第21章 二次函数与反比例函数（复习讲义）数学新教材沪科版九年级上册

第21章 二次函数与反比例函数 复习要点 1.理解二次函数的概念,掌握其函数关系式以及自变量的取值范围. 2.能正确地描述二次函数的图象，能根据图象或函数关系式说出二次函数图象的特征及函数的性质，并能运用这些性质解决问题. 3.能根据问题中的条件确定二次函数的关系式，并运用二次函数及其性质解决简单的实际问题. 4.了解二次函数与一元二次方程的关系，能利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 复习重难点 重点：利用二次函数的图象复习二次函数的性质，并会解决相关问题。 难点：会根据二次函数的图象判断a、b、c的取值情况。 知识点 二次函数的概念 一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数. 其中是自变量，分别表示函数解析式的 、 、 ． 由于二次函数的解析式是整式的形式，所以自变量x的取值范围是 。 注意：二次函数的判断方法： ①函数关系式是 ；②化简后自变量的 是2；③二次项系数 ． 要点速测 1.下列各式中，是关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 知识点 二次函数的图象和性质 1．y=ax²的图像和性质 的符号 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 性质 当时,随的增大而 ， 当时,随的增大而 ; 当时，随的增大而 ， 当时,随的增大而 . 小结：从二次函数的图象可以看出，对于抛物线来说，越大，抛物线的 2．y=ax²+k的图像和性质 的符号 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 顶点坐标 增减性 当时，随的增大而 ﹔ 当时随的增大而 当时随的增大而 ， 当时随的增大而 最值 当时，有 当时，有 3y=a(x-h)²的图像和性质 的符号 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 顶点坐标 增减性 当 时，随的增大而 ﹔ 当 时随的增大而 当 时随的增大而 ， 当 时随的增大而 最值 当时，有 当时，有 4．y=a(x-h)²+k的图像和性质 的符号 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 当 时，随的增大而 ﹔ 当 时随的增大而 当 时随的增大而 ， 当 时随的增大而 最值 当时，有 当时，有 5．二次函数y=ax²+bx+c的图像性质 的符号 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 当 时，随的增大而 ﹔ 当 时随的增大而 当 时随的增大而 ， 当 时随的增大而 最值 当时，有 当时，有 要点速测 2．二次函数图像上有和两点，下列关于m与n的大小关系，判断正确的是（     ） A． B． C． D． 知识点 二次函数y=ax²+bx+c与y=a(x-h)²+k之间的相互关系 1.顶点式化成一般式 从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式． 2.一般式化成顶点式 ． 对照，可知，． ∴抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是． 3.二次函数图象的画法 ①一般方法：列表、描点、连线； 简易画法： . 其步骤为： ①先根据函数解析式，求出 和 ，在直角坐标系中描出顶点，并用虚线画出对称轴． ②求抛物线与 的交点，当抛物线与轴有两个交点时，描出这两个交点及抛物线与轴的交点，再找到点关于对称轴的对称点，将及这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 要点速测 3．当自变量时，下列函数随的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 知识点 y=ax²+k与y=a(x-h)²+k之间的平移规律 函数平移到的两种方法： ①（口诀: ）（口诀: ）； ②（口诀: ）（口诀: ）； 要点速测 4． 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 知识点 二次函数解析式 1．二次函数解析式的三种形式 二次函数有三种常用解析式形式，核心区别在于参数所对应的函数图像特征不同，具体如下： 一般式：（其中为常数，且）。这是二次函数最基础的形式，包含三个待定系数，可通过图像的任意 个点坐标求解。 顶点式： （其中为常数，且）。式中是二次函数图像（抛物线）的 坐标，因此当已知顶点、对称轴（对称轴为直线)）或函数 时，优先使用此形式。 交点式：（其中)，是抛物线与轴交点的 ）。若题目明确给出抛物线与轴的两个交点，用此形式计算更简便。 2．待定系数法求二次函数表达式 按“已知条件类型”选择“函数形式”： 已知抛物线的顶点坐标、对称轴或最值时，优先选 ，减少待定系数的个数； 已知抛物线与轴的两个交点坐标时，优先选 ，简化计算； 仅已知图像上3个任意点的坐标，无其他特殊条件时，选 。 要点速测 5．已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，，求抛物线的解析式． 知识点二次函数图象与一元二次方程 1．二次函数图象与x轴的交点情况 判别式 一元二次方程 的根的情况 有 的实数根 有 的实数根 二次函数的图象 抛物线与轴的交点 ， 没有交点 2．抛物线与直线的交点问题 抛物线与轴的交点是． 抛物线与一次函数的交点个数由方程组的解的个数决定． ①当方程组有两组不同的解时两函数图象有 ； ②当方程组有两组相同的解时两函数图象只有 ； ③当方程组无解时两函数图象 ． 注意：求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题． 3．利用二次函数图象求一元二次方程的近似解 用图象法解一元二次方程的步骤： （1）作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数； （2）确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线与x轴交点的 的大致范围； （3）在（2）确定的范围内，用计算器进行探索.即在（2）确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用 的形式求出相应的值． （4）确定一元二次方程的近似根．在（3）中最接近 的值所对应的x值即是一元二次方的近似根． 要点速测 6．抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法： ①； ②； ③关于x的一元二次方程的两根为，； ④不等式的解集是； ⑤当时，二次函数有最大值． 其中正确的有_____ （填写序号）． 知识点07 二次函数的实际应用 1．二次函数与销售利润的问题 解决此类问题的基本思路: （1）理解问题; （2）分析问题中的变量和常量，以及它们之间的关系; （3）利用总利润=单件 ×销售量，或总利润=总售价一 ，列出二次函数的解析式， （4）确定自变量取值范围：①涨价要保证销售量 ;②降价要保证单件利润 . （5）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的 或 2．二次函数与抛物线型问题 解决此类问题的基本思路: （1）建立恰当的直角坐标系 （2）能够将实际距离准确地转化为点的 ； （3）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的 或 3．二次函数与几何图形的问题 解决此类问题的基本思路: （1）理解问题; （2）分析问题中的变量和常量，以及它们之间的关系; （3）利用几何图形的 及 公式列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围; （4）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的 或 ; （5）检验结果的合理性。 要点速测 7．2026年6月11日晚，“吴越杯”足球赛决赛，金华队对阵温州队．金华队在第83分钟时一记大力抽射，扳平比分．最终点球以战胜温州队，获得冠军．如图，据球迷目测，该球员在距离球门24米处射门，当球飞出14米远处，达到最高点，最终在球门离地面1.2米高处入网．这条抛物线的表达式为_________． 知识点08 反比例函数的图象和性质 1.反比例函数的概念 （1）定义：形如y＝（k≠0）的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数． （2）形式：反比例函数有以下三种基本形式： ①y=；②y=kx-1;③xy=k.（其中k为常数，且k≠0） 2.反比例函数的图象和性质 反比例函数 的符号 所在象限 一、三象限 二、四象限 大致图象 增减性 在一个支上（每一个象限内）， 。 在一个支上（每一个象限内），随的 。 对称性 图象关于 3.k的几何意义 （1）意义：从反比例函数y＝(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为 . （2）常见的面积类型： 要点速测 7．关于反比例函数，下列说法错误的是（     ）． A．点，均在其图象上 B．函数图象在第二、四象限 C．若，则x的取值范围是 D．该函数图象上有两点，，若，则 知识点09 反比例函数的实际应用 1.反比例函数与一次函数综合 （1）确定交点坐标： 方法一：已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为 . 方法二：联立两个函数解析式，利用方程思想求解. （2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解 （3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分 和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除. （4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围. 2.反比例函数实际应用 （1）题意找出自变量与因变量之间的乘积关系； （2）设出函数表达式； （3）依题意求解函数表达式； （4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题. 要点速测 09．为方便携带，人们在户外运动时常使用真空压缩袋压缩衣物以减小体积．同一件羽绒服的质量（单位：）不变，其体积（单位：）与密度（单位：）成反比例函数关系，如图所示．当压缩后密度是时，其体积是（     ） A． B． C． D． 题型01根据二次函数的定义 ▌例1 （2026·上海虹口·一模）已知（为常数）是二次函数，那么的值是（   ） A．3 B． C． D．3或 解题要点 1.锁定“最高次”与“系数”：将函数整理成一般式 y=ax2+bx+c 的形式，若题目含有参数，需满足a≠0且 最高次项指数为2。 2.分类讨论法：若题目说“是二次函数”，则 a≠0 是硬性条件；若题目说“是函数”，则需考虑一次函数（a=0）和二次函数（a≠0）两种情况 ▌迁移练1-1（2026·江苏南京·一模）若二次函数y＝的图象开口向下，则m的值为 ___． ▌迁移练1-2（25-26九年级上·甘肃定西·阶段检测）若关于x的函数是二次函数，则m的值为（   ） A．2 B． C． D．4 ▌迁移练1-3（25-26八年级下·山东东营·期中）若抛物线与x轴有交点，则k的取值范围是______． 题型02二次函数图象与系数 ▌例1 （25-26九年级上·河南周口·期末）若二次函数的图象经过点，则的值为___________． 解题要点 1.看“三定”：开口定 a：开口向上→a>0，开口向下→a<0。对称轴定 b：用口诀“左同右异”（对称轴在y轴左侧，a与b同号；在右侧则异号）。 截距定 c：与y轴交点纵坐标即为 c。 ▌迁移练1-1（2026·内蒙古通辽·二模）已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． ▌迁移练1-2（2026·四川凉山·中考真题）已知抛物线（）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D．当或时， ▌迁移练1-3（25-26八年级下·福建福州·期末）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．B．C． D． 题型03 二次函数图象的平移. ▌例1 （2026·陕西西安·模拟预测）将抛物线（a、b、c为常数，）向下平移2个单位长度后，得到的新抛物线恰好和抛物线关于y轴对称，则b、c的值为（     ） A．， B．， C．， D．， 解题要点 1.必杀技——“顶点式法”：将原函数化为顶点式 y=a(x−h)2+k，平移时只动顶点 (h,k)。 2.平移口诀：“左加右减”针对 x（括号内），上加下减针对整个函数值（括号外）。 避免犯错：平移时不要直接在一般式上“左加右减”，一定要先化成顶点式，否则极易出错。 逆向平移：若题目问“由谁平移得到”，则反向操作即可 ▌迁移练1-1（2026·黑龙江哈尔滨·三模）将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线解析式是(    ) A． B． C． D． ▌迁移练1-2（2026·山西朔州·模拟预测）将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 题型04二次函数图象共存问题 ▌例1 （2026·宁夏固原·三模）已知二次函数（）与反比例函数（）在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则一次函数的大致图象是（     ） A． B． C． D． 解题要点 1.假设验证法：先假设其中一个函数（如抛物线）的 a、b、c范围，再代回另一个函数（如一次函数或反比例函数）检验是否矛盾 2.突破口：通常从抛物线的开口方向（a）与对称轴位置（b）切入，判断一次函数或反比例函数所在的象限是否吻合 ▌迁移练1-1（2026·河北邯郸·三模）已知抛物线与直线有唯一的交点，则的取值范围是（   ）． A． B． C．或 D．或 ▌迁移练1-2（2026湖南长沙·三模）已知一次函数图象如图所示，则二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B． C． D． ▌迁移练1-3（25-26九年级上·安徽合肥·期中）二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（   ） A．B．C．D． 题型05 二次函数图象与坐交点 ▌例1 （2026·四川成都·模拟预测）如图，抛物线与轴交于两点，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为 C．两点之间的距离为5 D．当时，的值随值的增大而减小 解题要点 1.求与x轴交点：令 y=0，解一元二次方程 ax2+bx+c=0，交点坐标为 (x1,0)、(x2,0)。求与y轴交点：令 x=0，得 y=c，交点坐标为 (0,c)。 2.交点个数判定：利用 Δ=b2−4ac 判断（Δ>0有2个，Δ=0有1个，Δ<0无交点）。 对称性应用：与x轴的两个交点关于对称轴对称，其横坐标之和为-。 ▌迁移练1-1（25-26八年级下·全国·课后作业）若抛物线与轴的交点坐标为，则代数式的值为（     ） A．118 B．119 C．120 D．121 ▌迁移练1-2（2026·黑龙江哈尔滨·一模）抛物线与轴交点坐标是（     ） A． B． C． D． ▌迁移练1-3（2026·湖南·三模）二次函数与轴交于，则的值为______． 题型06 二次函数图象与一元二次方程 ▌例1 （2026·福建三明·二模）小亮在学习了利用二次函数的图象估计一元二次方程的根一课后，尝试利用图象求方程的根，他发现方程有四个不等实数根，则的值可能是（     ） A． B． C． D． 解题要点 1.转化思想：方程 ax2+bx+c=0的根 ⇔ 抛物线与x轴交点的横坐标。利用 Δ与根的关系：结合图象判定根的正负、大小关系 2.解不等式结合：若问“ax2+bx+c>0”，即看抛物线在x轴上方的部分对应的x范围 ▌迁移练1-1（2026·河南三门峡·二模）数学探究课上，“善思”学习小组利用函数图象求方程的实数根时，先画出函数的图象如图所示，该图象与x轴的公共点A的横坐标大约是0.7，由此可以估计方程的负的实数根可能是___________（结果保留小数点后一位）． ▌迁移练1-2（25-26九年级下·广东深圳·开学考试）根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）一个解的范围是（    ） 3.23 3.24 3.25 3.26      -0.06 -0.02 0.03 0.09 A．3 B．3 C．3 D．3 ▌迁移练1-3（2026秋•沈北新区期末）抛物线y＝x2+6x+c与x轴只有一个交点，则c的值为（　　） A．9 B． C． D．﹣9 题型07 二次函数实际应用 ▌例1 （25-26九年级上·福建南平·阶段检测）某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是，则两次降价后的价格（元）与每次降价的百分率之间的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 解题要点 1.建立函数关系式：利润=单件利润×销量；面积==长×宽；利用已知条件列出含自变量的等式。 2. 重中之重——求定义域：自变量x必须满足实际意义（如销量≥0、价格>成本、边长>0），并写出不等式组. 3. 最值验证：求出顶点坐标后，必须检查顶点横坐标是否在定义域内。若不在，则在定义域端点处取最值（端点法）. ▌迁移练1-1（25-26八年级下·山东济南·期末）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，根据市场调查，当销售单价为22元时，每周的销售量为36本，售价每提高1元，每周的销售量就减少2本． (1)请求出该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间的函数关系式； (2)物价部门规定，每本纪念册的售价不高于28元．设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为W元，将该纪念册的销售单价x定为多少时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ ▌迁移练1-2（25-26九年级下·辽宁铁岭·阶段检测）如图，一根铝合金型材长为，用它制作一个“日”字型窗户的框架，如果恰好用完整条铝合金型材，则窗户的最大面积是_______． 题型08二次函数与抛物线型问题 ▌例1 （26-27九年级·上海·暑假作业）如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方的处射门，已知球门为，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球的竖直高度为．现以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式并判断能否射进球门（忽略其他因素）； (2)若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，则他应该带球向后方移动 米射门，才能让足球经过点正上方处． 解题要点 1.建系是关键：优先选择拱顶为原点（设为 y=ax2）或地面与抛物线交点为原点，建立平面直角坐标系。 2.设顶点式最省力：若已知最高点（顶点）坐标，直接设 y=a(x−h)2+k，代入一个普通点求 a。 分清“高度”与“跨度”：求高度看纵坐标，求宽度看横坐标（注意对称性，两边各算一半）。 ▌迁移练1-1（2026·江苏徐州·二模）某一型号的飞机着陆后滑行的距离与滑行的时间之间的函数关系是，该型号飞机着陆后需要滑行________s才能停下来． ▌迁移练1-2（25-26八年级下·广西南宁·期末）如图，嘉嘉同学投掷实心球，出手（点 处）的高度 是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是． (1)根据题意，请你建立合适的平面直角坐标系，并求出这段抛物线对应的函数解析式． (2)若实心球落地点为，求的长． ▌迁移练1-3（2026·甘肃平凉·模拟预测）景区喷泉以出水口为原点建立坐标系，水柱高度（单位：米）与水平距离（单位：米）满足：．在水柱最高点正下方修建矩形观景通道，通道顶部距离水柱竖直高度不少于2米，通道宽度米，求通道顶部距离地面的最大高度：_______． 题型09 二次函数与几何问题 ▌例1 （25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知：如图，抛物线与轴交于点，． (1)试确定该抛物线的函数表达式； (2)观察图象，当时，y的取值范围为________； (3)已知点是该抛物线的顶点，若点是线段上的一动点，求的最小值． 解题要点 1.设动点坐标：通常设 P，将几何条件转化为代数方程。 2.面积求法：首选铅垂高法（水平宽 × 铅垂高 ），其次用割补法或面积和差 ▌迁移练1-1（25-26九年级上·广西梧州·期末）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的正半轴交于点，且的面积为6． (1)直接写出两点的坐标； (2)求该二次函数的表达式． ▌迁移练1-2（24-25九年级上·河南商丘·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过正方形的顶点A，B，C．且B点为其顶点，将该抛物线经过平移，使其顶点为A点，则平移后抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． ▌迁移练1-3（24-25九年级上·浙江湖州·阶段检测）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．点是抛物线第三象限上的一个点，过点作交抛物线于点，以线段为对角线作菱形，若点在轴上，点在抛物线上时，则菱形对角线的长为__________． 题型10反比例函数的图象和性质 ▌例1 （25-26八年级下·辽宁大连·期末）下列函数中，当时，函数值随自变量的增大而减小的是（     ） A． B． C． D． 解题要点 1.图象位置判定：k>0 → 图象在一、三象限；k<0 → 在二、四象限 2.比较函数值大小：若两点在同一象限，直接按增减性比较；若在不同象限，需结合图象（或代入符号判断）比较，注意正负号。 ▌迁移练1-1（25-26八年级下·山东泰安·期末）点在反比例函数的图象上，则下列各点中，在此函数图象上的是（     ） A． B． C． D． ▌迁移练1-2（25-26八年级下·山东泰安·期末）若反比例函数的图像经过点，则的值是____________． ▌迁移练1-3（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C．或 D． 题型11 反比例函数中k的几何意义 ▌例1 （25-26八年级下·上海·期末）点P在反比例函数（）的图象上，轴于点A，的面积为2，则k的值为（     ） A．1 B．2 C．4 D． 解题要点 1.反比例函数图象上任意一点向x轴、y轴作垂线，与两轴围成的矩形面积 =∣k∣；三角形面积 = ∣k∣。 2.面积转化：不规则图形面积 → 割补法转化为若干个由坐标轴和反比例函数围成的“标准型”面积之和或差。 ▌迁移练1-1（2026·西藏林芝·二模）如图，反比例函数在第二象限的图象如图所示，点是图象上的一点，过点作轴，垂足为，若的面积为，则的值为________． ▌迁移练1-2（2026·吉林长春·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线（）与双曲线交于A、B两点，轴于点，连结交轴于点，则的面积为（     ） A． B． C．2 D．3 ▌迁移练1-3（25-26八年级下·山西长治·期中）已知反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，则的面积为________． 题型12反比例函数的几何应用 ▌例1 （2026·贵州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，直角边在轴上，的中点的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)求的值及点的坐标； (2)将线段沿轴向左平移一定的距离，使得点的对应点落在轴上，点的对应点恰好落在反比例函数的图象上，求平移的距离． 解题要点 1.面积等量关系：经常利用“同底等高”或“等高不等底”来建立反比例函数与几何图形边长的方程。 2.联立求交点：若反比例函数与几何图形的边（如直线）相交，需联立一次函数与反比例函数求交点坐标。 ▌迁移练1-1（2026·湖北十堰·二模）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象和的图象之间，且轴，则点的坐标可能是（     ） A． B． C． D． ▌迁移练1-2（2026·江苏连云港·一模）如图，两点分别在函数和的图像上，线段轴，点在轴上，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 ▌迁移练1-3（2026九年级下·北京西城·专题练习）如图，反比例函数经过矩形的边中点D，则矩形的面积为_________． 题型13反比例函数的实际应用 ▌例1 （25-26八年级下·山东青岛·期末）已知近视眼镜的度数（度）是镜片焦距（）的反比例函数，当近视眼镜的度数是度时，镜片的焦距为，那么近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（）之间的函数关系式为________． 解题要点 1.识别等量关系：寻找“乘积为定值”的模型（如：路程一定，速度与时间；总量一定，效率与时间） 2.单位统一：所有物理量单位须一致，若涉及换算（如千米/米、秒/分钟），必须换算后再带入计算 ▌迁移练1-1（2026·广西南宁·三模）已知某物体的质量与其体积成反比例关系，即，当体积是时，质量为．则与的函数关系式是（     ） A． B． C． D． ▌迁移练1-2（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是其载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度，则当其载重后总质量时，它的最快移动速度________． ▌迁移练1-3（2026·四川自贡·中考真题）科创小组在研究中发现：当压力一定时，压强p（单位：）与受力面积S（单位：）存在函数关系．下表是他们实验的几组数据： （单位：） 1 2 4 8 （单位：） 80 40 20 10 则压强（）与受力面积（）之间的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 难点一 代数式与几何图形的动态耦合 1.二次函数图像与系数的“符号密码” 规律探究：图像一眼定乾坤。 a→ 开口（上正下负）。 b→ 对称轴（左同右异：轴在左，a、b同号；轴在右，a、b异号）。 c→ y轴截距（上正下负）。 b²-4ac→ x轴交点（2个/1个/0个）。 高级技巧：对于“特殊代数式”（如a+b+c、4a+2b+c等），直接看图取值。观察x=1、x=2时的纵坐标在x轴上方还是下方即可。若遇abc乘积符号，先分别判断三者符号再相乘。 2.二次函数“含参区间最值”问题（压轴常客） 规律探究：绝不能只代顶点！“定点”与“动轴”的火拼。 方法透析（三步定位法）： 定轴：求出对称轴x=−​（可能是含参表达式）。 画区间：在数轴上标出区间端点x1,x2。 分类（看轴在区间的左、中、右）： 轴在区间左侧：函数在该区间单调递增，最值在端点x1​处。 轴在区间右侧：函数在该区间单调递减，最值在端点x2​处。 轴在区间内部：顶点处取极值（注意开口方向定最大/最小），另一个端点取另一极值。 避坑：若区间端点值也在变化（动区间），则需转化为“轴上找点”问题，数形结合画草图。 3.二次函数几何综合中的“面积与存在性” 规律探究：铅垂高法是求三角形最大面积的“终极武器”。 公式：S=×水平宽×铅垂高。 操作：过动点P作x轴垂线，与固定边（如直线AB）交于Q，则PQ长度为铅垂高。 方法透析（存在性问题）： 等腰三角形：按边分类（AB=AC,AB=BC,AC=BC），利用两点间距离公式列方程。 直角三角形：按直角顶点分类，利用斜率乘积为-1或勾股定理逆定理。 相似三角形：优先找“对应角相等”（利用平行线或特殊角度），列比例式时注意对应边不能乱（小对大，短对短）。 难点精练 1．平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与抛物线y＝x2+bx+4交于过y轴上的点M和点N（n，1）． （1）求n和b的值； （2）A为直线MN下方抛物线上一点，连接AM，AN，求△AMN的面积的最大值； 2．二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③为任意实数，则；④；⑤若点和点都在抛物线上，则．其中正确结论的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．综合与探究：在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，过动点作平行于轴的直线，直线与抛物线相交于点，．    (1)求抛物线的表达式； (2)求的取值范围； (3)直线上是否存在一点，使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 难点二 反比例函数面积定值（|k|）下的几何坐标运算 1.反比例函数k的几何意义的“升维应用” 规律探究：∣k∣本质是面积转换器。 与坐标轴围成的矩形面积 =∣k∣。 与坐标轴围成的三角形面积 =∣k∣。 高级透析（交叉图形面积）：当反比例图像与直线相交围成不规则图形时，常用割补法将其转化为“矩形面积 ± 三角形面积”，直接与k挂钩。 核心秒杀技：若题目中出现两个反比例函数（y=和y=），且两者之间有水平或竖直线段相连，则这两条线段长对应坐标差，面积可直接转化为∣k1−k2∣∣k1​−k2​∣的倍数。 2.反比例函数与一次函数的“交点多解” 规律探究：交点坐标 → 方程组的解。消元后得到一元二次方程ax2+bx+c=0。 方法透析： 看交点个数：利用Δ判断（Δ>0两个，Δ=0一个相切）。 看交点位置：若已知交点在某一象限，需结合k的符号和一次函数截距，解不等式求参数范围。 对称性：正比例函数y=kx与反比例函数y=​的交点关于原点对称。 难点二 难点精练 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB的边OB在y轴上，边 AB与x轴交于点C，且BC＝2AC，反比例函数的图象经过点A，若S△OBC＝8，则反比例函数表达式为（　　） A． B． C． D． 2．反比例函数图象经过，且，那么m的取值范围是 ． 3．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求，的值； (2)直线过点，与反比例函数图象交于点，与轴交于点，，连接．求的面积． 基础达标 一、单选题 1．（25-26八年级下·山东烟台·期末）已知反比例函数的图象过点，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级·上海·暑假作业）当时，的函数值为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·山东济南·期末）二次函数的顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·广东珠海·三模）抛物线，其中，a，b，c能决定抛物线的增减性的是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·山东济南·期末）若点在反比例函数的图象上，下列哪个点也在反比例函数图象上（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·山东济南·期末）关于反比例函数的图象和性质，下列说法正确的是（    ） A．图象经过点 B．y的值随x值的增大而增大 C．图象位于一、三象限 D．图象关于原点中心对称 7．（2026·湖南长沙·三模）将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 8．（2026·江苏南京·二模）函数（m为常数）的图象与x轴公共点的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 二、填空题 9．（2026·广西·中考真题）二次函数的最小值为__________． 10．（25-26九年级下·全国·暑假作业）与抛物线形状相同，顶点相同，开口方向相反的抛物线是________． 11．（2026·广东江门·三模）已知点、在二次函数的图象上，若，则___（填“”、“”或“”）． 12．（2026·山西朔州·模拟预测）某食品加工厂专门生产爆米花，在生产过程中，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．为了提升产品品质、降低生产成本，技术人员研究发现，在特定生产条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）满足函数表达式，为了让爆米花的可食用率达到最高，最佳加工时间为_________分钟． 三、解答题 13．（25-26九年级下·全国·课后作业）有一根长为的铁丝，把它弯成一个矩形框．当矩形框的长、宽各是多少时，矩形的面积最大？最大面积是多少？ 14．（25-26九年级下·全国·课后作业）试说出函数（a、h、k是常数，）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下表： 开口方向 对称轴 顶点坐标 15．（22-23八年级下·吉林长春·阶段检测）已知反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)判断点是否在这个反比例函数的图象上． 16．（2026·广东清远·三模）某公园雕塑的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)求水柱落地点与雕塑的水平距离． 能力进阶 一、单选题 1．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期末）若，则与在同一坐标系中的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·福建福州·模拟预测）若函数在的最大值是，最小值是，则（     ） A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关 C．与无关，且与无关 D．与无关，但与有关 3．（25-26八年级下·福建泉州·期末）酒精会麻痹人的神经系统，酒后驾车极易造成重大交通事故，我国法律严厉禁止酒驾、醉驾行为．在交通执法中，呼气式酒精检测仪是排查酒驾的常用设备，它内部利用了特殊的气敏电阻——酒精气体传感器．这类电阻的阻值会跟随空气中酒精气体的浓度变化而变化，其阻值与呼气酒精浓度之间的关系如图所示．下列说法中不正确的是（     ） A．当时， B．随的增大而减小 C．是的函数 D．图中曲线是反比例函数的图象 二、填空题 4．（2026·江苏南京·二模）已知二次函数的图象与轴的两个交点的距离为，则该函数图象的顶点的纵坐标为______． 5．（2026·辽宁大连·二模）当时，二次函数的最大值为m，最小值为n，则_______． 三、解答题 6．（25-26八年级下·北京·期末）已知二次函数的图象经过点，． (1)求该二次函数的解析式，并在坐标系中画出函数图象； (2)当时，直接写出该二次函数的函数值y的取值范围． 7．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，已知一次函数的图象与反比例函数（，）的图象相交于点和点（点在点的左侧），且点与点的横坐标之差是4，设点的横坐标为． (1)点的坐标为________，点的坐标为________；（用含有的代数式表示） (2)求反比例函数的关系式； (3)直接写出不等式的解集为________． 8．（25-26八年级下·北京·期末）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于C．若点为直线上的动点，过点P作轴交抛物线于点Q． (1)若． ①求直线的表达式； ②若，直接写出线段长度的最大值及此时的点P的坐标； (2)若，且线段的长随着的增大而增大，求m的取值范围． 9 / 34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21章 二次函数与反比例函数 复习要点 1.理解二次函数的概念,掌握其函数关系式以及自变量的取值范围. 2.能正确地描述二次函数的图象，能根据图象或函数关系式说出二次函数图象的特征及函数的性质，并能运用这些性质解决问题. 3.能根据问题中的条件确定二次函数的关系式，并运用二次函数及其性质解决简单的实际问题. 4.了解二次函数与一元二次方程的关系，能利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 复习重难点 重点：利用二次函数的图象复习二次函数的性质，并会解决相关问题。 难点：会根据二次函数的图象判断a、b、c的取值情况。 知识点 二次函数的概念 一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数. 其中是自变量，分别表示函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项． 由于二次函数的解析式是整式的形式，所以自变量x的取值范围是任意实数。 注意：二次函数的判断方法： ①函数关系式是整式；②化简后自变量的最高次数是2；③二次项系数不为0． 要点速测 1.下列各式中，是关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义判断，二次函数是形如（，为常数）的整式函数，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、是分式，不是整式，不符合定义，该选项不符合题意； B、整理得，符合，符合二次函数定义，该选项符合题意； C、中x的最高次数为1，是一次函数，该选项不符合题意； D、中，一个x对应两个不同的y值，y不是x的函数，该选项不符合题意． 知识点 二次函数的图象和性质 1．y=ax²的图像和性质 的符号 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 性质 向上 轴 当时,随的增大而减少， 当时,随的增大而增大; 向下 轴 当时，随的增大而增大， 当时,随的增大而减少. 小结：从二次函数的图象可以看出，对于抛物线来说，越大，抛物线的开口越小 2．y=ax²+k的图像和性质 的符号 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 轴 轴 顶点坐标 增减性 当时，随的增大而减小﹔ 当时随的增大而增大 当时随的增大而增大， 当时随的增大而减小 最值 当时，有最小值 当时，有最大值 3y=a(x-h)²的图像和性质 的符号 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 顶点坐标 增减性 当时，随的增大而减小﹔ 当时随的增大而增大 当时随的增大而增大， 当时随的增大而减小 最值 当时，有最小值 当时，有最大值 4．y=a(x-h)²+k的图像和性质 的符号 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 当时，随的增大而减小﹔ 当时随的增大而增大 当时随的增大而增大， 当时随的增大而减小 最值 当时，有最小值 当时，有最大值 5．二次函数y=ax²+bx+c的图像性质 的符号 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 当时，随的增大而减小﹔ 当时随的增大而增大 当时随的增大而增大， 当时随的增大而减小 最值 当时，有最小值 当时，有最大值 要点速测 2．二次函数图像上有和两点，下列关于m与n的大小关系，判断正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题将两点坐标代入二次函数解析式得到和的表达式，结合的条件即可比较大小． 【详解】解：∵ 点在二次函数图象上， ∴ 将代入解析式得 ， ∵ 点在二次函数图象上， ∴ 将代入解析式得 ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ． 知识点 二次函数y=ax²+bx+c与y=a(x-h)²+k之间的相互关系 1.顶点式化成一般式 从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式． 2.一般式化成顶点式 ． 对照，可知，． ∴抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是． 3.二次函数图象的画法 ①一般方法：列表、描点、连线； 简易画法：五点定形法. 其步骤为： ①先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点，并用虚线画出对称轴． ②求抛物线与坐标轴的交点，当抛物线与轴有两个交点时，描出这两个交点及抛物线与轴的交点，再找到点关于对称轴的对称点，将及这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 要点速测 3．当自变量时，下列函数随的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数性质、反比例函数性质、正比例函数性质、二次函数性质逐项分析判断即可． 【详解】解：A、，，当时，函数随的增大而增大； B、，，当时，函数随的增大而减小； C、，，当时，函数随的增大而减小； D、，，对称轴为直线，当时，函数随的增大而减小 知识点 y=ax²+k与y=a(x-h)²+k之间的平移规律 函数平移到的两种方法： ①（口诀:左加右减）（口诀:上加下减）； ②（口诀:上加下减）（口诀:左加右减）； 要点速测 4． 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“左加右减自变量，上加下减常数项”的规律求解即可． 【详解】解：先向左平移2个单位，可得解析式为， 再向下平移3个单位，可得解析式为． 知识点 二次函数解析式 1．二次函数解析式的三种形式 二次函数有三种常用解析式形式，核心区别在于参数所对应的函数图像特征不同，具体如下： 一般式：（其中为常数，且）。这是二次函数最基础的形式，包含三个待定系数，可通过图像的任意三个点坐标求解。 顶点式：（其中为常数，且）。式中是二次函数图像（抛物线）的顶点坐标，因此当已知顶点、对称轴（对称轴为直线)）或函数最值时，优先使用此形式。 交点式：（其中)，是抛物线与轴交点的横坐标）。若题目明确给出抛物线与轴的两个交点，用此形式计算更简便。 2．待定系数法求二次函数表达式 按“已知条件类型”选择“函数形式”： 已知抛物线的顶点坐标、对称轴或最值时，优先选顶点式，减少待定系数的个数； 已知抛物线与轴的两个交点坐标时，优先选交点式，简化计算； 仅已知图像上3个任意点的坐标，无其他特殊条件时，选一般式。 要点速测 5．已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，，求抛物线的解析式． 【答案】 【分析】先利用抛物线对称轴求出点的对称点，得到抛物线与轴两个交点，设交点式解析式；将点坐标代入求出的值，再展开整理为一般式． 【详解】解:点关于直线的对称点是， 设抛物线的解析式为. 把点的坐标代入解析式，得 ， 解得. 抛物线的解析式为. 知识点二次函数图象与一元二次方程 1．二次函数图象与x轴的交点情况 判别式 一元二次方程 的根的情况 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 二次函数的图象 抛物线与轴的交点 ， 没有交点 2．抛物线与直线的交点问题 抛物线与轴的交点是． 抛物线与一次函数的交点个数由方程组的解的个数决定． ①当方程组有两组不同的解时两函数图象有两个交点； ②当方程组有两组相同的解时两函数图象只有一个交点； ③当方程组无解时两函数图象没有交点． 注意：求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题． 3．利用二次函数图象求一元二次方程的近似解 用图象法解一元二次方程的步骤： （1）作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数； （2）确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线与x轴交点的横坐标的大致范围； （3）在（2）确定的范围内，用计算器进行探索.即在（2）确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的值． （4）确定一元二次方程的近似根．在（3）中最接近0的值所对应的x值即是一元二次方的近似根． 要点速测 6．抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法： ①； ②； ③关于x的一元二次方程的两根为，； ④不等式的解集是； ⑤当时，二次函数有最大值． 其中正确的有_____ （填写序号）． 【答案】①③④ 【分析】根据开口方向和对称轴可得的符号，即可判断①；根据抛物线经过点，可得，即得到，即可判断②；由对称性可得抛物线与轴的另一个交点为，即可判断③；由抛物线与直线交点的横坐标分别为和，当时，抛物线位于直线的上方，即可判断④；由直线经过点，可得，得到，即可判断⑤，进而可得答案． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴，故②错误； ∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∴关于的一元二次方程的两根为，，故③正确； 由图象可知，抛物线与直线交点的横坐标分别为和，当时，抛物线位于直线的上方，即， ∴不等式的解集是，故④正确； ∵直线经过点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，故⑤错误， 综上，正确的有①③④． 知识点07 二次函数的实际应用 1．二次函数与销售利润的问题 解决此类问题的基本思路: （1）理解问题; （2）分析问题中的变量和常量，以及它们之间的关系; （3）利用总利润=单件利润×销售量，或总利润=总售价一总成本，列出二次函数的解析式， （4）确定自变量取值范围：①涨价要保证销售量≥0;②降价要保证单件利润≥0. （5）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值 2．二次函数与抛物线型问题 解决此类问题的基本思路: （1）建立恰当的直角坐标系 （2）能够将实际距离准确地转化为点的坐标； （3）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值 3．二次函数与几何图形的问题 解决此类问题的基本思路: （1）理解问题; （2）分析问题中的变量和常量，以及它们之间的关系; （3）利用几何图形的周长及面积公式列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围; （4）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值; （5）检验结果的合理性。 要点速测 7．2026年6月11日晚，“吴越杯”足球赛决赛，金华队对阵温州队．金华队在第83分钟时一记大力抽射，扳平比分．最终点球以战胜温州队，获得冠军．如图，据球迷目测，该球员在距离球门24米处射门，当球飞出14米远处，达到最高点，最终在球门离地面1.2米高处入网．这条抛物线的表达式为_________． 【答案】 【分析】先求出点的横坐标为，设这条抛物线的表达式为，再利用待定系数法计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：点的横坐标为， 设这条抛物线的表达式为， 将，代入解析式得， 解得， ∴． 知识点08 反比例函数的图象和性质 1.反比例函数的概念 （1）定义：形如y＝（k≠0）的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数． （2）形式：反比例函数有以下三种基本形式： ①y=；②y=kx-1;③xy=k.（其中k为常数，且k≠0） 2.反比例函数的图象和性质 反比例函数 的符号 所在象限 一、三象限 二、四象限 大致图象 增减性 在一个支上（每一个象限内），随的增大而减小。 在一个支上（每一个象限内），随的增大而增大。 对称性 图象关于原点对称 3.k的几何意义 （1）意义：从反比例函数y＝(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为. （2）常见的面积类型： 要点速测 7．关于反比例函数，下列说法错误的是（     ）． A．点，均在其图象上 B．函数图象在第二、四象限 C．若，则x的取值范围是 D．该函数图象上有两点，，若，则 【答案】D 【分析】根据反比例函数的图象与性质，逐个判断各选项的说法，即可得到答案． 【详解】解：A选项：将代入，得，所以点在图象上；将代入，得，所以点也在图象上，A说法正确，不符合题意； B选项：因为，所以反比例函数图象位于第二、四象限，B说法正确，不符合题意； C选项：令，代入得，解得，因为，在第四象限内随增大而增大，所以当时，的取值范围是，C说法正确，不符合题意； D选项：反比例函数仅在每个象限内满足随增大而增大，若两点不在同一象限，结论不成立，例如取，，满足，此时，，有，不满足，D说法错误，符合题意． 知识点09 反比例函数的实际应用 1.反比例函数与一次函数综合 （1）确定交点坐标： 方法一：已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）. 方法二：联立两个函数解析式，利用方程思想求解. （2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解 （3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除. （4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围. 2.反比例函数实际应用 （1）题意找出自变量与因变量之间的乘积关系； （2）设出函数表达式； （3）依题意求解函数表达式； （4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题. 要点速测 09．为方便携带，人们在户外运动时常使用真空压缩袋压缩衣物以减小体积．同一件羽绒服的质量（单位：）不变，其体积（单位：）与密度（单位：）成反比例函数关系，如图所示．当压缩后密度是时，其体积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用待定系数法可求出，再求出时，V的值即可得到答案． 【详解】解：设， 由题意得，， ∴， ∴， 当时，， ∴当压缩后密度是时，其体积是． 题型01根据二次函数的定义 ▌例1 （2026·上海虹口·一模）已知（为常数）是二次函数，那么的值是（   ） A．3 B． C． D．3或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义，x的指数必须为2，且系数不为零，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵（为常数）是二次函数， ∴， ∴， 解得， 故选：B． 解题要点 1.锁定“最高次”与“系数”：将函数整理成一般式 y=ax2+bx+c 的形式，若题目含有参数，需满足a≠0且 最高次项指数为2。 2.分类讨论法：若题目说“是二次函数”，则 a≠0 是硬性条件；若题目说“是函数”，则需考虑一次函数（a=0）和二次函数（a≠0）两种情况 ▌迁移练1-1（2026·江苏南京·一模）若二次函数y＝的图象开口向下，则m的值为 ___． 【答案】 【分析】根据二次函数的定义以及二次函数图象的性质求解即可． 【详解】解：由题意：， 解得：或， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的定义，以及二次函数图象与系数之间的关系，掌握二次函数图象与系数的关系是解题关键． ▌迁移练1-2（25-26九年级上·甘肃定西·阶段检测）若关于x的函数是二次函数，则m的值为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数定义：形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．根据二次函数的定义得出且，求出m即可． 【详解】解：∵关于x的函数是二次函数， ∴且， 解得：． 故选：B． ▌迁移练1-3（25-26八年级下·山东东营·期中）若抛物线与x轴有交点，则k的取值范围是______． 【答案】且 【分析】直接利用根的判别式进行计算，再结合，即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线与x轴有交点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴k的取值范围是且； 故答案为：且． 【点睛】本题主要考查了二次函数与坐标轴有交点的问题，解题的关键是掌握根的判别式求参数的取值范围． 题型02二次函数图象与系数 ▌例1 （25-26九年级上·河南周口·期末）若二次函数的图象经过点，则的值为___________． 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征；将点代入二次函数解析式，得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴将，代入解析式得， 即， 解得． 故答案为：1． 解题要点 1.看“三定”：开口定 a：开口向上→a>0，开口向下→a<0。对称轴定 b：用口诀“左同右异”（对称轴在y轴左侧，a与b同号；在右侧则异号）。 截距定 c：与y轴交点纵坐标即为 c。 ▌迁移练1-1（2026·内蒙古通辽·二模）已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先根据解析式确定开口方向与对称轴，再结合二次函数的增减性和题目条件求解的取值范围． 【详解】解：∵二次函数解析式为，且， ∴函数图象开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵当时，随的增大而增大， ∴． ▌迁移练1-2（2026·四川凉山·中考真题）已知抛物线（）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D．当或时， 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象及性质：抛物线的开口方向，抛物线与坐标轴的交点，抛物线的对称轴及对称性的特点对选项逐一判断即可． 【详解】解：抛物线的开口向上， ， 抛物线与y轴的交点在x轴的下方， ， 抛物线的对称轴， ， ，选项A错误； ，选项B错误； 抛物线关于对称轴对称， 关于的对称点为， 将代入抛物线，得， ， ，即，选项C错误； 由图象可知，当或时，，选项D正确． ▌迁移练1-3（25-26八年级下·福建福州·期末）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】联立函数得，解得或，得到二次函数与一次函数相交于点和，即可得出答案． 【详解】解：联立得：， ∴， ∴， 解得：或， 当时，，当时，， ∴二次函数与一次函数相交于点和， ∴只有D选项图象符合题意． 题型03 二次函数图象的平移. ▌例1 （2026·陕西西安·模拟预测）将抛物线（a、b、c为常数，）向下平移2个单位长度后，得到的新抛物线恰好和抛物线关于y轴对称，则b、c的值为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】先求出抛物线关于轴对称的抛物线解析式，再根据抛物线平移规律得到原抛物线向下平移2个单位后的解析式，对比对应系数即可求出和的值． 【详解】解：∵抛物线关于轴对称时，只需将原解析式中的替换为， ∴抛物线关于轴对称的抛物线为： ， ∵抛物线向下平移2个单位， ∴平移后解析式为， 又∵平移后抛物线与上述关于轴对称的抛物线是同一个，对应系数相等， ∴，， 解得，， 解题要点 1.必杀技——“顶点式法”：将原函数化为顶点式 y=a(x−h)2+k，平移时只动顶点 (h,k)。 2.平移口诀：“左加右减”针对 x（括号内），上加下减针对整个函数值（括号外）。 避免犯错：平移时不要直接在一般式上“左加右减”，一定要先化成顶点式，否则极易出错。 逆向平移：若题目问“由谁平移得到”，则反向操作即可 ▌迁移练1-1（2026·黑龙江哈尔滨·三模）将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线解析式是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象的平移，利用“左加右减自变量，上加下减常数项”的平移规则计算即可得到新抛物线的解析式． 【详解】解：原抛物线解析式为 ∵抛物线向左平移2个单位，根据平移规则“左加右减自变量”，得平移后解析式为 再将得到的抛物线向下平移3个单位，根据平移规则“上加下减常数项”，得最终解析式为． ▌迁移练1-2（2026·山西朔州·模拟预测）将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将原抛物线解析式化为顶点式，得到原顶点坐标，再根据平移规则得到平移后的顶点坐标，最后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式即可，二次函数平移后二次项系数不变． 【详解】解：∵ ， ∴ 原抛物线的顶点坐标为， ∵ 将顶点向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度， ∴ 平移后顶点的横坐标为，纵坐标为， 即新顶点坐标为， ∵ 抛物线平移后二次项系数不变， ∴ 平移后抛物线的解析式为． 题型04二次函数图象共存问题 ▌例1 （2026·宁夏固原·三模）已知二次函数（）与反比例函数（）在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则一次函数的大致图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数开口及顶点判断，的正负，根据反比例函数图象所在象限判断的正负，结合一次函数图象性质即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数图象开口向下， ∴， ∵二次函数图象与y轴交于正半轴， ∴ ∵反比例函数图象在第二，四象限， ∴， 一次函数过一、二、四象限． 解题要点 1.假设验证法：先假设其中一个函数（如抛物线）的 a、b、c范围，再代回另一个函数（如一次函数或反比例函数）检验是否矛盾 2.突破口：通常从抛物线的开口方向（a）与对称轴位置（b）切入，判断一次函数或反比例函数所在的象限是否吻合 ▌迁移练1-1（2026·河北邯郸·三模）已知抛物线与直线有唯一的交点，则的取值范围是（   ）． A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】联立抛物线与直线解析式，整理得到一元二次方程；分两种情况讨论：方程在区间内有两个相等实数根（判别式），此时抛物线与直线相切，仅有一个交点；方程在区间内有两个不相等实数根，但只有一根落在区间内，利用函数端点值符号判断临界范围． 【详解】解：①当抛物线与直线有唯一交点时，方程有且只有一个实数根． 可转化为，当时，， 如图所示． ②方程可转化为． 由题意，可知在的取值范围内，抛物线与直线有唯一的交点． 当直线过点时，；当直线过点时，， 如图所示． 由图象，可知符合条件的的取值范围为． 综上所述，的取值范围为或． ▌迁移练1-2（2026湖南长沙·三模）已知一次函数图象如图所示，则二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数的图象性质，熟练掌握一次函数图象与系数的关系、二次函数的开口方向、对称轴、与轴交点的判定方法是解题的关键．先根据一次函数图象确定、的符号，再据此分析二次函数的开口方向、对称轴位置和与轴交点情况，从而判断二次函数图象． 【详解】解：从一次函数的图象来看， 图象从左到右上升， ； 图象与轴交点在正半轴，即当时，， ． 对于二次函数： ， 二次函数图象开口向上，排除、选项； 对称轴为， ，， ，即对称轴在轴右侧； 当时，，即二次函数与轴交点在负半轴． 综上，符合条件的是选项． 故选： ． ▌迁移练1-3（25-26九年级上·安徽合肥·期中）二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数和二次函数图象的综合判断； 分别根据一次函数和二次函数的图象，判断出a，c与0的大小关系，看是否矛盾即可． 【详解】解：A、一次函数的图象与y轴交于负半轴，；二次函数的图象开口向上，，相矛盾，故A错误； B、一次函数的图象过一、二、四象限，，；二次函数的图象开口向上，顶点为，在第四象限，，，故B正确； C、二次函数的对称轴为，在y轴右侧，故C错误； D、一次函数的图象过一、二、三象限，；抛物线的顶点在第四象限，，相矛盾，故D错误； 故选：B． 题型05 二次函数图象与坐交点 ▌例1 （2026·四川成都·模拟预测）如图，抛物线与轴交于两点，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为 C．两点之间的距离为5 D．当时，的值随值的增大而减小 【答案】C 【分析】将点坐标代入抛物线解析式求出的值，确定函数解析式，根据二次函数的性质逐项分析判断即可求解 ． 【详解】解：∵抛物线过点， ∴，解得， ∴抛物线解析式为， ∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， 故A，B选项错误； 令，则， 解得， ∴， ∴， 故C选项正确； ∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大； ∴当时，在时，的值随的增大而减小，在时，随的增大而增大； 故D选项错误． 解题要点 1.求与x轴交点：令 y=0，解一元二次方程 ax2+bx+c=0，交点坐标为 (x1,0)、(x2,0)。求与y轴交点：令 x=0，得 y=c，交点坐标为 (0,c)。 2.交点个数判定：利用 Δ=b2−4ac 判断（Δ>0有2个，Δ=0有1个，Δ<0无交点）。 对称性应用：与x轴的两个交点关于对称轴对称，其横坐标之和为-。 ▌迁移练1-1（25-26八年级下·全国·课后作业）若抛物线与轴的交点坐标为，则代数式的值为（     ） A．118 B．119 C．120 D．121 【答案】C 【分析】先求出的值，再用整体代入法计算所求代数式的值． 【详解】解：∵点是抛物线与轴的交点， ∴将代入，可得， ∴整理得， 将代入得原式． ▌迁移练1-2（2026·黑龙江哈尔滨·一模）抛物线与轴交点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】抛物线与轴交点的横坐标为，将代入抛物线解析式计算出的值，即可得到交点坐标． 【详解】解：当时， ， ∴抛物线与轴的交点坐标是． ▌迁移练1-3（2026·湖南·三模）二次函数与轴交于，则的值为______． 【答案】 【分析】二次函数图象与轴交点的坐标满足二次函数解析式，将交点坐标代入函数解析式，求解关于的一元二次方程即可得到的值． 【详解】解：∵二次函数与轴交于点， ∴将，代入得， 整理得， ∴， 解得, ∴的值为． 题型06 二次函数图象与一元二次方程 ▌例1 （2026·福建三明·二模）小亮在学习了利用二次函数的图象估计一元二次方程的根一课后，尝试利用图象求方程的根，他发现方程有四个不等实数根，则的值可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】，将方程转化为与的交点问题，画出函数图象得到的取值范围，再判断选项即可. 【详解】解：画出的图象如图： ∵方程有四个不等实数根， ∴， 故的值可能是1. 解题要点 1.转化思想：方程 ax2+bx+c=0的根 ⇔ 抛物线与x轴交点的横坐标。利用 Δ与根的关系：结合图象判定根的正负、大小关系 2.解不等式结合：若问“ax2+bx+c>0”，即看抛物线在x轴上方的部分对应的x范围 ▌迁移练1-1（2026·河南三门峡·二模）数学探究课上，“善思”学习小组利用函数图象求方程的实数根时，先画出函数的图象如图所示，该图象与x轴的公共点A的横坐标大约是0.7，由此可以估计方程的负的实数根可能是___________（结果保留小数点后一位）． 【答案】 【分析】先根据图象求出抛物线的对称轴，再根据其对称性求出另一个交点的横坐标，即可得出方程的解． 【详解】解：根据图象可知抛物线与x轴的交点的横坐标是，且对称轴是，则抛物线与x轴的另一个交点得横坐标是， 所以方程的负实数根可能是． ▌迁移练1-2（25-26九年级下·广东深圳·开学考试）根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）一个解的范围是（    ） 3.23 3.24 3.25 3.26      -0.06 -0.02 0.03 0.09 A．3 B．3 C．3 D．3 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，方程的解就是二次函数与x轴交点的横坐标，只需找出函数值由负变正对应的x范围即可． 【详解】令（，，，为常数）， ∵当时，， 当时，， ∴当时，必然取到0， 即方程的一个解的范围是：． ▌迁移练1-3（2026秋•沈北新区期末）抛物线y＝x2+6x+c与x轴只有一个交点，则c的值为（　　） A．9 B． C． D．﹣9 【分析】根据抛物线y＝x2+6x+c与x轴只有一个交点，即Δ＝0即可求出c． 【详解】解：∵抛物线y＝x2+6x+c与x轴只有一个交点， ∴关于x的方程x2+6x+c＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝62﹣4c＝0， 解得c＝9． 故选：A． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系． 题型07 二次函数实际应用 ▌例1 （25-26九年级上·福建南平·阶段检测）某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是，则两次降价后的价格（元）与每次降价的百分率之间的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键； 根据连续两次降价，每次降价的百分率为，则两次降价后的价格等于原价乘以的平方． 【详解】解：∵每次降价的百分率都是， ∴第一次降价后价格为， 第二次降价后价格为， ∴， 故选：B． 解题要点 1.建立函数关系式：利润=单件利润×销量；面积==长×宽；利用已知条件列出含自变量的等式。 2. 重中之重——求定义域：自变量x必须满足实际意义（如销量≥0、价格>成本、边长>0），并写出不等式组. 3. 最值验证：求出顶点坐标后，必须检查顶点横坐标是否在定义域内。若不在，则在定义域端点处取最值（端点法）. ▌迁移练1-1（25-26八年级下·山东济南·期末）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，根据市场调查，当销售单价为22元时，每周的销售量为36本，售价每提高1元，每周的销售量就减少2本． (1)请求出该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间的函数关系式； (2)物价部门规定，每本纪念册的售价不高于28元．设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为W元，将该纪念册的销售单价x定为多少时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当销售单价为28元时，利润最大，最大利润为192元 【分析】（1）根据“单价每涨1元，销量少2本”,用基础销量减去涨价减少的销量，列出一次函数； （2）单本利润=售价进价，总利润单本利润销量，得到二次函数；二次函数开口向下，对称轴左侧随增大而增大，结合售价上限，取时利润最大． 【详解】（1）解：由题意得：， 即：． （2）解：， ，开口向下， ∴当时，W随x的增大而增大， ， ∴当时，W最大， 此时（元）， 答：当销售单价为28元时，利润最大，最大利润为192元． ▌迁移练1-2（25-26九年级下·辽宁铁岭·阶段检测）如图，一根铝合金型材长为，用它制作一个“日”字型窗户的框架，如果恰好用完整条铝合金型材，则窗户的最大面积是_______． 【答案】 【分析】设为，则，根据矩形的面积求得面积与的函数关系，根据二次函数的性质求解即可求得答案． 【详解】解：设为，则， 则窗户的面积 当时，取得最大值为． 题型08二次函数与抛物线型问题 ▌例1 （26-27九年级·上海·暑假作业）如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方的处射门，已知球门为，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球的竖直高度为．现以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式并判断能否射进球门（忽略其他因素）； (2)若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，则他应该带球向后方移动 米射门，才能让足球经过点正上方处． 【答案】(1)抛物线的解析式为：，不能射进球门 (2)1 【分析】（1）判断出抛物线的顶点坐标，用顶点式表示出抛物线的解析式，把点的坐标代入可得的值，进而取，求得对应的的值，与2.44比较，即可判断能否射进球门； （2）移动后的抛物线的解析式为：，把代入求得合适的的值即可． 