第三周 暑假自习周末巩固练习 （范围：不等式性质、基本不等式） - 2026年新高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 暑假不等式性质与基本不等式同步练习，分层设计从基础概念到综合应用，适配自主巩固，培养数学抽象、推理及模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一知识点（性质判断、简单比较）|单选1（投资方案不等式建立）| |提升层|综合概念（性质综合、范围求解）|多选8（条件不等式判断）| |综合应用层|实际应用（建模与最值）|解答14（利润模型构建与最值）|

2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 第一周 暑假自习周末巩固练习 范围：不等式性质、基本不等式 分值：90分 姓名：________ 得分：____________ 一、单选题 每小题5分，共30分 1.某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案A为一次性投资300万；方案B为第一年投资60万，以后每年投资30万.下列不等式表示“经过n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”的是(　　) A.60+30n≥300 B.60+30n≤300 C.60+30(n-1)≤300 D.60+30(n-1)≥300 答案　D 解析　∵经过n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入，方案A为一次性投资300万，方案B为第一年投资60万，以后每年投资30万， ∴60+30(n-1)≥300. 2.设M=2a(a-1)+9，N=(a-2)(a-3)，则M与N的大小关系是(　　) A.M>N B.M≥N C.M<N D.M≤N 答案　A 解析　∵M=2a(a-1)+9，N=(a-2)(a-3)， ∴M-N=2a2-2a+9-(a2-5a+6) =2a2-2a+9-a2+5a-6 =a2+3a+3= ∵∀a∈R>0恒成立， ∴M-N>0，∴M>N. 3.已知a，b，c，d∈R，则下列结论中正确的有(　　) A.若a>b>0，ac>bd>0，则c>d B.若则a>b C.若a>b>0，则 D.若则a>b 答案　C 解析　a=3，c=1，b=1，d=2满足a>b>0， ac>bd>0，但c<d，故A错误； a=-1，b=1满足 但a<b，故B错误； ∵a>b>0，∴0< ∴0<1+<1+ 即0<∴故C正确； >0⇒b-a>0，即a<b，故D错误. 4.已知实数0<a<1，则以下不等式关系正确的是(　　) A.a2>>a>-a B.a>a2>>-a C.>a>a2>-a D.>a2>a>-a 答案　C 解析　方法一　∵0<a<1， ∴0<a2<1>1，-1<-a<0， 由0<a<1，得0<a2<a， 即>1>a>a2>0>-a， ∴>a>a2>-a. 方法二　特值法 取a=计算可得选C. 5.已知a>0，b>0，且则4a+b的最小值为(　　) A.9 B.10 C.11 D.12 答案　C 解析　方法一　∵a>0，b>0， 且即=1， 从而4a+b=4(a+4)+b-16 =[4(a+4)+b]-16 =15+-16 ≥2-1=11， 当且仅当 即a=b=9时，等号成立. ∴4a+b的最小值为11. 方法二　∵a>0，b>0 ∴b==3+. ∴4a+b=4a++3=4(a+1)+-1≥2-1=11. 当且仅当4(a+1)=即a=b=9时，等号成立. ∴4a+b的最小值为11. 6.“>2”是“>0”的(　　) A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　B 解析　由>2得-2 =>0， 所以即a>0，b>0， a≠b或a<0，b<0，a≠b， 所以充分性不成立； 由>0知，b>a>0， 所以≥2=2， 当且仅当即a=b时等号成立， 又因为b>a>0，所以>2， 所以必要性成立. 所以“>2”是“>0”的必要不充分条件. 二、多选题 每小题6分，共18分 7.下列不等式正确的是(　　) A.(x-1)2>x(x-2) B. C.a2+b2≥2(a-b-1) D.a2+b2≥2ab 答案　ACD 解析　对于A，(x-1)2-x(x-2)=x2-2x+1-x2+2x=1>0，∴(x-1)2>x(x-2)，A正确； 对于B则a2b2>0，但a2+b2-1的符号不能确定，B不正确； 对于C，a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0， ∴a2+b2≥2(a-b-1)，C正确； 对于D，a2+b2-2ab=(a-b)2≥0， ∴a2+b2≥2ab，D正确. 8.已知a，b，c满足c<b<a，且ac<0，那么下列选项中一定成立的是(　　) A.ab>ac B.c(b-a)>0 C.ab2>cb2 D.ac(a-c)<0 答案　ABD 解析　∵c<b<a且ac<0，∴c<0，a>0，由b>c两边同时乘以a得ab>ac，即A一定成立； ∵b-a<0，∴c(b-a)>0，即B一定成立； b2是非负的，虽然a>c，但当b2=0时， ab2=cb2，即C不一定成立； ∵a-c>0，∴ac(a-c)<0，即D一定成立. 9.若a>0，b>0，且a+b=4，则下列不等式恒成立的是(　　) A.a2+b2≥8 B. C.≥2 D.≤1 答案　AB 解析　对于A，∵a>0，b>0，a+b=4， ∴a2+b2≥=8， 当且仅当a=b=2时取等号，故A恒成立； 对于B，∵a>0，b>0，a+b=4， ∴ab≤=4， 当且仅当a=b=2时取等号， ∴故B恒成立； 对于C，∵a>0，b>0，a+b=4， ∴=2，当且仅当a=b=2时取等号，故C不恒成立； 对于D，∵a>0，b>0，a+b=4， ∴(a+b)=1， (a+b) =×2=1， 当且仅当即a=b=2时取等号，故D不恒成立. 三、填空题 每小题5分，共15分 10.　　　 .(填“>”或“<”) 答案　> 解析　因为=17+2=17+2所以故. 11.设a>0，b>0，则的最小值为　　　　　　. 答案　6 解析　由a>0，b>0，得 =1++1≥2+2=6， 当且仅当即2a=b时取等号. 12.已知2<a+2b≤5，-2≤3a+b≤1，则7a+4b的取值范围为　　　　　. 答案　-2<7a+4b≤7 解析　设7a+4b=x(a+2b)+y(3a+b)=(x+3y)a+(2x+y)b， 所以解得 因为2<a+2b≤5，-2≤3a+b≤1， 则-4≤2(3a+b)≤2， 因此，-2<7a+4b≤7. 四、解答题 两个大题，共27分 13.(13分)(1)已知a>0，b>0，试比较M=与N=的大小；(6分) (2)已知a，b，c是两两不等的实数，p=a2+b2+c2，q=ab+bc+ac，试比较p与q的大小.(7分) 解　(1)M-N= = ==(a-b) =-. 因为a>0，b>0， 所以(1+a)(1+b)>0，-(a-b)2≤0，得M-N≤0，当且仅当a=b时，等号成立，所以M≤N. (2)因为a，b，c互不相等，所以a2+b2-2ab=(a-b)2>0， 即a2+b2>2ab. 同理b2+c2>2bc，a2+c2>2ac. 所以2(a2+b2+c2)>2(ab+bc+ac)， 即a2+b2+c2>ab+bc+ac，即p>q. 14.★★(14分)某企业准备投入适当的广告费对某产品进行促销，在一年内预计销售量Q(万件)与广告费x(万元)之间的关系式为Q=(x≥0).已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需再投入32万元，若该企业产能足够，生产的产品均能售出，且每件售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和. (1)试写出年利润W(万元)与年广告费x(万元)的关系式；(6分) (2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大年利润为多少？(8分) 解　(1)由题意可得，每年产品的生产成本为(32Q+3)万元，每万件的售价为 万元， 即万元. ∴该企业的年销售收入为·Q=万元. ∴W=48Q+-32Q-3-x=16Q+(x≥0). (2)∵W=(x≥0)， ∴W= =-+50=-+50 ≤-2+50=42. 当且仅当即x=7时，等号成立. ∴Wmax=42. ∴当年广告费投入7万元时，企业年利润最大，最大年利润为42万元. 学科网（北京）股份有限公司 $2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 第一周 暑假自习周末巩固练习 范围：不等式性质、基本不等式 分值：90分 姓名：________ 得分：____________ 一、单选题 每小题5分，共30分 1.某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案A为一次性投资300万；方案B为第一年投资60万，以后每年投资30万.下列不等式表示“经过n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”的是(　　) A.60+30n≥300 B.60+30n≤300 C.60+30(n-1)≤300 D.60+30(n-1)≥300 2.设M=2a(a-1)+9，N=(a-2)(a-3)，则M与N的大小关系是(　　) A.M>N B.M≥N C.M<N D.M≤N 3.已知a，b，c，d∈R，则下列结论中正确的有(　　) A.若a>b>0，ac>bd>0，则c>d B.若则a>b C.若a>b>0，则 D.若则a>b 4.已知实数0<a<1，则以下不等式关系正确的是(　　) A.a2>>a>-a B.a>a2>>-a C.>a>a2>-a D.>a2>a>-a 5.已知a>0，b>0，且则4a+b的最小值为(　　) A.9 B.10 C.11 D.12 6.“>2”是“>0”的(　　) A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 二、多选题 每小题6分，共18分 7.下列不等式正确的是(　　) A.(x-1)2>x(x-2) B. C.a2+b2≥2(a-b-1) D.a2+b2≥2ab 8.已知a，b，c满足c<b<a，且ac<0，那么下列选项中一定成立的是(　　) A.ab>ac B.c(b-a)>0 C.ab2>cb2 D.ac(a-c)<0 9.若a>0，b>0，且a+b=4，则下列不等式恒成立的是(　　) A.a2+b2≥8 B. C.≥2 D.≤1 三、填空题 每小题5分，共15分 10.　　　 .(填“>”或“<”) 答案　> 11.设a>0，b>0，则的最小值为　　　　　　. 12.已知2<a+2b≤5，-2≤3a+b≤1，则7a+4b的取值范围为　　　　　. 四、解答题 两个大题，共27分 13.(13分)(1)已知a>0，b>0，试比较M=与N=的大小；(6分) (2)已知a，b，c是两两不等的实数，p=a2+b2+c2，q=ab+bc+ac，试比较p与q的大小.(7分) 14.(14分)某企业准备投入适当的广告费对某产品进行促销，在一年内预计销售量Q(万件)与广告费x(万元)之间的关系式为Q=(x≥0).已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需再投入32万元，若该企业产能足够，生产的产品均能售出，且每件售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和. (1)试写出年利润W(万元)与年广告费x(万元)的关系式；(6分) (2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大年利润为多少？(8分) 学科网（北京）股份有限公司 $