第21章 二次函数与反比例函数综合素质评价卷2026-2027学年沪科版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦二次函数与反比例函数，通过安检排队、世博纪念品销售等生活情境及构造法、动点探究等创新题型，考查抽象能力、模型意识与推理能力的单元复习卷。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|10/40|二次函数定义/性质、反比例函数图像|第8题构造法解双曲线上点坐标，第10题数形结合分析抛物线结论| |填空|4/20|函数图像变换、开放结论|第11题结论开放题，第14题结合抛物线对称轴求面积| |解答|8/90|函数建模、综合应用|第21题活动探究安检排队问题，第22题生态文明情境下利润计算，第23题抛物线与直线交点及面积探究|

第21章 二次函数与反比例函数综合素质评价 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分) 1．若y＝(a＋3)x|a|－1－x＋1是关于x的二次函数，则a的值是(　　) A．－3 B．2 C．3 D．－3或3 2．把二次函数y＝x2－4x＋3化成y＝a(x＋h)2＋k的形式是(　　) A．y＝(x－2)2＋1 B．y＝(x－2)2－1 C．y＝(x＋2)2＋7 D．y＝(x＋2)2－7 3．某新能源汽车配件公司四月份生产配件a万个，经过连续两个月的增长，到六月份生产配件达到了b万个，设每个月增长的百分率都是x，则b与x的函数表达式是(　　) A．b＝x2＋a B．b＝a(x－1)2 C．b＝a(1－x2) D．b＝a(1＋x)2 4．已知(0，y1)，(1，y2)，(－2，y3)是抛物线y＝x2－2x＋1上的点，则y1，y2，y3的大小关系是(　　) A．y1>y2>y3 B．y3>y2>y1 C．y1>y3>y2 D．y3>y1>y2 5．对于二次函数y＝3(x－1)2＋3的性质，下列描述正确的是(　　) A．开口向下 B．对称轴是直线x＝－1 C．顶点坐标是(3，1) D．二次函数y＝3(x－1)2＋3有最小值 6．已知P(x1，y1)，Q(x2，y2)是某函数图象上的两点，当1＜x2＜x1＜2时，y2－y1＜0，该函数的表达式可能是(　　) A．y＝－2x B．y＝ C．y＝x2－x－1 D．y＝－x2－2x＋1 7．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分函数图象如图所示，则一次函数y＝ax＋b2－4ac与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象大致是(　　) 8.如图，在平面直角坐标系中，点A，点B都在双曲线y＝(k≠0)上，且点A在点B的右侧，点A的横坐标为－1，∠AOB＝∠ABO＝45°，则k的值为(　　) A. B．－ C. D．－ 9.如图，在正方形ABCD中，AB＝4 cm，动点P，Q分别从A，D同时出发，点P以2 cm/s的速度沿A→B→C运动，点Q以1 cm/s的速度沿D→C运动，点P到达点C时运动停止．设P点运动x s时，△APQ的面积为y cm2，则y关于x的函数图象大致为(　　) 　 10.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，且a≠0)的对称轴是直线x＝1，且抛物线与x轴的一个交点坐标是(4，0)，与y轴的交点坐标是(0，m)，且2<m<3.有下列结论：①abc<0；②9a－3b＋c>0；③<y最大值<；④关于x的一元二次方程ax2＋(b－1)x＋c－2＝0必有两个不相等实根；⑤若点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)在抛物线y＝ax2＋bx＋c上，且n<x1<n＋1<x2<n＋2<x3<n＋3，当y1<y3<y2时，则n的取值范围为－<n<0.其中正确的有(　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 (第10题) 　　　　　　(第13题)　　(第14题) 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分) 11.已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过点(c，0)，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是________________．(写出一个即可) 12．在平面直角坐标系中，把抛物线y＝－x2＋1向上平移3个单位，再向左平移5个单位，则所得抛物线的顶点坐标是__________． 13．如图，反比例函数y＝(x＜0)的图象经过平行四边形ABCO的顶点A，OC在x轴上，若点B(－1，3)，S▱ABCO＝3，则实数k的值为________． 14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋x＋3与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，且过点A(－1，2)，连接AB，AC，BC. (1)点B的坐标是________； (2)若点P是抛物线对称轴上的一点，且S△ABC＝2S△BCP，则点P的坐标是________________． 三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 15．已知抛物线的顶点坐标为(－1，1)，且经过点(1，－3)，求这个抛物线的表达式． 16．如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴交于A(－2，0)，B(1，0)两点． (1)求b，c的值； (2)若点P在该二次函数的图象上，且△PAB的面积为6，求点P的坐标． 四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 17．已知抛物线y＝x2－4x＋3. (1)将抛物线的表达式化为顶点式； (2)在如图所示的坐标系中利用五点法画出此抛物线； x … … y … … (3)结合图象，当0＜x＜3时，y的取值范围为__________． 18．实验数据显示，一般成人喝100毫升某品牌白酒后，血液中酒精含量y(毫克/百毫升)与时间x(时)变化的图象如图(图象由线段OA与部分双曲线AB组成)所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． (1)求线段OA和双曲线AB的函数表达式． (2)参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20点在家喝完100毫升该品牌白酒，第二天早上6点能否驾车去上班？请说明理由． 五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分) 19．已知函数y＝mx2＋(m－1)x－1(m为常数)． (1)当m＝1时，设函数图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，请判断△ABC的形状，并说明理由； (2)求证：无论m取何值，函数图象与x轴一定有交点． 20．如图，一次函数y＝mx＋n(m≠0)的图象与反比例函数y＝(k≠0)的图象交于点A(－3，a)，B(1，3)，且一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点C，D. (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象直接写出不等式mx＋n＞的解集； (3)在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得S△OCP＝4S△OBD，求点P的坐标． 六、(本题满分12分) 21.【问题背景】排队是生活中常见的场景，如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 【研究条件】条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数＝现场总人数－已入场人数； 条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数y与安检时间x之间满足关系式：y＝－x2＋60x＋100(0≤x≤30)． 结合上述信息，请完成下述问题： (1)当开通3条安检通道，安检x分钟时，已入场人数为________，排队人数w与安检时间x的函数关系式为__________________． 　【模型应用】(2)在(1)的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ (3)已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始10分钟内(包含10分钟)减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支． 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道？请说明理由． 　【总结反思】函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量(如突发情况、安检流程优化等)进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性． 七、(本题满分12分) 22. 某市政府本着“人民城市人民建，人民城市为人民”“人与自然和谐共生”“城市有机更新”等重要理念，打造了“一大主题、三大特色、四大活动、六大亮点”的世博园．某商场抓住商机购进了一批以该世博园为主题的纪念品进行销售，纪念品的进价是每件30元．根据市场调查：在一段时间内，当销售单价是45元时，每日的销售量是550件；销售单价每涨1元，每日就会少售出10件． (1)不妨设该纪念品的销售单价为x元(x＞40)，请你用含x的代数式分别表示每日销售量y(单位：件)和每日销售该纪念品获得的利润w(单位：元)． (2)在(1)的条件下，若商场某日获得了10 000元的销售利润，则该纪念品的销售单价应为多少元？ (3)在(1)的条件下，若经销商规定该纪念品的销售单价不低于44元，且商场每日要完成不少于540件的销售任务，则该商场每日销售该纪念品获得的最大利润是多少？ 八、(本题满分14分) 23．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与直线y＝x＋2相交于A(－2，0)，B(3，m)两点，与x轴相交于另一点C. (1)求抛物线的表达式． (2)点P是直线AB上方抛物线上的一个动点(不与A，B重合)，过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E，当PE＝2ED时，求P点的坐标． (3)抛物线上是否存在点M，使△ABM的面积等于△ABC面积的一半？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 答案 一、1.C　2.B　3.D　4.D　5.D　 6．C　【点拨】∵当1＜x2＜x1＜2时，y2－y1＜0， 即y2＜y1， ∴当1＜x＜2时，y随x的增大而增大． A．对于函数y＝－2x，y随x的增大而减小，故该函数不合题意； B．对于y＝，当x＞0时，y随x的增大而减小，故该函数不合题意； C．函数y＝x2－x－1的图象开口向上，对称轴为直线x＝－＝，则当x＞时，y随x的增大而增大，故该函数符合题意； D．函数y＝－x2－2x＋1的图象开口向下，对称轴为直线x＝－＝－1， 则当x＞－1时，y随x的增大而减小，故该函数不合题意．故选C. 7．A　【点拨】由二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分函数图象可知a>0且b2－4ac＞0，∴一次函数y＝ax＋b2－4ac的图象经过第一，二，三象限．由二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分函数图象可知，点(2，4a＋2b＋c)在x轴的上方，∴4a＋2b＋c＞0.∴反比例函数y＝的图象位于第一，三象限．据此可知，符合题意的是A. 8．D　【点拨】过A作AM⊥y轴于M，过B作BD⊥x轴于D，直线BD与AM交于点N，如图所示， 则∠AMO＝∠ODN＝∠MOD＝90°，∴四边形OMND是矩形，∠AOM＋∠OAM＝90°，∴OD＝MN，DN＝OM，∠BNA＝90°.∵∠AOB＝∠OBA＝45°，∴OA＝BA，∠OAB＝90°，∴∠OAM＋∠BAN＝90°，∴∠AOM＝∠BAN.把x＝－1代入y＝，得y＝－k，∴A(－1，－k)．∵双曲线y＝在第二象限，∴k<0，∴AM＝1，OM＝－k.∵∠AMO＝∠BNA＝90°，∠AOM＝∠BAN，OA＝BA，∴△AOM≌△BAN(AAS)，∴AM＝BN＝1，OM＝AN＝－k，∴OD＝1－k，BD＝OM－BN＝－k－1，∴B(－1＋k，－k－1)．∵双曲线y＝(k≠0)经过B，且k<0，∴－k－1＝，解得k1＝(舍)，k2＝＝－.经检验，k＝－是方程的解． 9．B　【点拨】在正方形ABCD中，BC＝CD＝AD＝AB＝4 cm.当点P在AB上，即0≤x≤2时，AP＝2x cm.∵S△APQ＝AP·BC，∴y＝×2x×4＝4x.当点P在BC上，即2＜x≤4时，BP＝(2x－4)cm，DQ＝x cm，∴CP＝BC－BP＝(8－2x)cm，CQ＝CD－DQ＝(4－x)cm.∵S△APQ＝S正方形ABCD－S△ABP－S△CPQ－S△ADQ＝AB2－AB·BP－CP·CQ－AD·DQ，∴y＝42－×4×(2x－4)－(8－2x)(4－x)－×4×x＝－x2＋2x＋8. 综上，y＝故y关于x的函数图象大致为B选项中的图象． 10．C　【点拨】根据函数图象可得抛物线开口向下，则a<0.对称轴为直线x＝1，则－＝1，∴b＝－2a>0.∵抛物线与y轴交点坐标是(0，m)，即c＝m，且2<m<3，∴c>0，∴abc<0，故①正确；∵抛物线与x轴的一个交点坐标是(4，0)，对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(－2，0)，∴当x＝－3时，y＝9a－3b＋c<0，故②错误；∵(－2，0)在抛物线y＝ax2＋bx＋c上，∴4a－2b＋c＝0.又∵b＝－2a，∴4a＋4a＋c＝0，∴8a＋c＝0，即c＝－8a.∵2<m<3，即2<c<3，∴2<－8a<3，∴2×<－8a×<3×，即<－9a<.当x＝1时，y取得最大值，最大值为a＋b＋c＝a－2a－8a＝－9a，∴y最大值＝－9a，∴<y最大值<，故③正确；∵ax2＋(b－1)x＋c－2＝0，b＝－2a，c＝－8a，∴方程可化为ax2＋(－2a－1)x－8a－2＝0.∵Δ＝(－2a－1)2＋4a(8a＋2)＝36a2＋12a＋1，对称轴为直线a＝－＝－，∴当a<－时，Δ的值随a的增大而减小．又∵2<－8a<3，∴－<a<－.当a＝－时，Δ＝36×＋12×＋1＝>0，∴当－<a<－时，Δ>0恒成立，即ax2＋(b－1)x＋c－2＝0必有两个不相等实根，故④正确；∵若点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)在抛物线y＝ax2＋bx＋c上，且n<x1<n＋1<x2<n＋2<x3<n＋3, ∴2n＋1<x1＋x2<2n＋3，2n＋3<x2＋x3<2n＋5，2n＋2<x1＋x3<2n＋4.∵存在y1<y3<y2，∴＜1，＞1，<1，即<1，>1，<1，解得－<n<0，故⑤正确．故正确的有①③④⑤，共4个．故选C. 二、11.y＝－x2＋x＋2(答案不唯一) 12．(－5，4)　13.－6 14．(1)(3，0)　(2)或 【点拨】(1)令y＝－x2＋x＋3＝0，解得x1＝3，x2＝－2.∵点B在x轴的正半轴上，∴B(3，0)． (2)在y＝－x2＋x＋3中，令x＝0，得y＝3， 即C(0，3)．设直线BA的表达式为y＝kx＋b，把B，A的坐标分别代入，得解得∴直线BA的表达式为y＝－x＋.设BA交y轴于点D，抛物线的对称轴交x轴于点E.在y＝－x＋中，令x＝0，得y＝，则D.∴△ABC的面积为CD×(xB－xA)＝××(3＋1)＝3.又∵S△ABC＝2S△BCP，∴S△BCP＝.易得抛物线的对称轴为直线x＝，∴设P.当点P在BC的上方时，S△PBC＝S梯形PCOE＋S△PBE－S△OBC＝，即(3＋p)×＋×p－×3×3＝，解得p＝，故P；当点P在BC的下方时，S△PBC＝S△OBC－S梯形PCOE－S△PBE＝，即×3×3－(3＋p)×－×p＝，解得p＝，故P.综上，点P的坐标为或. 三、15.【解】设这个抛物线的表达式为y＝a(x＋1)2＋1，把点(1，－3)的坐标代入，得a·(1＋1)2＋1＝－3， 解得a＝－1， 所以这个抛物线的表达式为y＝－(x＋1)2＋1. 16．【解】(1)∵二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴交于A(－2，0)，B(1，0)两点， ∴解得 (2)由(1)可知，二次函数的表达式为y＝－x2－x＋2， 易得AB＝1－(－2)＝3. 设P(m，n)，∴S△PAB＝AB·|n|＝6. ∴|n|＝4.∴n＝±4. ∴当－x2－x＋2＝4时，Δ＝1－8＝－7＜0，无解，不符合题意，舍去； 当－x2－x＋2＝－4时，解得x1＝－3，x2＝2， ∴点P的坐标为(2，－4)或(－3，－4)． 四、17.【解】(1)y＝x2－4x＋3＝(x2－4x＋4)－4＋3＝(x－2)2－1. ∴抛物线的顶点式为y＝(x－2)2－1. (2)列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 －1 0 3 … 抛物线如图所示． (3)－1≤y＜3 18．【解】(1)设直线OA的函数表达式为y＝mx， 把点的坐标代入y＝mx，得m＝20， ∴m＝80，∴线段OA的函数表达式为y＝80x. 当x＝时，y＝120，即A. 设双曲线AB的函数表达式为y＝， 将A的坐标代入，得k＝180， ∴双曲线AB的函数表达式为y＝. (2)第二天早上6点能驾车去上班．理由： 由y＝得，当y＝20时，x＝9， 从晚上20点到第二天早上6点时间间距为10小时． ∵10>9，∴第二天早上6点能驾车去上班． 五、19.(1)【解】△ABC为等腰直角三角形．理由如下： 对于函数y＝mx2＋(m－1)x－1，当m＝1时，有y＝x2－1， ∴当x＝0时，y＝－1.∴C(0，－1)．∴OC＝1. 当y＝0时，有x2－1＝0，解得x1＝－1，x2＝1. 又∵点A在点B的左侧，∴A(－1，0)，B(1，0)． ∴OA＝OB＝1. ∴AB＝2.易知∠AOC＝∠BOC＝90°. ∴AC＝＝，BC＝＝. ∴AC2＋BC2＝AB2，AC＝BC. ∴△ABC为等腰直角三角形． (2)【证明】①当m＝0时，此时函数y＝－x－1为一次函数， 令y＝0，则x＝－1， 即此时一次函数图象与x轴的交点为(－1，0)． ②当m≠0时，此时函数为二次函数， 令y＝0，则mx2＋(m－1)x－1＝0. ∴Δ＝b2－4ac＝(m－1)2－4×m×(－1)＝(m＋1)2≥0. ∴mx2＋(m－1)x－1＝0有解． ∴函数图象与x轴有交点． 综上所述，无论m取何值，函数图象与x轴一定有交点． 20．【解】(1)将B(1，3)的坐标代入y＝，得3＝，∴k＝3. ∴反比例函数的表达式为y＝. 将A(－3，a)的坐标代入y＝，得a＝＝－1， ∴点A的坐标为(－3，－1)． 将点A和点B的坐标代入y＝mx＋n(m≠0)， 得解得 ∴一次函数的表达式为y＝x＋2. (2)不等式mx＋n＞的解集为－3＜x＜0或x＞1. (3)将x＝0代入y＝x＋2，得y＝2， ∴点D的坐标为(0，2)． ∴易得S△OBD＝×2×1＝1.∴S△OCP＝4S△OBD＝4. 将y＝0代入y＝x＋2，得x＝－2， ∴点C的坐标为(－2，0)． ∴S△OCP＝×2×|yP|＝4，解得|yP|＝4. ∴yP＝±4. 又∵点P在第三象限，∴yP＝－4. 将yP＝－4代入y＝，得xP＝－. ∴点P的坐标为. 六、21.【解】(1)18x；w＝－x2＋42x＋100 (2)w＝－x2＋42x＋100＝－(x－21)2＋541， ∴当x＝21时，排队人数达到最大值，最大人数为541. (3)开设7条安检通道．理由： 设开设m条通道，则w＝y－6mx＝－x2＋60x＋100－6mx＝－x2＋6(10－m)x＋100， ∴对称轴为直线x＝3(10－m)． ∵排队人数10分钟内(包含10分钟)减少， ∴0≤3(10－m)≤10，∴≤m≤10. 又∵最多开设9条，∴≤m≤9. ∵m为正整数，∴m的最小值为7, ∴最少开设7条安检通道． 七、 22.【解】(1)每日销售量y＝550－10(x－45)＝1 000－10x， ∴每日销售该纪念品获得的利润w＝(1 000－10x)·(x－30)＝－10x2＋1 300x－30 000. (2)根据题意，得－10x2＋1 300x－30 000＝10 000， 解得x1＝50，x2＝80. 答：该纪念品的销售单价为50元或80元． (3)由题意，知1 000－10x≥540且x≥44， 解得44≤x≤46. ∵w＝－10x2＋1 300x－30 000＝－10(x－65)2＋12 250， ∴图象的对称轴是直线x＝65. 又∵－10＜0， ∴当44≤x≤46时，w随x的增大而增大． ∴当x＝46时，w有最大值，最大值为8 640. 答：该商场每日销售该纪念品获得的最大利润是8 640元． 八、23.【解】(1)把B(3，m)的坐标代入y＝x＋2中， 得m＝3＋2＝5， ∴B(3，5)． 把A(－2，0)，B(3，5)的坐标代入y＝－x2＋bx＋c，得 解得 ∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋8. (2)设P(t，－t2＋2t＋8)， 则E(t，t＋2)，D(t，0)． ∵PE＝2DE， ∴－t2＋2t＋8－(t＋2)＝2(t＋2)， 解得t＝1或t＝－2(此时P不在直线AB上方，舍去)． 当t＝1时，－t2＋2t＋8＝9. ∴P点的坐标为(1，9)． (3)存在，点M的坐标为，(，)，(，)或(，)． 【点拨】过M作MF∥y轴交直线AB于点K， 在y＝－x2＋2x＋8中，令y＝0，得0＝－x2＋2x＋8， 解得x＝－2或x＝4. 又∵A(－2，0)，∴C(4，0)．∴AC＝6. 又∵B(3，5)，∴S△ABC＝×6×5＝15. 设M(m，－m2＋2m＋8)，则K(m，m＋2)， ∴MK＝|－m2＋2m＋8－(m＋2)|＝|－m2＋m＋6|. ∴S△ABM＝MK·|xB－xA|＝|－m2＋m＋6|. ∵△ABM的面积等于△ABC面积的一半， ∴|－m2＋m＋6|＝×15.∴|－m2＋m＋6|＝3. ∴－m2＋m＋6＝3或－m2＋m＋6＝－3， 解得m＝或m＝. ∴点M的坐标为，(，)，或(，)． 学科网（北京）股份有限公司 $