期末专项培优：数学广角——数与形应用题（专项训练）-2025-2026学年六年级上册数学 人教版

期末专项培优：数学广角——数与形应用题 1．如图，一张桌子可以坐6个人，两张桌子可以坐10个人，那么10张桌子可以坐多少个人？ 2．下面是用牙签拼成的图形，观察下图的规律，按要求回答问题。 （1）看图填写下表中的相关数据。 图序 ① ② ③ ④ … 三角形的个数 1 2 … 正方形的个数 3 5 … 所用牙签总根数 12 20 … （2）根据（1）中信息，你发现了什么规律？ （3）按这种拼图方法拼出的第10个图中三角形和正方形各有多少个？共需要牙签多少根？ 3．如下图，1个杯子的高度是15cm，把5个完全一样的杯子叠起来的高度是25cm，那么10个这样的杯子叠起来的高度是多少厘米？ 4．观察下图，想一想。 （1）依次排下去，第7幅图有多少个棋子？第15幅图呢？ （2）第n幅图有多少个棋子？ 5．画一画，填一填。 （1）根据上面的图形与数的规律接着画出第四个图形并填空。 （2）这样排列下去，第5个图形有（    ）个点，第10个图形的方框里有（    ）个点。 6．下面每个图形是由多少个小正方形组成的？如果每个小正方形的边长为1，每个图形的周长分别是多少？ 个数：（    ）（    ）（    ） 周长：（    ）（    ）（    ） 每个图形中的小正方形的周长与整个图形的周长之间的关系： 1个小正方形的周长×（    ）＝整个图形的周长 请根据上面的内容提出一个数学问题并解答。 7．如下图，用完全一样的火柴棍按照一定的规律拼图形。 （1）拼第4个图形需要 根火柴棍；拼第n个图形需要 根火柴棍。 （2）拼第几个图形时，需要2026根火柴棍？ 8．数一数，填一填，你能发现什么规律？ (1)根据规律，把上面的表格填完整。 图形 … 正方形的个数 1 2 3 4 5 … 需要小棒根数 4 7 10 ( ) ( ) … 算式 3×1＋1 3×2＋1 3×3＋1 3×4＋1 ( ) … (2)摆10个正方形要用( )根小棒，请把算式写出来。 算式： (3)你是否理解这道题的题意？（    ） A．完全不理解 B．不太理解 C．比较理解 D．完全理解 (4)在你的数学课上，是否经常遇到这类问题？（    ） A．从来没有 B．很少 C．有时 D．经常 9．在六一联欢晚会上，有一个“亲子互动”节目，用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示，按照下面的规律摆下去． （1）摆4条“金鱼”需要多少根火柴棒？ （2）用122根火柴棒可以摆多少条“金鱼”？ 10．用火柴棒搭六边形。 （1）m＝__________。 （2）用2016根火柴棒能搭成多少个六边形？ 11．如图，8张桌子可以坐多少人？要坐46人，需要多少张桌子拼在一起？ 12．   （1）找规律，在横线上画出第四幅图。 （2）第12幅图中有（    ）个○，有（    ）个●。 13．各代表一个数字，下面每个图案都是由中的两个图形（可以是相同的）构成的。观察各图形与它下面的数之间的关系，请你写出最后面图形下面的“？”表示什么。 14．用A、B、C、D、E代表5人的姓名，这5人进行乒乓球比赛，每2人之间都要打一局。A已打了4局，B打了3局，C打了2局，D打了1局。E一共打了几局？分别和谁打的？ 15．用小棒按照如下方式摆图形，摆一个八边形需要8根小棒。观察规律。 （1）根据规律，怎样摆出4个八边形，把你的想法画在方框内。 （2）照这样画下去，想一想，摆7个八边形需要（    ）根小棒，如果想摆n个八边形需要（    ）根小棒。 16．探索与发现。 数形结合思想是数学中最重要的、最基本的思想方法之一。计算2＋4＋6＋8＋10＋12…这样的算式有简便方法吗？聪聪遇到这个问题时，他想到用“数形结合”的方法来探索，于是他用小圆片摆图研究（如图）。 序号 1 2 3 4 … 图形 …… 图片个数 2 2＋4 2＋4＋6 2＋4＋6＋8 … (1)观察表格，请把下面等式补充完整。 2＝1×2 2＋4＝2×3 2＋4＋6＝3×4 2＋4＋6＋8＝( )×( ) (2)若按此规律继续摆，则序号为( )的图形共有132个小圆片，序号为n的图形，共有( )个小圆片。 17．我会发现规律． 三角形 的个数 1 2 3 4 5 6 …… 小棒的 根数 3 5 …… 1.摆20个这样的三角形，需要多少根小棒？ 2．有99根小棒，能摆出多少个这样的三角形？ 18．学校阅览室有能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌拼成一行，2张方桌拼成一行能坐6人(如图所示)，请你结合这个规律解决问题． 1．8张桌子可坐多少人？ 2．n张桌子可坐多少人？ 19．用小棒按下面的方法摆图形． 　　　 　 　  … 三角形个数：(　　)   (　　)   (　　) 　 (　　)… 小棒根数：  (　　)   (　　)   (　　) 　 (　　)… （1）完成上面的填空． （2）拼成的三角形的个数与所用的小棒数之间有什么关系？ 20．摆一摆，找规律． 摆第n个图形需要用多少根火柴棒？ 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．42人 【详解】10×4+2=42（人） 2．（1）见详解 （2）第个图中，三角形有个，正方形有个，所用牙签总根数为根。 （3）三角形有10个，正方形有21个；牙签84根 【分析】（1）观察图形，三角形的个数：图①有1个三角形，图②有2个三角形，图③有3个三角形，图④有4个三角形，因此图序为时，三角形个数为；正方形的个数：图①有3个正方形，图②有5个正方形，图③有7个正方形，图④有9个正方形，通过观察可知正方形的个数比三角形个数的2倍还多1，因此图序为时，正方形个数为；牙签总数：图①有12根牙签，图②有20根牙签，图③有28根牙签，图④有36根牙签； （2）通过观察可知牙签的总数比三角形个数的8倍还多4，因此图序为时，牙签的总数为； （3）根据规律可以求出对应值。 【详解】（1） 图序 ① ② ③ ④ … 三角形的个数 1 2 3 4 … 正方形的个数 3 5 7 9 … 所用牙签总根数 12 20 28 36 … （2）第个图中，三角形有个，正方形有个，所用牙签总根数为根。 （3）； 答：第10个图中三角形有10个，正方形有21个，共需要牙签84根。 【点睛】本题考查了图形规律的探索，需要通过观察图形的变化，分析三角形的个数、正方形的个数、牙签总数随图序变化的规律，再用代数式表示规律并应用规律解决问题。 3．37.5cm 【分析】先求出上边1层高度，杯子叠起来的高度＝1个杯子高度＋1层高度×（杯子数量－1），据此分析。 【详解】（25－15）÷（5－1） ＝10÷4 ＝2.5（厘米） 15＋2.5×（10－1） ＝15＋2.5×9 ＝15＋22.5 ＝37.5（厘米） 答：10个这样的杯子叠起来的高度是37.5厘米。 【点睛】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。 4．（1）49个；225个（2）（n2）个 【分析】观察棋子的数目与图的序数之间的关系，发现：第1幅图：1＝12个棋子；第2幅图：1＋3＝4＝22个棋子；第3幅图：1＋3＋5＝9＝32个棋子；第4幅图：1＋3＋5＋7＝16＝42个棋子，……，据此总结出一般规律，解答即可。 【详解】第1幅图：1＝12个棋子 第2幅图：1＋3＝4＝22个棋子 第3幅图：1＋3＋5＝9＝32个棋子 第4幅图：1＋3＋5＋7＝16＝42个棋子 …… 所以第7幅图有72＝49个棋子 第15幅图有152＝225个棋子 第n幅图：（n2）个棋子 【点睛】本题考查数与形，解答本题的关键是找到棋子的数目与图的序数之间的关系。 5．（1）；1＋4×3 （2）17；37 【分析】（1）根据图示，后一个图形比前一个图形多4各圆点，即每个角上多1个点，据此作图即可。 （2）根据圆点的排列规律，写出第n个图形圆点的个数表达式，再分别将n＝5和n＝10代入求解即可。 【详解】由分析可得： （1）如图： 点子数量关系式：1＋4×3 （2）第n个图形圆点的个数是： 1＋4×（n－1） ＝1＋4n－4 ＝4n－3（个） n＝5时 4×5－3 ＝20－3 ＝17（个） n＝10时 4×10－3 ＝40－3 ＝37（个） 【点睛】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。 6．个数：1；3；6； 周长：4；8；12 每个图形中小正方形的层数（或每个图形中小正方形的列数） 示例：如果一个图形中小正方形的层数是5，那么这个图形的周长是多少？（答案不唯一） 4×5＝20 【分析】根据对图形覆盖现象的规律的知识，解答此类题目，要仔细观察数字之间的关系，得出规律，本题的规律就是整幅图的周长等于每个小正方形的周长乘以每个图形中小正方形的层数。 【详解】第一个图形，有1个小正方形，图形的周长是4； 第二个图形，有3个小正方形，图形的周长是8； 第三个图形，有6个小正方形，图形的周长是12； ，，可以发现：1个小正方形的周长×小正方形的层数＝整个图形的周长； 示例：如果一个图形中小正方形的层数是5，那么这个图形的周长是多少？（答案不唯一） 7．（1）34；8n＋2 （2）253个 【分析】（1）根据已知的三个图形，第一个图形有8×1＋2＝10根火柴棍，第二个图形有8×2＋2＝18根火柴棍，第三个图形有8×3＋2＝26根火柴棍，据此可发现规律：第n个图形需要（8n＋2）根火柴棍，代入数据n＝4进行计算，即可得出答案。 （2）根据火柴棍的规律建立方程，解出n的值即可。 【详解】（1）8×4＋2 ＝32＋2 ＝34（根） 所以，拼第4个图形需要34根火柴棍；拼第n个图形需要（8n＋2）根火柴棍。 （2）解：设拼第n个图形时，需要2026根火柴棍。 8n＋2＝2026   8n＋2－2＝2026－2 8n＝2024 8n÷8＝2024÷8 n＝253 答：拼第253个图形时，需要2026根火柴棍。 8．(1) 13 16 3×5＋1 (2) 31 3×10＋1 (3)D (4)C 【分析】（1）摆一个正方形需要4根小棒，摆两个正方形需要7根小棒，摆三个正方形需要10根小棒。则每多摆一个正方形，多需要3根小棒，也就是摆n个正方形，需要3×n＋1根小棒。摆4个正方形需要13根小棒，摆5个正方形需要16根小棒。 （2）摆10个正方形要用3×10＋1根小棒。 （3）本题研究正方形的个数与需要小棒根数之间的关系，可以完全理解题意。 （4）根据实际情况解答即可。 【详解】（1） 图形 … 正方形的个数 1 2 3 4 5 … 需要小棒根数 4 7 10 13 16 … 算式 3×1＋1 3×2＋1 3×3＋1 3×4＋1 3×5＋1 … （2）（2）摆10个正方形要用31根小棒，请把算式写出来。 算式：3×10＋1。 （3）我能完全理解这道题的题意。 故答案为：D。 （4）在你的数学课上，有时遇到这类问题。 故答案为：C。 【点睛】解决本题时应通过已知条件，求出正方形个数与需要小棒根数之间的关系，再根据这个关系解决问题。 9．（1）26根 （2）20条 【详解】摆1条“金鱼”需要火柴棒：8根； 摆2条“金鱼”需要火柴棒：8+6＝14（根）； 摆3条“金鱼”需要火柴棒：8+6+6＝20（根）； …… 摆n条“金鱼”需要火柴棒：8+6（n﹣1）＝（6n+2）根． （1）摆4条“金鱼”需要火柴棒： 4×6+2 ＝24+2 ＝26（根） 答：摆4条“金鱼”需要26根火柴棒． （2）6n+2＝122 6n＝120 n＝20 答：用122根火柴棒可以摆20条“金鱼”． 10．（1）（5n＋1）根；（2）403个 【分析】（1）观察图形，第一个六边形需要6根火柴棒，第二个六边形需要（6＋5）根火柴棒，第三个六边形需要（6＋5×2）根火柴棒，第四个六边形需要（6＋5×3）根火柴棒，依次类推，第个六边形需要根火柴棒。据此表示出m的值。 （2）把火柴棒的根数2016根代入到上述公式中，利用等式的性质，解方程，即可求出能搭成多少个六边形。 【详解】（1） ＝ ＝ ＝（5n＋1）根 所以m＝（5n＋1）根 （2）5n＋1＝2016 解：5n＝2016－1 5n＝2015 n＝2015÷5 n＝403 答：用2016根火柴棒能搭成403个六边形。 【点睛】此题的解题关键是利用数与形的结合，通过观察图形，把图形中变化的规律转化成数字，多多练习，培养数感。 11．2＋8×4＝34（人） （46－2）÷4＝11（张） 【详解】略 12．（1）见详解； （2）52；144 【分析】（1）观察图形可知，第①幅图中一共有9个图形，表示为32，●有1个，表示为12；○有8个，表示为32－12； 第②幅图中一共有16个图形，表示为42，●有4个，表示为22；○有12个，表示为42－22； 第③幅图中一共有25个图形，表示为52，●有9个，表示为32；○有16个，表示为52－32； 由此可知，第n幅图●有n2，○有（n＋2）2－n2；第四幅图●有42＝16个，○有62－42＝20个，据此画出第④幅图； （2）根据以上规律，第12幅图中，○个数有（12＋2）2－122个；●个数有122个，据此解答。 【详解】分析可知： （1）   （2）○的个数：（12＋2）2－122 ＝142－144 ＝196－144 ＝52（个） ●个数：122＝144（个） 第12幅图中有52个○，有144个●。 【点睛】本题主要考查数与形，关键是根据所给图形找出规律，并利用规律解答问题。 13．31 【分析】 由可知三角形表示2，圆表示3，正方形表示1。又由这些图案下面的数字可以发现图案里面的图形表示前面的数字，图案外面的图形表示后面的数字。根据发现的关系可知图案中，里面是圆，表示前面的数字是3，外面是正方形表示后面的数字是1；据此解答。 【详解】 通过分析可知，三角形表示2，圆表示3，正方形表示1， 图案里面的图形表示前面的数字，图案外面的图形表示后面的数字，所以表示31。 【点睛】解决此类问题可以先从组合图案中找到与图形相对应的数字，再根据图案的组合规律推算出对应的数字的排列顺序。 14．2局；A和B 【分析】5人进行乒乓球比赛，那么每人最多进行4场比赛，根据“A已打了4局，B打了3局，C打了2局，D打了1局”，在如图中连线表示已赛的场数，找出都有谁和E比赛，从而找出E比赛了几场。 【详解】如图： 答：由图可知，E一共打了2局；分别和A、B打的。 【点睛】找出每人最多比赛4场这一突破口，然后根据每人比赛的场数进行画图得出结论。 15．（1）见详解； （2）50；7n＋1 【分析】（1）由图可知，摆1个八边形需要8根小棒，摆2个八边形需要（8＋7）根小棒，摆3个八边形需要（8＋7×2）根小棒，摆4个八边形需要（8＋7×3）根小棒…… （2）由（1）可知，每增加一个八边形需要增加7根小棒，摆n个八边形需要[8＋（n－1）×7]根小棒，求出当n＝7时式子的值就是摆7个八边形需要小棒的数量，据此解答。 【详解】（1）分析可知： （2）摆n个八边形需要小棒的根数为：8＋（n－1）×7 ＝8＋7n－7 ＝（7n＋1）根 当n＝7时。 7n＋1 ＝7×7＋1 ＝49＋1 ＝50（根） 所以，摆7个八边形需要50根小棒，如果想摆n个八边形需要（7n＋1）根小棒。 【点睛】分析图形找出八边形个数和小棒根数的变化规律是解答题目的关键。 16．(1) 4 5 (2) 11 n（n＋1） 【分析】序号1：2，1个偶数； 序号2：2＋4，2个偶数； 序号3：2＋4＋6，3个偶数； …… 序号几就是几个连续偶数相加。 2＝1×2， 2＋4＝2×3 2＋4＋6＝3×4 …… 结果＝序号几就用几×（几＋1）。 因此，此题是求连续偶数的和，其得数是偶数的个数（即序号）与偶数个数加1的积，据此解答。 【详解】（1）2＝1×2 2＋4＝2×3 2＋4＋6＝3×4 2＋4＋6＋8＝4×5 （2）132＝11×12 若按此规律继续摆，则序号为11的图形共有132个小圆片，序号为n的图形，共有n（n＋1）个小圆片。 17．7　9　11　13　1.结合图形，发现：搭第n个图形，需要3＋2(n－1)＝2n＋1(根)　当n＝20时，需要小棒：20×2＋1＝41(根) 答：摆20个这样的三角形，需要41根小棒．　2.当2n＋1＝99时，n＝49　答：99根小棒能摆出49个这样的三角形．　 【详解】略 18．1. 8×2＋2＝18(人)　答：可坐18人． 2.  2n＋2　答：n张桌子可坐(2n＋2)人． 【详解】略 19．（1）1；2；3；4　 3；5；7；9 （2）用n代表三角形个数，拼n个三角形所用小棒数为2n+1. 【解析】略 20．(7n+1)根 【详解】略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $