作业(五) 二项式定理-【假期作业】2026年高二数学暑假假期作业（人教A版·新教材）

[每日格言]只有一条路不能选择一那就是放弃的路；只有 解法二（图象法）由1一Ina一a<0 (a>0),得lna>-a2+1(a>0).如 y=Ina 图为函数y=lna与y=一a°+1在 区间(0，十○)上的大致图象， 由图易知当a>1时，lna>一a+1, 即1-lna-a<0. 'y=-a2+1(a>0) 所以实数a的取值范围为(1，十∞). 【易错警示】 [示例1]Cf(z)的定义域为(0，十∞)，f(x)=4x- x' 令f(z)=0,易得x=子.故选C [示例2[解析]f'(x)=3.x2一6x十n. 根据题意，f(一1)=3十6m十n=0, f(-1)=-1-3m-n+m2=0, 解得W3或m之当”意 n=9. n=3 广(x)=3.x2+6x+3=3(x+1)≥0，f(x)在R上单调递 增，无极值点，故舍去.当m二。一2时，()=3x2+12x n=9 +9=3(x十1)(x十3).当x∈（一©∞，一3）和x∈(-1，十 o)时，f(x)>0,f(x)单调递增；当x∈(-3，一1)时， f(x)<0,f(x)单调递减，故f(x)在x=一1处有极小 值，满足条件。 综上，m十n=一2十9=7. [答案]7 作业（四）两个计数原理排列与组合 【基础诊断】 1.BCD2.B3.C4.30 【综合应用】 1.B先考虑6号，有3种颜色可选，则剩下的1至5号有2 种颜色可选，7,8号也有2种颜色可选，所以一共有3×2 ×2=12种灯光组合，故选B. 2.AC对于A,4个人分别从3个景点中选择一处游览，每 个人有3种选择，故共有3=81种选法，故A正确；对于 B,从5名员工中选出经理、副经理各1名，共有A=20 种方法，故B错误；对于C,要从4名男生和6名女生中选 取5名志愿者，志愿者中至少有3名男生包括3名男生或 4名男生两种情况，故共有选法数为CC十CC=60十 6=66种，故C正确：对于D,先确定千位数字，有3种方 法，再考虑其他三个数位，有A种方法，故没有重复数字 的四位数共有3A=18个，故D错误.故选AC. 3.C第一步，先分组，分为一组2人，另一组4人，有CC =8种：分为每组各3人，有CC=6种，分组方法共有14 A 种，第二步，将两组志愿者分配到两个服务站共有A=2 种.所以，总的分配方案有14×2=28种.故选C 4.C当甲去B学校时，若从乙、丙中选1人去B学校，有 C种方法，剩下4人去A,C两个学校，有C种方法，共 有CC=12种方法；若从丁、戊、己中选1人去B学校， 有C种方法，乙、丙去A,C两个学校，有A。种方法，余下 2人去A,C两个学校，也有A种方法，共有C3A2A= 12种方法.所以甲去B学校共有12十12=24种方法.同 理，甲去C学校也有24种方法.故不同的安排方法有24 十24=48种.故选C. 5.ACDA对，由排列知识可得共有A=120种排列方式， B错，将两个“车”捆绑作为一个元素，有A=2种排列方 式，再和剩余的3个棋子进行全排列，故共有2A=48种排 列方式.C对，两个“马”不相邻，先将剩余的3个棋子进行 全排列，产生4个空，再将两个“马”插空，故共有AA= 72种排列方式.D对，将2个黑色的棋子进行全排列，产生3 个空，再将3个红色的棋子进行插空，故共有AA=12种 排列方式.故选ACD. 6.解析由题意可将5名大学生分为1人、2人、2人三组， 共有C·CS·C=15种分法， A 条路不能拒绝一那就是成长的路。高二数学（配RJA版） 若学生A不选择葡萄牙语，则学生A所在的组有2种选 择，剩下的2组全排列，有2A=4种排法， 故所有不同的学习方案种数为15×4=60 答案60 7.解析(1)若三科竞赛均有2人报名参加，则报名方法有 CCC=90种 (2)若4人报名参加数学竞赛，另外两科竞赛各1人报名 参加，则报名方法有C:A=30种 (3)由题可得报名人数的分配方案可以是1,2,3或1,1,4 或2,2,2. 若三科竞赛的报名人数为1,2,3，则报名方法有 CCCA=360种； 若三科竞赛的报名人数为1,1,4，则报名方法有CA 90种： 若三科竞赛的报名人数为2,2,2，则报名方法有CCC =90种. 所以三科竞赛均有人报名参加，报名方法共有360十90十 90=540种」 【真题体验】 1.D 2.