作业(十) 成对数据的统计相关性一元线性回归模型及其应用-【假期作业】2026年高二数学暑假假期作业（人教A版·新教材）

暑假作业积极者相信只有推动自已才能推动世界， 3.CD由题设，均值：=80，方差g2=25,所以标准差为5， 故A错误；P(X>80)=0.5,所以1000×0.5=500（人）， 故B错误；P(65<X≤95)=P(u-3a<X≤u十3a)=0. 9973,则1000×0.9973≈997（人），故C正确； P(70<X≤75)=Pu-2o<X≤+2)-Pu-<X≤+a =0.1359,故D正确.故选CD. 4.BC由题可知X服从超几何分布，且M=4,N=6,n=3, 、PX)k123,易知X的可能取值为1， 2,3,故选项A错误；P(X≥2)=P(X=2)十P (X=3)=CC+二，故选项B正确：由M=4,N=6, =3,结合超几何分布的均值公式可得E(X)=nX4=3 N ×号=2，故选项C正确：由离款型随机变量均值的性质 可得E(2X一1)=2E(X)一1=3，故选项D错误.故 选BC, 5.解析由正态分布的对称性知P(X≥1200)= 71-P(80≤X≤1200)]=专， 则B(50,号)，所以E()=500X号=10， 故答案为100. 答案100 6.解析因为m~N(70,0),且P(m50)=0.2, 所以P(50m90)=1一2P(m50)=1一2×0.2= 0.6, 从该果园中随机选取400个该品种水果，设质量在50g 一90g的水果个数为X, 由题意可知X~B(400,0.6),由二项分布的期望可得E (X)=400X0.6=240. 答案240 7.解析(1)设“顾客享受6折优惠”为事件A,则P(A)= C方心小方小红两人中有一人享受6折优惠的概率 P=cx日×(1-)多 (2)若小勇选择方案一，设付款金颜为X元，则X的可能 取值为360,480,600， 剧P(X=360==5,P(X=480)=CC3 C 5 p(X=600)=CS=1 C 5 1B(X)=360×号+480X号+60×号=480. 若小勇选择方案二，设摸到红球的个数为Y,付款金颜为 Z元，则Z=600-100Y. 由已知可得Y~B(2,号)），故BY)=2X号=1， .∴.E(Z)=E(600-100Y)=600-100E(Y)=600-100= 500. E(X)<E(Z),小勇选择方案一更划算. 【真题体验】 1.B对于A,根据正态分布对称性可知，P(X≤4一σ)=P (X≥4十σ)，A说法正确； 对于B,根据正态分布对称性可知，P(X<1)=P(Y<2) =0.5,B说法错误； 对于C和D,相关系数|r越接近0，相关性越弱，越接近 1,相关性越强，故C和D说法正确.故选B. 2.BC(数形结合法)由题意可知，X~N(1.8,0.1),所 以P(X>2)<P(X>1,8)=0.5,P(X<1.9)≈0.8413，所以 P(X>2)<P(X≥1.9)=1-P(X<1.9)≈1-0.8413= 0.1587<0.2,所以A错误，B正确.因为Y~N(2.1, 0.1),所以P(Y<2.2)≈0.8413，P(Y>2)>P(Y>2.1) =0.5,所以P(2<Y<2.1)=P(2.1<Y<2.2)=P(Y 只要推动自己就能推动世界。 [每日格言] 2.2)-P(Y2.1)≈0.8413-0.5=0.3413，所以P(Y 2)=P(2Y<2.1)+P(Y≥2.1)≈0.3413+0.5=0.841 3>0.8,所以C正确，D错误. 综上，选BC. 【易错警示】 示例1]A因为X~N(500,4),所以=500，o=2, 所以498=-o,504=μ+2o, 故P498<X<50)=Pg-KX<+2a)=合P(g-KX <g+a)+2P(r-2a<X<u+2a)≈0.683,0.954= 2 0.8185,因为0.8185×100=81.85≈82，所以质量在(498， 504)内的袋数约为82.故选A. L示例2][解析](1)对于有放回抽取，每次抽到一等品 的概率为品=号，且各次浅验之同的皓果是独主的，因 此XB(,号)从而PX=0)=(1-号)广=品PX= D=c·号·(1-号)广-器P(X=2)=e(号)广· (-号)=器pX=3)= (号)·(1-号) 625P(X=4)= 96 /2 5) 16 625 所以X的分布列如下 X 0 1 2 3 4 P 81 216 216 96 16 625 625 625 625 625 (2)对于不放回抽取，各次试验结果不独立，X服从超几 何分布，样本中一等品的比例为X,而总体中一等品的比 例为品-04，由题意， ① X-0.4≤0.2>0.8≤X<2.4X=1或X=2g @p(X0.4≤0.2=P(X=1)+p(x=2y CloC+CCo Ci 作业（十）成对数据的统计相关性 一元线性回归模型及其应用 【基础诊断】 1.D2.B3.ABD4.90.5 【综合应用】 1.A由题意得，z=1+3+5+7+9=5, 5 因为点(x,y)在经验回归直线上，得y=1.2×5十2=8， 所以∑y=5y=40.