作业(九) 超几何分布正态分布-【假期作业】2026年高二数学暑假假期作业（人教A版·新教材）

[每日格言]再长的路，一步步也能走完，再短的路， 作业（九》 超儿何分布 正态分才 1知识整合 1.超几何分布 (1)超几何分布的定义：一般地，假设一批 产品共有N件，其中有M件次品.从N件 产品中随机抽取n件（不放回），用X表示 抽取的n件产品中的次品数，则X的分布 列为P(X=)-CC,k=m,m十1， C m+2,…,r.其中n,N,M∈N*,M≤N, n≤N,则m=max{0,n-N+M},r= min{n,M}.如果随机变量X的分布列具 有上式的形式，那么称随机变量X服从超 几何分布. (2)超几何分布的均值：设随机变量X服 从超几何分布，则X可以解释为从包含 M件次品的V件产品中，不放回地随机抽 取n件产品的次品数.令D=,则E(X) nM=nP. 2.二项分布与超几何分布的区别与联系 (1)区别：由古典概型得出超几何分布，由 伯努利试验得出二项分布，在产品抽样检 测中，如果采用有放回抽样，则次品数服从 二项分布，如果采用不放回抽样，则次品数 服从超几何分布 (2)联系：当产品总数很大而抽样数不太大 时，不放回抽样可以认为是有放回抽样，计 算超几何分布时可以用二项分布来代替. 3.正态曲线和正态分布 () (1)正态曲线：函数f(x)=一 e √2元 x∈R,其中∈R,o>0为参数，称为正态 —25 不迈开双脚也无法到达。 高二数学（配RJA版） 今 月 日 台 星期 天气 密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简 称正态曲线 (2)正态分布：若随机变量X的概率分布 密度函数为f(x),则称随机变量X服从 正态分布，记为X~N(,o2),特别地，当 =0,6=1时，称随机变量X服从标准正 态分布 (3)正态曲线的特点 ①正态曲线是单峰的，它关于直线x=以 对称； ②正态曲线在x=μ处达到峰值1 G√2元 ③正态曲线与x轴之间的区域的面积 为1； ④当|x|无限增大时，正态曲线无限接近 x轴 (4)参数：和。对正态曲线形状的影响 ①当。一定时，正态曲线的位置由μ确定， 正态曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如 图(1)； ②当4一定时，正态曲线的形状可确定.当 σ较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，表示 随机变量X的分布比较集中；当σ较大 时，峰值低，正态曲线“矮胖”，表示随机变 量X的分布比较分散.如图(2) r=0.5 =2 -2-0123 -3-2-10123x 图(1) 图(2) 暑假作业海不辞水，故能成其大；山不辞土石， 4.正态分布的均值与方差 若X~N(μ，o2),则E(X)=,D(X)=o2. 5.3o原则 (1)P(u-o≤X≤+o)≈0.6827. (2)P(4-2o≤X≤4+2o)≈0.9545. (3)P(μ-3o≤X≤μ+3o)≈0.9973. 在实际应用中，通常认为服从于正态分布 N(,o2)的随机变量X只取[一3o,μ+ 3σ]中的值，这在统计学中称为3。原则. 2基础诊断 1.如图是正态分布V(,o),V(,o),N(,o) (o1,02,03>0)对应的曲线，则01,02,03的大 小关系是 A.01>02>03 B.03>02>01 C.01>03>02 D.02>61>09 2.一批零件共有10个，其中有3个不合格， 随机抽取3个零件进行检测，恰好有1件 不合格的概率是 () 曾 gC号 B. C.Cic 3Co D. Cio 3.已知随机变量X~V(,9),若P(X<1一 a)=P(X>7+a)(a∈R),则 A.E(X)=3,D(X)=3 B.E(X)=4,D(X)=3 C.E(X)=3,D(X)=9 D.E(X)=4,D(X)=9 数能成其高！ [每日格言] 4.从一批含有13件正品、2件次品的产品 中，不放回地任取3件，则取得次品数为1 的概率为 (结果用最简分数 表示) 3综合应用 1.