辽宁省沈阳市第二中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷

沈阳二中2023-2024学年下学期期末考试 高二(25届)数学试题 考试时间：120分钟 总分：150分 一、选择题：本题共8小恩，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的， 1.己知全集U=R,集合A=xl-x-6s,B=14≥0，那么集合AnB=（) x+1 A.[-2,4) B.(-1,3] c.【-2- D.【-l,3 2.若函数f(x)=+2(a-l)x+2在区间(-∞，-4上是减函数，则实数a的取值范围是（) A.【-3,+o) B.（-∞，-3 c.(（-o,5j] D.[3,+o∞) 3.已知a,beR,则"a=b=0”是“a+=0"的（). A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D,既不充分也不必要条件 4.等差数列{an}前n项和为Sn,a=4,则S,=() A.44 B.48 C.52 D.56 5.已知函数∫(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(-∞，0)上是减函数，∫(1)=0，则不 $式(og:x)>0的解集为（) A() B.(2,to) c.(+o) n.(》+o) 6.设x,y21,>1,b>1若。==3，a+b=25,则+号最大值为《) A.2 C.1 D. 7.若命题“3a∈[l,3],am2+(a-2)x-2>0"是假命愿，则x不能等于() A.- B.0 C.1 D 8.已知函数f(x)的定义域为R,且满(x)-(y)=x+)f(x-y以，∫)=l∫(3)=-1， 则下列结论错误的是(） A.∫(2)=0B.f(4)=2C.∫(x)是奇函数 D..f(x+4)=f(x) 试卷第1页，共4页 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.下列选项中正确的是（) A.1og1.1<1og1.2 B.(-1.y<(-1.2 C.0.99<0.9912 D.0.993<39 10,分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦·曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学 科，它的创立为解决传统科学领域的众多难题提供了全新的思路下图展示了如何按照图① 的分形规律生长成一个图②的树形图，设图②中第n行白心图的个数为an,黑心圈的个数 为b,则下列说法正确的是() =。一第行 -第2行 第3行 图① 图② A.4=5 B.5=2 C.数列{a-b,}为等比数列 D.图②中第2023行的黑心圆的个数是3-」 2 11. 已知函数∫(x)= 4x-,x20其中a)=j)=f)=,且a<b<c,则（） 3-1,x<0, A.f[f(-2]=-32 B.函数g(x)=f(x)-f(2)有2个零点 c.a+b+ee4+1o8写5 D.abc∈(-4log5,0) 试卷第2页，共4页 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共16分. 12已知函数-警曾是奇备数，且/Q)-子 则/引 13.函数y=f(x)的图象与y=c的图象关于y轴对称，再把y=(x)的图象向右平移1个单 位长度后得到函数y=g(x)的图象，则g(x)= 14.某工厂生产一种溶液，按市场要求该溶液的杂质含量不得超过0.1%，这种溶液吸初的 杂质含量为3%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少行则至少经过 次过滤 才能达到市场要求.（参考数据：g2≈0301,1g3≈0.477) 四、解答题：本题共5小题，共77分. 5.(13分)若函数了)=ax2-bx+4,当x=2时，函数f代)有极值-子 (I)求函数的极值： (2)若关于x的方程(x)=k有三个零点，求实数k的取值范围. 16.(15分)已知等比数列{an}的公比q>0,且4+a,4=6,46=16. (I)求{a}的通项公式： (2)若数列{也}满足b,=13”-a,且{亿}是严格增数列（数列中的每一项都严格大于前一项）， 求实数入的取值范围， 17.(15分)定义在(0，+o)上的函数f)满足f(y)=f()+fy),f(3)=1 且k>1时，f(x)>0. (1)求f): (2)判断∫(x)在(0，+∞)上的单调性并证明： (3)若f(x)+∫(x-8)s2,求x的取值范围. 试卷第3页，共4页 18.(17分)已知)是定义在R上的偶函数，且f(x)=1og22+1)-,g()=f(x)+2x, (I)求()的解析式： (2)若不等式g(4-a2+1>g(-15)恒成立，求实数a的取值范围： (3)设h(x)=x2-2x+5,若存在，∈[0,2)，对任意的为∈[山，4]，都有g(x1)<h(x2),求实数 加的取值范围. 19.(17分)已知函数f(x)=x-21nx, (I)当a=1时，求函数()的最小值： (2)试讨论函数f(x)的单调性： (3)当x>1时，不梦式f(x)<(:-2)nx+2x+a-1恒成立，求整数a的最大值. 试卷第4页，共4页数学试题答案 1.【解】由题意可知，A={xx2-x-6≤0}={x-2≤x≤3}， B=≥0明=-1k≤. 所以A∩B={x|-1<x≤3} 故选：B 2.【解】因为函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-0，-4]上是减函数， 所以-(a-1)2-4,解得a≤5. 故选：C 3.【解】若a=b=0,则a+b=0,即充分性成立： 若a+=0,例如a=1,b=-1,满足条件，但a=b=0不成立，即必要性不成立： 综上所述：“a=b=0”是“a+=0”的充分不必要条件。 故选：A 4.【解】3=13(a+as)-=1a,=4x13=52 2 故选：C 5.【解】因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(-，0)上是减函数，所以，函数 f(x)在(0，+∞)上是增函数，所以f(log2x)>0台f(1og2)>f(),即有1og2x>1,所以 1og2x>1或log2x<-1,解得x>2或0<x 21 故选：D 6.【解】x,y≥1，a>1,b>1,a=b=3, 1 0g,a·y=log3= 1 ..x=log 3= log,b' +1=log,a+log,b=log,abslog x V ()-wg.. 当且仅当a=b=√3，x=y=2时取等号. 过的照大值为1 故选：C 7.【解】根据题意，知原命题的否定“a∈[l,3],a2+(a-2)x-2≤0”为真命题. 令f@=+加-2x-2.解得-1≤x号 故选C 8.【解】令x=2,y=1,则f(2)-f()=f(3)f),解得f(2)=0,故A正确： 令x=0,则-f2y)=fy)f(-y)，即fy[fy)+f(-y)]=0, 因为fy)不恒为0，所以fy)+f(-y)=0,且定义域为R,故函数为奇函数，故C正确： 令y=x-2,则f(x)-(x-2)=f(2x-2)f(2)=0,因为f(x)不恒为0，且f(3)≠f①)， 所以只能f(x)=-f(x-2),从而x+4)=-f(x+2)=f(x),周期为4， 显然f(4)=f(O)=0,故B错误D正确. 故选：B 9.【解】A:因为y=log3x在(0，+o)上单调递增，所以log31.1<log31.2,故A正确： B:因为y=x在R上单调递增，所以(-1>(12)，故B错误： C:因为y=0.99在R上单调递减，所以0.99>0.992，故C错误： D:由0<0.99<1=0.99°，3>1=，所以0.993<30.9，故D正确. 故选：AD 10.【解】由题可得a,=5,b=4,故A正确，B错误： a。+b。=3",an1=2an+bn,bn1=2bn+an,且有a1=1,4=0, 故有 a+b=3(an+b.), anet-batl =an-bne 所以{a+b,}是以a+6=1为首项，3为公比的等比数列， {an-bn}为常数列，且a-b=1, 所以{a。-b}是以a-b=1为首项，1为公比的等比数列，故C正确： 3-1+1 2 由上可得 ,+b,=3故 a-b =1, 3-1 b=- 2 所以bs 322-1, 故D正确」 2 故选：ACD, 11.【解】解：f[f(-2)]=f(8)=-32,故A正确： 作出函数f(x)的图象如图所示， 6 20 45 -2 -4 观察可知，0<<4，而f()∈(0,4)， 故y=f(x),y=f()有3个交点， 即函数g(x)有3个零点，故B错误： 由对称性，b+c=4,而a∈1og,写0 故a+b+e4+lbe写4小 故C正确： b,c是方程x2-4x+1=0的根，故bc=1, 令3-1=1，则a=-1og(1+): 故abc=-元log(1+),而y=元，y=log(1+)均为正数且在(0,4)上单调递增， 故abc∈(-4log35,0),故D正确， 故选：ACD 12【解】八治的定义城为R,面因为奇西数， 故/0=06，司2-号放品号藏a 所以)=，此时()==-()，故为奇函数。 故八2) 2-2 5. 4 故答案为： 2 13.【解】解：由题意可知f(x)=e, 把y=f(x)的图象向右平移1个单位长度后得g(x)=e-=e, 故答案为：e. 4.【解】由题意可得：经过m次过滤后该溶液的杂质含量为-×3兴=0的)，meN 则0.03 2-3 ≤0.1%=0.001，解得 n21og230 =-l0g230=- Ig30 Ig3+1g10 Ig3+1 ≈8.392 2 1 1g3 Ig 2-Ig3 Ig3-1g 2 ,n∈N,则n的最小值为9， 故至少经过9次过滤才能达到市场要求. 故答案为：9 四、解答题： f'(2)-12a-b=0 1 15.【解】(1)f'(x)=3ax2-b,由题意知 f(2)=80-2b+4=- 4,解得 3， 3 b=4 故所求的解析式为f(x)=x-4x+4:f(x)=x2-4=(x-2)(x+2), 3 令f"(x)=0,得x=2或x=-2,列表如下： (-0,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞) f'(x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 当x=-2时，()有极大值/-2-登，当：=2时。（有极小值f(2)=号 ……6分 (2)由(1)知，得到当x<-2或x>2时，f(x)为增函数： 当-2<x<2时，f(x)为减函数， 函数f(x)= ，x2-4x+4的图象大致如图， 4 3<k<S时，/四与y=k有三个交点，)=k有三个零 由图可知当- 428 所以实数k的取值范围为 33 …13分 16.【解】(1)因为数列{an}是等比数列，且a+a,a,=a+a=6,所以a3=-3或2， 若a=3,a,=16,则g=-16与9>0矛盾，舍去， 3 若4=2，a6=16,则q3=8,9=2,满足题意， 所以an=a,g3=2"-2.…7分 (2)因为b=元3”-2-2，{b}是严格增数列， 所以b1-b.>0对于任意正整数n都成立， b1-b.=2(31-3）-(2-1-2-2）=213”-2-2, 即6 对于任意正整数n都成立，所以习 L 因为)- 在R上严格递减， 所以当n=1时， 最大最大值为)- 所以元的取值范围是 …15分 17.【解】(1)fx)满足f(y)=f(x)+fy), 令y=1,f(x)=f(x)+fI),f(I)=0.…5分 (2)设0<x<x, -传-)e--传 0<<,克>1，又x>1时，>0，>0， 故f(x)-f(x)>0即f(x)<f(x2), y=f(x)在(0，+00）上单调递增.…10分 (3)由f(3)=1,且f(y)=f(x)+f(y),得2=f(3)+f(3)=f(9), 则f(x)+f(x-8)≤2可化为f(x(x-8)≤f(9), 由(2)知y=f(x)在(0，+∞)上单调递增， x>0, x-8>0,解得8<x≤9， x(x-8)≤9， 故x的取值范围为(8,9引………15分 18.【解】(1)由题意知log2(2-x+1)+kx-1og2(2x+1)+kx=0, 即-2kx=log2#=-x,所以k=克故f)=log2(2+1)-x …3分 (2)由(1)知，g()=f(x)+2x=1og2(2+1)+号x,易知g(x)在R上单调递增， 所以不等式g(4x-a·2x+1)>g(-15)恒成立，等价于4-a·2x+1>-15, 即a<“恒成立 =2+兰>8。当且仅当x=2时，等号成立， 所以a<8,即实数a的取值范围是(-∞，8).…8分 (3)因为存在x1∈[0,2]，对任意的x2∈[1,4，都有g(x1)≤h(x2), 所以g(x)在[0,2]上的最小值不大于h(x)在[1,4]上的最小值.…9分 因为g(x)=1og2(2*+1)+多x在[0,2]上单调递增， 所以当x∈[0,2]时，g(x)min=g(0)=1.… …10分 h(x)=x2-2mx+5图象的对称轴方程为x=m,x∈[1,4]， 当m<1时，h()在1,4上单调递增，h()min=h()=6-2m>1,解得m< 所以m<1: …12分 当1≤m≤4时，h(x)在[1，m)上单调递减，在[m,4]上单调递增， h(x)min=h(m)=5-m2>1,解得1≤m≤2：……14分 当m>4时，h()在[1,4上单调递减，h()mim=h(4=21-8m>1,解得m< 所以m∈0. +…16分 综上，实数m的取值范围是(-∞，2]…17分 19.【解】(1)当a=1时，则f(x)=x-2lnx, 可知/)的定义域为(0，+∞)，且f(x)=1-2_-2 xx 令f(x)<0,解得x∈(0,2)：令f'(x)>0,解得x∈(2，+o), 可知f(x)的单调递减区间是(0,2)，单调递增区间是(2，+∞)， 所以函数f(x)的最小值为f(2)=2-2山2.…5分 (2)由题意可知fx)的定义域为(0，+∞)，… …6分 且(=a-2=r-2(x>0, 当a≤0时，"(x)<0恒成立， 所以f(x)的单调递减区间是(0，+∞)，无单调递增区间.… …8分 2 当a>0时，令f'(x)=0解得x= a 令f(x)<0,解得x∈ 02 令f'(x)>0,解得x∈ 2 ，+00 所以f(x)的单调递减区间是 单调递增区间是 ，+00 …10分 综上所述：当a≤0时，f(x)的单调递减区间是(0，+∞)，无单调递增区间： 2 当a>0时，f(x)的单调递减区间是 0, 单调递增区间是 ,+0 ……11分 (3)当x>1时，不等式f(x)<(x-2)lnx+2x+a-1恒成立， 即am-2nx<(x-2nx+2x+a-1,整理可得a<xnx++2, x-1x-1 原题意等价于a<血x+ +2对任意x>1恒成立， x-1x-1 ………………12分 令g()=nx+】+2x>, x-1x-1 则g(x)-+nx-)-xnx 1 x-Inx-2 (x-10 (x-)(x-)2 令h()=x-nx-2,x>1,则h()=1-1=-1>0, 所以h(x)在区间(1，+∞)上单调递增， 因为h(3)=1-ln3<0,h(4)=2-n4>0, 所以h(x)在区间(1，+∞)内存在唯一零点x。∈(3,4)，…14分 即x-lnx。-2=0,所以lhx=x-2, …15分 当x∈(1，x)时，h(x)<0,即g'(x)<0: 当xe(x,+o)时，h(x)>0,即g'(x)>0: 可知g(x)在区间(1，x)上单调递减，在区间(x,+∞)上单调递增： 所以g=g)+2=-2到2=6+1， x0-1x0-1 x0-1x0-1 因为∈(3,4)，则+1∈(4,5)，即g(x)∈(4,5)， 且a为整数，则a≤4，所以整数a的最大值是4. …7分