作业(七) 离散型随机变量及其分布列-【假期作业】2026年高二数学暑假假期作业（人教A版·新教材）

暑假作业不要问别人为你做了什么，而要问你为别人做了什么。 [每日格言] 作亚（七》 月 星期 离散型随机变量及其分布列 台 历 天气 1 知识整合 2基础诊断 1.随机变量 1.袋中有大小相同的5个钢球，分别标有1， (1)随机变量：对于随机试验样本空间2 2,3,4,5五个号码.在有放回地抽取条件 中的每个样本点w,都有唯一的实数X(ω) 下依次取出2个球，设两个球号码之和为 与之对应，称X为随机变量 随机变量X,则X的所有可能取值是 (2)离散型随机变量：可能取值为有限个或 ( 可以一一列举的随机变量，称之为离散型 A.1,2,…,5 B.1,2,…,10 C.2,3,…,10 D.1,2,…,6 随机变量」 2.已知随机变量X服从0一1分布，且P(X (3)字母表示：通常用大写英文字母表示随 =1)=2P(X=0)-1,则P(X=0)= 机变量，如X,Y,Z;用小写英文字母表示 随机变量的取值，如x,y,之. 1 2.离散型随机变量的分布列 A. 3 c (1)定义：设离散型随机变量X的可能取 3.某位射箭运动员命中目标的环数X的分 值为x1,x2,…,x,…,xn,称X取每一个 布列为： 值x:的概率P(X=x:)=p:,i=1,2,…, 6 8 10 ,为X的概率分布列，简称分布列. P 0.05 0.15 0.25 0.35 0.20 (2)表示方法：①表格；②概率分布图. 如果命中9环或10环为优秀，那么他一次 (3)性质：①p;≥0，i=1,2,3,…,n; 射击成绩为优秀的概率是 ②p1十p2十…十pn=1. A.0.55 B.0.45 3.两点分布 C.0.35 D.0.20 对于只有两个可能结果的随机试验，用A 4.已知离散型随机变量X的分布列为 表示“成功”，A表示“失败”，定义 X 0 1 1,A发生， P 0.36 X- 1-2q 0,A发生 则常数q= 如果P(A)=p,则P(A)=1一p,那么X 的分布列如下表所示， 3综合应用 1.已知随机变量X的分布列为P(X=n)= 0 1-p (n+1)(n+2)(n=0,1,2),其中a是常 a 我们称X服从两点分布或0一1分布 数，则下列说法不正确的是 18 [每日格言]再冷的石头，坐上三年也会暖。 高二数学（配RJA版） A.P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1 C.P(X=4)=1 7 D.若甲赢了第一场，则乙仍有超过50%的 可能性获得冠军 C.P(0≤X<2)= 5.设随机变量X的分布列P(X=i)= D.P(X≥I)=号 2i=1,2,3),则 2.已知随机变量X的分布列如下表所示，则 P(X≥2)= P(|2X-3|<3)= 6.已知离散型随机变量5的分布列如下. X 1 2 3 4 0 p 0.1 m 0.3 0.2 7 A.10 c 记“函数f()=3sin（r十)π(x∈R)是偶 3.某商场进行有奖促销活动，满500元可以 函数”为事件A,则P(A)= 参与一次掷飞镖游戏.每次游戏可掷7只 7.小明准备了甲、乙两个一模一样的袋子， 飞镖，采取积分制，掷中靶盘，得1分，不中 甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个， 得0分，连续掷中2次额外加1分，连续掷 其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分 中3次额外加2分，以此类推，连续掷中7 别为2,3,4.乙袋中红色、黑色、白色小球 的个数均为3，小明用左、右手分别从甲、 次额外加6分.小明购物满500元，参加了 乙两袋中取球 一次游戏，则小明在此次游戏中得分X的 (1)若左、右手各取一球，求两只手中所取 可能取值种数为 的球颜色不同的概率； A.10 B.11 C.13 D.14 (2)若左手取完两球后，右手再取两球，称 4.(多选)围棋棋理博大精深，蕴含着中华文 同一手中两球颜色相同的取法为成功取 化的丰富内涵，被列为“琴棋书画”四大文 法，记两次取球（左、右手完成各取两球为 化之一，是中华文化与文明的体现.在某次 两次取球)的成功取法次数的随机变量为 国际围棋比赛中，甲、乙两人进行最后的决 X,求X的分布列. 赛，比赛采取五场三胜制，即先胜三场的一 方获得冠军，比赛结束.假设每场比赛甲胜 乙的概率都为3，且没有和棋，每场比赛的 结果互不影响，记决赛的比赛总场数为X, 则下列结论正确的是 ( A.X≤1且甲获得冠军的概率是易 以有连续三场比赛都是乙胜的餐率是号 19 暑假作业世上并没有用来鼓励工作努力的赏赐，所有的赏赐都只是被用来奖励工作成果的。 [每日格言] 4真题体验 [名师叮嘱]这类问题主要考查离散型随机变 量的概念，解答过程中要明确其满足的四个特征： 1.(2022·浙江卷)现有7张卡片，分别写上 (1)离散型随机变量可用实数来表示. 数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随 (2)试验之前可以判断其可能出现的所有值， 机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小 (3)在试验之前不能确定取何值， 值为，则P(=2)= ,E()= (4)试验结果能一一列出. 易错二试验结果列举不全致分布列出错 2.(2022·全国甲卷节选)甲、乙两个学校进 行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目 [示例2]一盒中有9个正品零件和3个 胜方得10分，负方得0分，没有平局.三个 次品零件，安装机器时从这批零件中随机 项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠 抽取，如果取出的是次品则不放回，求在第 军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率 一次取到正品之前已取出的次品数X的 分别为0.5,0.4,0.8，各项目的比赛结果 分布列. 相互独立. (1)求甲学校获得冠军的概率； (2)用X表示乙学校的总得分，求X的分 布列. 5易错警示 易错一 对离散型随机变量的概念理解不 清致误 [示例1]下列随机变量不是离散型随机 变量的有 (填序号) ①某宾馆每天入住的旅客数量X; ②广州某水文站观测到一天中珠江的水 [名师叮嘱]要注意随机变量取值的准确性以 位X; 及计算概率的正确性.本题中的易错之处是试验结 ③深圳欢乐谷一日接待游客的数量X; 果的所有可能情况列举不全，漏掉了X=0的情况， ④虎门大桥一天经过的车辆数X. ; 即第一次取到正品的情况， 20[每日格言]拥有梦想只是一种智力，实现梦想才是 2个红球，9个白球，此时P(BA)=品，所以P(B)=P A,)PBA,+PA,)PB1A,)=号×是+合×号 是哉C不正确：对子D,P(BA)+PBA)=品故D 正确，故选ABD. 5.解析用M表示这个人患了流感，分别用N1,N,,N3表 示这个人来自A,B,C地区， 则P(N)=易P(N)=易，P(N)=0 5 P(MN,)=0.03,P(MN,)=0.06,P(MN3)= 0.05. 所以P(M)=P(N)·P(MN,)+P(N)·P (MN,)+P(N3)·P(MN) -易×0.03+分×0.06+品×0.05=品 答案品 6.解析设事件A,B,C分别为和第一代、第二代、第三代 传播者接触，事件D为小明被感染，则由已知得：P(A)= 0.5,P(B)=0.3,P(C)=0.2,P(DA)=0.95,P(DB)= 0.90,P(DC)=0,85,从而，小明被感染的概率由概率公 式可得：P(D)=P(DIA)P(A)+P(DIB)P(B)+ P(DC)P(C)=0.95×0.5+0.90×0.3+0.85×0.2= 0.915. 答案0.915 7.解析(1)设事件A1=“抽到A盒”，事件A,=“抽到B 盒”， 则P(A,)=P(A)=合， B=“随机抽取两个球，颜色相同”， P (BA)= tC-告P(BlA)-tS-告 C 9 由全概率公式得 P(B)=P(A)P(B|A)+P(A,)P(B|A,)=2 所以甲同学在一轮比赛中回答第一类问题的概率为9： (2)由(1)知乙同学在一轮比赛中回答第一类问题的概率 为号，则回答第二类问题的概率为号， 设在一轮比赛中乙同学得分为X,则X的可能取值为0,2,3， 则p(X=0)=音×(1-)+号×(1-2)=· P(X=2)=×-P(X=)=号×=· .5 设二轮比赛后乙得分为Y,则P(Y>4)=P(Y=5)十P Y=6)=子×+×号+×品费 585 所以乙同学二轮比赛后得分高于甲同学的概率为85。 【真题体验】 5000 1.解析A题库占5000+4000+30002 5 4000 1 B题库占5000+4000+3000=3' 3000 C题库占写000+4000+30004' 则所求概率P= ×0.92+号×0.86+×0.72=0.. 答案0.85（或品） A活动”为事件M,“乙选了A活动再选择B活动”为事件N, 53 一种能力。 高二数学（配RJA版） 则P(M)= C =3,P(MN)= C: 5 -是所以P(NIW= P(MN) 10=1 P(M) 3 5 答案 1 【易错警示】 [示例1]A记两个球都是红球为事件A,至少有一个红 C 球为事件B,则(A|B)=P(AB) P(B)CC+CC。6:故 C 选A. [示例2]B令A,=“每天看电子产品时间超过1h的学 生”，A2=“每天看电子产品时间不超过1h的学生”，B= “任意调查一名学生，此人近视”，则2=AUA,且A1, Ag互斥，P(A1)=0.2,P(A)=0.8,P(B|A1)=0.5, P(B)=0.4. 依题意，P(B)=P(A1)P(BA1)+P(A2)P(BA,)=0.2 X0.5十0.8XP(B1A:)=0.4,解得P(B1A)=合，所以 所表概率为骨故选B 作业（七）离散型随机变量及其分布列 【基础诊断】 1.C2.D3.A4.0.2 【综合应用】 1L.D由P(X=n)=(m+1)(m+2)(n=0.,2): 得P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1, 即号+合+号=1，解得a=专故AB正确： P(0≤X<2)=P(X=0)+P(X=1)=号+号=g, 99 故C正确； P(X1)=P(X=1)+P(X=2)=号+号=子，故D 错误.故选D 2.C由题得0.1十m十0.3十0.2=1，则m=0.4, 故P(|2X-3|<3)=P(0<X<3)=P(X=1)+P(X= 2)=0.5.故选C. 3.C由题意得，我们知道所产生的不同得分的情况种数 如下， 首先，我们把中记为A,不中记为B, 情况数为AAAAAAA,此时得分为7+6=13， 情况数为AAAAAAB,此时得分为6+5=11， 情况数为AAAAABA,此时得分为6+4=10， 情况数为AAAAABB,此时得分为5+4=9， 情况数为AAAABAB,此时得分为5十3=8， 情况数为AAAABBB,此时得分为4十3=7， 情况数为AAABABB,此时得分为4十2=6， 情况数为AAABBBB,此时得分为3十2=5， 情况数为AABABBB,此时得分为3十1=4， 情况数为ABABABB,此时得分为3十0=3， 情况数为ABBABBB,此时得分为2十0=2， 情况数为ABBBBBB,此时得分为1十0=1， 情况数为BBBBBBB,此时得分为0十0=O, 其他情况未产生其他得分情况，故省略， 故产生的不同得分的情况种数如下，共13种.故选C. 4.CDX4且甲获得冠军有两种情况：X=3且甲获得冠 军，X=4且甲获得冠军， X=3且甲获得冠军表示甲连胜三场，X=4且甲获得冠 军表示第四场甲获胜且前三场中有两场甲获胜， 所以X≤4且甲旋得冠军的桃奉为P=(侣)+C× ()×号×-，故A错误： 暑假作业读一本好书，就如同和一个高尚的人在交 有连续三场比赛都是乙胜包含三种情况：前三场比赛都 是乙获胜， 第一场比赛甲获胜接下来三场比赛都是乙获胜，前两场 比赛甲获胜接下来三场比赛都是乙获胜， 所以有连续三场比家都是乙胜的概率为P=(子）十} ×(学)°+（兮）广×（号厂-0器故B错送： X=4包含两种情况：比赛四场甲获得冠军，比赛四场乙 获得冠军， 所以P(X=)=C×(3）×号×吉+C×(号)广× 甲赢了第一场，乙获得冠军包含两种情况： 第二至第四场都是乙获胜，第五场乙获胜且第二至第四 场中有两场乙获胜， 所以甲赢了第一场，乙藏得冠军的概率为P=(号)广十 心×（层）广x×号-品. 因为品>号所以若甲燕了第一场，则乙仍有超过50% 的可能性获得冠军，故D正确.故选CD。 5.解析由已知得随机变量X的分布列为 1 2 3 P 2 4 8 ++-1= P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=冬+冬=号+号 4 7 案答号 6.解析因为代x)是偶函教，所以钙=kr十受， 2 故=2k+1(k∈Z). 又因为=一1,0,1，所以=士1， 故PA)=P(=1D+P(=-1=1-子=号 答案3 7.解析(1)记事件A为“两手所取的球不同色”，事件A是 两手所取球颜色相同， 则P(不)=2X3+8X+4X3=子，所以PA)=1 9×9 (2)依题意，X的可能取值为0,1,2， 左手所取的两球颜色相同的概率为C+C十C=5 C 18 右手所取的两球颜色相同的概率为C+C+C=1 C 4 px=o)-(1-)1-2)1晨×是-是 PX==×(1-)+(1-)×- pX=2=×- 5 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 13 5 24 18 【真题体验】 1.解析P(=2)= C·C+C=16 C 35 的所有可能取值为1,2,3,4. 5 谈。 [每日格言] P(=1)= 5 P(=2)= 3 C 35 351 P(=4)= 1+2×3 35,故E=1× 16 C +3×+4 112 ×5=7 答案 612 35 7 2.解析(1)记甲学校获得冠军为事件A, 则P(A)=0.5×0.4×(1一0.8)+0.5×(1一0.4)× 0.8+(1-0.5)×0.4×0.8+0.5×0.4×0.8=0.6, 所以甲学校获得冠军的概率是0.6. (2)X的可能取值为0,10,20,30， 则P(X=0)=0.5×0.4×0.8=0.16 P(X=10)=0.5×0.4×(1-0.8)+0.5×(1-0.4)×0.8 +(1一0.5)×0.4×0.8=0.44， P(X=20)=0.5×(1-0.4)×(1-0.8)+(1-0.5)× (1-0.4)×0.8+(1-0.5)×0.4×(1-0.8)=0.34, P(X=30)=(1-0.5)×(1-0.4)×(1-0.8)=0.06, 故X的分布列为 102030 P(X)0.160.440.340.06 【易错警示】 [示例1][解析]中的随机变量X的所有取值，我们都 可以按照一定的次序一一列出，因此它们是离散型随机 变量：②中随机变量X可以取某一区间内的一切值，但无 法按一定次序一一列出，故不是离散型随机变量， [答案]①③④ [示例2][解析]随机变量X的所有可能取值为0,1,2， 3=0表示第一次取到正品，则P(X=0)=太= X=1表示第一次取到次品，第二次取到正品， 则P(X=1)=AA=9 A。4,同理， 可求得P(X=2)= 220P(X=3)= AA Ai2220 因此随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 9 9 4 44 220 220 作业（八）离散型随机变量的数字特征及二项分布 【基础诊断】 1.A2.D3.A4.9 【综合应用】 1.D依题意：0.4十0.1十x=1,.x=0.5, .E(X)=1×0.4+3×0.1+5×0.5=3.2, D(X)=(1-3.2)2×0.4+(3-3.2)×0.1+(5-3.2) ×0.5=3.56, .o(X)=D(X)=3.56. 2.D设事件M=“至少分离出2个轻水分子”， 由题意知分离出1个轻水分子的概率为0=亏， 63 分高出1个非轻水分子的城率为出忌， 所以P(M)=C(号)×（号）+C(号)×（号） 54+27_81 125 125 故至少分离出2个轻水分子的概率为器故选D 3.ACD因为随机变量服从两点分布，且P(X=1)=子， 所以P(X=0)=1-P(X=1)=3 4 所以E(X)=0×是+1X子=子，所以P(X=0)= 3E(X),故A正确：