作业(六) 条件概率与全概率公式-【假期作业】2026年高二数学暑假假期作业（人教A版·新教材）

[每日格言]平凡的脚步也可以走完伟大的行程。 作亚（六》 条件概率与全概率公 1知识整合 1.条件概率的公式 条件 设A,B为两个随机事件，且P(A)>0 在事件A发生的条件下，事件B发生的 含义 条件概率 记作 P(BA) 读作 A发生的条件下B发生的概率 计算 ①缩小样本空间法：P(B1A)=n(AB) n(A)i 公式②公式法：P(B1A)=PAB P(A) 2.条件概率的性质 设P(A)>0,则 (1)P(21A)=1. (2)任何事件的条件概率都在0和1之间， 即0≤P(B|A)≤1. (3)如果B和C是两个互斥事件，则 P(BUCIA)=P(BA)+P(CA). (4)设B和B互为对立事件，则P(B|A) =1-P(BA). 3.条件概率求法 (1)借助定义中的公式计算 在原样本空间中，先计算P(AB),P(A), 再利用公式P(B1A)=PAB)(P(A)>O) P(A) 计算。 (2)缩小样本空间法 主要针对的是古典概型，首先明确是求“在 谁发生的前提下谁发生的概率”，其次转换 样本空间，即把给定事件A所含的样本点 定义为新的样本空间，并找出事件A和事 件AB所含的样本点个数，最后利用 PBA=计算 高二数学（配RJA版） 今 月 日 星期 式 台 历 天气 4.概率的乘法公式 由条件概率的定义，对于任意两个事件 A与B,若P(A)>0,则P(AB)=P(A)· P(BA),称为概率的乘法公式 [拓展]对于任意两个事件A与B,若P(B)>0, 则P(AB)=P(B)P(A|B). 5.全概率公式 一般地，设A1,A2,…,An是一组两两互斥 的事件，A1UA2U…UAn=2,且P(A;)>0, i=1,2,…,n,则对任意的事件B二2，有 P(B)=P(A,P(BIA,). 称上面的公式为全概率公式， 6.应用全概率公式计算事件的概率时的注 意点 (1)要把所求概率的事件分解为若干个互 斥的事件，然后利用互斥事件的性质计算 概率。 (2)题目没有给出明确概率的大小时，要结 合排列组合知识和古典概型计算各事件的 概率 (3)注意乘法公式和全概率公式的区别：乘 法公式是求“几个事件发生”的概率；全概 率公式是求“最后结果”的概率 2基础诊断 1.在某电路上有M,N两个元件，每次通电 后，需要更换M元件的概率为0.3，需要 更换N元件的概率为0.2，M,N有且只有 一个需要更换的概率为0.38，则在某次通 电后M,N有且只有一个需要更换的条件 下，M需要更换的概率是 ( 12 A. 15 B. 19 C. 2 D. 暑假作业勤奋学习，善于思考，不断总结是成 2.篮球作为三大球类运动之一，深受大众喜 爱.据统计，某企业三个部门中喜欢篮球运 动的员工分别占本部门总人数的40%， 35%,30%,且这三个部门的员工人数之比 为4：4：2，现从这三个部门中随机抽取 一位员工，则该员工喜欢篮球的概率为 ) A.0.63 B.0.54 C.0.45 D.0.36 3.若P(AB)=日，P(A)=号则事件A与 B的关系是 A.事件A与B互斥 B.事件A与B对立 C.事件A与B相互独立 D.事件A与B互斥又相互独立 4.现有52张扑克牌（去掉大、小王），每次取 一张，取后不放回，则两次都抽到A的概 率为 ;在第一次抽到A的条件 下，第二次也抽到A的概率是 3综合应用 1.一个箱子中有10个质地、大小相同的球， 共5种颜色，每种颜色有2个球，现从中任 取2球，则在其中一个球为红色的条件下， 另一个球也为红色的概率为 () 局 R品 c局 D号 2.某学生的某款聊天软件账号密码是由前两 位是大写字母，第三位是小写字母，后六位 是数字共九个符号组成.该生在登录时，忘 记了密码的最后一位数字，如果该生记住 密码的最后一位是奇数，则不超过两次就 输对密码的概率为 1 A.10 B.5 c D.2 》 功的法宝。 [每日格言] 3.设A,B是两个随机事件，且P(A)= 4’ P(B)一2，则下列正确的是 A.若P(BA)-则A与B相互独立 B.P(A+B)- C.P(AIB)- D.A与B有可能是对立事件 4.(多选)甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中 有2个红球，8个白球.这些球除颜色外其他 均相同.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐， 再从乙罐中随机取出一球.A,表示事件“从 甲罐取出的球是红球”，A2表示事件“从甲罐 取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出 的球是红球”.则下列结论正确的是( A.A1,A2为对立事件 BP(BA)=品 C.P(B)=22 D.P(B+P(BA) 5.秋冬换季是流行性感冒爆发期，已知A, B,C三个地区分别有3%，6%，5%的人患 了流感，且这三个地区的人口数之比是9： 6:5,现从这三个地区中任意选取1人，则这 人患了流感的概率为 6.某流感病毒存在A传B,B又传C,C又传 D这种持续人传人现象，那么A,B,C就 会被称为第一代、第二代、第三代传播者.假 设一个身体健康的人被第一代、第二代、第三 代传播者感染的概率分别为0.95,0.9， 0.85,健康的小明参加了一次多人宴会，事 后知道，参加宴会的人有5名第一代传播 者，3名第二代传播者，2名第三代传播者， 试计算，小明参加聚会，仅和感染的10个 人其中一个接触，感染的概率为 [每日格言]任何业绩的质变都来自于量变的积累。 7.2024年3月22日是第三十二届“世界水 日”，3月22日一28日是第三十七届“中国 水周”.为了唤起孩子们的节约用水意识， 加强水资源保护，某中学举办了关于“水资 源”的问答比赛.比赛规则如下：A盒中有 5个红球，4个白球，B盒中有5个红球， 5个白球（两盒中的球除颜色外其他都相 同).现随机选择一盒，然后从中随机抽取 2个球，若抽到球的颜色相同，则回答第一 类问题，答对得2分，若抽到球的颜色不 同，则回答第二类问题，答对得3分，两类 问题答错均不得分.每位同学进行二轮 比赛 (1)求甲同学在一轮比赛中回答第一类问 题的概率； (2)已知甲同学二轮比赛后得分为4分，乙 同学答对第一类问题的概率为子，答对第 二类问题的概率为2，求乙同学二轮比赛 后得分高于甲同学的概率. 高二数学（配RJA版） 4真题体验 1.(2024·上海卷)某校举办科学竞技比赛， 有A,B,C3种题库，A题库有5000道题， B题库有4000道题，C题库有3000道 题.小申已完成所有题，他A题库的正确 率是0.92，B题库的正确率是0.86，C题 库的正确率是0.72，现他从所有的题中随 机选一题，正确率是 2.(2024·天津卷)A,B,C,D,E五种活动， 甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到A 的概率为 ;已知乙选了A活动， 他再选择B活动的概率为 5易错警示 易错一理解错题意致误 [示例1]一个盒子中有5个白球、3个红 球，从中任取2个球，则在所取的球中有一 个是红球的情况下，另一个也是红球的概 率为 A日 B司 c D [名师叮嘱]准确理解事件：本题意思是一次性 取2个球，而不是连续的两次 易错二混淆条件概率P(BA)与积事件 的概率P(AB)致误 [示例2]长时间看电子产品可能影响视 力，据调查，某校学生大约40%的人近视， 而该校大约有20%的学生每天看电子产品 超过1h,这些人的近视率约为50%.现从每 天看电子产品不超过1h的学生中任意调查 一名学生，则他近视的概率为 A号 C. D [名师叮嘱]解题时，先要正确理解并能区分条 件概率和积事件的概率，P(AB)表示事件A与B 同时发生的概率，而P(B|A)表示在已知事件A发 生的条件下，事件B发生的概率，然后正确选择相 应的计算公式求解即可：暑假作业当一个人先从自己的内心开始奋斗，他 (层)的二项展开式的适项为T=心（层） (-x)=C2-(-1)2学. 当565=0时，即=1时，该项为常数项，T,=C·2· 2 (-1)=-80.故选C. 2.A(x2十2x一1)表示5个(x2十2x一1)相乘，每个 (x2十2x一1)在相乘时均有三种选择，选x或2x或一1. 设选x2的有a个，选2x的有b个，那么选一1的有(5一a 一b)个， 则有20+6-5解得89支g支6： 即选5个2x;或者选1个x、3个2x、1个一1；或者选2 个x、1个2x、2个-1； 因此含x项的系数为C·2十C·C2·(一1)+C· C·2·(-1)2=-68.故选A, 3.ADT+1=C。(-1)x10y,当k=2时，T,= C。x8y2,系数为45，故A正确； 由组合数性质可知，中间项系数C。最大， .展开式中二项式系数最大的项是第6项，故B错误； 令x=1,y=1,得展开式中各项系数之和为(1-1)1“=0， 故C错误； 当为奇数时，系数为负数，当为偶数时，系数为正数， ∴.当k=4或k=6时，系数最大，D正确.故选AD 4.AD对(1-x)有T+1=C(-x)=(-1)Cx,则 a2=T3=(一1)C=15,故A正确； 令x=0,有a。=1,令x=1,则有a十a1十a2十…十a6= (1-1)5=0,故a1十a2十a十…十a6=0-1=-1,故B 错误； 令x=一1，则有a6一a1十a2一…十a6=(1十1)=64， 故a。十ag十a:十a6 =(a十a十a:十a+…十a)+(a,-a十ag-…+as) 22 -壁-32，故C错误； 令f(x)=(1-x)=a+a1x十a2x2十…+a6x,则 (x)=-6(1-x)i=a1+2a2x+…+6a6x, 则f(1)=-6(1-1)=a1+2a2+…+6a6=0,故D正 确.故选AD. 5.解析因为(1十x)”的展开式通项为T+1=C·x(0≤ kn,k∈N), 由题意可知在(x+1)'+(x十1)=(1十x)十(1+x)展 开式中，含有x2项的系数为C十C=6十10=16. 答案16 6.解析根据二项式定理，(2x一1)i=C(2x)(-1)°+C (2x)(-1)+C(2.x)3(-1)+C(2x)2(-1)3+C (2.x)'(-1)+C(2x)°(-1)=32.x-80.x+80.x3 40x2十10x-1,所以x2项的系数为10a一80=一50，解得 a=3. 答案3 7.解析(1)因为f(x)=(1+x)”, 所以f221(x)=(1十x)221, 又f:21(x）=a,十a1x十…+a2g1x2o21， 所以f221(1)=a0十a1十…十a221=22o21,① f:o21（-1）=a。-a1+…十a2020-a2021=0,② 0-②，得2(a1十a十+aow十a21)=21, 所以a1十a3十…十a21e十a221=22o20. (2)因为g(x)=f(x)+2f,(x)+3f(x), 所以g(x)=(1+x)+2(1+x)+3(1+x)8, g(x)中含x5项的系数为1+2×C+3C=99. 【真题体验】 1.解析(x一1)展开式的通项公式为T,+1=Cx·(-1), 当r=3时，T,=Cx3·(-1)3=-20x3, 即(x-1)展开式中x3的系数为-20. 故答案为一20. 就是个有价值的人。 [每日格言] 答案一20 2.解析由通项公式T,+1=C5·2-·x-r·(一1)”= C·(-1)·2-'x-,令5-r=3,得r=2, 可得x3项的系数为C·(-1)2·2-2=80. 故答案为80. 答案80 3.解析令x=0,则a=1, 又(1-2x)‘=a0-2a1x+4a2x2-8a3x3+16a4x, 故(1-2x)'=a。+a1(-2x)+a2(-2x)2+a3(-2.x)3+ a:(-2x)‘, 令t=-2x,则(1十t)'=ao十a1t十agt十a3t十aut°， 令t=1,则a十1十ay十a3十a=2,故a1十a十a3十a:=15. 故答案为：1,15. 答案115 【易错警示】 [示例】C由二项式定理可得(x-1） 的展开式 x√x 1 的通项为T+1=C(x)-（一 )=C(-1. 2”(=01,23,45).令30-2k=0,得灰=4，所以 二项式(x-1 的展开式的第4十1=5项为常数 项，故选C, [示例2]AB对于A,所有项的二项式系数和为2？= 128,故A正确：对于B,令x=1,得(2一1)=1，即所有项 的系数和为1，故B正确：对于C,二项式系数最大的项为 第4项和第5项，故C错误；对于D,展开式的通项为 ,=c2)(左 1 ）=C(-1)21-x3警，k=0,1, 2,…,7,显然当k=0,2,4,6时为有理项，所以有理项有4 项，故D错误.故选AB 作业（六）条件概率与全概率公式 【基础诊断】 1.A2.D3.C4.22i7 1 1 【综合应用】 1.B设事件M为“从箱子中任取两球均为红色”，事件V 为“从箱子中任取两球至少有一球为红色”，则由题意知， P(M)= P(N)-CC+C-17 1 45 所东桃奉为PMN)=-=立故选B 2.C设A:为“第i次按对密码”(i=1,2),则事件A“不超 过2次就按对”可表示为A=A,U(AA,), 记“密码的最后一位数字是奇数”为事件B, 由条件概率的性质可得 PAB)=PAB)+P(AA:B)=吉+号.故 选C. 3.A 由P(A)=子，放P()=1-子=子，则有 1 P(A)P(B)=P(BA)=8. 3 故A与B相互独立，故A与B相互独立，故A正确； P(A+B)=PA)+PB)-P(AB)=子-PAB)≤是 故B错误； P(AB)=PAB)=2P(AB,由于P(AB)未定，故C P (B) 错误； A)+P(B)=2十 +】=3≠1，故A与B不是对立事 件，故D错误.故选A. 4.ABD对于A,因为甲罐中只有红球和白球，即A,∩A, =☑，A1UA,=2,所以A1,A,为对立事件，故A正确：对 于B,当A1发生时，乙罐中有3个红球，8个白球，此时P (BA)=寻，故B正确：对于C,当A发生时，乙罐中有 [每日格言]拥有梦想只是一种智力，实现梦想才是 2个红球，9个白球，此时P(BA)=品，所以P(B)=P A,)PBA,+PA,)PB1A,)=号×是+合×号 是哉C不正确：对子D,P(BA)+PBA)=品故D 正确，故选ABD. 5.解析用M表示这个人患了流感，分别用N1,N,,N3表 示这个人来自A,B,C地区， 则P(N)=易P(N)=易，P(N)=0 5 P(MN,)=0.03,P(MN,)=0.06,P(MN3)= 0.05. 所以P(M)=P(N)·P(MN,)+P(N)·P (MN,)+P(N3)·P(MN) -易×0.03+分×0.06+品×0.05=品 答案品 6.解析设事件A,B,C分别为和第一代、第二代、第三代 传播者接触，事件D为小明被感染，则由已知得：P(A)= 0.5,P(B)=0.3,P(C)=0.2,P(DA)=0.95,P(DB)= 0.90,P(DC)=0,85,从而，小明被感染的概率由概率公 式可得：P(D)=P(DIA)P(A)+P(DIB)P(B)+ P(DC)P(C)=0.95×0.5+0.90×0.3+0.85×0.2= 0.915. 答案0.915 7.解析(1)设事件A1=“抽到A盒”，事件A,=“抽到B 盒”， 则P(A,)=P(A)=合， B=“随机抽取两个球，颜色相同”， P (BA)= tC-告P(BlA)-tS-告 C 9 由全概率公式得 P(B)=P(A)P(B|A)+P(A,)P(B|A,)=2 所以甲同学在一轮比赛中回答第一类问题的概率为9： (2)由(1)知乙同学在一轮比赛中回答第一类问题的概率 为号，则回答第二类问题的概率为号， 设在一轮比赛中乙同学得分为X,则X的可能取值为0,2,3， 则p(X=0)=音×(1-)+号×(1-2)=· P(X=2)=×-P(X=)=号×=· .5 设二轮比赛后乙得分为Y,则P(Y>4)=P(Y=5)十P Y=6)=子×+×号+×品费 585 所以乙同学二轮比赛后得分高于甲同学的概率为85。 【真题体验】 5000 1.解析A题库占5000+4000+30002 5 4000 1 B题库占5000+4000+3000=3' 3000 C题库占写000+4000+30004' 则所求概率P= ×0.92+号×0.86+×0.72=0.. 答案0.85（或品） A活动”为事件M,“乙选了A活动再选择B活动”为事件N, 53 一种能力。 高二数学（配RJA版） 则P(M)= C =3,P(MN)= C: 5 -是所以P(NIW= P(MN) 10=1 P(M) 3 5 答案 1 【易错警示】 [示例1]A记两个球都是红球为事件A,至少有一个红 C 球为事件B,则(A|B)=P(AB) P(B)CC+CC。6:故 C 选A. [示例2]B令A,=“每天看电子产品时间超过1h的学 生”，A2=“每天看电子产品时间不超过1h的学生”，B= “任意调查一名学生，此人近视”，则2=AUA,且A1, Ag互斥，P(A1)=0.2,P(A)=0.8,P(B|A1)=0.5, P(B)=0.4. 依题意，P(B)=P(A1)P(BA1)+P(A2)P(BA,)=0.2 X0.5十0.8XP(B1A:)=0.4,解得P(B1A)=合，所以 所表概率为骨故选B 作业（七）离散型随机变量及其分布列 【基础诊断】 1.C2.D3.A4.0.2 【综合应用】 1L.D由P(X=n)=(m+1)(m+2)(n=0.,2): 得P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1, 即号+合+号=1，解得a=专故AB正确： P(0≤X<2)=P(X=0)+P(X=1)=号+号=g, 99 故C正确； P(X1)=P(X=1)+P(X=2)=号+号=子，故D 错误.故选D 2.C由题得0.1十m十0.3十0.2=1，则m=0.4, 故P(|2X-3|<3)=P(0<X<3)=P(X=1)+P(X= 2)=0.5.故选C. 3.C由题意得，我们知道所产生的不同得分的情况种数 如下， 首先，我们把中记为A,不中记为B, 情况数为AAAAAAA,此时得分为7+6=13， 情况数为AAAAAAB,此时得分为6+5=11， 情况数为AAAAABA,此时得分为6+4=10， 情况数为AAAAABB,此时得分为5+4=9， 情况数为AAAABAB,此时得分为5十3=8， 情况数为AAAABBB,此时得分为4十3=7， 情况数为AAABABB,此时得分为4十2=6， 情况数为AAABBBB,此时得分为3十2=5， 情况数为AABABBB,此时得分为3十1=4， 情况数为ABABABB,此时得分为3十0=3， 情况数为ABBABBB,此时得分为2十0=2， 情况数为ABBBBBB,此时得分为1十0=1， 情况数为BBBBBBB,此时得分为0十0=O, 其他情况未产生其他得分情况，故省略， 故产生的不同得分的情况种数如下，共13种.故选C. 4.CDX4且甲获得冠军有两种情况：X=3且甲获得冠 军，X=4且甲获得冠军， X=3且甲获得冠军表示甲连胜三场，X=4且甲获得冠 军表示第四场甲获胜且前三场中有两场甲获胜， 所以X≤4且甲旋得冠军的桃奉为P=(侣)+C× ()×号×-，故A错误：