作业(四) 两个计数原理排列与组合-【假期作业】2026年高二数学暑假假期作业（人教A版·新教材）

[每日格言]只有一条路不能选择一那就是放弃的路；只有 解法二（图象法）由1一Ina一a<0 (a>0),得lna>-a2+1(a>0).如 y=Ina 图为函数y=lna与y=一a°+1在 区间(0，十○)上的大致图象， 由图易知当a>1时，lna>一a+1, 即1-lna-a<0. 'y=-a2+1(a>0) 所以实数a的取值范围为(1，十∞). 【易错警示】 [示例1]Cf(z)的定义域为(0，十∞)，f(x)=4x- x' 令f(z)=0,易得x=子.故选C [示例2[解析]f'(x)=3.x2一6x十n. 根据题意，f(一1)=3十6m十n=0, f(-1)=-1-3m-n+m2=0, 解得W3或m之当”意 n=9. n=3 广(x)=3.x2+6x+3=3(x+1)≥0，f(x)在R上单调递 增，无极值点，故舍去.当m二。一2时，()=3x2+12x n=9 +9=3(x十1)(x十3).当x∈（一©∞，一3）和x∈(-1，十 o)时，f(x)>0,f(x)单调递增；当x∈(-3，一1)时， f(x)<0,f(x)单调递减，故f(x)在x=一1处有极小 值，满足条件。 综上，m十n=一2十9=7. [答案]7 作业（四）两个计数原理排列与组合 【基础诊断】 1.BCD2.B3.C4.30 【综合应用】 1.B先考虑6号，有3种颜色可选，则剩下的1至5号有2 种颜色可选，7,8号也有2种颜色可选，所以一共有3×2 ×2=12种灯光组合，故选B. 2.AC对于A,4个人分别从3个景点中选择一处游览，每 个人有3种选择，故共有3=81种选法，故A正确；对于 B,从5名员工中选出经理、副经理各1名，共有A=20 种方法，故B错误；对于C,要从4名男生和6名女生中选 取5名志愿者，志愿者中至少有3名男生包括3名男生或 4名男生两种情况，故共有选法数为CC十CC=60十 6=66种，故C正确：对于D,先确定千位数字，有3种方 法，再考虑其他三个数位，有A种方法，故没有重复数字 的四位数共有3A=18个，故D错误.故选AC. 3.C第一步，先分组，分为一组2人，另一组4人，有CC =8种：分为每组各3人，有CC=6种，分组方法共有14 A 种，第二步，将两组志愿者分配到两个服务站共有A=2 种.所以，总的分配方案有14×2=28种.故选C 4.C当甲去B学校时，若从乙、丙中选1人去B学校，有 C种方法，剩下4人去A,C两个学校，有C种方法，共 有CC=12种方法；若从丁、戊、己中选1人去B学校， 有C种方法，乙、丙去A,C两个学校，有A。种方法，余下 2人去A,C两个学校，也有A种方法，共有C3A2A= 12种方法.所以甲去B学校共有12十12=24种方法.同 理，甲去C学校也有24种方法.故不同的安排方法有24 十24=48种.故选C. 5.ACDA对，由排列知识可得共有A=120种排列方式， B错，将两个“车”捆绑作为一个元素，有A=2种排列方 式，再和剩余的3个棋子进行全排列，故共有2A=48种排 列方式.C对，两个“马”不相邻，先将剩余的3个棋子进行 全排列，产生4个空，再将两个“马”插空，故共有AA= 72种排列方式.D对，将2个黑色的棋子进行全排列，产生3 个空，再将3个红色的棋子进行插空，故共有AA=12种 排列方式.故选ACD. 6.解析由题意可将5名大学生分为1人、2人、2人三组， 共有C·CS·C=15种分法， A 条路不能拒绝一那就是成长的路。高二数学（配RJA版） 若学生A不选择葡萄牙语，则学生A所在的组有2种选 择，剩下的2组全排列，有2A=4种排法， 故所有不同的学习方案种数为15×4=60 答案60 7.解析(1)若三科竞赛均有2人报名参加，则报名方法有 CCC=90种 (2)若4人报名参加数学竞赛，另外两科竞赛各1人报名 参加，则报名方法有C:A=30种 (3)由题可得报名人数的分配方案可以是1,2,3或1,1,4 或2,2,2. 若三科竞赛的报名人数为1,2,3，则报名方法有 CCCA=360种； 若三科竞赛的报名人数为1,1,4，则报名方法有CA 90种： 若三科竞赛的报名人数为2,2,2，则报名方法有CCC =90种. 所以三科竞赛均有人报名参加，报名方法共有360十90十 90=540种」 【真题体验】 1.D 2.解析先选两位家长排在首尾有A=12种排法；再排队 中的四人有A=24种排法，故有12×24=288种排法. 故答案为288」 答案288 3.解析(1)当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共 有CC=16种； (2)当从8门课中选修3门， ①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有CC 24种：②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有 CC=24种：综上所述，不同的选课方案共有16十24十 24=64种. 故答案为64. 答案64 【易错警示】 示例1][解析]设既能当车工又能当钳工的2名工人 为A,B.A,B都不在内的选派方法有CC=5种；A,B 都在内且当钳工的选派方法有CCC=10种；A,B都在 内且当车工的选派方法有CCC=30种；A,B都在内， 且一人当钳工，另一人当车工的选派方法有ACC=80 种；A,B有一人在内且当钳工的选派方法有CCC=20 种；AB有一人在内且当车工的选派方法有CCC=40 种.所以不同的选派方法共有5十10+30+80+20十40= 185种. [答案]185 [示例2][解析]解法一（特殊元素优先法）丙、丁相邻 且顺序固定，故将其视为1个元素，记为丙丁，则6项工程 可视为5个元素.分成两步来完成：第一步，从5个位置中 选择3个位置排列甲、乙、丙丁这3个特殊元素，又甲、乙、 丙、丁的相对顺序固定，故不同的排法有C=10种：第二 步，将余下的2项工程任意排列到剩下的2个空位置上， 不同的排法有A=2种.由分步乘法计数原理，可知共有 10×2=20种不同排法. 解法二（插空法）分成两步来完成：第一步，将相对顺序 固定的甲、乙、丙、丁排列好，丙、丁相邻且顺序固定，从而 形成3个特殊元素（丙、丁视为1个元素），共有1种排法： 第二步，将余下的2项工程逐个插入3个特殊元素所形成 的空隙中，共有CC=20种排法.根据分步乘法计数原 理，安排这6项工程共有1×20=20种不同排法. [答案]20 作业（五）二项式定理 【基础诊断】 1.D 2.AC 3.84.604 【综合应用】 1.C 42 一x）的展开式中，所有二项式系数之和为2” =32,解得n=5.暑假作业你希望别人怎样对待你，你就应该怎样对待别人。 [每日格言] 作亚（四） 今 月 日 台 星期 两个计数原理 排列与组合 历 天气 1知识整合 续表 排列数 1.两个计数原理 A"=n(n-1)(n-2)…(n-m+1) 乘积式 两个计 目标 策略 过程 方法总数 数原理 公式阶乘式 n！ 在第1类方 A=(n-m刀 案中有m种 N=m 有两类 分类加法 不同的方法， +n种 性质 A=n！,0！=1 不同方 计数原理 在第2类方 不同的 备注 n,m∈N*,m≤n 完 案 方法 成 案中有n种 4.组合 不同的方法 一 (1)定义：一般地，从n个不同元素中取出 件 做第1步有 m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不 事 m种不同的 N=m 分步乘法 需要两 ×n种 同元素中取出m个元素的一个组合. 计数原理 个步骤 方法，做第2 不同的 (2)关于组合与组合数的理解 步有n种不 方法 同的方法 ①同“排列”与“排列数”是两个不同概念一 样，“组合”与“组合数”也是两个不同的概 2.排列 念.“组合”是指“从n个不同元素中取出m (1)定义：一般地，从n个不同元素中取出 (m≤n)个元素作为一组”，它不是一个数， m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成 列，叫做从n个不同元素中取出m个元 而是具体的一件事；“组合数”是指“从n个 素的一个排列。 不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有 (2)相同排列：两个排列相同的充要条件 不同组合的个数”，它是一个数； 是：两个排列的元素完全相同，且元素的排 ②可以从集合的角度来理解组合数的概 列顺序也相同」 念.从n个不同元素中取出m个元素合成 (3)全排列：特别地，把n个不同的元素全 一组是一个组合，任取m个元素组成的组 部取出的一个排列，叫做n个元素的一个 合的全体构成一个集合，例如，从3个不同 全排列 元素a,b,c中任取2个的所有组合构成的 3.排列数及排列数公式 集合为A={ab,ac,bc}.所谓组合数就是 从n个不同元素中取出m(m≤n) 这个集合的元素的个数. 个元素的所有不同排列的个数，叫 排列数定义 5.组合数及组合数公式 做从n个不同元素中取出m个元 素的排列数 从n个不同元素中取出m(m≤n) 排列数 A 组合数定义 个元素的所有不同组合的个数，叫 表示法 及表示 做从n个不同元素中取出m个元 正整数1到n的连乘积，叫做n 阶乘 的阶乘，记作n! 素的组合数，用符号C表示 10 [每日格言]成功与不成功之间有时距离很短一只要后者再向前几步。 高二数学（配RJA版） 续表 3D视觉效果.如图，在某一次无人机灯光 表演秀中，有8架无人机排布成如图形式， 乘积 Cm=nn-1)(n-2)…(n-m+1) 形式 m! 已知每架无人机均可以发出3种不同颜色 组合数 的光，编号1至5号的无人机颜色必须相 公式 同，编号7,8号的无人机颜色必须相同，编 阶乘 n! 形式 C:=m(n-m刀 号6号的无人机与其他无人机颜色均不相 同，则这8架无人机同时发光时，一共可以 性质 C=CC=C+C 有 种灯光组合 备注 规定C=1 ① ② 2基础诊断 ⑥ 1.(多选)下列结论正确的是 A.10×11×…×20=A8 ⑦ ⑧ B.C+C=C A.9 B.12 C.C=C C.15 D.18 A+A_5 2.(多选)以下结论正确的是 ( D A9-A;27 A.4个人分别从3个景点中选择一处游 2.(教材改编)从4本不同的课外读物中，买 览，有81种不同选法 3本送给3名同学，每人1本，则不同的送 B.从5名员工中选出经理、副经理各1名， 法种数是 共有10种不同的选法 C.某学校需要从4名男生和6名女生中 A.12 B.24 选取5名志愿者，则志愿者中至少有3 C.64 D.81 名男生的不同选法有66种 3.从包含甲、乙两人的7人中选出3人分别 D.用数字0,1,2,3这四个数可以组成没 担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、 有重复数字的四位数共有24个 乙两人都入选的不同选法共有 3.若有2名女生和4名男生到两个志愿服务 A.120种 B.60种 站参加服务活动，分配时每个服务站均要 C.30种 D.20种 求既有女生又有男生，则不同的分配方案 4.(教材改编)某校开设A类选修课3门， 种数为 A.16 B.20 B类选修课4门，一位同学从中共选3门. C.28 D.40 若要求两类课程中各至少选一门，则不同 4.为响应国家号召，某校甲、乙、丙、丁、戊、已 的选法种数为 这6名大学生计划到西部边远地区A,B, 3综合应周 C三个学校支教，根据学校需要及所学的 专业，每个学校去2名大学生，甲不能去 1.无人机集群智能灯光秀是一种集无人机技 A学校，乙、丙所学专业相同，不能去同一 术和智能照明相结合的艺术表演.它利用 所学校，则不同的安排方法有 () 大量无人机排列组合，加上灯光智能照明 A.24种 B.36种 的“协作”，依据编程和算法，制造出惊人的 C.48种 D.72种 11 暑假作业生命是一条艰险的峡谷，只有勇敢的人才能通过。 [每日格言] 5.(多选)象棋作为一种传统棋类益智游戏， 具有深远的意义和价值.它具有红、黑两种 4真题体验 阵营，将、士、车、马、炮、兵为象棋中的棋 1.(2023·新课标Ⅱ卷)某学校为了解学生参 子，现有3个红色的“马”“车”“炮”棋子与 加体育运动的情况，用比例分配的分层随 2个黑色的“马”“车”棋子，将这5个棋子 机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高 排成一列，则下列说法正确的是 ( 中部两层共抽取60名学生，已知该校初中 A.共有120种排列方式 部和高中部分别有400名和200名学生， B.若两个“车”相邻，则有24种排列方式 则不同的抽样结果共有 C.若两个“马”不相邻，则有72种排列 A.C45。·C5种 B.C0o·C20种 方式 C.C0。·C0n种 D.C0。·C0种 D.若红、黑棋子间隔排列，则有12种排列 2.(2025·上海卷)4个家长和2个儿童去爬 方式 山，6个人需要排成一条队列，要求队列的 6.某校5名大学生分别从西班牙语、意大利语、 头和尾均是家长，则不同的排列种数为 葡萄牙语中选择1种进行学习，每种语言至 少有1人且至多有2人选择，若学生A不选 3.(2023·新课标I卷)某学校开设了4门体 择葡萄牙语，则所有不同的学习方案种数为 育类选修课和4门艺术类选修课，学生需 从这8门课中选修2门或3门课，并且每 7.某校高二年级安排6名优秀学生按照以下 类选修课至少选修1门，则不同的选课方 要求报名参加数学、物理、化学竞赛，每名 案共有 种（用数字作答）. 学生限报一科竞赛 5易错警示 (1)若三科竞赛均有2人报名参加，有多少 种不同的报名方法？ 易错一重复计数或遗漏计数 (2)若4人报名参加数学竞赛，另外两科竞 [示例1]某车间有11名工人，其中5名 赛各1人报名参加，有多少种不同的报名 是钳工，4名是车工，另外2名既能当车工 方法？ 又能当钳工.现要在这11名工人里选派 (3)若三科竞赛均有人报名参加，有多少种 4名钳工和4名车工修理一台机床，则不 不同的报名方法？ 同的选派方法有 种 [名师叮嘱]复杂的排列、组合应用题经常用到 两个计数原理解决，一定要明确分类标准，才能避 免计算重复或遗漏 易错二对定序问题考虑不全面 [示例2]某工程队有6项工程需要单独 完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才 能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能 进行，工程丁必须在工程丙完成后立即进 行，那么安排这6项工程的不同排法种数 是 [名师叮嘱]如果一个问题中部分元素相对顺 序固定，可以用排列、组合和合理分步来解决这类 “定序排列问题”，审题时要弄清哪些元素之间无 序，哪些元素之间有序 12