故选A. 2.BCDA选项，y=bz十a可能不经过点(x1·y1),(x2, y),(xyn)中的任何一个，A错误；B选项，回归分析 中，可用决定系数R的值判断模型的拟合效果，R越大， 模型的拟合效果越好，B正确；C选项，由题意得x 1+2+3+4+5=3,y=3+8+10+14+15=10,将(3， 5 10)代入y=3.x+a中，得到10=3×3+a,解得a=1,则 回归方程为y=3x十1，当x=2时，y=3×2十1=7，由残 差公式得残差为8一7=1，故C正确；D选项，y=ce“中， 两边取对数，设之=lny,得=lnc+十kx,所以lnc=4,k= 0.3,所以c,k的值分别是e和0.3，D正确.故选BCD. 3.A由题意可得m=5×2十4=14，即修正前的样本中心 点为(2,14)，假设甲输入的(x1y1)为(3,2)， 则3十xg十x3十…十x,=2X7=14,则x2十x3十…十x2=11, 且2+2十y+…+y=7×14=98,则2十3十…十y=96, 改为正确数据后，则亚=号(2+1)=号=号(3+96) 99 7 [每日格言]好咖啡要和朋友一起品尝，好机会也要 所以修正后的择本中心点为（号，鹘） 将点(9，盟)代入经脸同归方程了=红十7，可得兽=号 质十7，解得=碧 故选A. 4,AD由题意，x三0+20+30+40+50)=30，y三号 (67十74十80十86十93)=80，因为经验回归直线y=bx十 60.8必过点(x,y),即点(30,80)，则80=30i十60.8，解得 6=0.64,即y=0.64x+60.8,故A正确；当x=60时，y =0.64×60+60.8=99.2,故B错误；将加工时间y的5 个观测数据从小到大排列为：67,74,80,86,93，由于5× 60%=3,则60%分位数为80十86=83，故C错误：当x= 2 50时，y=0.64×50+60.8=92.8,则残差为93一92.8= 0.2,故D正确.故选AD. 5.解析依题意，2=10+15+20+25+30=20， 5 y=1+10+8+6+5=8. 5 所以样本中心点坐标为(20,8)，代入经验回归方程y= -0.32x十a得，8=一0.32×20十a,解得a=14.4, 所以经验回归方程为y=一0.32x十14,4， 当x=40时，)=1.6，即当月销售单价为40元/件时，月 销售量约为1.6万件.故答案为1.6. 答案1.6 6.解析x-1+2+3+4+5-3,-17+16+20+18+19-18, 5 所以样本点中心为(3,18)，当经验回归方程经过样本点 中心(3,18)时，残差平方和最小，所以18=3k十16.2， 解得k=0.6.故答案为0.6. 答案0.6 7.解析1)因为=号1+2+3+4+5)=3， 所以2(x,-x)2=(1-3)2+(2-3)+(3-3)2+(4- 3)2+(5-3)2=10, 又2(，-y)2=582,2(x,-x)(y-y)=-76. =1 ∑(x:-x)(y:一y） -76 所以r= 含-)(yy) √10×√582 -0.99, 因为|r非常接近1，所以两变量线性的相关程度很强。 (2)由题z=5(1+2+3+4+5)=3, )=5(66+57+50+41+36)=50,(x,-x)=10, 2(x-x)(-y） 所以6== -76 10 =-7.6 ∑(x,-x) a=y-bx=50-(-7.6)×3=72.8, 所以y关于x的经验回归方程为=一7.6x十72.8， -7.6x+72.8<18,解得x≥9≈7.21 所以该小白鼠至少需要服药8天才能痊愈， 【真题体验】 1.A选项A中的散点有明显的从左下角到右上角沿直线 分布的趋势，且散点集中在一条直线的附近，故选项A中 的线性相关系数最大，故选A, 2.解析(1)这组数据的极差为216.93-206.78=10.15. 中位数为209.35十210.68=210.015. (2)记“从这10个数据中任选3个，恰有2个数据在211 以上”为事件A, 由题可知，这10个数据中在211以上的有4个， 故P(A)=CC=6X63 Ci。 120101 和朋友一起分享。 高二数学（配RJA版） (3)由题可知，x=2006,y=211.399, 代入y=一0.311x+b,得211.399=-0.311×2006+b, 解得6=835.265， 则y=-0.311x+835.265, 将x=2028代入，得y=204.557≈204.56， 故预测2028年冠军队的成簽为204.56秒. 【易错警示】 示例1门D由题得x=子= 7 后，根据公式求得6= 58-6×号×号 13 91-6x()】 号a=y-证=吕-号×名 3 又b=2,a'=-2,所以i<b,a>a',故选D. [示例2]C由变量X与Y相对应的一组数据为(10,1)， (11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5),可得变量Y与X正相 关，所以r1>0 而由变量U与V相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11. 8,3),(12.5,2),(13,1),可知变量V与U负相关，所以r2<0. 因此折1与2的大小关系是r<0<r 作亚（十一）列联表与独立性检验 【基础诊断】 1.C2.C3.B4.74 【综合应用】 1.C因为X≈6.816>6.635=x.01,所以数学成绩优秀与 性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.01，即在犯错误 的概率不超过1%的前提下认为“数学成绩优秀与性别有 关”，故C正确，D错误：若某人数学成绩优秀，由已知数 据不能判断他为男生的概率，故A错误；每100个数学成 绩优秀的人中可能没有女生，也有可能有多名女生，由已 知数据不能确定结论，故B错误；故选C. 2.ABC,尚条#知10+6+c+30=105,19=号，北6+ c=65,10+c=30,所以b=45,c=20,错误，A,甲班人数 为10+b=10+45=55,乙班人数为c+30=20+30=50 <5,正确：B.甲班优秀率为品=异乙班优秀率为器 5号>2，正确.D.X=105X10305X20)9 -≈6.109 55×50×30×75 <6.635,故没有99%的把握认为“成绩与班级有关系”， 错误.故选AB. 3.AC根据分层随机抽样的抽样比可知，样本中男生和女 生人数之比为60：40=3：2，用样本估计总体可知全校 男生和女生人数之比约为3：2，故A正确；样本中男生有 60×0.2=12人手机成瘾，有60一12=48人不成瘾，女生 有40×0.4=16人手机成瘾，有40一16=24人不成瘾，零 假设H。:手机是否成瘾与学生的性别无关，故X= 100×(12×24-16×48)=100≈4.762<6.635=x. 60×40×28×72 21 0.01,根据小概率值a=0.01的独立性检验，没有充分的 证据推断H。不成立，因此可以认为H。成立，即手机是 否成瘾与学生的性别无关，故B错误；结合样本数据以及 等高推积条形图可知，样本的100人中有28人手机成瘾， 所以释本中学生手机成箱的频率为器石，用频率估计 概率可知，从该校学生中随机抽取一名学生，该生手机成 施的概率为石故C正确：根据条件概率可知，在样本中 抽样到一名手机成瘾的学生，该生是男生的概率为 12 3 12十16=号，用样本估计总体可知演校学生中抽样到一 名手机成瘾的学生，该生是男生的概率也为三，故D错 误.故选AC 4.解析设被调查的男女生为5m人，则男生喜欢该APP 有4m人，女生喜欢该APP有3m人， 所以列联表如下：[每日格言]真正的人生，只有在经过艰难卓绝的斗争之后才能实现。 高二数学（配RJA版） 作业（十》 今 月 日 成对数据的统计相关性 台 星期 元线性回归模型及其应用 历 天气 1知识整合 (3)样本相关系数r的取值范围为[一1,1]， 样本相关系数r的绝对值大小可以反映成对 1.相关关系 样本数据之间线性相关的程度： 两个变量有关系，但又没有确切到可由其 ①当|r越接近1时，成对样本数据的线性 中一个去精确地决定另一个的程度，这种 相关程度越强； 关系称为相关关系 ②当|r越接近0时，成对样本数据的线性 2.散点图 相关程度越弱. 将成对样本数据在平面直角坐标系中的对 :5.经验回归方程与最小二乘法 应高，画出来，得到表示两个变量的一组数 (1)经验回归方程 据的统计图，这样的统计图叫做散点图，利 我们将y=bx十a称为Y关于x的经验回 用散点图，可以判断两个变量是否相关，相 归方程，也称经验回归函数或经验回归公 关时是正相关还是负相关， 式，其图形称为经验回归直线，其中 3.正相关和负相关 (x:-x)(y:-y) =1 (1)正相关：从整体上看，当一个变量的值 b= 2(x,-) 增加时，另一个变量的相应值也呈现增加 = 的趋势，我们就称这两个变量正相关， la=y-bx. (2)负相关：从整体上看，当一个变量的值 (2)最小二乘法 增加时，另一个变量的相应值呈现减少的 求经验回归方程的方法叫做最小二乘法， 趋势，则称这两个变量负相关 求得的，a叫做b,a的最小二乘估计。 4.样本相关系数 6.回归分析 (1)样本相关系数的计算公式 (1)残差平方和法 ①残差：对于响应变量Y,通过观测得到的 2(x,-x)(y一y） 1 数据称为观测值，通过经验回归方程得到 (y:-y) 的y称为预测值，观测值减去预测值，称为 x:-nzy 残差，即e=y:-y:=y:-ix:-a(i=1, 2,…,n),称为相应于点(x:y:)的残差； ②残差平方和(y:一)2越小，模型拟合 称r为变量x和变量y的样本相关系数. 效果越好 (2)样本相关系数r是一个描述成对样本 (2)残差图法 数据的数字特征，它的正负性可以反映成 残差点比较均匀地落在水平的带状区域 对数据的变化特征： 内，说明选用的模型比较合适，其中这样的 ①当>0时，称成对样本数据正相关； 带状区域宽度越窄，说明模型的精确度 ②当<0时，称成对样本数据负相关 越高. 29 暑假作业伟大的事业，需要决心、能力、组织和责任感。 [每日格言] (3)利用2刻画回归效果 4.某零售行业为了解宣传对销售额的影响， (y-) 在本市内随机抽取了5个大型零售卖场， 其计算公式为R2=1一 i=1 ,其意 (y.-y) 得到其宣传费用x(单位：万元)和销售额 1=1 义是：R越大，模型的拟合效果越好，R y(单位：万元)的数据如下： 越小，模型的拟合效果越差， x(万元) 6 2基础诊断 y(万元) 45 50 60 65 70 1.已知变量x与y的经验回归方程为y=3x 由统计数据知y与x满足经验回归方程 一1，变量y与之负相关，则 ) =ix十a,其中方=6.5，当宣传费用x= A.x与y负相关，x与x负相关 10时，销售额y的估计值为 B.x与y正相关，x与之正相关 C.x与y负相关，x与之正相关 3综合应用 D.x与y正相关，x与之负相关 1.具有线性相关关系的变量x,y有一组观 2.在下列4组样本数据的散点图中，样本相 关系数最小的是 测数据(xy:)(x:=2i-1,i=1,2,…,5), 25 25 其经验回归方程为y=1.2x十2，则∑y, 20 20 15 15 10 A.40 B.32 0510152025 0510152025 C.8 D.12.8 相关系数1 相关系数2 2.(多选)下列说法中正确的是 25 25· A.如果由一组样本数据(x1,y1),（x2, 20 20…: 15 . 2),…,(xn,yn)得到的经验回归方程 10 10 ·。 5 5 是y=x十a,那么经验回归直线至少 0510152025 0510152025 经过点(x1,y1),(x2,y2),…(xn,yn)中 相关系数3 相关系数 的一个 A.r B.r2 B.在回归分析中，可用决定系数R2的值 C.rs D.r 判断模型的拟合效果，R越大，模型的 3.(多选)下列说法正确的是 ( ) A.将一组数据的每一个数减去同一个数 拟合效果越好 后，新数据的方差与原数据方差相同 C.一组数据(1,3)，(2,8)，(3,10)， B.经验回归直线y=x十a一定过样本点 (4,14),(5,15)的经验回归方程为y= 中心(x,y) 3x+a,则当x=2时，残差为1 C.线性相关系数r越大，两个变量的线性 D.以模型y=cekx去拟合一组数据时，为 相关性越强 D.在残差的散点图中，残差分布的水平带 了求出回归方程，设之=lny,求得线性 状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果 回归方程为之=0.3x十4，则c,k的值分 越好 别是e4和0.3 30 [每日格言]没有人事先了解自己到底有多大的力量，直到他试过以后才知道。 高二数学（配RJA版） 3.某学习小组对一组数据(x,y:)(i=1,2, 6.下表为某商品某年前5个月的平均价格与 3,…,7)进行回归分析，甲同学首先求出经 月份的统计数据： 验回归方程y=5.x十4，样本点的中心为 月份代码x 1 (2,m).乙同学对甲的计算过程进行检查， 平均价格y(元) 1716 20 1819 发现甲将数据(2,3)误输成(3,2)，将这两个 用方程y=kx十16.2拟合上述数据，当残 数据修正后得到经验回归方程y=x十7， 差的平方和达到最小值时，k= 则实数k= 7.