解析先选两位家长排在首尾有A=12种排法；再排队 中的四人有A=24种排法，故有12×24=288种排法. 故答案为288」 答案288 3.解析(1)当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共 有CC=16种； (2)当从8门课中选修3门， ①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有CC 24种：②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有 CC=24种：综上所述，不同的选课方案共有16十24十 24=64种. 故答案为64. 答案64 【易错警示】 示例1][解析]设既能当车工又能当钳工的2名工人 为A,B.A,B都不在内的选派方法有CC=5种；A,B 都在内且当钳工的选派方法有CCC=10种；A,B都在 内且当车工的选派方法有CCC=30种；A,B都在内， 且一人当钳工，另一人当车工的选派方法有ACC=80 种；A,B有一人在内且当钳工的选派方法有CCC=20 种；AB有一人在内且当车工的选派方法有CCC=40 种.所以不同的选派方法共有5十10+30+80+20十40= 185种. [答案]185 [示例2][解析]解法一（特殊元素优先法）丙、丁相邻 且顺序固定，故将其视为1个元素，记为丙丁，则6项工程 可视为5个元素.分成两步来完成：第一步，从5个位置中 选择3个位置排列甲、乙、丙丁这3个特殊元素，又甲、乙、 丙、丁的相对顺序固定，故不同的排法有C=10种：第二 步，将余下的2项工程任意排列到剩下的2个空位置上， 不同的排法有A=2种.由分步乘法计数原理，可知共有 10×2=20种不同排法. 解法二（插空法）分成两步来完成：第一步，将相对顺序 固定的甲、乙、丙、丁排列好，丙、丁相邻且顺序固定，从而 形成3个特殊元素（丙、丁视为1个元素），共有1种排法： 第二步，将余下的2项工程逐个插入3个特殊元素所形成 的空隙中，共有CC=20种排法.根据分步乘法计数原 理，安排这6项工程共有1×20=20种不同排法. [答案]20 作业（五）二项式定理 【基础诊断】 1.D 2.AC 3.84.604 【综合应用】 1.C 42 一x）的展开式中，所有二项式系数之和为2” =32,解得n=5. 暑假作业当一个人先从自己的内心开始奋斗，他 (层)的二项展开式的适项为T=心（层） (-x)=C2-(-1)2学. 当565=0时，即=1时，该项为常数项，T,=C·2· 2 (-1)=-80.故选C. 2.A(x2十2x一1)表示5个(x2十2x一1)相乘，每个 (x2十2x一1)在相乘时均有三种选择，选x或2x或一1. 设选x2的有a个，选2x的有b个，那么选一1的有(5一a 一b)个， 则有20+6-5解得89支g支6： 即选5个2x;或者选1个x、3个2x、1个一1；或者选2 个x、1个2x、2个-1； 因此含x项的系数为C·2十C·C2·(一1)+C· C·2·(-1)2=-68.故选A, 3.ADT+1=C。(-1)x10y,当k=2时，T,= C。x8y2,系数为45，故A正确； 由组合数性质可知，中间项系数C。最大， .展开式中二项式系数最大的项是第6项，故B错误； 令x=1,y=1,得展开式中各项系数之和为(1-1)1“=0， 故C错误； 当为奇数时，系数为负数，当为偶数时，系数为正数， ∴.当k=4或k=6时，系数最大，D正确.故选AD 4.AD对(1-x)有T+1=C(-x)=(-1)Cx,则 a2=T3=(一1)C=15,故A正确； 令x=0,有a。=1,令x=1,则有a十a1十a2十…十a6= (1-1)5=0,故a1十a2十a十…十a6=0-1=-1,故B 错误； 令x=一1，则有a6一a1十a2一…十a6=(1十1)=64， 故a。十ag十a:十a6 =(a十a十a:十a+…十a)+(a,-a十ag-…+as) 22 -壁-32，故C错误； 令f(x)=(1-x)=a+a1x十a2x2十…+a6x,则 (x)=-6(1-x)i=a1+2a2x+…+6a6x, 则f(1)=-6(1-1)=a1+2a2+…+6a6=0,故D正 确.故选AD. 5.解析因为(1十x)”的展开式通项为T+1=C·x(0≤ kn,k∈N), 由题意可知在(x+1)'+(x十1)=(1十x)十(1+x)展 开式中，含有x2项的系数为C十C=6十10=16. 答案16 6.解析根据二项式定理，(2x一1)i=C(2x)(-1)°+C (2x)(-1)+C(2.x)3(-1)+C(2x)2(-1)3+C (2.x)'(-1)+C(2x)°(-1)=32.x-80.x+80.x3 40x2十10x-1,所以x2项的系数为10a一80=一50，解得 a=3. 答案3 7.解析(1)因为f(x)=(1+x)”, 所以f221(x)=(1十x)221, 又f:21(x）=a,十a1x十…+a2g1x2o21， 所以f221(1)=a0十a1十…十a221=22o21,① f:o21（-1）=a。-a1+…十a2020-a2021=0,② 0-②，得2(a1十a十+aow十a21)=21, 所以a1十a3十…十a21e十a221=22o20. (2)因为g(x)=f(x)+2f,(x)+3f(x), 所以g(x)=(1+x)+2(1+x)+3(1+x)8, g(x)中含x5项的系数为1+2×C+3C=99. 【真题体验】 1.解析(x一1)展开式的通项公式为T,+1=Cx·(-1), 当r=3时，T,=Cx3·(-1)3=-20x3, 即(x-1)展开式中x3的系数为-20. 故答案为一20. 就是个有价值的人。 [每日格言] 答案一20 2.解析由通项公式T,+1=C5·2-·x-r·(一1)”= C·(-1)·2-'x-,令5-r=3,得r=2, 可得x3项的系数为C·(-1)2·2-2=80. 故答案为80. 答案80 3.解析令x=0,则a=1, 又(1-2x)‘=a0-2a1x+4a2x2-8a3x3+16a4x, 故(1-2x)'=a。+a1(-2x)+a2(-2x)2+a3(-2.x)3+ a:(-2x)‘, 令t=-2x,则(1十t)'=ao十a1t十agt十a3t十aut°， 令t=1,则a十1十ay十a3十a=2,故a1十a十a3十a:=15. 故答案为：1,15. 答案115 【易错警示】 [示例】C由二项式定理可得(x-1） 的展开式 x√x 1 的通项为T+1=C(x)-（一 )=C(-1. 2”(=01,23,45).令30-2k=0,得灰=4，所以 二项式(x-1 的展开式的第4十1=5项为常数 项，故选C, [示例2]AB对于A,所有项的二项式系数和为2？= 128,故A正确：对于B,令x=1,得(2一1)=1，即所有项 的系数和为1，故B正确：对于C,二项式系数最大的项为 第4项和第5项，故C错误；对于D,展开式的通项为 ,=c2)(左 1 ）=C(-1)21-x3警，k=0,1, 2,…,7,显然当k=0,2,4,6时为有理项，所以有理项有4 项，故D错误.故选AB 作业（六）条件概率与全概率公式 【基础诊断】 1.A2.D3.C4.22i7 1 1 【综合应用】 1.B设事件M为“从箱子中任取两球均为红色”，事件V 为“从箱子中任取两球至少有一球为红色”，则由题意知， P(M)= P(N)-CC+C-17 1 45 所东桃奉为PMN)=-=立故选B 2.C设A:为“第i次按对密码”(i=1,2),则事件A“不超 过2次就按对”可表示为A=A,U(AA,), 记“密码的最后一位数字是奇数”为事件B, 由条件概率的性质可得 PAB)=PAB)+P(AA:B)=吉+号.故 选C. 3.A 由P(A)=子，放P()=1-子=子，则有 1 P(A)P(B)=P(BA)=8. 3 故A与B相互独立，故A与B相互独立，故A正确； P(A+B)=PA)+PB)-P(AB)=子-PAB)≤是 故B错误； P(AB)=PAB)=2P(AB,由于P(AB)未定，故C P (B) 错误； A)+P(B)=2十 +】=3≠1，故A与B不是对立事 件，故D错误.故选A. 4.ABD对于A,因为甲罐中只有红球和白球，即A,∩A, =☑，A1UA,=2,所以A1,A,为对立事件，故A正确：对 于B,当A1发生时，乙罐中有3个红球，8个白球，此时P (BA)=寻，故B正确：对于C,当A发生时，乙罐中有[每日格言]成功呈概率分布，关健是你能不能坚持到 作业（五） 二项式定理 1知识整合 1.正确理解二项式定理 (1)系数 二项式系数C与展开式中对应项的系数 不一定相等，二项式系数一定为正整数，而 项的系数有时可能为负数. (2)通项 通项T+1=Ca”-b是(a十b)”的展开式 的第k十1项，这里k=0,1,…,n.它反映 出展开式在指数、项数、系数等方面的内在 联系，因此能运用二项展开式的通项公式 求特定项、待定项系数， (3)二项式定理是一恒等式 对任意的a,b,该等式均成立，通过对a,b 取不同的特值，常可得到一些给解决某些 问题带来方便的特殊等式 2.(a十b)”的展开式的结构特征 (1)它有n十1项 (2)各项的次数都等于二项式的次数n. (3)字母a按降幂排列，次数由n递减到0； 字母b按升幂排列，次数由0递增到n (4)二项展开式中，系数C(k=0,1,2,…,n) 叫做（第(k十1）项的)二项式系数，它们依 次为C%,Cn,C,…,C.这是一组仅与二项 式的次数n有关的(n+1)个组合数，而与 a,b无关 3.二项式系数的性质 在(a十b)”展开式中，与首末两端“等 对称性 距离”的两个二项式系数相等，即 Cm=C”-m 战功开始呈现的那一刻。 高二数学（配RJA版） 今 月 日 星期 历 天气 续表 塔减性：当k<”1时，二项式系数 是逐渐塔大的：当k>”十1时，二项 2 塔减性 式系数是逐渐减小的. 与最大值最大值：当n为偶数时，中间一项的 二项式系数C最大；当n为奇数时， 中间两项的二项式系数C导，C学相 等，且同时取得最大值 各二项 ①C9+C十C2+…十C”=2"; 式系数 ②C+C2+C4+…=C+C+C十 的和 …=20-1 2基础诊断 1.(教材改编)(3x3+ 展开式中的常数 项是 ( A.189 B.63 C.42 D.21 2.(多选)(3x- 1 的展开式中，下列说法 正确的是 ( ) A.所有项系数和为64 B.常数项为第4项 C.整式共有3项 D.x3项的系数为-81 3.在(2一x)(x+1)4的展开式中，x2项的系 数为 4.二项式2-》 的展开式中，常数项是 ,有理项的个数为 3综合应用 1.若号-） 的展开式中，所有二项式系 数之和为32，则该展开式中的常数项为 暑假作业读书之法，在循序而浙进，熟读 A.-48 B.48 C.-80 D.80 2.展开式(x2+2x一1)5中x5的系数为 ( A.-68 B.-80 C.160 D.80 3.(多选)已知二项式(x-)”,则 () A.展开式中x3y2的系数为45 B.展开式中二项式系数最大的项是第 5项 C.展开式中各项系数之和为1 D.展开式中系数最大的项是第5项或第 7项 4.（多选)已知(1-x)5=a十a1x十a2x2+…十 a6x,则下列结论正确的是 A.a2=15 B.a1十a2十a3+…十a6=0 C.a0+a2+a4+a6=64 D.a1+2a2+3a3+…+6a6=0 5.在(x+1)4+(x十1)5展开式中，含有x2 项的系数为 .(结果用数值表示) 6.若(ax+2)(2x-1)5的展开式中，x2的系 数为一50，则a= 7.已知fn(x)=(1十x)”, (1)若f2e1(x)=a十a1x十…十a221x221,求 a1十a3十…十a2o19十a2o21的值； (2)若g(x)=f6(x)+2f,(x)+3f8(x), 求g(x)中含x项的系数， 精思。 [每日格言] 4真题体验 1.(2025·天津卷)在(x一1)6的展开式中， x3项的系数为 2.(2025·上海卷)在二项式(2x-1)5的展 开式中，x3的系数为 3.(2025·北京卷)已知(1一2x)4=a0-2a1x +4a2x2-8a3x3+16a4x,则a= a1十a2十a3十a4= 5易错警示 易错一 未能正确理解二项展开式的项与 项数致误 [示例1] 二项式(x6 的展开式 中为常数项的是 A.第3项 B.第4项 C.第5项 D.第6项 [名师叮嘱] 此类题易将“T6+1=Ca”b”与 “展开式中的第k项”相混淆.T+1=Ca”*b是指 展开式中的第k十1项，而展开式中的第k项的表 达式是T6=C-1a”-+1b-1」 易错二 混淆二项展开式中项的系数与二 项式系数 [示例2]（多选)在（2x 的展开式 中，下列说法正确的是 A.所有项的二项式系数和为128 B.所有项的系数和为1 C.二项式系数最大的项为第4项 D.有理项共3项 [名师叮嘱]二项展开式中的二项式系数与项 的系数是两个不同的概念，前者指C,而后者指该 项除字母外的部分.