主题：“耕读园”花圃设计 项目情境：为了迎接校园丰收节，同学们参与一块长为50米，宽为40米的矩形花圃设计项目．以下为项目学习小组对花圃设计的研究过程． 活动任务一 请设计两条相同宽度的小路连接矩形花圃两组对边．小组内同学们设计的方案主要有甲、乙、丙、丁四种典型方案． 驱动问题一 (1)项目小组设计出来的四种方案中小路面积的大小关系？ ①直观猜想：我认为 ；（请用简洁的语言或代数式表达你的猜想） ②具体验证：选择最简单的甲、乙方案，假设小路宽为1米，则甲、乙方案中小路的面积分别为 和 ． ③一般验证：若小路宽为米，则甲、乙方案中小路所占的面积分别为 和 ． 活动任务二 为施工方便，学校选择甲种方案设计，并要求除小路后草坪面积约为1824平方米． 驱动问题二 (2)请计算两条小路的宽度是多少？ 活动任务三 为了布置劳动标志等元素，将在花圃靠墙（墙足够长）的位置，用篱笆围成三边，形成面积为100平方米的矩形花坛，如图所示（墙为一边，篱笆围另外三边）．设矩形垂直于墙的边长为米，平行于墙的边长为米． 驱动问题三 (3)若篱笆总长为30米，为了使篱笆恰好用完同时围住三面，项目小组的同学对下列问题展开探究，其中矩形宽，长 ①若30米长的篱笆，请用两种不同的函数表示关于的函数关系． ②数学之星小明提出一个问题：若米长的篱笆恰好用完，且存在两种不同方案（即墙作为长边或作为宽边两种围法）都可以围出面积为100平方米的矩形，并且两种方案中垂直于墙的边长（宽）之和小于15米．甲同学说“篱笆的长可以是28米”，乙同学说“篱笆的长可以是32米”．你认为他们俩的说法对吗？请说明理由． 【答案】(1)①四种方案中小路面积相等；②89平方米；89平方米；③；； (2)两条小路的宽度是米； (3)①或； ②甲，乙都错误，理由如下： 由题意得：， ∴， 设方程的两个根为，则，且， ∴， ∴，， ∴， ∴甲，乙说法都错误． 【分析】（1）①根据题意直接得出猜想； ②分别用两种不同的方法求解即可； ③分别用两种不同的方法表示即可； （2）先得出小路的面积，列出方程求解即可； （3）①分别用两种不同的方法表示即可； ②由题意得到，设方程的两个根为，则，且，求得的取值范围，可得结论． 【详解】（1）解：①我认为四种方案中小路面积相等； ②甲方案小路面积：（平方米）， 乙方案小路面积：（平方米）； ③若小路宽为米， 甲方案小路面积为：， 甲方案小路面积为：； （2）解：∵草坪面积1824平方米， ∴小路面积为：（平方米）， ∴， 解得：， ∴两条小路的宽度是米； （3）解：①方法1： ∵面积为100平方米， ∴， ∴； 方法2：∵篱笆总长为30米，宽，长， ∴， ∴； ②略 【变式题9-2】.（2026·上海青浦·二模）被誉为“金果子”的草莓，是青浦区乡村产业振兴的一个亮点．某草莓采摘园计划通过互联网销售草莓，需设计一款底面积为的有盖子的长方体快递包装盒，所用的材料为长，宽的长方形硬纸板．制作方法如下：在每一张纸板的四个角上分别剪去两个相同的正方形和两个相同的长方形（如方案1图所示）．然后折叠成一个有盖纸盒（盒盖与盒底大小形状相同） 为了优化设计，草莓采摘园的老板借助提出了一种改进方案（称为方案2），方案2也需要在四个角上分别剪去两个相同的正方形和两个相同的长方形．对方案2的优点给出了如下评价： ①．节省材料，成本更低：两种方案体积相同，底面积相同，但方案2表面积更小，用料更省，长期生产可降低包装成本． ②．结构更稳固：方案2底面更接近正方形，重心更稳，抗压性更好，运输时不易变形、挤压，能更好保护物品． 接下来请你帮助老板解决以下问题： (1)设方案1中剪去的正方形的边长为，求包装盒的表面积； (2)尝试在备用图中画出方案2，并通过计算说明AI对方案2“表面积最小”的评价是否准确？ 【答案】(1) (2) 解：∵ ，底面积等于， ∴， 解得：或（舍去）， 当时，方案1包装盒的表面积为：， ∵两种方案体积相同，底面积相同，底面更接近正方形， ∴得图 当， 时，满足条件， ∴， 则包装盒的表面积长方形硬纸板的面积正方形面积长方形面积 方案2包装盒的表面积为：， 则对方案2“表面积最小”的评价准确． 【分析】（1）根据图形可知剪去的长方形的长为，则包装盒的表面积=长方形硬纸板的面积-正方形面积-长方形面积； （2）根据底面积相同，可解方程得底边长宽分别为，则包装盒的表面积=长方形硬纸板的面积-正方形面积-长方形面积，即可验证方案． 【详解】（1）解：由题意可得， ，， ∴ 则剪去的长方形的长为： 则包装盒的表面积长方形硬纸板的面积正方形面积长方形面积； （2）略 【变式题9-3】.（25-26八年级下·安徽六安·期末）根据以下素材，探究完成任务： 制作长方体收纳盒 背景 某校数学项目化学习小组准备了一些长为，宽为的长方形硬纸板，准备利用纸板做长方体收纳盒（接缝处忽略不计）．    方案甲 如图所示，甲活动小组在长方形纸板的四个直角处裁掉四个边长均为的小正方形，再沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒，盒子的底面是矩形．    方案乙 如图所示，乙活动小组在长方形纸板的四个直角处裁掉四个长均为宽均为的小长方形，再沿虚线折成一个有盖的长方体收纳盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面是矩形．    (1)任务一：用含的代数式表示：方案甲制作出的无盖收纳盒的底面长为________，底面宽为________． (2)任务二：若方案甲制作出的无盖收纳盒的底面积为，求裁去小正方形的边长的值 (3)任务三：若方案乙制作出的有盖收纳盒的底面积为，请通过计算判断，图中长为，宽为，厚度为的书本能否完全放入该收纳盒内．    【答案】(1)； (2)裁去小正方形的边长的值为 (3)书本能完全放入该收纳盒内 【分析】（1）根据方案甲长方形纸板的四个直角处裁掉四个边长均为的小正方形，可得长和宽为原来的长和宽分别减去； （2）利用（1）的代数式，结合面积公式列出方程解答即可； （3）根据图示得出该收纳盒的高为，然后表示出收纳盒底面的长和宽，结合面积公式列出方程求得收纳盒的高，进而得到收纳盒的长和宽，即可判断． 【详解】（1）解：依题意，方案甲制作出的无盖收纳盒的底面长为，底面宽为． （2）解：∵无盖收纳盒的底面长，底面宽，底面积为， ， 解得或， 底面宽，即， 舍去， ， 答：裁去小正方形的边长的值为； （3）解：根据题意可知，收纳盒的高为， 则盒子的底面的矩形中，， ∵收纳盒的底面积为， ， 解得或（不合题意，舍去）， ∴收纳盒的高为，，， ，，， ∴书本能完全放入该收纳盒内． 易错点 1、忽略实际意义检验：解出方程的根后，不结合实际情境验证，出现边长为负、人数为分数、下降率超过100%等不符合现实的错误。 2、核心公式混淆：传播问题与增长率问题公式混用，循环问题分不清单循环与双循环，导致计数错误。 3、围建问题漏限制：靠墙类问题忽略墙长的限制条件，未检验平行于墙的边长是否超出墙长。 4、利润关系错配：销售问题中，价格变化量与销量变化量的对应关系搞反，或漏乘变化的单位倍数。 重点 1、列一元二次方程解应用题的完整步骤，特别是验根环节的必要性与方法。 2、增长率、销售利润、图形面积三大核心题型的数量关系与建模方法。 难点 1、动态几何问题中的分类讨论思想，以及多动点情境下等量关系的建立。 2、复杂实际情境中的数学建模，以及多限制条件下解的筛选与方案决策。 一、单选题 1．某超市1月份营业额为90万元，1月、2月、3月总营业额为288万元，设平均每月营业额增长率为x，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据增长公式：增长后的量增长前的量增长率，分别表示出每个月的营业额，再结合三个月总营业额列方程即可． 【详解】设平均每月营业额增长率为， 月份营业额为万元， 月份营业额为，月份营业额为， 又月、月、月总营业额为万元， 可得方程． 2．我国古代井田形制多为正方形，现对一块正方形井田修整，在田地四周向外修筑等宽田埂，四周每一侧均向外拓宽2丈，拓宽后整块田地仍为正方形，且新增开垦的田地面积恰好是原有井田面积的．设原正方形井田的边长为丈，则下列所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定拓宽后正方形的边长，再根据“新增开垦面积等于原井田面积的”的等量关系列方程即可． 【详解】解：∵原正方形井田边长为丈，四周每一侧向外拓宽丈，正方形左右两侧一共拓宽丈，上下两侧一共拓宽丈， ∴拓宽后正方形的边长为丈． ∵新增开垦面积拓宽后总面积原井田面积，且新增面积是原井田面积的，原面积为，拓宽后面积为， ∴列方程得． 3．2026年的世界杯足球赛中，组委会将参赛球队平均分成了个小组，在小组赛中，每支球队都要和组内其他球队进行一场比赛．小莹了解到本届世界杯小组赛共有场，但不知道每个小组有几支球队．若设每个小组有支球队，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算单个小组的比赛场数，再结合小组总数和总比赛场数列出方程即可． 【详解】解：∵每个小组有支球队，每支球队要和组内支球队各进行一场比赛，且甲对乙和乙对甲是同一场比赛， ∴ 一个小组的比赛总场数为， ∵ 一共有个小组，小组赛总场数为场， ∴ 可列方程为． 二、填空题 4．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出______个小分支． 【答案】9 【分析】设每个支干长出x个小分支，主干为1个，支干为个，小分支为个，根据总数是91列出一元二次方程求解． 【详解】解：设每个支干长出x个小分支， 根据题意得， 解得，（舍去） ∴每个支干长出9个小分支． 5．某奶茶店销售一款招牌奶茶，每杯成本为5元．当售价为15元/杯时，平均每天能售出300杯．市场调查发现，售价每降价1元，平均每天就能多售出50杯．店主希望扩大销量，提高知名度，且使每天的销售利润仍保持在3000元，则每杯奶茶应降价____________元． 【答案】 【分析】设出每杯奶茶的降价金额，结合已知条件表示出每杯利润和每日销售量，根据总利润每杯利润销售量列方程求解，再根据扩大销量的要求选择符合题意的解即可. 【详解】解：设每杯奶茶应降价元， 由题意得：， 解得，； ∵店主希望扩大销量，降价越多销量越高， ∴舍去，取， 答：每杯奶茶应降价元. 6．如图1为一矩形纸板，长，宽．在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（如图2）．如果要制作的无盖方盒的底面积为，则矩形纸板各角应切去正方形的边长为______． 【答案】 【分析】设切去正方形的边长为 ，根据矩形的长和宽分别减去 表示出底面的长和宽，利用矩形面积公式列一元二次方程求解，并根据实际意义检验根的合理性即可． 【详解】解：设矩形纸板各角应切去正方形的边长为． 根据题意，得 ． 整理，得 ． 解得 ． 当 时，，不合题意，舍去． 所以 ，即矩形纸板各角应切去正方形的边长为1． 三、解答题 7．一款服装每件进价为70元，销售价为120元时，每天可售出20件．经市场调查发现，如果每件服装每降价1元，那么平均每天可多售出2件．设每件服装降价x元． (1)每天销售量增加____________件，每件服装盈利_______________元（用含x的代数式表示）； (2)在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1600元？ 【答案】(1) (2)降价30元 【分析】（1）根据每件降价1元，多售出2件，降价x元则销售量增加件，原每件盈利50元，降价后每件盈利元； （2）根据每件利润×销售量=总盈利列一元二次方程，求解后结合让利于顾客的条件选择较大的降价幅度． 【详解】（1）解：∵每件降价1元，多售出2件， ∴降价x元，则销售量增加件， ∵原每件进价为70元，销售价为120元， ∴原每件盈利50元， ∴降价x元，则每件服装盈利元． （2）解：由题意可知：每件服装的销售利润为元，平均每天的销售量为件，     则由题意得：，整理得：，     解得：． 又∵需要让利于顾客， ．    答：每件服装降价30元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利1600元． 8．一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止滚动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动用了多少秒（结果保留根号）？ （提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．） 【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少； (2)小球滚动到用了秒． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间； （2）利用等量关系：速度×时间＝路程，时间为，根据题意列出方程：求解即可． 【详解】（1）解：从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间， 即， 故小球的滚动速度平均每秒减少； （2）解：设小球滚动到用了， 即， 解得（舍），． 答：小球滚动到用了秒． 9．某电厂规定，该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过a度，那么这居民这个月只需缴30元电费；如果超过a度，那么这个月除了仍要缴30元的用电费以外，超过的部分还要每度按元缴费． (1)若该厂某户居民2月份用电度，超过了规定的a度，则超过的部分应缴电费多少元（用a表示）； (2)如表是这户居民3月、4月用电情况和缴费情况： 月份 用电量（度） 缴电费总数（元） 3 120 62 4 65 30 请根据如表数据，求出电厂规定的a的值． 【答案】(1)元 (2) 【分析】此题考查了一元二次方程的应用． （1）由题意列出代数式即可得出结论； （2）由3月份的用电量、缴电费总数，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：由题意可知，超过a度的电费为元； （2）由表格可知3月份的用电量超过a度，故：， 整理得：， 解得：， ∵4月份用电量度，交费元， ∴， ∴不符合题意，舍去， ∴， 答：电厂规定的a的值为． 10．如图，为深化劳动教育实践，某校计划将原长、宽的矩形劳动实践基地扩建为矩形，使其总面积达到．经规划测量，确定扩建时长与宽增加的长度之比为（即）． (1)求长和宽各增加了多少米？ (2)扩建后，为便于管理，准备在基地内修建一横一纵两条宽均为的十字形小路，剩余部分为试验园地，求试验园地的面积． 【答案】(1)长增加了，宽增加了 (2) 【分析】（1）设，则，根据扩建后总面积达到，列方程求解即可； （2）根据平移的性质将试验园地的面积变为矩形求解即可； 【详解】（1）解：设，由得， 扩建后矩形的长为，宽为， 根据总面积列方程：，整理得：， 解得：，（长度不能为负，舍去）， 因此，， 即长增加了，宽增加了； （2）解：由（1）得，扩建后矩形的长为，宽为， 将十字小路平移到矩形边缘，剩余试验园地为矩形，长和宽各减少小路宽度， 因此试验园地面积为：． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $