辽宁沈阳市省重点高中五校联考2025-2026学年高二下学期7月期末调研数学试题

**基本信息** 以人形机器人比赛、电动汽车销售等科技与社会热点为情境，覆盖函数、数列、概率统计、导数等核心知识，注重数学思维的逻辑性与数学语言的应用表达。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合运算、函数奇偶性、正态分布|基础概念辨析，如第5题结合正态分布实际应用| |多选|3/18|分布列期望、不等式性质|选项分层，如第9题对比两项目收益风险| |填空|3/15|导数切线、数列递推|第12题通过切线方程考查导数几何意义| |解答|5/77|统计案例（回归/独立性检验）、导数应用、概率模型|17题整合线性回归与独立性检验，19题以机器人测试为背景构建概率期望模型，体现数学建模与数据分析素养|

2025-2026学年度（下）期末调研 高二年级数学试卷 时间：120分钟 分数：150分 试卷说明：试卷共两部分： 第一部分：选择题型(1一11题58分) 第二部分：非选择题型(12-19题92分) 第I卷（选择题共58分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且 只有一项是符合题目要求的) 1.已知全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A={0,1,3,5,8},集合B={2,4,5,6,8},则 痧A)⌒(uB)=() A.{01,3} B.{5,8} C.{2,4,6} D.7,9} 2.函数f(x)=xx+d+b是奇函数的充要条件() A.ab=0 B.a2+b2=0 C.a=b D.a+b=0 3.下列说法错误的是() A.函数f(x)=V1+x×V-x与g(x)=V-x2是相同的函数 B.已知函数f(2x+1)的定义域为[-1,1]，则函数f(x)的定义域为[-1,3] C.若f(x+1)=x2,则f(x)=(x-1) D.函数f(x)=V2+16+9 Vx2+16 的最小值为6 高二年级数学试卷第1页共6页 4.已知等比数列4，a2,,4g各项为正且公比q≠1，则（) A.41+ag=a4+a5 B.a+as<as+as C.a+as >as+as D.a+ag与a4+a的大小关系不能确定 5.已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N(0,32),从中随机取一件， 其长度误差落在区间(3,6)内的概率为() (附：若随机变量5服从正态分布N(u,o2),则P(u-o<专<+o)=68.26%, P(L-2o<5<u+2o)=95.449%.) A.4.56% B.13.59% C.27.18% D.31.74% 6.若方程(x-2x+m)(x-2x+n)=0的四个根组成一个首项为2的等差数列，则m-川= () A.1 B. D. 2 8 7,小明高考结束后出去游玩，帽子和墨镜每天至少戴一件，他每天戴帽子的概率为亏， 2 戴墨镜的概率为亏，各天穿戴的情况独立，X表示他在20天的游玩时间中只戴帽子的天 数，则其期望E(X)=() A.4天 B.8天 C.10天 D.16天 8.已知函数f)=r+e-x<0与s)=+nx+@图象上存在关于y轴对称的点， 则a的取值范围是() A.←w B.(-o,e) c. D.2 高二年级数学试卷第2页共6页 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有 多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知投资A,B两种项目获得的收益分别为X,Y,分布列如下表，则正确的是() X/百万 -1 0 2 0.2 m 0.6 Y1百万 0 0.3 0.4 A.m+n=0.5 B.E(2X+1)=4 C.投资两种项目的收益期望一样多 D.投资A项目的风险比B项目高 10.已知正实数a,b满足ab+a+b=8,下列说法正确的是() A.ab的最大值为2 B.a+b的最小值为4 ab+)+云的最小值为) 1 1 C.a+2b的最小值为6√2-3 D. 11.已知定义在R上的可导函数f(x)满足：①f(x)是奇函数，②f(x+3)=-f(x).设函 数g(x)=ef(x),则正确的是() A.f(x)的周期为6 B.g(x)在[-3,3]至多有两个零点 C.曲线y=f(x)的一条对称轴为x=3 D.若∫'(O)=1,则曲线y=g(x)在x=0处的切线方程为y=x 高二年级数学试卷第3页共6页 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.如图，函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(2026)+f'(2026) y=-x+8 2026 13.已知数列{an}中，a=1,a3=2，a0+4+2=an+a++0n+2,且a+12≠1，则 2026 S26=∑4.= 14.若函数f(x)=(1-x2)(x2+a十b)的图像关于直线x=-2对称，则f(x)的最大值是 四.解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤 15.(13分)已知在正项数列{an}中，a3=4,a2a5=32,且lna.,Ind,lnan+2成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式： (2)若数列{b}满足bn=an+(-1)1og2a1,求数列bn}的前100项和T0o· 高二年级数学试卷第4页共6页 16.(15分)已知函数f(x)为定义在R上的偶函数，且满足f(x)=log2（2+1)+kx, 8(x)=f(x)+x. (1)求∫(x)的解析式： (2)若不等式g(4-a2"+1)>8(-3)恒成立，求实数a的取值范围： (3)设h(x)=x2-2mx+1,若对任意的x∈[0,3]，存在x∈[，3]，使得g(x)≥h(x),求 实数m的取值范围. 17.（15分)为了解某一地区纯电动汽车销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法 得到电动汽车销量y(单位：万台)关于x(年份)的线性回归方程为y=4.7x-9459.2, 且销量y的方差为5254，年份x的方差为=2 (1)求y与x的相关系数r,并据此判断电动汽车销量y与年份x的相关性强弱； (2)该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表： 购买非电动车 购买电动车 总计 男性 39 6 45 女性 30 15 45 总计 69 21 90 能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为购买电动汽车与性别有关？ (3)在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取3 人，记这3人中，男性的人数为X,求X的分布列和期望 ①参考数据：√5x127=√635≈25： ②参考公式：(i)线性回归方程：y=x+a,其中6-白 4-0y-列 ,a=y-bx 2c-列 (ii)方差公式：s=12(x-) n i= 高二年级数学试卷第5页共6页 Σ(x-(y-列 (iii)相关系数： ”三 若川>0.9，可判断y与x线性相关较强. 26-到空-列 (iv)x2= n(ad-be)2 其中n=a+b+c+d (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 附表： a=P (x2zk) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 18.(17分)已知函数f(x)=x2-1+aln(1+x), (1)当a=1时，若对任意x∈(-l,+∞)，不等式f(x)-x2+2≤be+nb恒成立，求实数b的 最小值： (2)若∫(x)存在两个不同的极值点x,x3,x<x2,且f(x)<mx2,求实数m的取值范围. 19.(17分)2026年4月19日，在北京亦庄举办的人形机器人半程马拉松比赛，备受科 技圈关注.赛前某机器人厂家对机器人进行比赛前的测试，进一步检验机器人的稳定性. 假设机器人从初始点开始移动，每次的结果可能是向前或向后移动一个步（每步步长1 米)，向前移动的概率为p(0<p<1),向后移动的概率为1一p: ()若p=)求4次后停在初始点的概率： (2)求机器人移动3次后停在初始点前方的概率： (3)设计测试规则如下：第一轮测试，机器人从初始点开始移动，设置机器人前方移动的 概率卫=x,若机器人移动3次后停在初始点前方，则进入第二轮测试，否则测试结束； 第二轮测试，机器人重新从初始点开始移动，重新设置机器人前方移动的概率 p=a-x(0<a<2),移动3次后，若机器人停在初始点前方，则以机器人停留的位置与 初始点的距离作为两轮测试的最终得分.若机器人停在初始点后方或初始点处，则两轮测 试的最终得分为0分（规定测试一轮结束的得分也是0分）.记两轮测试最终得分的期望 E(X)=f(x),若f(x)存在极大值点，求a的取值范围 高二年级数学试卷第6页共6页 2025-2026学年度(下)期末调研 高二年级数学试卷 时间：120分钟 分数：150分 试卷说明：试卷共两部分: 第一部分：选择题型（1－11题　58分） 第二部分：非选择题型（12－19题　92分） 第Ⅰ卷(选择题　共58分) 一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1．已知全集，集合，集合，则（     ） A． B． C． D． 2．函数是奇函数的充要条件（     ） A． B． C． D． 3．下列说法错误的是（     ） A．函数与是相同的函数 B．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 C．若，则 D．函数的最小值为6 4．已知等比数列，，…，各项为正且公比，则（    ） A． B． C． D．与的大小关系不能确定 5．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（     ） （附：若随机变量ξ服从正态分布 ，则 ， ．） A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74% 6．若方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则（    ） A．1 B． C． D． 7．