一个袋子中装有除颜色外完全相同的6个 红球和4个白球，从中一次性随机摸出3 个球，用X表示这3个球中白球的个数， 则下列概率中等于CC的是 ( A.P(X=1) B.P(X≤1) C.P(X≥1) D.P(X=3) 2.已知随机变量X~N(2,62),且P(X<0)= 0.3,则P(0<X<4)的值为 A.0.2 B.0.4 C.0.7 D.0.35 3.(多选)某校高三年级选考生物科的学生共 1000名，现将他们该科的一次考试分数转 换为等级分，已知等级分X的分数转换区间 为[30,100]，若等级分X~N(80,25),则 ( 参考数据：P(μ一o<X≤u十o)=0.6827; P(4-2o<X≤μ+2o)=0.9545;P(4-3o< X≤+3o)=0.9973. A.这次考试等级分的标准差为25 B.这次考试等级分超过80分的约有 450人 C.这次考试等级分在[65,95]内的人数约 为997 D.P(70<X≤75)=0.1359 4.(多选)一个口袋中有大小相同的2个白球 和4个黑球，从中随机取出3个球，记取出 的黑球个数为X,则下列结论正确的是 [每日格言]坚强的信心，能使平凡的人做出惊人的事 A.X的可能取值为0,1,2,3 B.P(X≥2)= C C.E(X)=2 D.E(2X-1)=4 5.节约能源是人类面临的重大课题，为了更 好地配置电力资源，某市电力部门调查了 一年的居民用电量，发现每户居民该年用 电量X(单位：千瓦时)服从正态分布 N100d).且P800≤X≤120)=g, 在该市随机抽取500户居民，设这500户 居民中该年用电量超过1200千瓦时的户 数为，则E()= 6.某果园中某品种水果的单果质量m(单位：g) 服从正态分布N(70,o2),且P(m<50)= 0.2,若从该果园中随机选取400个该品种 水果，则质量在50g~90g的水果个数的 期望为 7.某商场举行有奖促销活动，凡10月13日 当天消费超过400元（含400元）的顾客均 可抽奖一次，抽奖箱里有6个除颜色外完 全相同的小球（其中红球有3个，白球有3 个)，抽奖方案有两种，顾客可自行选择其 中的一种方案.方案一：从抽奖箱中一次性 摸出2个球，若摸出2个红球，则打6折； 若摸出1个红球，则打8折；若没有摸出红 球，则不打折 方案二：从抽奖箱中有放回地每次摸取 1个球，连摸2次，每摸到1次红球，立减 100元， (1)若小方、小红各消费了400元，且均选 择方案一，试求他们中有一人享受6折优 惠的概率； 高二数学（配RJA版） (2)若小勇消费恰好满600元，试比较说明 小勇选择哪种方案更划算. 4真题体验 1.(2025·天津卷)已知r为相关系数，则下 列说法中错误的是 () A.若X~N(,o2),则P(X≤一o)= P(X≥十o) B.若XV(1,2),YN(2,2),则P(X <1)<P(Y<2) C.|r越接近1，相关性越强 D.|r越接近0，相关性越弱 2.（多选)(2024·新课标I卷)随着“一带一 路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并 举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩 收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样 本，得到推动出口后亩收入的样本均值 x=2.1,样本方差s2=0.01.已知该种植 暑假作业每一个成功者都有一个开始。勇于开始 区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8, 0.1),假设推动出口后的亩收入Y服从正 态分布N(x,s2),则（若随机变量Z服从正 态分布N(,o),则P(Z<十o)≈ 0.8413) A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5 C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8 5易错警示 易错一对正态曲线的特点理解不准确 致误 [示例1]某袋装加碘食盐的质量X(单位： 克)服从正态分布V(500,4),某超市在进货 前要在厂家随机抽检这种食盐100袋，则质 量在(498,504)内的袋数约为 ) 附：若X~N(4,o2),则P(4-o<X< 十o)≈0.683，P(4一2o<X<u+2o)≈ 0.954. A.82 B.80 C.84 D.86 [名师叮嘱]在解决与正态分布有关的问题时， 要熟记正态曲线的特点，准确应用其特点解题，同 时注意分析题目中的条件，在本题中对于X~N (500,4),易错将4作为标准差，而事实上4为 方差」 易错二混淆二项分布与超几何分布致误 [示例2]一机床生产了100个汽车零 件，其中有40个一等品、50个合格品、 10个次品，从中随机地抽出4个零件作为 样本，用X表示样本中一等品的个数， 2 才能找到成功的路。 [每日格言] (1)若有放回地抽取，求X的分布列； (2)若不放回地抽取，用样本中一等品的比 例去估计总体中一等品的比例. ①求误差不超过0.2的X的值； ②求误差不超过0.2的概率（结果不用计 算，用式子表示即可). [名师叮嘱]超几何分布的抽取是不放回抽取， 各次抽取不独立，二项分布的抽取是有放回抽取， 各次抽取相互独立，当超几何分布所对应的总体数 量很大时可以近似地看作二项分布.[每日格言]生命之灯因热情而点燃，生命之舟因拼 E(2X-1)=2E(X)-1=2×4 -1= 之，故B不 正确； D(x)=(0-)×+(1-)×-品故C 正确： D(4X+1)=4D(X)=16×音=3，故D正确.故 选ACD. 4,ABC易知X=2表示第一次取到红球，第二次取到白 3n 7 球，所以P(X=2)=m+3m十2=30又n为正整数， 所以n=7. X的可能取值为1,2,3,4， PX=D=0P(X=2)=0P(X=3)= 7 3X2×7 10×9×8 3×2×1×71 20P(X=4)0X9x8x7i207 所以E(X)=1X品+2×品+3X0+4X0-吕， 111 所以D(X)=(1-君)×品+(2-号)× 、7 5.解析由题意，得0.1十m十02+n=1·解得m=0.25, ln-m=0.2, n=0.45, 所以E(X)=0×0.1+1×0.25+2×0.2+3×0.45=2, 所以E(3X+2)=3E(X)+2=3×2+2=8. 故答案为8. 答案8 6.解析命题可以转化为：即使某一队获胜三场，也照常进 行后续的场次，直至五场全部结束，最后获胜场次数多的 队获胜.二者等效（区别仅在于胜负已定后，后续场次是 否真正进行) 此时，甲队获胜的概率即为甲队获胜场数不小于3的概 率，即（号）'+Cx(号)广×号+C×(号)广×（号）】 32+5×16+10×819264 243 24387 答案 7.解析(1)设甲烧制的3个青花瓷中成品的个数为Y,则 Y2的对立事件为Y=3, PY=3)=(号)'= PY<2)=1-PY=3)=1-高=器 (2)乙烧制的这3个青花瓷中成品的个数为X,乙烧制 青花瓷的成品率为0， XB(3) X的可能取值为0,1,2,3， PX=o)=C·(品)'·（品） -1X1X9 729 0=1000 92 PX=2)=·()广·（品） 8品 9 27 0-10001 px=3=C(品广·()》 =1×1 ×1=10001 X的分布列为： X 2 729 243 27 1 P 1000 1000 1000 1000 X的期望E(X)=np=3×0=0 1 3 55 缚而前行。 高二数学（配RJA版） 【真题体验】 1.解析由题设有E(X)=5×0.2+6×0.3+7×0.5=1+ 1.8+3.5=6.3.故答案为6.3. 答案6.3 2.解析小桐一周跑11圈的概率P=0.5×0.6十0.5×0.6= 0.6.小桐一周运动量达标的概率p=1一0.5×0.4=0.8， 显然X服从二项分布B(4,0.8),故E(X)=4×0.8=3.2. 答案0.63.2 3.