新型抗生素是近年来针对耐药菌感染研发 c号 0. 5 的抗菌药物.通过创新机制或结构改良，对 抗传统抗生素难以治疗的超级细菌.实验 4.(多选)某车间为了解加工的零件数x(单 人员用感染肺炎的小白鼠对一种新型抗生 位：个)与加工时间y(单位：min)的关系， 素进行实验，并对使用该种抗生素后，小白 收集到5组观测数据（如下表所示）： 鼠血液中的肺炎链球菌值y(单位：个/μL) 零件数 进行检验，并统计得到了下表： 10 20 30 40 50 x/个 第x天 加工时间 67 74 80 86 93 y/min 肺炎链球菌 66 57 50 41 36 值y(个L) 假设加工时间y与加工的零件数x满足的经 验回归方程为y=6x十60.8，则 并计算得：2(y, y)2=582, A.6=0.64 含(，-700g,-)=-76 B.当x=60时，y的预测值为102 (1)计算变量x和变量y的样本相关系数 C.加工时间y的5个观测数据的60%分 r,并说明两变量线性的相关程度（结果保 位数为80 留两位小数)； D.当加工的零件数x=50时，加工时间y (2)若小白鼠血液中的肺炎链球菌值在区 的残差为0.2 间(0,18)内，则说明肺炎已治愈，用最小二 5.某公司为了了解某商品的月销售量y(单 乘法求y关于x的经验回归方程y=bx十a, 位：万件)与月销售单价x(单位：元/件)之 并预测该小白鼠至少需要服药多少天才能 间的关系，随机统计了5个月的销售量与 痊愈 销售单价，并制作了如下对照表： 参考数据及公式：样本数据(x,y:)(i=1, 2,…,n)的相关系数 月销售单价x(元/件) 10 15 20 25 30 月销售量y(万件) 10 2(x,-x)(y:一y) 其回归直线 由表中数据可得经验回归方程y=x+a 中=一0.32，试预测当月销售单价为 y=bx十a的斜率和截距的最小二乘估计 40元/件时，月销售量为 万件 值分别为： 31 暑假作业若不给自己设限，则人生中就没有限制你发挥的藩篱。 [每日格言] 2(x,-x)(y- 2006,预测2028年冠军队的成绩（精确到 6= -,a=y-x,10≈ 0.01秒). 2(x,-x)2 3.2,w582≈24.1. 5易错警示 易错一 求线性相关方程计算错误 [示例1]已知x与y之间的几组数据如 下表： 6 3 4 4真题体验 假设根据上表数据所得经验回归方程为 1.(2024·天津卷)下列图中，线性相关系数 y=ix十a,若某同学根据上表中的前两组 最大的是 数据(1,0)和(2,2)，求得的直线方程为 y=b'x十a',则以下结论正确的是( A.b>b,a>a B.b>b';a<a C.b<b:a<a D.b<6';a>a' [名师叮嘱]给出一组具体数据求其经验回归 B 方程时，由于经验回归直线的方程是y=x十a,其 Y xy:-nzy 中b=4 =1 a=y-bx,计算量较大，因此计 2xi-nx = 算要细心，公式使用要准确，要特别注意经验回归 D 直线一定过点(x,y)的应用。 2.(2025·上海卷)2024年巴黎奥运会，中国 易错二线性相关系数理解不正确致误 获得了男子4×100米混合泳接力金牌，以 [示例2]变量X与Y相对应的一组数据 下是历届奥运会男子4×100米混合泳接 为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)， 力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照 (13,5);变量U与V相对应的一组数据为 (10,5),(11.3,4),(11.8,3),(12.5,2), 升序排列. (13,1),r表示变量Y与X之间的线性相关 206.78207.46207.95209.34209.35 系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系 210.68213.73214.84216.93216.93 数，则 ) (1)求这组数据的极差与中位数； A.r2<r1<0 B.0<r2<r1 C.r2<0<r D.r2=r (2)从这10个数据中任选3个，求恰有2 [名师叮嘱]给出一组数据，判断该组数据的线 个数据在211以上的概率； 性相关系数的符号，可根据该组数据变量之间的 (3)若比赛成绩y关于年份x的回归方程 正、负相关关系进行判断，若是正相关，则相关系数 为y=一0.311x十b,年份x的平均数为 大于0；若是负相关，则相关系数小于0. 32