小明高考结束后出去游玩，帽子和墨镜每天至少戴一件，他每天戴帽子的概率为，戴墨镜的概率为，各天穿戴的情况独立，表示他在20天的游玩时间中只戴帽子的天数，则其期望（     ） A．4天 B．8天 C．10天 D．16天 8．已知函数与图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2、 多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知投资两种项目获得的收益分别为，分布列如下表，则正确的是（    ） /百万 0 2 百万 0 1 2 A． B． C．投资两种项目的收益期望一样多 D．投资项目的风险比项目高 10．已知正实数，满足，下列说法正确的是（    ） A．的最大值为2 B．的最小值为4 C．的最小值为 D．的最小值为 11．已知定义在R上的可导函数满足：①是奇函数，②.设函数，则正确的是（    ） A．的周期为6 B．在至多有两个零点 C．曲线的一条对称轴为 D．若，则曲线在处的切线方程为 第Ⅱ卷(非选择题　共92分) 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．如图，函数的图象在点处的切线方程是，则+ =________. 13．已知数列中，，，，且，则=________. 14．若函数的图像关于直线对称，则的最大值是______. 四．解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）已知在正项数列中，，且成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前100项和. 16.（15分）已知函数为定义在上的偶函数，且满足，． (1)求的解析式； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 17.（15分）为了解某一地区纯电动汽车销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量（单位：万台）关于（年份）的线性回归方程为，且销量的方差为，年份的方差为． (1)求与的相关系数，并据此判断电动汽车销量与年份的相关性强弱； (2)该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表： 购买非电动车 购买电动车 总计 男性 39 6 45 女性 30 15 45 总计 69 21 90 能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为购买电动汽车与性别有关？ (3)在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中，男性的人数为，求的分布列和期望． ①参考数据：； ②参考公式：（i）线性回归方程：，其中 （ii）方差公式： （iii）相关系数：，若，可判断与线性相关较强． （iv），其中. 附表： （） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 18.（17分）已知函数， (1)当时，若对任意，不等式恒成立，求实数的最小值； (2)若存在两个不同的极值点，，且，求实数的取值范围． 19.（17分）2026年4月19日，在北京亦庄举办的人形机器人半程马拉松比赛，备受科技圈关注.赛前某机器人厂家对机器人进行比赛前的测试，进一步检验机器人的稳定性.假设机器人从初始点开始移动，每次的结果可能是向前或向后移动一个步（每步步长1米），向前移动的概率为，向后移动的概率为； (1)若，求4次后停在初始点的概率； (2)求机器人移动3次后停在初始点前方的概率； (3)设计测试规则如下：第一轮测试，机器人从初始点开始移动，设置机器人前方移动的概率，若机器人移动3次后停在初始点前方，则进入第二轮测试，否则测试结束；第二轮测试，机器人重新从初始点开始移动，重新设置机器人前方移动的概率，移动3次后，若机器人停在初始点前方，则以机器人停留的位置与初始点的距离作为两轮测试的最终得分.若机器人停在初始点后方或初始点处，则两轮测试的最终得分为0分（规定测试一轮结束的得分也是0分）.记两轮测试最终得分的期望，若存在极大值点，求的取值范围. 高二年级数学试卷　第 6 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末考试 高二年级数学试卷 答案 考试时间：120分钟 考试分数：150分 1． 单选 D B D C B C A B 2． 多选 ACD BCD AD 3． 填空 1 4051 16 4． 解答题 15.（1）成等差数列， ，即，， 为等比数列， .........................3分 又，得 ..........................6分 （2） ， 当为偶数时， ， ..........................9分 所以. ........... ....13分 16.