22.1 比例线段教案2026-2027学年沪科版九年级数学上册

该教案聚焦“比例线段”核心内容，涵盖相似多边形、比例线段、比例性质与黄金分割、平行线分线段成比例定理。通过图形观察、糖水浓度等情境导入，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接前后知识脉络。 此资料以情境导入培养数学眼光，如用乐器弦长实例讲黄金分割，合作探究中通过例题推理提升数学思维，比例计算与实际应用强化数学语言。助力学生发展抽象能力与应用意识，为教师提供清晰教学流程与重难点突破方法。

22.1 比例线段 第1课时 相似多边形 【教学目标】 1.了解相似图形和相似比的概念； 2.会根据条件判断两个多边形是否为相似多边形；(重点) 3.掌握相似多边形的性质，能根据相似比进行相关的计算.(难点) 【教学过程】 一、情境导入 观察以下三组图形： 每一组图形的对应边、对应角有什么关系呢？ 二、合作探究 探究点一：相似图形 如下图所示的四组图形，相似的有( ) A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 解析：由相似图形的概念可知，只有(1)(3)(4)形状相同.①形状相同是指一模一样，没有一点不同之处，(2)中的图形虽然都是圆柱，但是形状不相同，所以不是相似图形；②只要形状相同，即使位置不同，也应看成是相似图形，如(4)组就是这样.故选C. 易错提醒：看图形是否相似，要紧扣定义“形状相同，大小可以不同”，但大小相同也是相似的一种情形. 探究点二：相似多边形与相似比 【类型一】 相似多边形 下列图形都相似吗？为什么？ (1)所有正方形；(2)所有矩形；(3)所有菱形；(4)所有等边三角形；(5)所有等腰梯形；(6)所有等腰三角形；(7)所有等腰直角三角形；(8)所有正五边形. 解：(1)相似，因为正方形每个角都等于90°，所以对应角相等，而每个正方形的四条边长都相等，所以对应边长度的比相等； (2)不一定，虽然矩形的每个角都等于90°，对应角相等，但是对应边长度的比不一定相等，如图①； (3)不一定，每个菱形的四条边长都相等，所以两菱形的对应边长度的比相等，但是它们的对应角不一定相等，如图②，显然两个菱形的对应角是不相等的； (4)相似，因为每个等边三角形的三条边都相等，所以两个等边三角形的对应边长度的比相等，并且对应角都等于60°； (5)不一定，如图③，对应边长度的比不相等，对应角不相等； (6)不一定，如图④，对应边长度的比不相等，对应角不相等； (7)相似，因为等腰直角三角形的三个角分别是45°，45°，90°，所以对应角相等，而且每一个三角形的三边的比都是1∶1∶，所以对应边长度的比相等； (8)相似，因为正五边形的各角都等于108°，所以对应角相等，而且正五边形的各边都相等，所以对应边长度的比相等. 方法总结：相似多边形的定义也是相似多边形的判定方法，在判定两个多边形相似时，必须同时具备两点：对应角相等，对应边长度的比相等. 【类型二】 相似比 已知四边形ABCD与四边形EFGH相似，试根据图中所给出的数据求出四边形EFGH和四边形ABCD的相似比. 解：∵四边形ABCD与四边形EFGH相似，且∠A＝∠E＝80°，∠B＝∠F＝75°， ∴AB与EF是对应边. ∵＝＝， ∴四边形EFGH与四边形ABCD的相似比为. 方法总结：找准相似多边形的对应边是解决此类问题的关键，方法类似于找全等三角形对应边和对应角的方法. 【板书设计】 第2课时 比例线段 【教学目标】 1.知道线段的比的概念，会计算两条线段的比；(重点) 2.理解成比例线段的概念；(重点) 3.掌握成比例线段的判定方法.(难点) 【教学过程】 一、情境导入 请观察下列几幅图片，你能发现些什么？你能对观察到的图片特点进行归纳吗？ 这些例子都是形状相同、大小不同的图形.它们之所以大小不同，是因为它们图上对应的线段的长度不同. 二、合作探究 探究点一：线段的比 【类型一】 根据线段的比求长度 如图所示，已知M为线段AB上一点，AM∶MB＝3∶5，且AB＝16cm，求线段AM、BM的长度. 解：线段AM与MB的比反映了这两条线段在全线段AB中所占的份数，由AM∶MB＝3∶5可知AM＝AB，MB＝AB. ∵AB＝16cm，∴AM＝×16＝6(cm)，MB＝×16＝10(cm). 方法总结：本题也可设AM＝3k，MB＝5k，利用3k＋5k＝16求解更简便，这也是解这类题常用的方法. 【类型二】 比例尺 在比例尺为1∶50 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是3cm，则甲、乙两地的实际距离是________m. 解析：根据“比例尺＝”可求解.设甲、乙两地的实际距离为xcm，则有1∶50 000＝3∶x，解得x＝150 000cm＝1500m. 方法总结：理解比例尺的意义，注意实际尺寸的单位要进行恰当的转化. 探究点二：成比例线段 【类型一】 判断线段成比例 下列四组线段中，是成比例线段的是( ) A.3cm，4cm，5cm，6cm B.4cm，8cm，3cm，5cm C.5cm，15cm，2cm，6cm D.8cm，4cm，1cm，3cm 解析：将每组数据按从小到大的顺序排列，前两条线段的比和后两条线段的比相等的四条线段成比例.四个选项中，只有C项排列后有＝.故选C. 方法总结：判断四条线段是否成比例的方法： (1)把四条线段按从小到大顺序排好，计算前两条线段的比和后两条线段的比，看是否相等作出判断； (2)把四条线段按从小到大顺序排好，计算前后两个数的积与中间两个数的积，看是否相等作出判断. 【类型二】 由线段成比例求线段的长 已知三条线段的长分别为1cm，cm，2cm，请你再给出一条线段，使得它的长与前面三条线段的长能够组成一个比例式. 解：因为本题中没有明确告知是求1，，2的第四比例项，因此所添加的线段长可能是前三个数的第四比例项，也可能不是前三个数的第四比例项，因此应进行分类讨论.设要求的线段长为x，若x∶1＝∶2，则x＝；若1∶x＝∶2，则x＝；若1∶＝x∶2，则x＝；若1∶＝2∶x，则x＝2. 所以所添加的数有三种可能，可以是，，或2. 方法总结：若使四个数成比例，则应满足其中两个数的比等于另外两个数的比，也可转化为其中两个数的乘积恰好等于另外两个数的乘积. 【板书设计】 第3课时 比例的性质与黄金分割 【教学目标】 1.掌握比例的基本性质、合比性质与等比性质；(重点) 2.会运用比例的性质进行简单的比例变形，并解决有关问题；(难点) 3.了解黄金分割的概念，会根据黄金分割的定义求线段的比值.(难点) 【教学过程】 一、情境导入 配制糖水时，通过确定糖和水的比例来确保配制糖水的浓度. 若有含糖a千克的糖水b千克，含糖c千克的糖水d千克，含糖e千克的糖水f千克……它们的浓度相等，把这些糖水混合到一起后，浓度不变.可表示为＝. 二、合作探究 探究点一：比例的性质 【类型一】 比例的基本性质 已知＝，求的值. 解：解法一：由比例的基本性质，得2(a＋3b)＝7×2b.∴a＝4b，∴＝4. 解法二：由＝，得＝7，∴＋＝＋3＝7，∴＝4. 方法总结：利用比例的基本性质，把比例式转化成等积式，再用含有其中一个字母的代数式表示另一个字母，然后利用代入法或化成方程求解，这是解决比例问题常见的方法. 【类型二】 合比性质 如图，已知＝. 求证：(1)＝；(2)＝. 解析：我们可以运用证明合比性质的方法，在已知等式的两边同时减去1，便可证明(1)成立；先运用合比性质，然后用比例的基本性质把等式变形，即可证明(2)成立. 证明：(1)∵＝，∴＝，即＝； (2)∵＝，∴＝.∴＝(合比性质).∴＝，即＝. 方法总结：本题主要运用合比性质进行证明，理解比例的性质是解决问题的关键. 【类型三】 等比性质 已知正数a、b、c，且＝＝＝k，则下列四个点中，在正比例函数y＝kx图象上的点是( ) A.(1，) B.(1，2) C.(1，－) D.(1，－1) 解析：求出k的值是关键.∵a、b、c为正数，∴a＋b＋c≠0.由等比性质，得＝k，即k＝，∴y＝x.当x＝1时，y＝×1＝，∴点(1，)在正比例函数y＝kx的图象上.故选A. 方法总结：当已知条件中有连等式时，可考虑运用等比性质，前提条件是分母之和不为0.在解题时需注意这一点. 探究点二：黄金分割 【类型一】 利用黄金分割进行计算 如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，BC＝mAB，求m的值. 解：∵点C是线段AB的黄金分割点，∴＝＝.又∵BC＝mAB，∴AC＝(1－m)AB，∴＝，即1－m＝，∴m＝. 方法总结：运用黄金分割的概念，得出线段AC，BC，AB之间的表达式，再利用BC＝mAB变形，求出m的值. 【类型二】 黄金分割的实际应用 如图所示，乐器上有一根弦AB，两个端点A、B固定在乐器的面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，若DC的长度为d，试求这根弦AB的长度. 解：根据黄金分割的定义，可知＝＝，∴AC＝BD＝AB，∴AD＝AB－BD＝AB－AB. ∴CD＝AC－AD＝AB－(AB－AB)＝(－2)AB＝d. ∴AB＝d＝(＋2)d. 【板书设计】 第4课时 平行线分线段成比例及其推论 【教学目标】 1.掌握平行线分线段成比例定理的基本事实以及其推论；(重点) 2.应用平行线分线段成比例定理及其推论来解决问题.(难点) 【教学过程】 一、情境导入 如图，在△ABC中，D为边AB上任一点，作DE∥BC，交边AC于E，用直尺量一量，判断与是否相等. 二、合作探究 探究点：平行线分线段成比例定理 【类型一】 平行线分线段成比例的基本事实 如图，直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，直线l4、l5交于点O，且l1∥l2∥l3，已知EF∶DF＝5∶8，AC＝24. (1)求的值； (2)求AB的长. 解析：(1)根据l1∥l2∥l3推出＝；(2)根据l1∥l2∥l3，推出＝＝，代入AC＝24求出BC即可求出AB. 解：(1)∵l1∥l2∥l3，∴＝.又∵DF∶DF＝5∶8，∴EF∶DE＝5∶3，∴＝； (2)∵l1∥l2∥l3，EF∶DF＝5∶8，AC＝24，∴＝＝，∴BC＝15，∴AB＝AC－BC＝24－15＝9. 方法总结：运用平行线分线段成比例定理时，一定要注意正确书写对应线段的位置. 【类型二】 平行线分线段成比例的基本事实的推论 如图所示，已知△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝5，AC＝5，求AE的长. 解析：根据DE∥BC得到＝，然后根据比例的性质可计算出AE的长. 解：∵DE∥BC，∴＝，即＝，∴AE＝. 方法总结：解题的关键是深入观察图形，准确找出图形中的对应线段，正确列出比例式. 【板书设计】 1.相似三角形的定义及有关概念； 2.平行线分线段成比例定理及推论； 3.相似三角形的引理. 1 学科网（北京）股份有限公司 $