【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为：， 经过点， ， 解得：， 抛物线的解析式为：， 当时，， 不能射进球门； （2）解：设向后方移动，则移动后的抛物线的解析式为：， 经过点， ， ， 或， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴向后移动才能让足球经过点正上方处． 【点睛】本题考查二次函数的应用．用顶点式表示出二次函数的解析式是解决本题的关键；用到的知识点为：二次函数左右平移，不改变二次项的系数，只改变自变量的值，左加右减． 解题要点 1.建系是关键：优先选择拱顶为原点（设为 y=ax2）或地面与抛物线交点为原点，建立平面直角坐标系。 2.设顶点式最省力：若已知最高点（顶点）坐标，直接设 y=a(x−h)2+k，代入一个普通点求 a。 分清“高度”与“跨度”：求高度看纵坐标，求宽度看横坐标（注意对称性，两边各算一半）。 ▌迁移练1-1（2026·江苏徐州·二模）某一型号的飞机着陆后滑行的距离与滑行的时间之间的函数关系是，该型号飞机着陆后需要滑行________s才能停下来． 【答案】 【分析】飞机停下来时滑行距离取得最大值，该函数为开口向下的二次函数，顶点处取得最大值，求出顶点横坐标即可得到停下所需的时间． 【详解】解：整理函数得 抛物线开口向下，顶点处取得最大值，对应飞机停下的时刻， 二次函数的顶点横坐标为， 将 代入得， 即该型号飞机着陆后需要滑行才能停下来． ▌迁移练1-2（25-26八年级下·广西南宁·期末）如图，嘉嘉同学投掷实心球，出手（点 处）的高度 是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是． (1)根据题意，请你建立合适的平面直角坐标系，并求出这段抛物线对应的函数解析式． (2)若实心球落地点为，求的长． 【答案】(1)建立平面直角坐标系如图：； 抛物线解析式为： (2) 【分析】（1）以点为坐标原点，射线方向为轴正半轴，射线方向为轴正半轴，建立平面直角坐标系，设抛物线为，把点，代入即可求出解析式； （2）当时，求得的值，即的长． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图， ∵出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是． ∴设抛物线解析式为：， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线解析式为：； （2）解：当时，， 解得：（舍去），， 即的长为． ▌迁移练1-3（2026·甘肃平凉·模拟预测）景区喷泉以出水口为原点建立坐标系，水柱高度（单位：米）与水平距离（单位：米）满足：．在水柱最高点正下方修建矩形观景通道，通道顶部距离水柱竖直高度不少于2米，通道宽度米，求通道顶部距离地面的最大高度：_______． 【答案】米 【分析】由题意易得该二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线，然后可得，当通道顶部到水柱的竖直距离均等于2米时，通道顶端到地面有最大高度，进而问题可求解． 【详解】解：∵喷出水的竖直高度y（单位：米）与距出水口的水平距离x（单位：米）近似满足函数关系， ∴该二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线， ∵在喷泉水柱最高处的正下方搭建矩形通道， ∴矩形关于抛物线的对称轴对称， ∵通道宽为2米， ∴，即， ∵通道顶部到水柱的竖直距离均不小于2米， ∴，即， 即当通道顶部到水柱的竖直距离均等于2米时，通道顶端到地面有最大高度， 当时，则有， ∴通道顶端到地面的最大高度为（米）． 题型09 二次函数与几何问题 ▌例1 （25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知：如图，抛物线与轴交于点，． (1)试确定该抛物线的函数表达式； (2)观察图象，当时，y的取值范围为________； (3)已知点是该抛物线的顶点，若点是线段上的一动点，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了用待定系数法求解析式以及二次函数图象的性质，垂线段最短，勾股定理，熟练掌握用待定系数法求解析式是解题关键． （1）将点与点坐标代入抛物线解析式得到关于的方程组，由此求出的值，从而进一步得出解析式即可； （2）由得出开口方向向下，对称轴为直线，再根据越远离对称轴的自变量所对应的函数值越小，以及结合进行分析，即可作答． （3）根据垂线段最短可知当时，最小，据此进一步利用三角形的面积公式求出即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：由（1）得， ∴开口方向向下，对称轴为直线， 在时，有最大值，且，越远离对称轴的自变量所对应的函数值越小， ∵， ∴把代入，得， ∴观察图象，当时，y的取值范围为． （3）解：当是边上的高时，的值最小， 由（2）得对称轴为直线，有最大值，且 ∵点是的顶点， 即， ∵，， ∴，，点到轴的距离为， ∴， ∴， ∴的最小值是． 解题要点 1.设动点坐标：通常设 P，将几何条件转化为代数方程。 2.面积求法：首选铅垂高法（水平宽 × 铅垂高 ），其次用割补法或面积和差 ▌迁移练1-1（25-26九年级上·广西梧州·期末）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的正半轴交于点，且的面积为6． (1)直接写出两点的坐标； (2)求该二次函数的表达式． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点问题，待定系数法求解函数解析式，与面积的综合问题． （1）先令求解，再由三角形面积公式求解，即可得到点坐标； （2）将点代入即可求解． 【详解】（1）解：对于，当时，， ∴，即 ∵的面积为6， ∴，即， ∴， ∴ （2）解：将点代入， 则， 解得， ∴该二次函数的表达式为． ▌迁移练1-2（24-25九年级上·河南商丘·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过正方形的顶点A，B，C．且B点为其顶点，将该抛物线经过平移，使其顶点为A点，则平移后抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质、二次函数的性质，根据二次函数的表达式求出点B的坐标为，根据正方形的性质可以求出点A的坐标，进而求出点A的坐标，进而求解． 【详解】解：当时，，故B点坐标为， 过点A作于D， ∵四边形是正方形， ∴上等腰直角三角形， ∴， ∴A点坐标为， ∵二次函数的图象经过正方形的顶点A， ∴， 解得， ∴A点坐标为， ∵平移后的抛物线顶点为点， ∴平移后抛物线的表达式为． 故选：B． ▌迁移练1-3（24-25九年级上·浙江湖州·阶段检测）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．点是抛物线第三象限上的一个点，过点作交抛物线于点，以线段为对角线作菱形，若点在轴上，点在抛物线上时，则菱形对角线的长为__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，涉及二次函数的对称性，菱形的性质等内容，利用菱形的性质求出点坐标是解题的关键． 根据题意可得到点为抛物线顶点，根据抛物线解析式得出顶点坐标，再根据菱形的性质，得到点的纵坐标为，求出点的坐标分别为，即可求解． 【详解】解：由题意得，点为抛物线的顶点， 抛物线的解析式可知，抛物线， 即的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵为菱形的对角线且点在第三象限，， ∴点的纵坐标为， ∴， 解得：， ∴， ∴ 故答案为： ． 题型10反比例函数的图象和性质 ▌例1 （25-26八年级下·辽宁大连·期末）下列函数中，当时，函数值随自变量的增大而减小的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的增减性，根据函数性质逐一判断时随的变化趋势，即可选出符合要求的选项． 【详解】解：、由知， ∴图象位于第一、三象限， ∴当时，函数值随的增大而减小，符合题意； 、由知， ∴随的增大而增大，不符合题意； 、由知， ∴随的增大而增大，不符合题意； 、由知， ∴图象位于第二、四象限， ∴当时，函数值随的增大而增大，不符合题意． 解题要点 1.图象位置判定：k>0 → 图象在一、三象限；k<0 → 在二、四象限 2.比较函数值大小：若两点在同一象限，直接按增减性比较；若在不同象限，需结合图象（或代入符号判断）比较，注意正负号。 ▌迁移练1-1（25-26八年级下·山东泰安·期末）点在反比例函数的图象上，则下列各点中，在此函数图象上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用已知点坐标求出反比例函数的比例系数，再根据反比例函数图象上点的坐标特征（横纵坐标乘积等于），逐一验证选项即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数图象上的点满足， A选项，，满足条件，该点在此函数图象上； B选项，，不满足条件； C选项，，不满足条件； D选项，，不满足条件． ▌迁移练1-2（25-26八年级下·山东泰安·期末）若反比例函数的图像经过点，则的值是____________． 【答案】 【分析】点在反比例函数图像上，点的坐标满足反比例函数解析式，将点坐标代入解析式即可求解的值． 【详解】解：将代入， 可得，解得． ▌迁移练1-3（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】根据函数图象得到当或时在上方，即可得到答案． 【详解】解：一次函数与反比例函数的图象交于，两点， 根据函数图象可知当或时在上方， 关于的不等式解集是或． 题型11 反比例函数中k的几何意义 ▌例1 （25-26八年级下·上海·期末）点P在反比例函数（）的图象上，轴于点A，的面积为2，则k的值为（     ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】D 【分析】根据三角形面积可得的值，题目未说明反比例函数图象所在象限，因此有两种可能． 【详解】解：∵ 过反比例函数图象上一点作x轴垂线，该点、垂足和原点围成的三角形面积为， 又∵ 的面积为， ∴ ， 解得，即， 本题未给出函数图象所在象限，因此的值为． 解题要点 1.反比例函数图象上任意一点向x轴、y轴作垂线，与两轴围成的矩形面积 =∣k∣；三角形面积 = ∣k∣。 2.面积转化：不规则图形面积 → 割补法转化为若干个由坐标轴和反比例函数围成的“标准型”面积之和或差。 ▌迁移练1-1（2026·西藏林芝·二模）如图，反比例函数在第二象限的图象如图所示，点是图象上的一点，过点作轴，垂足为，若的面积为，则的值为________． 【答案】 【分析】先根据反比例函数图象所在的象限判断出的符号，再根据反比例函数系数的几何意义即可得出结论． 【详解】反比例函数的图象的一支在第二象限， ， 轴，垂足为，的面积为5， ， ． ▌迁移练1-2（2026·吉林长春·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线（）与双曲线交于A、B两点，轴于点，连结交轴于点，则的面积为（     ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】 利用反比例函数系数的几何意义求出的面积，再根据中心对称性和平行线分线段成比例得出与的面积关系，即可进行后续求解． 【详解】解：直线与双曲线交于，两点， 点与点关于原点对称， ， 轴，轴轴， 轴，即， ∴ ∴ 是的中点， ， ∵ ， 点在双曲线上，轴， ， ， ． ▌迁移练1-3（25-26八年级下·山西长治·期中）已知反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，则的面积为________． 【答案】 【分析】设，则，，可求出，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：设， ∵轴，轴， ∴，点M的横坐标为m，点N的纵坐标为， ∴，， ∴， ∴． 题型12反比例函数的几何应用 ▌例1 （2026·贵州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，直角边在轴上，的中点的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)求的值及点的坐标； (2)将线段沿轴向左平移一定的距离，使得点的对应点落在轴上，点的对应点恰好落在反比例函数的图象上，求平移的距离． 【答案】(1)， (2)2 【分析】（1）将代入即可求解；然后根据中点得到，再结合点的坐标求解点的坐标即可； （2）由题意可设平移后的，将点代入即可求解，得到点的坐标，再由点的坐标即可求解平移的距离． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴ 由题意得，轴， ∵ ∴ ∵的中点的坐标为， ∴ ∴ ∴； （2）解：由（1）可得，反比例函数解析式为 由题意可设平移后的， 将点代入，则， 解得 ∴ ∵ ∴平移的距离为． 解题要点 1.面积等量关系：经常利用“同底等高”或“等高不等底”来建立反比例函数与几何图形边长的方程。 2.联立求交点：若反比例函数与几何图形的边（如直线）相交，需联立一次函数与反比例函数求交点坐标。 ▌迁移练1-1（2026·湖北十堰·二模）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象和的图象之间，且轴，则点的坐标可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点A的坐标可排除选项A和B，根据时，，可排除选项D，从而可确定选项C符合题意． 【详解】解：设 点在反比例函数的图象上，轴， ∴，，故选项A，B不符合题意； 当时，， ∴，故选项D不符合题意； ∴点B的横坐标为2，纵坐标大于1且小于，故选项C符合题意． ▌迁移练1-2（2026·江苏连云港·一模）如图，两点分别在函数和的图像上，线段轴，点在轴上，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】A 【详解】解：连接、，线段交y轴于点D， ，， ， ， 由反比例函数中k的几何意义知，，， ． ▌迁移练1-3（2026九年级下·北京西城·专题练习）如图，反比例函数经过矩形的边中点D，则矩形的面积为_________． 【答案】3 【分析】设点坐标为，其中，进而得到、，根据线段中点的性质得到，据此求解即可． 【详解】解：设点坐标为，其中， ∵四边形为矩形， ∴， 、， 点D是边的中点， ， 矩形的面积为． 题型13反比例函数的实际应用 ▌例1 （25-26八年级下·山东青岛·期末）已知近视眼镜的度数（度）是镜片焦距（）的反比例函数，当近视眼镜的度数是度时，镜片的焦距为，那么近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（）之间的函数关系式为________． 【答案】 【分析】先设出反比例函数的一般形式，再代入已知对应值求解即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 将，代入解析式得： ， 解得：， 因此与之间的函数关系式为． 解题要点 1.识别等量关系：寻找“乘积为定值”的模型（如：路程一定，速度与时间；总量一定，效率与时间） 2.单位统一：所有物理量单位须一致，若涉及换算（如千米/米、秒/分钟），必须换算后再带入计算 ▌迁移练1-1（2026·广西南宁·三模）已知某物体的质量与其体积成反比例关系，即，当体积是时，质量为．则与的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，当时，， ∴， 解得， ∴与的函数关系式为． ▌迁移练1-2（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是其载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度，则当其载重后总质量时，它的最快移动速度________． 【答案】4 【分析】由题意易得该函数的解析式为，然后问题可求解． 【详解】解：设该反比例函数的解析式为，由题意得：， ∴， ∴当时，则． ▌迁移练1-3（2026·四川自贡·中考真题）科创小组在研究中发现：当压力一定时，压强p（单位：）与受力面积S（单位：）存在函数关系．下表是他们实验的几组数据： （单位：） 1 2 4 8 （单位：） 80 40 20 10 则压强（）与受力面积（）之间的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断p与S为反比例函数关系，再根据表格数据求比例系数，即可得到函数关系式． 【详解】解：∵根据表格数据计算得：，，，， ∴压力一定时，压强与受力面积成反比例关系，可设， ∴， ∴． 难点一 代数式与几何图形的动态耦合 1.二次函数图像与系数的“符号密码” 规律探究：图像一眼定乾坤。 a→ 开口（上正下负）。 b→ 对称轴（左同右异：轴在左，a、b同号；轴在右，a、b异号）。 c→ y轴截距（上正下负）。 b²-4ac→ x轴交点（2个/1个/0个）。 高级技巧：对于“特殊代数式”（如a+b+c、4a+2b+c等），直接看图取值。观察x=1、x=2时的纵坐标在x轴上方还是下方即可。若遇abc乘积符号，先分别判断三者符号再相乘。 2.二次函数“含参区间最值”问题（压轴常客） 规律探究：绝不能只代顶点！“定点”与“动轴”的火拼。 方法透析（三步定位法）： 定轴：求出对称轴x=−​（可能是含参表达式）。 画区间：在数轴上标出区间端点x1,x2。 分类（看轴在区间的左、中、右）： 轴在区间左侧：函数在该区间单调递增，最值在端点x1​处。 轴在区间右侧：函数在该区间单调递减，最值在端点x2​处。 轴在区间内部：顶点处取极值（注意开口方向定最大/最小），另一个端点取另一极值。 避坑：若区间端点值也在变化（动区间），则需转化为“轴上找点”问题，数形结合画草图。 3.二次函数几何综合中的“面积与存在性” 规律探究：铅垂高法是求三角形最大面积的“终极武器”。 公式：S=×水平宽×铅垂高。 操作：过动点P作x轴垂线，与固定边（如直线AB）交于Q，则PQ长度为铅垂高。 方法透析（存在性问题）： 等腰三角形：按边分类（AB=AC,AB=BC,AC=BC），利用两点间距离公式列方程。 直角三角形：按直角顶点分类，利用斜率乘积为-1或勾股定理逆定理。 相似三角形：优先找“对应角相等”（利用平行线或特殊角度），列比例式时注意对应边不能乱（小对大，短对短）。 难点精练 1．平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与抛物线y＝x2+bx+4交于过y轴上的点M和点N（n，1）． （1）求n和b的值； （2）A为直线MN下方抛物线上一点，连接AM，AN，求△AMN的面积的最大值； 【分析】（1）把N（n，1）代入y＝﹣x+4求得n，抛物线y＝x2+bx+4过点N（3，1）求出b即可； （2）设A（m，m2﹣4m+4），过点A作AT∥y轴，交直线MN于点T，可得S△AMN＝S△AMT+S△ANT，运用二次函数性质即可求出最值． 【详解】解：（1）把N（n，1）代入y＝﹣x+4得：1＝﹣n+4， 解得n＝3， ∴N（3，1）， ∵抛物线y＝x2+bx+4过点N（3，1）， ∴1＝9+3b+4，解得b＝﹣4． （2）由（1）可得抛物线解析式为y＝x2﹣4x+4， ∴M（0，4）， 设A（m，m2﹣4m+4），过点A作AT∥y轴，交直线MN于点T，如图示： 则T（m，﹣m+4）， ∴AT＝﹣m+4﹣（m2﹣4m+4）＝﹣m2+3m， ∴S△AMN＝S△AMT+S△ANT， ∵0， ∴当m时，S△AMN取得最大值． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握最值求法是解答本题的关键． 2．二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③为任意实数，则；④；⑤若点和点都在抛物线上，则．其中正确结论的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数的图象与系数的关系，根据二次函数对称轴，以及与轴交点情况，即可判断①；利用二次函数对称轴列式变形即可判断②；利用二次函数的最值情况即可判断③，利用抛物线对称性和增减情况即可判断④，利用二次函数增减情况即可判断⑤． 【详解】解：①由图知，对称轴在轴右侧， ， 函数图象与轴交于正半轴， ， ， 故①正确； ②函数图象对称轴为， 则， 故②正确； ③函数图象开口向下， 则当时，函数取得最大值， 即为任意实数，则 为任意实数，则， 故③正确； ④函数图象与轴正半轴交点小于， 函数图象与轴负半轴交点大于， 即时，， 当时，， 则， 故④错误； ⑤若点和点都在抛物线上， ， 则， 故⑤错误； 综上所述，正确结论的个数有3个； 故选：B． 3．综合与探究：在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，过动点作平行于轴的直线，直线与抛物线相交于点，．    (1)求抛物线的表达式； (2)求的取值范围； (3)直线上是否存在一点，使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，2或4． 【分析】（1）把点和点代入，求解即可； （2）将抛物线解析式化成顶点式，求得的最小值为．由直线与抛物线有两个交点，即可得出； （3）分两种情况：①当，时，②如图，当，时，分别 求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点， ∴ 解得 ∴抛物线的表达式为． （2）解： ∴的最小值为． ∵直线与抛物线有两个交点， ∴． （3）解：存在． 当时，． ∴点的坐标为． ①如图，当，时，过点作轴于， ∴． ∵，， ∴．    在和中， ∴． ∴． ∵， ∴． 延长至使得，此时也是等腰直角三角形． 易得，此时．（不合题意，舍去） ②如图，当，时，过点作轴于，    ∵，，， ∴． ∴． ∴． ∴． 延长，使得，此时也是等腰直角三角形． 同理可得， ．（不合题意，舍去） 综上所述，直线上存在一点，使得是以为直角边的等腰直角三角形． 的值为2或4． 【点睛】本题属二次函数综合题目，主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象性质，二次函数图象与直线交点问题，全等三角形判定与性质，等腰直角 三角形性质，属中考常考试题目，要求学生熟练掌握相关性质并能灵活运用是解题的关键，注意（3）问要分类讨论，以免漏解． 难点二 反比例函数面积定值（|k|）下的几何坐标运算 1.反比例函数k的几何意义的“升维应用” 规律探究：∣k∣本质是面积转换器。 与坐标轴围成的矩形面积 =∣k∣。 与坐标轴围成的三角形面积 =∣k∣。 高级透析（交叉图形面积）：当反比例图像与直线相交围成不规则图形时，常用割补法将其转化为“矩形面积 ± 三角形面积”，直接与k挂钩。 核心秒杀技：若题目中出现两个反比例函数（y=和y=），且两者之间有水平或竖直线段相连，则这两条线段长对应坐标差，面积可直接转化为∣k1−k2∣∣k1​−k2​∣的倍数。 2.反比例函数与一次函数的“交点多解” 规律探究：交点坐标 → 方程组的解。消元后得到一元二次方程ax2+bx+c=0。 方法透析： 看交点个数：利用Δ判断（Δ>0两个，Δ=0一个相切）。 看交点位置：若已知交点在某一象限，需结合k的符号和一次函数截距，解不等式求参数范围。 对称性：正比例函数y=kx与反比例函数y=​的交点关于原点对称。 难点二 难点精练 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB的边OB在y轴上，边 AB与x轴交于点C，且BC＝2AC，反比例函数的图象经过点A，若S△OBC＝8，则反比例函数表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 【分析】作AH⊥x轴，利用相似求出S△AHC，利用BC＝2AC求出S△ACO，继而求出S△AHO＝2根据k值几何意义求出k值即可． 【详解】解：作AH⊥x轴，垂足为H， ∵AH∥OB， ∴△AHC∽△BOC， ∵BC＝2AC，且S△OBC＝8， ∴S△AHC2，S△ACO4， ∴S△AHO＝2+4＝6， ∵点A在反比例函数图象上， ∴丨k丨＝2S△AHO＝12， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴k＝﹣12． ∴反比例函数解析式为y． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式． 2．反比例函数图象经过，且，那么m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是根据反比例函数的性质确定函数图象所在的象限． 根据点、的坐标以及，判断出反比例函数图象所在的象限，进而得出关于的不等式． 【详解】∵在同一反比例函数图象上， ∴点A，B分别在图象的两个分支上， ，且， ∴反比例函数图象只能分布在第二四象限， ， ． 故答案为：． 3．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求，的值； (2)直线过点，与反比例函数图象交于点，与轴交于点，，连接．求的面积． 【答案】(1)4，12 (2)8 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、中点坐标公式以及三角形面积的计算．解题的关键是利用点在函数图象上的性质求出未知参数，结合线段相等的条件确定点的坐标，再运用坐标法计算三角形的面积． （1）利用点 A 在一次函数图象上，将其纵坐标代入一次函数解析式求出 a 的值，再把点 A 坐标代入反比例函数解析式求出 k 的值． （2）根据 可知 A 是 中点，结合中点坐标公式表示出 C 点坐标；作轴于，交于，利用点E与点C横坐标相同、且点E在一次函数上可求得点E的纵坐标，于是可得的长度，利用求得结果． 【详解】（1）把，代入得，，得， ∴，把，代入得，， ； （2）点，点的纵坐标是0，， 点的纵坐标是， 把代入得，则． 如图，作轴于，交于，当时，，即， 又，于是， ； 基础达标 一、单选题 1．（25-26八年级下·山东烟台·期末）已知反比例函数的图象过点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵反比例函数的图象过点， ∴将代入， 得， 解得． 2．（26-27九年级·上海·暑假作业）当时，的函数值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将代入式子中相应的位置即可求出函数值． 【详解】将代入得 ． 3．（25-26八年级下·山东济南·期末）二次函数的顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵二次函数顶点式的顶点坐标为， ∴的顶点坐标为． 4．（2026·广东珠海·三模）抛物线，其中，a，b，c能决定抛物线的增减性的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，需明确抛物线增减性的影响因素，抛物线增减性由开口方向和对称轴位置共同决定，根据二次函数性质分析各参数的作用即可得到结果； 【详解】解：∵抛物线的开口方向由决定，开口方向决定整体增减趋势；抛物线的对称轴为直线，对称轴位置由和共同决定；抛物线的增减性以对称轴为分界，因此增减性由共同决定；只决定抛物线与轴的交点位置，仅上下平移抛物线，不改变开口方向和对称轴位置，不影响增减性∴能决定抛物线增减性的是． 5．（25-26八年级下·山东济南·期末）若点在反比例函数的图象上，下列哪个点也在反比例函数图象上（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知点坐标求出反比例函数的比例系数，再根据反比例函数的性质，图象上任意点的横纵坐标乘积等于，验证各选项即可得到结果． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 即反比例函数图象上的点满足横纵坐标乘积为， 依次验证选项： 选项A ，不在该图象上； 选项B ，在该图象上； 选项C ，不在该图象上； 选项D ，不在该图象上． 6．（25-26八年级下·山东济南·期末）关于反比例函数的图象和性质，下列说法正确的是（    ） A．图象经过点 B．y的值随x值的增大而增大 C．图象位于一、三象限 D．图象关于原点中心对称 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质，结合逐一分析各选项即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数为， ∴． 对于选项A，当时，，∴图象经过点，不经过点，故A错误． 对于选项B，时，仅在每个象限内的值随值的增大而增大，选项未限定象限，故B错误． 对于选项C，∵，∴反比例函数图象位于第二、四象限，故C错误． 对于选项D，所有反比例函数的图象都关于原点中心对称，故D正确． 7．（2026·湖南长沙·三模）将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次函数平移“左加右减，上加下减”的规律，逐步推导即可得到结果． 【详解】解：∵抛物线平移规律为左加右减自变量，上加下减常数项，原抛物线解析式为， ∴向左平移2个单位后，解析式变为，再向下平移3个单位，解析式整理得， ∴所得抛物线解析式为． 8．（2026·江苏南京·二模）函数（m为常数）的图象与x轴公共点的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【答案】D 【分析】二次函数图象与x轴公共点的个数，等价于时对应一元二次方程的实数根个数，利用一元二次方程根的判别式即可判断公共点个数． 【详解】当函数图象与x轴相交时，，可得一元二次方程， ，，， ， 任意实数的平方都大于等于0， ， 当时，，方程有1个相等的实数根，图象与x轴有1个公共点； 当时，，方程有2个不相等的实数根，图象与x轴有2个公共点； 因此函数图象与x轴公共点的个数是1或2， 故选：D． 二、填空题 9．（2026·广西·中考真题）二次函数的最小值为__________． 【答案】 【分析】本题二次函数为顶点式，根据二次函数的性质，开口向上的二次函数，顶点纵坐标即为函数的最小值． 【详解】解：由二次函数解析式可知，该解析式为顶点式，二次项系数， 因此抛物线开口向上，函数存在最小值， 该二次函数的顶点坐标为， 因此当时，二次函数取得最小值． 10．（25-26九年级下·全国·暑假作业）与抛物线形状相同，顶点相同，开口方向相反的抛物线是________． 【答案】 【分析】根据题意，顶点相同形状相同说明顶点坐标不变，二次项系数的绝对值不变，开口方向相反说明二次项系数符号相反，据此即可求解． 【详解】解：已知抛物线的顶点坐标为，由题意可知，所求抛物线顶点坐标不变，二次项系数绝对值不变，符号相反，因此所求抛物线的解析式为． 11．（2026·广东江门·三模）已知点、在二次函数的图象上，若，则___（填“”、“”或“”）． 【答案】< 【分析】先确定二次函数的开口方向与对称轴，再根据二次函数的增减性，结合比较与的大小． 【详解】二次函数 中，二次项系数，因此抛物线开口向上， 该抛物线的对称轴为直线 ， 根据二次函数的性质，当 时， 随 的增大而减小， 已知 ，所以 ． 12．（2026·山西朔州·模拟预测）某食品加工厂专门生产爆米花，在生产过程中，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．为了提升产品品质、降低生产成本，技术人员研究发现，在特定生产条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）满足函数表达式，为了让爆米花的可食用率达到最高，最佳加工时间为_________分钟． 【答案】3.75 【分析】根据二次函数的最值问题进行求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴当时，y取得最大值， ∴最佳加工时间为3.75分钟． 三、解答题 13．（25-26九年级下·全国·课后作业）有一根长为的铁丝，把它弯成一个矩形框．当矩形框的长、宽各是多少时，矩形的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】 当矩形框的长和宽均为时，矩形面积最大，最大面积是 【分析】先利用矩形周长公式，用长表示出宽，再根据面积公式得到面积关于长的二次函数，最后配方求二次函数的最大值即可，用到矩形周长、面积公式和二次函数的最值性质． 【详解】解：设矩形框的长为，矩形的面积为，已知铁丝总长为，因此矩形框的宽为，可得自变量取值范围为， 根据矩形面积公式得： 二次项系数 当时，取得最大值， 此时矩形的宽为 答：当矩形框的长、宽都为时，矩形面积最大，最大面积是． 14．（25-26九年级下·全国·课后作业）试说出函数（a、h、k是常数，）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下表： 开口方向 对称轴 顶点坐标 【答案】 解：对于二次函数， 当时，抛物线开口向上； 当时，抛物线开口向下； 该抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为 填表如下： 开口方向 对称轴 顶点坐标 开口向上 直线 开口向下 【详解】略 15．（22-23八年级下·吉林长春·阶段检测）已知反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)判断点是否在这个反比例函数的图象上． 【答案】(1) (2)点不在这个反比例函数的图象上 【分析】（1）将点代入即可求出反比例函数表达式； （2）将点的横坐标代入解析式，解出纵坐标看是否与点一致即可． 【详解】（1）将点代入，解得： ， ， 所以反比例函数解析式是：． （2）将点的横坐标代入，解得： ， ， 所以点不在这个反比例函数的图象上． 16．（2026·广东清远·三模）某公园雕塑的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)求水柱落地点与雕塑的水平距离． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由题目所给条件可得点的坐标和抛物线顶点坐标，设出其顶点式，把点代入求解即可得到该抛物线的函数表达式； （2）题意为求点的坐标，令（1）中求得的函数表达式值为求解即可． 【详解】（1）解：由题可得，点的坐标为，该抛物线的顶点为， 设该抛物线的顶点式为， 把点代入得，解得， 该抛物线的函数表达式为； （2）解：令得， 两边同时乘以得， 因式分解得， 解得，， 点的坐标为， 水柱落地点与雕塑的水平距离为． 能力进阶 一、单选题 1．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期末）若，则与在同一坐标系中的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从和两种情况分类讨论得出答案． 【详解】解：，分两种情况： ①当时，正比例函数的图象过第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项； ②当时，正比例函数的图象过第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项B符合． 2．（2026·福建福州·模拟预测）若函数在的最大值是，最小值是，则（     ） A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关 C．与无关，且与无关 D．与无关，但与有关 【答案】B 【分析】将二次函数配方后，分情况讨论对称轴与的位置关系，计算即可判断结果． 【详解】解：对二次函数配方得，，抛物线开口向上，对称轴为直线， 当，即 时，函数在，随着的增大而增大， ∴当时，有最小值，时，有最大值， ， ，结果不含； 当，即 时，函数在，随着的增大而减小， 当时，有最大值，时，有最小值， ， ，结果不含； 当，即 时，函数最小值为顶点纵坐标，最大值在处取得， ， ，结果不含； 当，即 时，函数最小值为顶点纵坐标，最大值在处取得， ， ，结果不含， 综上，所有情况的都只与有关，不含，因此与有关，与无关． 3．（25-26八年级下·福建泉州·期末）酒精会麻痹人的神经系统，酒后驾车极易造成重大交通事故，我国法律严厉禁止酒驾、醉驾行为．在交通执法中，呼气式酒精检测仪是排查酒驾的常用设备，它内部利用了特殊的气敏电阻——酒精气体传感器．这类电阻的阻值会跟随空气中酒精气体的浓度变化而变化，其阻值与呼气酒精浓度之间的关系如图所示．下列说法中不正确的是（     ） A．当时， B．随的增大而减小 C．是的函数 D．图中曲线是反比例函数的图象 【答案】D 【详解】解：A、由图象得，当时，，故A正确； B、图象整体呈下降趋势，随的增大而减小，故B正确； C、图象中每一个值都有唯一确定的值与之对应；是的函数，故C正确； D、当、时，；当、时，，不为定值，该曲线不是反比例函数的图象，故D不正确． 二、填空题 4．（2026·江苏南京·二模）已知二次函数的图象与轴的两个交点的距离为，则该函数图象的顶点的纵坐标为______． 【答案】 【分析】设二次函数对应一元二次方程的两根为，由抛物线与轴两交点距离为可得，利用恒等式结合韦达定理推导出，再代入顶点纵坐标公式，整体代换求值得到顶点纵坐标． 【详解】解：令，得， 设方程的两个根为， 由根与系数的关系可得 ，， 由题意得二次函数图象与轴两个交点的距离为， 因此， 两边平方得， 由完全平方公式变形得， 代入得， 整理得，即， 二次函数顶点纵坐标公式为， 将代入得， 将代入得． 故答案为：． 5．（2026·辽宁大连·二模）当时，二次函数的最大值为m，最小值为n，则_______． 【答案】 【分析】先确定二次函数的开口方向与对称轴，再根据的取值范围，结合二次函数的性质，求出最大值和最小值，最后计算即可． 【详解】解：∵， ∴该二次函数二次项系数为，则开口向上，对称轴为直线， ∵ ，即对称轴在给定区间内， 当时，二次函数取得最小值， 当时，； 当时，； 比较得，二次函数的最大值， 因此． 三、解答题 6．（25-26八年级下·北京·期末）已知二次函数的图象经过点，． (1)求该二次函数的解析式，并在坐标系中画出函数图象； (2)当时，直接写出该二次函数的函数值y的取值范围． 【答案】(1)， 二次函数图象如下， (2)当时该二次函数的函数值y的取值范围为 【分析】（1）运用待定系数法即可求解，运用五点法作图即可； （2）根据自变量的取值范围分别算出临界点的函数值，结合顶点坐标得到函数值的取值范围． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点，， ∴， 解得，， ∴二次函数解析式为， ∴二次函数的顶点坐标为， 当时，， 当时，， 运用五点法作函数图象：略； （2）解：在二次函数中，当时， 时，；顶点坐标为；时，， ∴当时该二次函数的函数值y的取值范围为． 7．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，已知一次函数的图象与反比例函数（，）的图象相交于点和点（点在点的左侧），且点与点的横坐标之差是4，设点的横坐标为． (1)点的坐标为________，点的坐标为________；（用含有的代数式表示） (2)求反比例函数的关系式； (3)直接写出不等式的解集为________． 【答案】(1)， (2)； (3) 【分析】（1）点的横坐标为，则纵坐标为，求得点的横坐标为，则纵坐标为，据此求解即可； （2）由题意得，据此求解即可； （3）求得点的坐标为，点的坐标为，根据函数图象求解即可． 【详解】（1）解：∵点的横坐标为， ∴纵坐标为， ∴点的坐标为， ∵点与点的横坐标之差是4， ∴点的横坐标为， ∴纵坐标为， ∴点的坐标为； （2）解：∵反比例函数的图象经过点和点， ∴， 解得， ∴点的坐标为， ∴， ∴反比例函数的关系式为； （3）解：由（2）得点的坐标为，点的坐标为， ∴不等式的解集为． 8．（25-26八年级下·北京·期末）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于C．若点为直线上的动点，过点P作轴交抛物线于点Q． (1)若． ①求直线的表达式； ②若，直接写出线段长度的最大值及此时的点P的坐标； (2)若，且线段的长随着的增大而增大，求m的取值范围． 【答案】(1)①②最大值为，； (2)或 【分析】（1）①先确定抛物线解析式为，再根据解析式确定A，B，C三点的坐标，运用待定系数法求直线的表达式即可； ②不妨设，，得到，利用二次函数的性质，确定最值，求解即可； （2）不妨设，，分点P在上方和在下方，分别表示出线段的长，根据二次函数的性质，建立不等式求解即可． 【详解】（1）①解：时，抛物线变形为， 当，， 解得， 根据题意，得点A在点B左侧， ． 抛物线与y轴交于C． 故当，， ， 设直线的表达式为， 根据题意，得， 解得， 故直线的表达式为； ②解：根据题意，得点为直线上的动点， 轴交抛物线于点Q． ，， ，， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ， ∴当，的长度最大，且最大值为，此时． （2）解：抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于C． ， 当，， 解得， 根据题意，得点A在点B左侧， ． 抛物线与y轴交于C． 故当，， ， 设直线的表达式为， 根据题意，得， 解得， 故直线的表达式为； 点为直线上的动点，过点P作轴交抛物线于点Q． 当点P在上时，根据题意，得，， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，且在对称轴直线的左侧，线段的长随着的增大而增大， ， 解得； 当点P不在上时，根据题意，得，， ∴， ∵， ∴抛物线开口向上，且在对称轴直线的右侧，线段的长随着的增大而增大， ， 综上所述，m的取值范围是或； 2 / 78 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $