作业(十一) 列联表与独立性检验-【假期作业】2026年高二数学暑假假期作业（人教A版·新教材）

[每日格言]如果我们都去做自己能力做得到的事，我们真会叫自己大吃一惊 高二数学（配RJA版） 作亚（十一） 月 日 台 星期 列联表与独立性检验 历 天气 1知识整合 、 2.根据分类变量x与y的成对样本数据，计 算得到x2=3.122.已知P(x2≥3.841)= 1.2×2列联表 0.05,依据小概率值α=0.05的独立性检 如图，给出成对分类变量数据的交叉分类 验，则 频数的数据统计表称为2×2列联表， A.x与y不独立 B.x与y不独立，这个结论犯错误的概率 合计 Y=0 不超过0.05 Y=1 C.x与y独立 X=0 b a+b D.x与y独立，这个结论犯错误的概率不 X=1 C d c+d 超过0.05 合计 a十c b+d a+b+c+d 3.为调查某医院一段时间内婴儿出生的时间 2.独立性检验 和性别的关联性，得到如下2×2列联表： 依据上述2×2列联表构造统计量 时间 n(ad-bc)2 性别 总计 X=(a+b)(c+d)(a+c)b+) 晚上 白天 30 利用X2的取值推断分类变量X和Y是否 女 独立的方法称为x2独立性检验，读作 男 30 “卡方独立性检验”，简称独立性检验， 总计 40 90 3.基于小概率值α的检验规则 则x的值最接近 当x≥x。时，我们就推断H。不成立，即 A.18 B.11 认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率 C.8 D.6 不超过a;当x<x。时，我们没有充分证据 4.下面是一个2×2列联表： 推断H。不成立，可以认为X和Y独立 总计 (其中x。为a的临界值). yi 2基础诊断 x1 21 70 T2 5 30 1.(教材改编)为调查中学生近视情况，测得 总计 b d 100 某校男生150名中有80名近视，在140名 则由上表可得a十c= 女生中有70名近视.在检验这些学生眼睛 近视是否与性别有关时，用下列哪种方法 3综合应用 最有说服力 ( 1.某课外兴趣小组为研究数学成绩优秀是否 A.回归分析 B.均值与方差 与性别有关，通过随机抽样调查，得到成对 C.独立性检验 D.概率 样本观测数据的分类统计结果，并计算得 33 暑假作业即使爬到最高的山上，一次也只能脚踏实地地迈一步。 [每日格言] 出x2≈6.816，经查阅x2独立性检验的小 1.0 概率值和相应的临界值，知x.1=6.635, 0.8 ☐手机成瘾 则下列判断正确的是 0.6 口不手机成瘾 0.4 A.若某人数学成绩优秀，那么他为男生的 0.2 概率是0.010 男生女生 B.每100个数学成绩优秀的人中就会有 1名是女生 附：x2= n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)' C.数学成绩优秀与性别有关，此推断犯错 n=a+b+c+d 误的概率不大于0.01 D.在犯错误的概率不超过1%的前提下认 0.1 0.01 0.001 为数学成绩优秀与性别无关 2.706 6.635 10.828 2.（多选)有甲、乙两个班级进行数学考试，按 A.该校男生和女生人数之比约为3：2 照大于等于85分为优秀，85分以下为非 B.根据小概率值α=0.01的独立性检验， 优秀统计成绩，得到如下列联表： 可以认为手机是否成瘾与学生性别 成绩 有关 班级 优秀 非优秀 C.从该校学生中随机抽取一名学生，则该 甲班 10 b 生手机成籍的颗率为号 乙班 30 D.从该校学生中抽到一名手机成瘾的学 已知在全部105人中随机抽取1人，成绩 生，则该生是男生的概率为 优秀的概率为号，则下列说法正确的是 4.某校对“学生性别和喜欢某APP是否有 关”作了一次调查，其中被调查的男女生 A.甲班人数大于乙班人数 人数相同，男生喜欢该APP的人数占男生 B.甲班的优秀率低于乙班的优秀率 人数的。，女生喜欢该APP的人数占女生 C.表中c的值为15，b的值为50 D.根据表中的数据，有99%的把握认为 人数的三，若有95%的把握判断是否喜欢 “成绩与班级有关系” 该APP和性别有关，则调查人数中男生至 3.(多选)为保护学生视力、促进学生身心健 少有 人 康发展，某中学研究型学习小组从该校学 参考数据： 生中按男、女生比例，采用分层随机抽样的 x- n(ad-bc)2 方法选取了100名学生（其中男生60人， (a+b)(cFd)(aFe)(b+d)'P(X> 女生40人)，调查他们每日使用手机的时 3.841)=0.05 间.若每日使用手机时间超过40分钟，则 :5.为促进全面阅读，建设书香校园，鼓励学生 认为该生手机成瘾.根据统计数据得到如 参加阅读活动，某校随机抽查了男、女生各 图所示的等高堆积条形图，用样本估计总 200名，统计他们在暑假期间每天阅读时 体，用频率估计概率，下列说法正确的有 长，并把每天阅读时长超过1小时的记为 “阅读达标”，时长不超过1小时的记为“阅 34 [每日格言]征服畏惧，建立自信的最快最切实的方法，就是去做你害怕的事，直到你获得成功的经验。高二数学（配RJA版） 读不达标”，阅读达标与阅读不达标的人数 4真题体验 比为1：1，阅读达标的女生与男生的人数 比为3：2 1.(2024·上海卷)为了解某地初中学生体育 (1)完成下面的2×2列联表： 锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区 29000名学生中随机抽取580人，得到日 阅读达标情况 性别 合计 均体育锻炼时长（单位：小时）与学业成绩 阅读达标 阅读不达标 的数据如表所示： 男生 日均体育锻炼时长/小时 女生 学业成绩 [0,0.5)[0.5,1) C1,1.5)[1.5,2)[2,2.5] 合计 优秀 5 44 42 3 1 (2)根据上述数据，依据小概率值α= 不优秀 134 147 137 40 27 0.001的独立性检验，能否认为“阅读达标 (1)该地区29000名学生中日均体育锻炼 情况”与“性别”有关联？ 时长不小于1小时的人数约为多少？ (3)从阅读达标的学生中按男、女生人数比 (2)估计该地区初中学生日均体育锻炼时 例用分层随机抽样的方法抽取5人进行座 长（精确到0.1小时）； 谈，再从这5人中任选2人，记这2人中男 (3)是否有95%的把握认为学业成绩优秀 生人数为X,求X的分布列和数学期望. 与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于 参考公式：X= n(ad-bc)2 2小时有关？ (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)' n(ad-bc)2 n=a+b+c+d. 附：X=(a+b(c+D(a十c)(h+d)n 0.10 0.05 0.01 0.001 a+b+c+d.P(x2≥3.841)≈0.05. 2.706 3.841 6.635 10.828 35 暑假作业积极思考造成积极人生，消极思考造成消极人生。 [每日格言] 2.(2025·全国一卷)为研究某疾病与超声波 是否又发作过心脏病 检查结果的关系，从做过超声波检查的人 手术类型 合计 是 否 群中随机调查了1000人，得到如下列 心脏搭桥手术 39 157 196 联表： 血管清障手术 29 167 196 超声波检查结果 组别 合计 合计 68 324 392 正常 不正常 由上表可以发现：接受心脏搭桥手术的病 患该疾病 20 180 200 人又发作过心脏病的比接受血管清障手术 未患该疾病 780 20 800 的病人又发作过心脏病的要多一些.于是 合计 800 200 1000 有人下结论说，在这两种手术中，接受心脏 (1)记超声波检查结果不正常者患该疾病 搭桥手术与又发作心脏病有关系.你认为 的概率为p,求p的估计值； 这一判断科学吗？ (2)根据小概率值α=0.001的独立性检 验，分析超声波检查结果是否与患该疾病 有关. n(ad-bc)2 -(atb (cFd)(a+e(b+d' P(x≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 [名师叮嘱]独立性检验的基本思想类似于数 学中的反证法，要确认两个分类变量有关系这一结 论成立的可信程度，首先假设该结论不成立，即假 5易错警示 设“两个分类变量设有关系”成立，在该假设下构造 x统计量.如果X的观测值较大则在一定程度上 易错点对独立性检验的基本思想理解不 说明假设不合理，具体地说，若X>10.828,则有 透致误 99.9%的把握认为“两个分类变量有关系”；若x> [示例]对196位接受心脏搭桥手术的病 6.635,则有99%的把握认为“两个分类变量有关 人和196位接受血管清障手术的病人进行 系”；若x2>2.706,则有90%的把握认为“两个分 了3年的跟踪研究，调查他们是否又发作 类变量有关系”；而若x≤2.706，则认为没有充分 过心脏病，调查结果如表所示： 的证据显示两个分类变量有关系， 36[每日格言]好咖啡要和朋友一起品尝，好机会也要 所以修正后的择本中心点为（号，鹘） 将点(9，盟)代入经脸同归方程了=红十7，可得兽=号 质十7，解得=碧 故选A. 4,AD由题意，x三0+20+30+40+50)=30，y三号 (67十74十80十86十93)=80，因为经验回归直线y=bx十 60.8必过点(x,y),即点(30,80)，则80=30i十60.8，解得 6=0.64,即y=0.64x+60.8,故A正确；当x=60时，y =0.64×60+60.8=99.2,故B错误；将加工时间y的5 个观测数据从小到大排列为：67,74,80,86,93，由于5× 60%=3,则60%分位数为80十86=83，故C错误：当x= 2 50时，y=0.64×50+60.8=92.8,则残差为93一92.8= 0.2,故D正确.故选AD. 5.解析依题意，2=10+15+20+25+30=20， 5 y=1+10+8+6+5=8. 5 所以样本中心点坐标为(20,8)，代入经验回归方程y= -0.32x十a得，8=一0.32×20十a,解得a=14.4, 所以经验回归方程为y=一0.32x十14,4， 当x=40时，)=1.6，即当月销售单价为40元/件时，月 销售量约为1.6万件.故答案为1.6. 答案1.6 6.解析x-1+2+3+4+5-3,-17+16+20+18+19-18, 5 所以样本点中心为(3,18)，当经验回归方程经过样本点 中心(3,18)时，残差平方和最小，所以18=3k十16.2， 解得k=0.6.故答案为0.6. 答案0.6 7.解析1)因为=号1+2+3+4+5)=3， 所以2(x,-x)2=(1-3)2+(2-3)+(3-3)2+(4- 3)2+(5-3)2=10, 又2(，-y)2=582,2(x,-x)(y-y)=-76. =1 ∑(x:-x)(y:一y） -76 所以r= 含-)(yy) √10×√582 -0.99, 因为|r非常接近1，所以两变量线性的相关程度很强。 (2)由题z=5(1+2+3+4+5)=3, )=5(66+57+50+41+36)=50,(x,-x)=10, 2(x-x)(-y） 所以6== -76 10 =-7.6 ∑(x,-x) a=y-bx=50-(-7.6)×3=72.8, 所以y关于x的经验回归方程为=一7.6x十72.8， -7.6x+72.8<18,解得x≥9≈7.21 所以该小白鼠至少需要服药8天才能痊愈， 【真题体验】 1.A选项A中的散点有明显的从左下角到右上角沿直线 分布的趋势，且散点集中在一条直线的附近，故选项A中 的线性相关系数最大，故选A, 2.解析(1)这组数据的极差为216.93-206.78=10.15. 中位数为209.35十210.68=210.015. (2)记“从这10个数据中任选3个，恰有2个数据在211 以上”为事件A, 由题可知，这10个数据中在211以上的有4个， 故P(A)=CC=6X63 Ci。 120101 和朋友一起分享。 高二数学（配RJA版） (3)由题可知，x=2006,y=211.399, 代入y=一0.311x+b,得211.399=-0.311×2006+b, 解得6=835.265， 则y=-0.311x+835.265, 将x=2028代入，得y=204.557≈204.56， 故预测2028年冠军队的成簽为204.56秒. 【易错警示】 示例1门D由题得x=子= 7 后，根据公式求得6= 58-6×号×号 13 91-6x()】 号a=y-证=吕-号×名 3 又b=2,a'=-2,所以i<b,a>a',故选D. [示例2]C由变量X与Y相对应的一组数据为(10,1)， (11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5),可得变量Y与X正相 关，所以r1>0 而由变量U与V相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11. 8,3),(12.5,2),(13,1),可知变量V与U负相关，所以r2<0. 因此折1与2的大小关系是r<0<r 作亚（十一）列联表与独立性检验 【基础诊断】 1.C2.C3.B4.74 【综合应用】 1.C因为X≈6.816>6.635=x.01,所以数学成绩优秀与 性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.01，即在犯错误 的概率不超过1%的前提下认为“数学成绩优秀与性别有 关”，故C正确，D错误：若某人数学成绩优秀，由已知数 据不能判断他为男生的概率，故A错误；每100个数学成 绩优秀的人中可能没有女生，也有可能有多名女生，由已 知数据不能确定结论，故B错误；故选C. 2.ABC,尚条#知10+6+c+30=105,19=号，北6+ c=65,10+c=30,所以b=45,c=20,错误，A,甲班人数 为10+b=10+45=55,乙班人数为c+30=20+30=50 <5,正确：B.甲班优秀率为品=异乙班优秀率为器 5号>2，正确.D.X=105X10305X20)9 -≈6.109 55×50×30×75 <6.635,故没有99%的把握认为“成绩与班级有关系”， 错误.故选AB. 3.AC根据分层随机抽样的抽样比可知，样本中男生和女 生人数之比为60：40=3：2，用样本估计总体可知全校 男生和女生人数之比约为3：2，故A正确；样本中男生有 60×0.2=12人手机成瘾，有60一12=48人不成瘾，女生 有40×0.4=16人手机成瘾，有40一16=24人不成瘾，零 假设H。:手机是否成瘾与学生的性别无关，故X= 100×(12×24-16×48)=100≈4.762<6.635=x. 60×40×28×72 21 0.01,根据小概率值a=0.01的独立性检验，没有充分的 证据推断H。不成立，因此可以认为H。成立，即手机是 否成瘾与学生的性别无关，故B错误；结合样本数据以及 等高推积条形图可知，样本的100人中有28人手机成瘾， 所以释本中学生手机成箱的频率为器石，用频率估计 概率可知，从该校学生中随机抽取一名学生，该生手机成 施的概率为石故C正确：根据条件概率可知，在样本中 抽样到一名手机成瘾的学生，该生是男生的概率为 12 3 12十16=号，用样本估计总体可知演校学生中抽样到一 名手机成瘾的学生，该生是男生的概率也为三，故D错 误.故选AC 4.解析设被调查的男女生为5m人，则男生喜欢该APP 有4m人，女生喜欢该APP有3m人， 所以列联表如下： 暑假作业合理安排时间，就等于节约时间。 喜欢某APP 不喜欢某APP 总计 男生 Am m 5m 女生 37m 2m 5m 总计 7 3m 10m 则X=10mXC4mX2m-3mXm) 1 7m×3m×5mX5m 27m≥3.841，解得 m≥3.841X21≈8.07，因此被调查的男生为5m≥40.35， 10 又m∈N",则人数是5的正整数倍，所以大于等于45的5 的整数倍都符合题意，调查人数中男生至少有45人。 答案45 5解析(1)由题意可知：阅读达标与阅读不达标的人数分 别为200,200，阅读达标的女生与男生的人数分别为3千2 3 2 ×200=120,3千2×200=80. 据此可得2X2列联表： 阅读达标情况 性别 合计 阅读达标 阅读不达标 男生 80 120 200 女生 120 80 200 合计 200 200 400 (2)零假设H。:“阅读达标情况”与“性别”没有关联 由(1)可得：X-400(80×80-120X120) =16>10.828 200×200×200×200 =x0.001 依据小概率值a=0.001的独立性检验，可知零假设H。 不成立， 所以“阅读达标情况”与“性别”有关联 2 (3)因为抽取5人中男，女生人教分别为3千2×5=2， 3+2×5-3. 3 由题意可知：X的可能取值为0,1,2，则有： P(X=0)= 是P(X== cc= 3 C 5 P(X=2) C8C_1 C Γ10 所以X的分布列为 X 0 1 3 3 1 10 5 10 数学期望为E(X)=0x+1× +2×0 4 =5 【真题体验】 1.解析(1)抽取的样本中日均体育锻炼时长不小于1小 时的人数为42+3+1+137+40+27=250. 设该地区29000名学生中有x人的日均体育锻炼时长不 小于1小时，期需200解得=1250， 故该地区29000名学生中日均体育锻炼时长不小于1小 时的人数约为12500. (2)依题意得，该地区初中学生日均体育锻炼时长为 (0.25×139+0.75×191+1.25×179+1.75×43+2.25 ×28)÷580=540÷580≈0.9. 所以该地区初中学生日均体育锻炼时长约为0.9小时 (3)对数据重新组合，得到2×2列联表 日均体育锻炼时长/小时 学业成绩 1,2) 其他 总计 优秀 45 50 95 不优秀 177 308 485 总计 222 358 580 5 [每日格言] 提出原假设H。:学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小 于1小时且小于2小时无关 确定显著性水平a=0.05,P(X≥3.841)≈0.05， 580×(45×308-177×50)≈3.976>3.841， 95×485×222×358 原假设不成立，所以有95%的把握认为学业成绩优秀与 日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关。 2.解析(1)由题表可知，检查结果不正常者有200人，检 查结果不正常者中患有该疾病的有180人， 所以由样本估计总体得p89=09 (2)零假设H。:超声波检查结果与是否患该疾病无关， X-1000X20X20,180X780)=765.625>10.828. 800×200×200×800 所以依据小概率值a=0.001的独立性检验，我们推断H。 不成立，即认为超声波检查结果与是否患该疾病有关， 【易错警示】 [示例][解析]从所给的列联表中可知病人有两种类 型：做过心脏搭桥手术和做过血管清障手术，每种类型又 有两种情况：又发作过心脏病和未发作过心脏病.问题是 用表中所给出的数据来检验上述两种状态是否有关系， 这是一个独立性检验问题，解决的方法是通过构造X统 计量观察值来研究 提出假设H。:做过心脏搭桥手术与又发作心脏病没有 关系. 由于a=39,b=157,c=29,d=167,a+b=196,c+d= 196,a+c=68,b+d=324,n=392,由公式可得x统计量 n(ad-bc) 观测值为X=(a+b)(c+d)(a+c)(b+ 392×(39×167-157×29)=1.78, 196×196×68×324 因为X=1.78<2.706,没有充分证据推断H。不成立，所 以我们没有理由说“做过心脏搭桥手术”与“又发作心脏 病”之间有关系 第二部分开启一轮 作业（十二）集合与常用逻辑用语 【基础诊断】 1.B2.B3.A4.2 【知能提升】 考点一 1.A由x一2>0→x>2,所以B={xx>2}. 所以CuB={x|x≤2}，AU(CB)={x|x<4}= (一o,4).故选A. 2.A由集合P={x|一2x<m一m,x∈Z}有6个非空 真子集，得集合P中有3个元素，为-2，一1,0， 因此0<m-m≤1，解得0<m<1, 所以实数m的取值范围为(0,1).故选A. 3.BCD由x2一3x≥0可得x0或x3, 即N={x|x≤0或x≥3}. M∩N={xx<3}∩{x|x0或x≥3}={x|x0}≠O, 故A项错误： MUV={xx<3}U{xx0或x≥3}=R,故B项正确； 因CRM={xx≥3二{x|x≤0或x≥3}，故CRM二N,故 C项正确； CR(M∩N)=(CRM)U(CRN)={xx≥3}U{x0<x< 3}={xx>0},故D项正确.故选BCD. 4.解析由Venn图可知，阴影部分的元素由属于B但不属 于A的元素构成， 所以集合表示为B∩CA={x|-2≤x≤3}∩{x-1≤x 4}={x|一1x3}. 答案[-1,3] 5.解析x2-2x-3>0,x<-1或x>3. .A={x|x<-1,或x>3},BCA, 当B=7时，2m一1>m十3，.m>4,符合题意： 当B≠7时，2m一1≤m+3,即m≤4，