作业(十三)一元二次函数、方程和不等式-【假期作业】2026年高二数学暑假假期作业（人教A版·新教材）

暑假作业人的一生就是进行尝试，尝试得越多，生 作业（十昌） 一元二次函数、方程和不 1知识整合 1.不等式的性质 (1)对称性：a>b台b<a. (2)传递性：a>b,b>c→a>c. (3)可加性：a>b台a+c>b+c;a>b,c> d→a+c>b+d. (4)可乘性：a>b,c>0→ac>bc;a>b,c< 0→ac<bc;a>b>0,c>d>0→ac>bd. (5)可乘方性：a>b>0→a”>b(n∈N,n≥2). (6)可开方性：a>b>0→Wa>b(n∈N, n≥2). [提醒]不等式性质中有些是可逆的，有些是 不可逆的。 2.基本不等式 (1<“a≥0,6>0，等号成立的条 件：当且仅当a=b时，等号成立. (2)其中“于少叫做正数a,b的算术平均数， √ab叫做正数a,b的几何平均数.两个正数 的算术平均数不小于它们的几何平均数. 3.两个重要的不等式 (1)a2+b2≥2ab(a,b∈R),当且仅当a=b 时，等号成立 (2ac生)(a,6ER,当且仅当a=6 时，等号成立 4.利用基本不等式求最值 (1)已知x,y都是正数，如果积xy等于定值 P,那么当x=y时，和x十y有最小值2√P. 40 活就越美好。 [每日格言] 今 月 日 星期 等式 历 天气 (2)已知x,y都是正数，如果和x十y等于定 值S,那么当x=y时，积xy有最大值S [提醒]利用基本不等式求最值的两点注意 (1)满足“一正，二定，三相等”，忽略某个条件，就 会出错. (2)一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必 须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件 一致（等号同时成立）. 5.三个“二次”间的关系 判别式 △>0 △=0 △<0 △=b2-4ac 二次函数 y=ax2+br+c (a>0)的图象 元二次方程 有两相异实数 有两相等实数 ax2+bx十c=0根x1x2(x1< 根=x2 没有实数根 (a>0)的根 x2) 2a ax2+bx+c>0x (a>0)的解集 2a a.x2+b.x十c<0 {x|x1<x< d 0 (a>0)的解集 x2} [提醒] 对于不等式ax2十bx十c>0,求解时 不要忘记a=0时的情形. 2基础诊断 1.(教材改编)若不等式a,x2+bx+2>0的解集 为女-<<号，则ab的值是（) A.-10B.-14 C.10 D.14 [每日格言]对于最有能力的领航人，风浪总是格外的汹涌。 高二数学（配RJA版） 2.下列说法正确的是 A.最小值为一3 A.若a>h,则1<1 B.最小值为3 C.最大值为一3 B.若a>b,c>d,则ac>bd C.若a>b,则ac2>bc2 D.最大值为3 D.若ac2>bc2,则a>b 2.(多选)以下结论正确的是 3.若集合A={x一2≤x≤0}，B A.若a>0,b>0,且a+6=1,则h≤号 (xx2-x-2≤0}，则A∩B= ( A.[-2,2] B.[-1,0] B若>1，则x十的录小值是3 C.[-2,0] D.[-1,2] C.若x∈R,则+4的最小值是2 4.已知函数y=x十产(x>4),当x=m √x2+3 D.若x>0,y>0满足x十y=xy,则x十 时，y取得最小值n,则m+n= 4y的最小值为9 3知能提升 3.已知正数x,y满足x十y=2,若1+1 考点一不等关系与不等式性质 m2+m恒成立，则实数m的取值范围为 1.下列命题为真命题的是 A.若m>n,则m2<n2 B.若>n,则m十t>n十t 考点三 二次函数与一元二次不等式 C.若m>n>0,则mt>nt2 1.已知集合A={xx2-2x-3<0},B= D.若m>n>0,t>0,则”>n十t mm+t 二10.则AnB 2.(多选)设a,b,c,d为实数，且a>b>0> A.(-1,4) c>d,则下列不等式正确的有 ( B.(1,3) A.c2<cd B.a-c<b-d C.(3,4) C.ac<bd D.c-4>0 D.(-∞，1)U(3,+∞) 3.已知<a<<受，则2a一29的取值范园 2.(多选)已知关于x的不等式ax2十bx十c 是 >0的解集为(-∞，一2)U(3,十∞)，则 考点二基本不等式 下列选项中正确的是 1.设a>0,b>0,且a+2b=1,则log2a+log2b的 A.a>0 B.不等式bx+c>0的解集是{xx<一6》 41 暑假作业真正的价值并不在人生的舞台上，而在我们扮演的角色中。 [每日格言] C.a+6+c>0 5易错警示 D.不等式cx2一bx+a<0的解集为 (-o,-3)U(分+∞) 易错一 忽略对二次项系数的讨论而致误 [示例1]若不等式mx2一4mx十3≠0对 3.若关于x的不等式x2-(2a十1)x+2a<0 任意实数x均成立，则实数的取值范围 恰有两个整数解，则a的取值范围是 是 名师叮嘱] 在中学阶段，“判别式”是与“二次” 4真题体验 联系在一起的，对于一元一次不等式不能应用判别 1.(2025·全国二卷)不等式二≥2的解 式法来判断.在处理形如ax2十bx十c的问题时，要 集是 注意对x2系数的讨论 ( A.{x|-2≤x≤1} B.{x|x≤-2} 易错二 多次应用基本不等式而致误 C.{x|-2≤x<1} D.{x|x>1} [示例2] 已知a>0,b>0,a十b=1,则 2.(2025·上海卷)不等式二3<0的解集为 x-1 (a+2)+(b+2) 的最小值为 : [名师叮嘱]本题常犯错误是两次利用基本不 3.(2025·上海卷)设a:6>0a十方-1，则 等式，误认为条件不能同时成立.利用基本不等式 求最值时，无论怎样变形，均需满足“一正、二定、三 b+的最小值为 相等”的条件.解题时，应尽量避免多次应用基本不 4.(2024·上海卷)不等式x2-2x一3<0的 等式，如连续应用了基本不等式，应特别注意检查 解集为 等号是否能同时成立 42[每日格言]忍别人所不能忍的痛，吃别人所不能吃的苦，是为了收获得不到的收获。高二数学（配RJA版） m+3-1或2m-1>3,..m-4或2m4. 【易错警示】 综上，实数m的取值范围是{mm<-4,或m>2. [示例1]ABC:AUB=A,∴.BCA. 答案{mm<一4，或m>2} ①若B不为空集，则m十1<2m-1,解得m>2. 考点二 ,A={x-2≤x≤7}，B={xm十1<x<2m一1}， 1.C原命题P:“Hx>0,e+√E+1≥0” .m十1≥一2，且2m一1≤7，解得一3m≤4. 否定形式：将“”改为“了”，结论“≥0”改为“<0”，即 此时2<m4. “3x>0,er+√E+1<0.故选C. ②若B为空集，则m十1≥2m-1,解得m≤2，符合题意。 2D对于N,<1台-1<0始12<0x1-)<0 综上，实数m满足m≤4即可，故选ABC. [示例2]DA={xx+x一6=0}={2，-3}： 台x<0或x>1,所以“x>1”是“1<1"的充分不必要条 若m=0,则B=,B版A:若m=-合， x 件，故A错误；对于B,命题“3x≥1，x<2”的否定是 则B=2三A:若m=子，则B={-3=A设C是集合 “Hx≥1，x≥2”，故B错误；对于C,对于方程x一x十1 =(-古)+子≥是争题3：eR1=0 (一之0，号}的非空真子集，期B=A的一个元分不必 4 要条件是m∈C.所以B军A的一个充分不必要条件是m 是真命题错误，即C错误；对于D,“a一3b=0”不能推出 “4=3”,例如a=b=0时不成立；反之，当4=3时，a= ∈{0，}.故选D b 36,即a-36=0,故号=3可以推业a-36=0,所以“a- 作业（十三）一元二次函数、方程和不等式 【基础诊断】 3b=0"是“分=3”的必要不充分条件，故D正确，故选D. 1.A2.D3.B4.15 【知能提升】 3.BC命题“对任意x∈R,x2十x十1<0”的否定是“存在x 考点 ∈R,使得x°+x十1≥0”，故A错误； 1.B对A:取m=2,n=1,则满足m>n,但4=m>n=1, <1→a<0或a>1,因为(aa>1}=(aa<0或a> 所以m<n不成立，故A错误；对B:根据不等式的性 a 质，m>n→m十t>n十t,故B正确；对C:若m>n>0,当t 1},所以“a>1”是“1<1”的充分不必要条件，故B正确： =0时，mt=nt,此时mt>nt不成立，故C错误；对D: 充分性：当x≥2且y≥2时，x≥4且y≥4，则x2+y≥ 、因为m>m>0,>0,根据“糖水不等式”升<”，故D 8≥4，所以具有充分性， 错误.故选B. 必要性：令x=2,y=1,x+y2=5≥4，但“x≥2且y≥2” 2.AD由0>c>d和不等式性质可得c2<cd,故A正确： 不成立，所以不具有必要性， 因a>b>0>c>d,若取a=2,b=1,c=-1,d=-2, 所以“x≥2且y≥2”是“x2十y≥4”的充分不必要条件， 则a-c=3,b一d=3,所以a一c=b一d,故B错误； 故C正确： 因a>b>0>c>d,若取a=2,b=1,c=-1,d=-2, 因为“ab=0”是“a=0”的必要不充分条件，所以“a≠0”是 则ac=-2,bd=-2,所以ac=bd,故C错误； “ab≠0”的必要不充分条件，故D错误.故选BC 4.解析A∩B=A当且仅当A是B的子集，当且仅当m+ 因为a>6>0.则0<是<方，又因0>c>d则0<-4<-d, 1≥3，即≥2， 故使得m≥2成立的充分不必要条件可以为m>3. 由不等式的同向睿正可性得，一合<一号故后一号>0， a b 答案{mm>3}(答案不唯一) 故D正确.故选AD, 5.解析 命题“3x∈R,一a.x2+2a.x十4=0”为假命题， 则方程一ax2十2a.x十4=0无实数根， 3解析因为<a<受，牙<<2， 当a=0时，4≠0，符合题意， 当a≠0时，即△=(2a)+16a<0,解得一4<a<0: 所以2<2a<,-<-29K-受， 综上：一4<a≤0. 答案{a-4<a≤0} 则-受<2a-28<受，又e<,所以2a-29<0 【真题体验】 从而-受<2a-29<0. 1.C因为U={1,2,3,4,5,6,7,8},所以CA={2,4,6,7, 8},CuA中的元素个数为5.故选C. 答案（-，0) 2.DB={x|x=x}={0,-1,1},故A∩B={0,1},故 考点二 选D. 1.C因为a>0,b≥>0，且a+2b=1, 3.B解法一因为Vx∈R,|x十1≥0，所以命题力为假 命题，所以7p为真命题.因为x3=x,所以x3一x=0,所 所以a十2b≥2√2ab,即ab≤8， 以x(x2-1)=0,即x(x+1)(x-1)=0,解得x=-1或 当且仅当a=2b时等号成立， x=0或x=1,所以3x>0,使得x=x,所以命题q为真 命题，所以一q为假命题，所以一力和g都是真命题，故 所以1oga+log:b=log:a6)≤log:名=-3 选B. 即loga+logb≤-3.故选C. 解法二（特殊值法）在命题p中，当x=一1时，x十1 2.ABD对于A,若a>0,b>0,则a+b=1≥2√ab,解得 =0,所以命题p为假命题，7力为真命题.在命题q中，因 为立方根等于本身的实数有一1,0,1，所以3x>0,使得 ab≤号，当且仅当a=6=之时学号成立，故A正确；对于 x3=x,所以命题q为真命题，7g为假命题，所以门p和q 都是真命题，故选B. B.若x>1,则x+马=x-10+十1≥2 4.Ca⊥b台x+x十2x=0台x=0或x=-3,所以x=一3 是a⊥b的充分条件，x=0是a⊥b的充分条件，故A错 √(x-1)·5+1=3,当且仅当x-1=南x=2 误，C正确.a∥b→2x+2=x2曰x2-2x-2=0台x=1士 √3，故B、D错误. 时等号成立，故B正确；对于C,+4=心+3+1 √x2+3/x2+3 59 暑假作业别拿自己的人生和他人作比较，你根本不清楚他们的人生是怎么一回事。 [每日格言] 1 >2+3·1 2.解析原不等式转化为(x一1)(x一3)<0，解得1<x<3, √x+3+ =2,当且仅 √x+3 √x+3 则其解集为(1,3).故答案为(1,3) 答案(1,3) 当√x+3= 时等号成立，但此时无实数解，故C √x+3 8解析易知6+日-(6+日)(a+古)=b++2≥2 错误：对于D,若x>0y>0满足x十y=xy,则+1 x y .工+2=4 √abab 1.则2+4y=(+4)(日+)=5+5+经≥5+2 当且仅当6=1，即a=子6=2时取得最小值， 区=9，含1仅当子=多，站合士+}=1，甲 y Z 故答案为4. y y /x=3, 答案4 4.解析由x一2x一3=(x一3)(x十1)<0，得一1<x3. y=3时等号成立，故D正确.故选ABD 答案 (-1,3) 3解桥由题格+是=宁+)(+) 【易错警示】 [示例1][解析]①当m=0时，3>0恒成立，满足条件. 号(2+兰+号)≥(2+2√任·)=2且仅当 1/ ②当m≠0时，期4=16m-12m<0,解得0<m< =y=1时等号成立. 综上可得实数m的取值范周是{m0≤m<子} 因为上+子>+m恒成立 [答案] 所以m2+m<2→-2<m<1. 所以所求实数m的取值范围为（一2,1）. [示例2][解析] (a+2)°+(6+) 故答案为（一2,1）. 答案（一2,1） 考点三 1.B因为A={xx2-2x-3<0}={x|-1<x<3},B= =a+601+六)+4 {号0=1K< 所以A∩B=(x|1<x<3}=(1,3).故选B. =1-2ao1+)+4. 2.ABD:关于x的不等式a.x2+bx+c>0的解集为 (-∞，-2)U(3,+∞)， :a>0,6>0a+6=1ah≤(）= ∴.a>0,A选项正确； 已知一2和3是关于x的方程ax2十bx十c=0的两根， 1-2a6≥1-=≥161+。 6≥17. -2+3=-b, 原式 -X17+4= 空（当且仅当a=6号时，等号成三）， 由根与系数的关系得 a 2×3= a “(a+口）广+(b+名）)的最小位是空 则b=-a,c=-6a, 不等式bz十c>0,即-a.x-6a>0,解得x<-6,B正确； [答案] 且a十b十c=一6a<0,C错误； 不等式cx2-bx十a<0,即-6ax2+ax+a<0,即6.x2-x 第三部分综合检测 -1>0, 1.D因为M={x|2x-1>5}={x|x>3},所以M∩N= 解得2<-号或>子，D正确，敢选ABD, 1 ⑦，故选D. 2.A由x=0→sin2x=sin0=0,则“x=0”是“sin2x=0” 3.解析令x2-(2a十1)x十2a=0,解得x=1或x=2a. 的充分条件；又当x=x时，sin2x=sin2x=0,可知sin2z 当2u>1,即a>号时，不等式x-(2a+1)x+2a<0解 =0x=0,故“x=0”不是“sin2x=0”的必要条件， 得1<x<2a,则不等式中的两个整数解为2和3，有3< 综上可知，“x=0”是“sin2x=0”的充分不必要条件.故选A 2a<4,解得号<a≤2： 3.C (层)的展开夫中，所有二质气系数之和为 当2a=1,即a=号时，不等式t-(2a+1)z+2a<0无 =32,解样。=5（会）的二项展开式的通项为 解，所以a=号不特合题意： =c(2)》'-=c2(-1学=01 当2a<1,即a<号时，不等式-(2a+1)x+2a<0解 2,3,4,5,当5,5=0时，即=1时，该项为常数项，工， 2 得2a<x<1, 则不等式中的两个整数解为0和一1，有一2≤2a<一1， C·2·(-1)=-80.故选C. 4.D,由散点图可知，x与y负相关，0与u正相关，则i,< 解得-1≤a< 2 0,b,>0,故A,B错误； 或号<a≤2 且图形中点(x,y)比(，u)更加集中在一条直线附近， 综上，a的取值范围是{a-l≤a<- 2 则r1>r2,又r1<0,2>0,得r1十r2<0. 答秦a-1Ka<-或号<a2 1 故C错误，D正确.故选D. 一a,从而随机变 【真题体验】 5.B设P(X=1)=a,则P(X=2)= 4 02,即为0… 量X的分布列为 X 0 2 即(x十2)6x-1)≤0故-2≤<1， x-1≠0， 3 -a 故解集为{x|一2x<1},故选C. 60