解析(1)记“第i次投篮的人是甲”为事件A:,“第i次投 篮的人是乙”为事件B:, 所以，P(B,)=P(AB)+P(B1B,)=P(A1)· P(BA)+P(B)P(B,B) =0.5×(1-0.6)+0.5×0.8=0.6. (2)设P(A:)=:,依题可知，P(B:)=1一p:,则 P(A+1)=P(AA+1)+P(BA+1)=P(A,)· P(A+A:)+P(B)P (A+B), 即p+1=0.6p:+(1-0.8)×(1-p:)=0.4p:+0.2, 构造等比数列{：十入}， 设A,+以=号(A+):解得X=一子则1一子 首项为。公比为号的等比教列， 子合×（得）×（号）'+ 即:一3 (3)因为A=×（号）+=1,2…，m 所以当n∈N"时，E(Y)=p1十p2十…十pm= 1 6 1-(号) 1- 号--()门+ 故)=[1-（号）']+子 【易错警示】 [示例1][解析]因为E(X)=(-2)×0.1+(-1)× 0.2+0×0.4+1×0.1+2×0.2=0.1, 所以E(Y)=E(3X+1)=3E(X)+1=1.3. 又因为D(X)=(-2-0.1)2×0.1+(-1-0.1)2× 0.2+(0-0.1)2×0.4+(1-0.1)2×0.1+(2-0.1)2× 0.2=1.49, 所以D(Y)=D(3X+1)=9D(X)=13.41. [答案]1.313.41 [示例2]B①满足独立重复试验的条件，是二项分布：② 的取值是1,2,3，…，n,P(G=)=0.9×0.1-1(k=1,2, 3,…,),显然不符合二项分布的定义，因此专不服从二项 分布：③虽然是有放回地摸球，但随机变量：的定义是直 到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后 一次是白球，不符合二项分布的定义；④次试验是不独 立的，因此不服从二项分布，故选B. 作业（九）超几何分布正态分布 【基础诊断】 1.A2.B3.D4号 【综合应用】 1.C一个袋子中装有除颜色外完全相同的6个红球和4 个白球，从中一次性随机摸出3个球，则C。表示从这10 个球中随机摸3个球，C表示从6个红球中摸出3个球， 则C。一C表示从这10个球中随机摸3个球，至少有1 个白球的摸法种数，所以CC心=P(X心1).故选C. Ci。 2.B由题设P(X<2)=0.5,且P(X<0)=0.3, 则P(0<X<2)=0.2,由正态分布曲线关于X=2对称， 则P(0<X<4)=0.4.故选B. 暑假作业积极者相信只有推动自已才能推动世界， 3.CD由题设，均值：=80，方差g2=25,所以标准差为5， 故A错误；P(X>80)=0.5,所以1000×0.5=500（人）， 故B错误；P(65<X≤95)=P(u-3a<X≤u十3a)=0. 9973,则1000×0.9973≈997（人），故C正确； P(70<X≤75)=Pu-2o<X≤+2)-Pu-<X≤+a =0.1359,故D正确.故选CD. 4.BC由题可知X服从超几何分布，且M=4,N=6,n=3, 、PX)k123,易知X的可能取值为1， 2,3,故选项A错误；P(X≥2)=P(X=2)十P (X=3)=CC+二，故选项B正确：由M=4,N=6, =3,结合超几何分布的均值公式可得E(X)=nX4=3 N ×号=2，故选项C正确：由离款型随机变量均值的性质 可得E(2X一1)=2E(X)一1=3，故选项D错误.故 选BC, 5.解析由正态分布的对称性知P(X≥1200)= 71-P(80≤X≤1200)]=专， 则B(50,号)，所以E()=500X号=10， 故答案为100. 答案100 6.解析因为m~N(70,0),且P(m50)=0.2, 所以P(50m90)=1一2P(m50)=1一2×0.2= 0.6, 从该果园中随机选取400个该品种水果，设质量在50g 一90g的水果个数为X, 由题意可知X~B(400,0.6),由二项分布的期望可得E (X)=400X0.6=240. 答案240 7.解析(1)设“顾客享受6折优惠”为事件A,则P(A)= C方心小方小红两人中有一人享受6折优惠的概率 P=cx日×(1-)多 (2)若小勇选择方案一，设付款金颜为X元，则X的可能 取值为360,480,600， 剧P(X=360==5,P(X=480)=CC3 C 5 p(X=600)=CS=1 C 5 1B(X)=360×号+480X号+60×号=480. 若小勇选择方案二，设摸到红球的个数为Y,付款金颜为 Z元，则Z=600-100Y. 由已知可得Y~B(2,号)），故BY)=2X号=1， .∴.E(Z)=E(600-100Y)=600-100E(Y)=600-100= 500. E(X)<E(Z),小勇选择方案一更划算. 【真题体验】 1.B对于A,根据正态分布对称性可知，P(X≤4一σ)=P (X≥4十σ)，A说法正确； 对于B,根据正态分布对称性可知，P(X<1)=P(Y<2) =0.5,B说法错误； 对于C和D,相关系数|r越接近0，相关性越弱，越接近 1,相关性越强，故C和D说法正确.故选B. 2.BC(数形结合法)由题意可知，X~N(1.8,0.1),所 以P(X>2)<P(X>1,8)=0.5,P(X<1.9)≈0.8413，所以 P(X>2)<P(X≥1.9)=1-P(X<1.9)≈1-0.8413= 0.1587<0.2,所以A错误，B正确.因为Y~N(2.1, 0.1),所以P(Y<2.2)≈0.8413，P(Y>2)>P(Y>2.1) =0.5,所以P(2<Y<2.1)=P(2.1<Y<2.2)=P(Y 只要推动自己就能推动世界。 [每日格言] 2.2)-P(Y2.1)≈0.8413-0.5=0.3413，所以P(Y 2)=P(2Y<2.1)+P(Y≥2.1)≈0.3413+0.5=0.841 3>0.8,所以C正确，D错误. 综上，选BC. 【易错警示】 示例1]A因为X~N(500,4),所以=500，o=2, 所以498=-o,504=μ+2o, 故P498<X<50)=Pg-KX<+2a)=合P(g-KX <g+a)+2P(r-2a<X<u+2a)≈0.683,0.954= 2 0.8185,因为0.8185×100=81.85≈82，所以质量在(498， 504)内的袋数约为82.故选A. L示例2][解析](1)对于有放回抽取，每次抽到一等品 的概率为品=号，且各次浅验之同的皓果是独主的，因 此XB(,号)从而PX=0)=(1-号)广=品PX= D=c·号·(1-号)广-器P(X=2)=e(号)广· (-号)=器pX=3)= (号)·(1-号) 625P(X=4)= 96 /2 5) 16 625 所以X的分布列如下 X 0 1 2 3 4 P 81 216 216 96 16 625 625 625 625 625 (2)对于不放回抽取，各次试验结果不独立，X服从超几 何分布，样本中一等品的比例为X,而总体中一等品的比 例为品-04，由题意， ① X-0.4≤0.2>0.8≤X<2.4X=1或X=2g @p(X0.4≤0.2=P(X=1)+p(x=2y CloC+CCo Ci 作业（十）成对数据的统计相关性 一元线性回归模型及其应用 【基础诊断】 1.D2.B3.ABD4.90.5 【综合应用】 1.A由题意得，z=1+3+5+7+9=5, 5 因为点(x,y)在经验回归直线上，得y=1.2×5十2=8， 所以∑y=5y=40.故选A. 2.BCDA选项，y=bz十a可能不经过点(x1·y1),(x2, y),(xyn)中的任何一个，A错误；B选项，回归分析 中，可用决定系数R的值判断模型的拟合效果，R越大， 模型的拟合效果越好，B正确；C选项，由题意得x 1+2+3+4+5=3,y=3+8+10+14+15=10,将(3， 5 10)代入y=3.x+a中，得到10=3×3+a,解得a=1,则 回归方程为y=3x十1，当x=2时，y=3×2十1=7，由残 差公式得残差为8一7=1，故C正确；D选项，y=ce“中， 两边取对数，设之=lny,得=lnc+十kx,所以lnc=4,k= 0.3,所以c,k的值分别是e和0.3，D正确.故选BCD. 3.A由题意可得m=5×2十4=14，即修正前的样本中心 点为(2,14)，假设甲输入的(x1y1)为(3,2)， 则3十xg十x3十…十x,=2X7=14,则x2十x3十…十x2=11, 且2+2十y+…+y=7×14=98,则2十3十…十y=96, 改为正确数据后，则亚=号(2+1)=号=号(3+96) 99 7