（1）因为是上的偶函数，故对任意，恒成立， 所以,， 令，代入化简得,得， 因此的解析式为. ...............3分 （2）由题意可得，易知在上单调递增， 因此不等式等价于. ..............5分 令，不等式变为对任意恒成立，分离参数得， 由基本不等式得， 当且仅当取最小值，因此，即. ...............8分 （3）对任意，存在，满足，等价于在上的最小值在上的最小值. ...............10分 因为单调递增，故，因此存在，使得....11分 即，开口向上，对称轴， 若,，； ..........12分 若，，恒成立； ...............13分 若，，结合恒成立. .........14分综上得，即. ...............15分 第三问也可分参计算酌情给分 17（1）相关系数为 故与线性相关较强 ............. ....5分 （2） ............. ....8分 可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为购买电动汽车与车主性别有关 ............. ....9分 （3） 抽样比，男性车主选取2人，女性车主选取5人， ........10分 则的可能取值为0，1，2， 故， ...............11分 ...............12分 ...............13分 故的分布列为. 0 1 2 ...............15分 18. （1）当时，不等式可化为，变形为， 令，求导得，所以在上是增函数， 故，即，即， 所以对任意，不等式恒成立，即对任意恒成立， ...............4分 令，则， 所以当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减， 所以，即满足不等式的实数的取值范围为， 所以的最小值为1； ...............8分 （2）因为存在两个不同的极值点， 所以由可得是方程的两根， 所以，且，， 所以，故， ...............12分 又由可得， 而， 令，.........................14分 则， ∵，∴，即， 则，所以在区间上单调递减， 所以有，即， 所以实数取值范围. ...............17分 19.（1）设事件：机器人移动4次后停在初始点，那么 机器人移动4次后停在初始点，那么4次中有两次移动向前，有两次移动向后， . ...............2分 （2）设事件：机器人移动3次后停在初始点前方，那么若机器人移动3次后停在初始点前方，则向前移动2次、向后移动1次或向前移动3次、向后移动0次， 所以，. ...............5分 （3）第一轮测试结束进入第二轮游戏的情况有2种，分别是3次向前；2次向前、1次向后；则其概率为； 所以，的所有可能取值为0，1，3 ， ，， 所以， ...............9分 因为，所以， 所以当时，；当时； ，， 由于，所以的符号由决定， 令，那么当时，， 因为，，， 根据零点存在性定理可得，存在使得，存在使得， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，在处取极大值即存在极大值点； ........13分 当时，，因为，，， 根据零点存在性定理可得，存在使得，存在使得， 要使在上存在极大值点， 则， 解得或，因为，所以； ...............16分 综上所述. ...............17分 学科网（北京）股份有限公司 $期末考试 高二年级数学试卷 考试时间：120分钟 一，单选DBD CB CA B 二.多选ACD BCD AD 三.填空1405116 四.解答题 15.（1)ha,lna+H,lha+2成等差数列， .2lna1=lna,+lha+2,即a品+1=anan+2,an≠0， ∴{a}为等比数列， 又%=4g=4 4a=4g=32'得4=1，g=20=21 (2)b,=2”-1+(-1)"1og22”=2-1+(-1)”n, 当n为偶数时， Tn=(1+2+22++24+[1+2-3+4---1升n] =12+”=22, 1-22 2 所以100=2100+49.... 答案 考试分数：150分 …6分 ………9分 ..13分 16.(1)因为f(x)是R上的偶函数，故对任意x∈R,f(-)=f(x)恒成立， 所以f(-)=log2(2x+1)+k(-)=og2(2-kx,f()=log,(2+1)+x, 令f(-=f(),代入化简得-x(1+)=kxx=2 kx(VxE)得k=- 因此/)的解析式为f(x)=®g,(2+)-x ….3分 (2)由题意可得8()-18，(2：++分，易知)在R上单调递增， 因此不等式g(4-a2+1)>g(-3)等价于4-a2*+1>-3. .…..5分 令t=2>0,不等式变为tP-t+4>0对任意t>0恒成立，分离参数得a<t+4(t>0), 由基本不等式得1+ ≥2t =4, 当且仅当t=2取最小值4，因此a<4,即a∈(-o,4) ….8分 (3)对任意x∈[0,3]，存在3∈[1,3]，满足g(x)≥h(x),等价于8(x)在[0,3]上的最小 值2h(x)在[1,3]上的最小值. ..10分 因为g(x)单调递增，故g(x)mn=g(0)=1,因此存在x∈[1,3]，使得h(x)≤1..11分 即x2-2x+1≤1，h(x)=X-2x+1开口向上，对称轴x=m, 若m<L,h0mm=h(①)=2-2m≤1，m≥223 ≤m<1; …..12分 若1≤m≤3，h(x)mm=h(m)=1-m2≤1，恒成立； ….13分 若m>3,h)mn=h(3)=10-6m≤1，m≥号结合m>3恒成立..14分 综上得m≥即m∈ …….....15分 第三问也可分参计算酌情给分 可可刘 17(1)相关系数为'1 2-可可2-可 6匹-6 10 47 47 47 ns, =4.7×254 V10x√25426550=0.94>0.9 故y与x线性相关较强 …....5分 (2),K2= n(ad-be) 90×(39×15-30×6) -≈5.031>5.024 (a+b)(c+d)(a+c)b+d)45×45×69×21 ∴.可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为购买电动汽车与车主性别有关 …………..9分 (3)抽样比=7}，男性车主选取2人，女性车主选取5人， 213 ....10分 则X的可能取值为0,1,2， 故P(X=0)= C_2 ……..11分 P(X=1)= CC 4 =7 C ……….12分 x-答 ·..13分 故X的分布列为 X 0 1 2 4 P 2 1 7 7 7 +2 16 X77 ......15分 18. (1)当a=1时，不等式可化为1+n(x+1)≤be+lnb,变形为 x+1+In(x+1)sbe*+In(be*), 令g0=-1+h,求导得g回)=1+}0，所以80=-1+h1在(Q+m)上是增函数， 故x+l+ln(x+1)≤be+n(be),即g(x+1)≤g(be）,即x+1≤be, 对任意xE(L+∞)，不等式fy)-x+2≤be+nb恒成立，即≤h对 x∈(-1，+∞)恒成立， …….4分 令M)-xe(-L+o),则n)-。xe(1+o）. 所以当x∈(-1，O)时，h(x)>0,则h(x)单调递增； 当x∈(0，+)时，h(x)<0,则h(x)单调递减， 所以h(x)=h(0)=1,即满足不等式的实数b的取值范围为b≥1， 所以b的最小值为1： .......8分 (2)因为f(x)存在两个不同的极值点x,x,<, 所以由()=2x+,a2+2+a=0可得x.是方程2+2x+a=0的两根， 1+xx+1 所以△=4a>0写+=-1出号且-1<￥<-号名<0， 11 所以5号0，故0<a<号 .12分 又由/(s)ks可得m<f), x 而 ).-1+an0+）-上+a）上-+231=血【+)° -1-x1 -1-x1 -1-x1 =1-x+2xln1+x1) 令9()-1-x+2xn0+xe1》 14分 则()=-1+2h0++22血+=12+2h0+刘， x+1 (11e即名eaoa+0 则e(-12h+k0,所以p四在区间1-分）上单调递减。 所以有0时2，经n, 所以实数m取值范围 ........17分 19.(1)设事件A:机器人移动4次后停在初始点，那么 机器人移动4次后停在初始点，那么4次中有两次移动向前，有两次移动向后， P(A)= …………2分 (2)设事件B:机器人移动3次后停在初始点前方，那么若机器人移动3次后停在初始 点前方，则向前移动2次、向后移动1次或向前移动3次、向后移动0次， 所以，P(B)=Cp(1-p)+C3p=3p(1-p)+p=p(3-2p). .....5分 (3)第一轮测试结束进入第二轮游戏的情况有2种，分别是3次向前：2次向前、1次 向后；则其概率为x+Cx(1-x)=x2(3-2x); 所以，X的所有可能取值为0,1,3 P(X=1)=x(3-2C(a-x)'(c+1-4]=3x(3-2xa-y旷(x+1-a, P(X=3)=x2(3-2x)(a-x),P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=3), 所以，E(X)=0P(X=0)+1P(X=1)+3P(X=3) =3x2(3-2x)(a-x)2(x+1-a+3x2(3-2x)(a-x)月 =3x2(3-2x)(a-x)2 f0<x<1 因为0<p<1,所以 0<a-x<1' 所以当0<a≤1时，0<x<a;当1<a<2时a-1<x<1: E(X)=f(x)=3x2(3-2x)(a-x)2,f(x)=6x(a-x)5x2-(6+3ax+3a, 由于x(a-x)>0,所以f'(x)的符号由5x-(6+3a)x+3a决定， 令g(x)=5x2-(6+3a)x+3a,那么当0<a≤1时，0<x<a, 因为g(0)=3a>0,g(a)=5d-(6+3aa+3a=a(2a-3)<0,g(2)=8-3a>0, 根据零点存在性定理可得，存在X∈(0，a)使得g(x1)=0,存在3∈(a,2)使得g(x2)=0, 所以当0<x<x1时f'(x)>0,当x1<x<a时f'(x)<0, 所以f(x)在(0，x)上单调递增，在(，a)上单调递减， 所以当0<a≤1时，f(x)在x=处取极大值即f(x)存在极大值点；...13分 当1<a<2时，a-1<x<1,因为g(0)=3a>0,g(1)=-1<0,g(2)=8-3a>0, 根据零点存在性定理可得，存在6∈(0,1)使得8(x)=0,存在x4∈(1,2)使得8(x4)=0, 要使f(x)在(a-1,1)上存在极大值点， 则g(a-1)=5(a-1)-(6+3a)(a-1)+3a=2a2-10a+11>0, 解得a<55或a>5+5 因为1<a<2,所以 2 2 1sa55 2 .16分 综上所述0<a<5-5 2 ………17分