辽宁鞍山市2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题

**基本信息** 高二下学期期末数学试卷，通过选择、填空、解答题梯度设计，覆盖函数、数列、不等式等核心知识，解答题结合实际购买策略与函数数列综合探究，考查数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、函数单调性、不等式|基础巩固，考查抽象能力与推理意识| |多选题|3/18|等比数列、函数奇偶性|能力提升，需综合分析多个选项| |填空题|3/15|函数性质、数列通项|创新应用，如格点坐标规律探究| |解答题|5/77|函数值域、实际购买策略、数列证明|综合应用，结合经济情境（策略②）与逻辑推理（数列不等式证明）|

2025-2026学年度下学期高二7月中期学情调研 数学试题 (参考答案) 一、单选题 题号 1 2 4 6 7 8 答案 B D B A C D C B 二、多选题 题号 9 10 11 答案 BD ABD ACD 三、填空题 12.【答案】110 13.【答案】g=n×2-1 14.【答案】45. 四、解答题 15.(本题13分) 【答案】61解：因为oe:=1@,-lo音方-片6ex-2)2分 所-号e2-o-5威，4-非x到-号3 因为x∈[1,8]，log2x∈[0,3]，.4分 所以当1e:=时，f()有最小值名：当1og:x=0时，f间有最大值2. 所以质数的猫城为[厂会习 .6分 (2)解令t=log2x,由r∈[1,8]得t=log2x∈[0,3]，7分 所以f(mag,x对于eL8到恒破立等价于-+刊>m对103到恒成立，9分 当t=0时，2>0恒成立； 10分 因为t+5≥2x-5=-1,当且仅当t=4,即1=2时等号成立， 12分 所以一子即m的取值花国为（网为 13分 第1页/共5页 16.(本题15分) 【答案】（1)因为乃=1，p2=2,=60,n=90, 采用策略①，两次购买物品的数量均为60，且第一次、第二次购买的价格分别为乃=1，P=2, 则采用策略①购买的产品总量为120，总金额为60×1+60×2=180；3分 采用策略②，两次购买的金额均为90，其中第一次、第二次购买的价格分别为乃，=1，P2=2, 则策略②购买的产品总量0+0=135，总金额为180-.6分 12 (2)采用策略①，两次购买物品的数量均为m,则两次的平均价格为Bm+P,业=乃+卫 2 ;8分 2m nn 采用策略②，两次购买的金额均为，购买物品的数量一+。 pP2 2n2 则两次平均价格为n+n1+1,l0分 P P2 P P2 h+2.,2,-h+2-22=A=≥0 因为B>0,P,>0,于是2111 2P1+P229+P) 13分 p p2 当乃=P时，两次购买的平均价格相等，采用策略①与采用策略②一样经济；14分 2 当P1≠P2时， 十卫2之工，采用策略②比来用策略①更经济15分 2 PP> 17.(本题15分) 【答案】(1)因为fx)=号+2x-6血k+1), 所以f"(x)=x+2- 6 x+1 2分 又f(0)=0,切点(0,0) 4分 '(0)=2-6=-4, 所以f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为：y=4x 6分 (2)因为函数f(倒定义域为(-1+o),f(=x+2-6-x+4)x- 7分 x+1 x+1 因为-1<x<1时，f'(x)<0,所以f(x)在(-1,1)上单调递减， 9分 当x>1时，f(x)>0,所以函数f(x)在(1，+0)上单调递增 11分 所以，当x=1时利有楼小鱼，且0=26n2；62 第2页/共5页 且当xe(←1)时，f)(}6h2o） xe+)时，f)e；-6n2+: .14分 所以若关于的方程)-=a有两个不相等的实数解，ae[?6h2+） 15分 18.(本题17分) 【答案】(1)由(a+1(a,+=2a,+1可得a1+a 4兮0,4=7≥0，依此类推，8>0 11+4-1+1, 1-1=1, 3分 an a :数列凸是首项为3，公差为1的等差数列， a 1 1 =n+2,即a= n+2 5分 (2) 。,=0a+2 ..6分 用错位相减法求和： Sn=3×5+4×()2+5×()3+…+(m+2)(3)”(1) 号Sn=3×(2+4×()3+5×()4+…+(0m+2)()+1(②) 8分 0-2)得：sn=3×+(2+(3+…+(严)-m+2)(+ 其中等比数列部分：()2+()3+…+()”， (2+()3+…+(-)”,代入得： S.=3×+名的)-m+2)+1 5.=子-中 10分 1 （3》a=m+2故对k=1,2.3. 1 11 1 a44nk+2)k+3)k+4)2k+2)+3) 飞+3)+4) 12分 .44%3+434a4++a.a+1a+2 第3页/共5页 -+ww司 11 1 1 1 23×4(0n+3)0+4)】 2420n+3)0+4）’15分 因为2(n+3)0n+4) >0, 16分 1 所以2420n+3)(m+4)24 1 即☑3+a2a4++a,niCn< 17分 19.(本题17分) 【答案】 1)由题意可知：f()的定义域为(-1，+o),且f(x)=a+1a+a+1 x+1t+1,…1分 ①当a≥0，f'(x)>0,可知f(x)在(-1，+o)上单调递增； 3分 ②当a<0,令f(y)=0,解得x=-1-1, 当x-1石f)0,可知f在合 上单调递增； 当xe(。1+切）f<0,可阳/在（日1+o 上单调递减5分 综上所述：当a≥0时，f(x)在(-1，+o)上单调递增： 当a<0时，f倒在l-。小上单调增，在 -1-1,+o0 a 上单调递减。6分 (2)因为不等式f(x)≤0在x∈(-1，+o)上恒成立，且f(0)=0,7分 则f(0)=a+1=0,解得a=-1,8分 若a=-1,由(1)可知f(x)在(-1,0)上单调递增，在(0，+o)上单调递减， 则f(x)≤f(0)=0,符合题意： 综上所述：实数a的所有取值构成的集合为{-} .10分 (3)当a=1时，由(1)可知f(x)=x+n(1+x)在(-1，+o)上单调递增， 第4页/共5页 且f(0)=0,则f(x)>0等价于x>0:f(x)<0等价于-1<x<0:12分 因为b=f(b+1)=b41+ln(1+b1),且b=1>0, 则f(b)>0,可得b>0, 且b-b=1n(1+b)>0,所以b>b>0, 以此类推可得：n∈N,b.>b,n+1>0 13分 设t=b+1>0,则bn=t+n(1+t), 要证1>2 11 b12气b.2 11 2 2>t+n(t+1),两边乘以2[+血(t+1], 等价于：+ 整理为t-2t+(t+2)n(1+t)>0, 14分 令g(t)=f-2t+(t+2)n(1+t),(t>0), 则a0-0,g0-2+h1+0+月 令h0=g),N(0)=2+,1-1 >0, ”1+t(1+月 可知h(t)在(0，+o)上单调递增，则h(t)>h(0)=0,即g'(t)>0, 可知g(t)在(0，+0)上单调递增，可得g(t)>g(0)=0, 16分 +aha0,太6} n∈Nl7分 第5页/共5页 2025--2026学年度高二下学期期末考试 数学试题 测试时间：120分钟 满分：150分 第I卷（选择题，共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（  ） A． B． C． D． 2. 某同学解关于的不等式时，因弄错了常数的符号，解得其解集为 ，则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 3．“函数在区间上单调递增”是“”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4. 已知对一切都成立，则，的值为 （  ） A． ， B． C． ， D． ， 5. 已知数列满足，，，记，为数列的前项和，则（  ） A． 63 B． 127 C． 255 D． 256 6．已知，若正实数满足，则 的最小值为（  ） A． B． C． D． 7．已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，设， ，则的大小关系是（  ） A． B． C． D． 8. 已知函数，若，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列不等式成立的是（  ） A． B． C． D． 10. 记等比数列的前项和为，已知，公比为，则（  ） A．是等比数列 B． 是等差数列 C． 是等比数列 D． 是等比数列 11. 已知定义在R上的函数满足，且为奇函数，则下列选项正确的是（  ） A．的图象关于直线对称 B． C． D． 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数满足，.则 . 13. 设为数列的前n项和，当时，，已知，，． 则数列的通项公式 14. 如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中，且，．记，如，即，，即，，即，…，以此类推．设数列的前n项和为，则 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15． (本题13分) 函数． (1)当时，求该函数的值域； (2)若对于恒成立，求的取值范围． 16．(本题15分) 两次购买同一种物品，通常有两种不同的策略． 策略①不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量相同 策略②不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的金额相同 已知某人两次购买同一种物品，第一次、第二次购买时的价格分别为，设采用策略①时，两次购买的数量均为；采用策略②时，两次购买的金额均为． (1)若，请计算策略①购买的产品总量以及购买产品使用的总金额，以及策略②购买的产品总量以及购买产品使用的总金额. (2)请问，采用哪种策略更经济？说明理由； 17．(本题15分) 已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若关于的方程有两个不相等的实数解，求实数的取值范围. 18. (本题17分) 已知数列 满足 ，，. (1)求数列的通项公式; (2)若 , 设为数列的前n项和,求 (3)证明:对，. 19. (本题17分) 已知函数，， （1）讨论函数的单调性： （2）若不等式在上恒成立，求实数的所有取值构成的集合； （3）当时，定义数列满足：，，，证明：，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $