作业(三) 导数与函数的极值、最值-【假期作业】2026年高二数学暑假假期作业（人教A版·新教材）

[每日格言]坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。 高二数学（配RJA版） 作亚（三） 今 月 日 台 星期 导数与函数的极值、最值 历 天气 1知识整合 4.函数的极值与最大（小）值 (1)极值反映的是函数在某一点附近的局 1.极值点与导数为0的点的关系 部性质：如果x。是函数y=f(x)的极大 (1)导数为0的点不一定是极值点.如函数 (小)值点，那么在点x。附近找不到比 f(x)=x3,在x=0处的导数是0，但它不 f(x。)更大（小）的值.最值反映的是函数 是极值点.对于可导函数，极值点的导数必 在整个定义域内的性质：如果x。是函数 为0.因此，对于可导函数，导数为0是点 y=f(x)的最大（小）值点，那么f(x)不小 (大)于函数y=f(x)在相应区间上的所有 为极值点的必要不充分条件， 函数值 (2)函数的导数不存在的点也可能是极值 (2)函数在一个闭区间上若存在最值，则最 点.如函数f(x)=|x,在x=0处，左侧 大（小）值只能有一个.而极大（小）值可能 (x<0时)f(x)=-1<0,右侧(x>0时) 不止一个，也可能没有.如常函数没有 f'(x)=1>0,x=0是f(x)的极小值点， 极值. 但f(0)不存在， (3)函数的极值点不可能是区间的端点，而 2.求可导函数极值的步骤 最值点可以是区间的端点 (1)求导数f(x). (4)若函数f(x)在区间I上只有一个极 (2)求方程f(x)=0的根. 值，且是极大（小）值，则这个极大（小）值就 是函数f(x)在区间I上的最大（小）值， (3)检查f(x)在方程根左右的值的符号， 如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得 2基础诊断 极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个 1.(教材改编)如图所示的是f(x)的导函数 根处取得极小值」 f'(x)的图象，则f(x)的极小值点的个 [注意]f(x)无意义的点也要讨论，即可先求 数为 出'(x)=0的根和f(x)无意义的点，这些点都 称为可疑点，再用定义去判断. \3 3.求函数最大（小）值的步骤 一般地，求函数y=f(x)在区间[a,b]上的 A.1 B.2 最大值与最小值的步骤如下： C.3 D.4 (1)求函数y=f(x)在区间(a,b)内的 2.(教材改编)函数y=xe的最小值是 极值 A.-1 B.-e (2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的 函数值f(a),f(b)比较得最值 C.- D.不存在 e 暑假作业人生的价值，并不是用时间，而是用深度去衡量的。 [每日格言] 3.(多选)已知函数f(x)=(3x一5)e”,则下 C.f(x)仅有一个零点 列结论正确的是 ( D.f(x)有两个极值点 A.函数f)在（号，十∞）上单调递减 4.已知函数f(x)=一x3十3x一1，下列说法 错误的是 ( ) B函数f()的极小值点为x号 A.f(x)在x=一1处取得极小值 B.f(x)有3个零点 C.函数f(x)无极大值 C.f(x)在区间（一2,2）上的值域为 D.函数f(x)在[0,1]上的最大值为-5 (-3,1)》 4.函数f(x)=x3-4x2+4x+1的极值点之 D.曲线y=f(x)的对称中心为(0，一1) 和为 5.若函数f(x)=x3-a.x2+bx(a,b∈R)在 3综合应用 x=1处取得极值4，则a一b= 6.若函数f(x)=a.x十1+21nx在x∈ 1.已知定义在R上的函数f(x),其导函数 f(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正 (分，2)上有极值，则。的取值范围是 确的是 7.已知f(x)=e+u-lnx,其中a∈R,g(x)= cos x+xsin x. (1)当a=-1时，求证：x=1是函数f(x) 的极小值点； A.f(b)>f(a)>f(c) (2)求g(x)在[一π，π]上的最小值； B.函数f(x)在x=c处取得极小值，在 x=e处取得极大值 C.函数f(x)在x=c处取得极大值，在 x=e处取得极小值 D.函数f(x)的最小值为f(d) 2.已知函数f(x)=e一ex,则f(x)( A.有最小值1，无最大值 B.有最大值1，无最小值 C.有最小值0，无最大值 D.有最大值0，无最小值 (多选)对于函数f(x)一，下列说法正确 的是 A.f(x)有最小值但没有最大值 B.对于任意的x∈(-∞，0)，恒有f(x)<0 8 [每日格言]为别人鼓掌的人也是在给自己的生命加油。 高二数学（配RJA版） 8.已知函数f(x)=lnx-a.x2+a. 4.(2024·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)= (1)若x=1是f(x)的极值点，求实数a的 e*-ax-a3. 值，并求f(x)的单调区间； (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点 (2)若存在x∈(1，十∞)，使得f(x)>0, (1,f(1))处的切线方程； 求实数a的取值范围. (2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求 a的取值范围. 5易错警示 易错一 忽略函数的定义域致误 [示例1]函数f(x)=2x2一lnx的极值 点为 ( 1 11 A.02- 2 B.2-2 4真题体验 c号 D- [名师叮嘱]研究函数，要坚持定义域优先的原 1.(多选)(2023·新课标Ⅱ卷)若函数f(x) 则，否则极易出错， =alnx十么+S(a≠0)既有极大值也有 易错二 误把导数为零作为函数取得极值 极小值，则 的充要条件 A.bc>0 B.ab0 [示例2]已知函数f(x)=x3-3m.x2+ C.b2+8ac>0 D.ac<0 n,x+m在x=一1处取得极值0，则m十n 2.(2023·全国乙卷)函数f(x)=x3+ax+2 的值为 存在3个零点，则a的取值范围是( [名师叮嘱]根据函数极值的定义可知，当可导 函数在某点取得极值时，f(x)=0一定成立，但当 A.(-o∞，-2) B.（-∞，-3) f(x)=0时，函数不一定取得极值，如函数f(x)=x3, C.(-4,-1) D.(-3,0) 其导数为f(x)=3x2,当x=0时，f(x)=0,但函 3.(2025·全国二卷)若x=2是函数f(x) 数f(x)=x3单调递增，无极值.所以y=f(x)在 (x一1)(x一2)(x-a)的极值点，则f(0)= 点的导数值为0是函数y=f(x)在这点取得极值 的必要不充分条件」 9[每日格言]不要抱怨自己所处的环境，如果改变不了环境，那么就改变自己的心态。 高二数学（配RJA版） 即a(a+1)≥1'故5,1≤a<1,结合题意可得实数a 函u)取得大(），所以a≥ .故实数a l0<a<1, 2 的取维花用关[.小就参室为[。，小 的取值范围是 [+o) [答案] 答案 [) 「25，+∞) 3 3.解析(1)因为f(x)=a(x-1)-lnx+1,所以f(x)=a 作业（三）导数与函数的极值、最值 -1=-1,x>0, 【基础诊断】 x 若a≤0，则(x)<0恒成立，所以f(.x)在(0，+∞)上单 1A2.CacD4.号 调递减，即f(x)的单调递减区间为(0，十○)，无单调递增 【综合应用】 区间： 1.C由f(x)图象知，当x∈（一oo,c)U(e,十o)时，f(x) 若a>0,剥当0<<日时(x)<0,当x>时f) >0,当x∈(c,e)时，f(x)<0, 所以函数f(x)在(-co,c)上单调递增，在(c,e)上单调递 >0,所以x)的单词递减区同为(0，日），单调递增区同 减，在(e,十o)上单调递增. 对于A,因为a<b<c,所以f(c)>f(b)>f(a),不正确： 为（日+∞）上 对于B,C,由单调性知：c为极大值点，e为极小值点，B不 正确，C正确： 综上，当a≤0时，f(x)的单调递减区间为(0，十c∞)，无单 对于D,由于d∈(c,e),则f(c)>f(d)>f(e),f(d)不是 调递增区间；当a>0时，f(x)的单调递减区间为 最小值，不正确，故选C (0,)单调递培区同为（日十∞） 2.C因为f(x)=e-ex,所以(.x)=e-e. 当x∈(-∞，1)时，(x)<0,f(x)单调递减， (2)证明证法一（放缩法） 当x∈(1，十∞)时，广(x)>0,f(x)单调递增， 因为a≤2，所以当x>1时，e1-f(x)=e1-a(x-1) 故f(x)的最小值为f(1)=0,无最大值.故选C +In z-12e-!-2x+In z+1. 3.BC 令g(x)=e1-2x+lnx十l,则只需证当x>1时g(x) AD选项，f(x)=3x-2-x(3-x) e >0. 当x∈(-∞，3)时，f'(x)≥0，当x∈(3，+o)时， 易知g()=e-2+子 f(x)<0, 故f(x)在x∈（一∞，3）上单调递增，在x∈ 令A)=g,则a)=。-是在1，+e)上单调 (3,十∞)上单调递减， 故f(x)有最大值但没有最小值且f(x)只有一个极值 递增， 点，AD错误； 则当x>1时，h(x)>h'(1)=0,所以h(x)=g'(x)在(1， BC选项，由于e>0恒成立，故当x∈（一co,0)时， 十∞)上单调递增， f(x)0, 所以当x>1时，g(x)>g(1)=0,故g(x)在(1，十∞)上 令f(x)=0,得x=0,所以函数f(x)仅有一个零点，BC 单调递增，所以当x>1时，g(x)>g(1)=0,即当x>1 正确.故选BC. 时，f(x)<el恒成立. 4.C由f(x)=-x3+3x-1,可得f(x)=-3x2+3= 证法二（作差法直接求导证明） -3(x十1)(x-1), 设g(x)=a(x-1)-lnx+1-e1,只需证当x>1时 当x<-1或x>1时，f(x)<0;当-1<x<1时， g(x)<0即可.易知g(x)=a-上-e1, f(x)>0. 即函数f(x)在(-∞，一1)，(1，+c∞)上单调递减；在 (一1,1)上单调递增. 令h(x)=g'(z),则h'(x)=1 -e1, 对于A,由以上分析知f(x)在x=一1处取得极小值，故 由基本初等函数的单调性可知h(x)在(1，十∞)上单调 A正确； 递减，则当x>1时，h'(x)<h'(1)=1-1=0, 对于B,结合以上分析，因f(-2)=1>0,f(-1)=-3<0, f(1)=1>0,f(2)=-3<0, 所以h(x)=g'(x)在(1，十©o)上单调递减， 由零点存在定理知，f(x)有3个零点，故B正确： 于是当x>1时，g(x)<g(1)=a一2， 对于C,因f(x)在（一2，一1）上递减，在(-1,1)上递增， 又a≤2，所以a-2≤0，则当x>1时，g'(x)<0,故g(x) 在(1,2)上递减， 在(1，十∞)上单调递减，所以当x>1时，g(x)<g(1)=0, 而f(-2)=f(1)=1,f(-1)=f(2)=-3,故f(x)在区 即当x>1时，f(z)<e1恒成立. 间（一2,2）上的值域为[一3,1]，故C错误； 【易错警示】 对于D,因f(-x)十f(x)=-(-x)3+3(-x)-1+ [示例1][解析]函数f(x)=x2-2lnx的定义城是(0， (-x3+3.x-1)=x3-3x-1+(-x3+3.x-1)=-2, t∞)/(x)=2x2=2x1x+D.令广(x)<0, 即f(一x)=一2-f(x),故曲线y=f(x)的对称中心为 (0,一1)，即D正确.故选C. 因为x>0,所以解得0<x<1,即函数f(x)=x2一2lnx 5.解析因为f(x)=x3一ax2十bx在x=1处取得极值4， 的单调递减区间是(0,1). 所以f(1)=0且f(1)=4. [答案](0,1) 又f(x)=3.x2-2a.x+b,所以f(1)=3-2a+b=0,① [示例2】[解折]由已知，得了)=2x十a一，苏画数 又f(1)=1-a十b=4,② 联立①②，解得a=6,b=9,经验证符合题意， f)在[子，+)上是增画教，则当xe[子，+)助， 所以a-b=6-9=-3. 答案一3 2.x+a- 号≥0板成立，即a≥}-2红恒成立，即a≥ 6.解析由题意可知：f()=x+2-1,x>0, (侵-2x）设)=立-2x,则x)=子-2<0， 因为函数)=ax+子+2hx在（侵，2）上有板位，说 即画教u()在[子十)上单调递减，所以当x=子时。 明其导数在(2,2）内有变号零点， 49 暑假作业任何的限制，都是从自己的内心开始的。忘掉失败，不过要牢记失败中的教训。 [每日格言] 令g()=a+2x-1,则g)在（分，2）内有交号零点. ）<g(1)=0,所以当0<a<2时， 令ur十2x-1=0,分离参数可得a=京- 12 ]x∈(1，十o),使得g(x)<0, 也即3x∈(1，十∞)，使得f(x)>0, 令=则（分2）小 综上，a的取值范周是(-，宁》 所以a=t2-2t=(t-1)2-1,所以-1≤a<0, 【真题体验】 当a=-1时，(x)=二x+2z-1=-(x-1) 0, 1.BCD:f(x)=a-6-g=ax--2c=0有两个 x x x fx)在(22)上单调递减， 正根x1,x2, 故()在（号2）上单调逼减，无板值，所以a的取值范 ∴+=>0=。2>04=6+8ac>0 .ab>0,ac<0,则bc<0,选BCD. 围是(-1,0). 2.Bf(x)=x3+a.x+2,则(x)=3x+a, 答案(-1,0) 若∫(x)存在3个零点，则∫(x)存在极大值和极小值， 7.解析(1)证明 当a=-1时，f(x)=e1-lnx, 则a<0, 函数f八x)的定义城为(0，十co),则f(x)=c1-1 x 令fr()=3r+a=0,解得=√或=√号 y=e1在(0，十∞)上单调递增，y=- 1在(0，十0） 且当x(-,√号)u(W受，+)时>0. 上单调递增， f()=e-1-1在(0，十o∞)上单调递增， 当xe(√号√号)时fx0, :f=e-=0. 故f(x)的极大值为(-√号)板小值为√写)小 ∴.当x∈(0,1)时，f'(x)<f'(1)=0,则函数f(x)单调递 减，当x∈(1，十∞)时，f(x)>f(1)=0,则函数f(x)单 (尽）>. 调递增， 若f(x)存在3个零点，则 .x=1是函数f(x)的极小值点. (2)g(x)=cosx十zsin x,则g'(x)=-sinx+sinx十 (层. xcos x-xcos a 当x∈-，- ]时≥0西景)单满道培， 即 -层+0 解得a<-3,故选B. +a+<0 当x∈ 乏，0」时，g(x)0函数g(x)单调递减， 3.解析由题意有f(x)=(x-1)(x-2)(x-a),所以 当ze[0,]时g()>0数8)单涧递增， f'(x)=(x-a)(x-1)+（x-1)(x-2)+（x-a)(x-2), 因为2是函数f(x)极值点，所以f(2)=2一a=0, 当x∈ 2时，g(x)≤0函数g(x)单调递减， 得a=2,当a=2时，f'(x)=2(x-2)(x-1)+(x-2)= (x-2)(3x-4), g(-x)=-1,g(0)=1,g(x)=-1, g(x)在[-π，π]上的最小值为-1. 当xE(-0,专)小()>0，f(x)单满递增，当x 解析1)f(z)三二2ax,若x=1是f(x)的极值点 (停，2)f(x)<0,f)单调道减， 则f(1)=1-2a=09a=2: 1 当x∈(2，十∞)，f(x)>0,f(x)单调递增， 所以x=2是函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)的极小值 当a=子时，了(x)=是-2ax= 一x= ,点，符合题意； -(x-1)(x+1D(>0). 所以f(0)=-1×(-2)×(-a)=-2a=-4. 故答案为一4. 答案 -4 f(x)>0→x∈(0,1)，f(x)<0→x∈(1，+∞)， 4.解析(1)当a=1时，f(x)=e一x一1，则'(x)= 可知z=1是f(z)的板大值点，故a=分 e-1,则f(1)=e-1. f(x)的单调增区间为(0,1)；单调减区间为(1，十∞). f(1)=e一2，所以切，点坐标为(1，e一2)， (2)由f(x)>0得a(x2-1)-lnx<0,x∈(1，+∞)， 所以切线方程为y一(e一2)=(e1)(x一1)， 易知-lnx<0,x2-1>0, 即(e-1)x-y-1=0. (2)易知函数f(x)的定义域为R,广(x)=e一a. 当a0时，a(x一1)一nx<0,满足题意； 当a≤0时，f(x)>0,函数f(x)在R上单调递增，无极 当a≥2时，令g(x)=a(z-1)-lnx(x>1), 值；当a>0时，由(x)>0,得x>lna,由f(x)<0,得 g(x)=20-1>0,g在1，十0)上单调递增。 x<lna,所以函数f(x)在区间（一o∞，lna)上单调递减， 在区间(lna,十c∞)上单调递增，所以f(x)的极小值为 则g(x)>g(1)=0,不符合题意： f(In a)=a-aln a-a'. 当0a<号时，由g>0,e(+）小 由题意知a-ana-a3<0(a>0),等价于l-lna-a< 0(a>0). 解法一（导数法）令g(a)=1-lna-a(a>0), 由Ra)0得（） ∠0 则g(a)=-2a-a 子是有x)在（）上单递：在（+ 所以函数g(a)在(0，十co)上单调递减， 又g(1)=0,故当0<a<1时，g(a)>0:当a>1时，g(a)<0. 上单调递增， 所以实数a的取值范围为(1，十co). 50 [每日格言]只有一条路不能选择一那就是放弃的路；只有一条路不能拒绝一那就是成长的路。高二数学（配RJA版） 解法二（图象法）由1-lna-a2<0 若学生A不选择葡萄牙语，则学生A所在的组有2种选 (a>0),得lna>-a+1(a>0).如 v=In a 择，剩下的2组全排列，有2A=4种排法， 图为函数y=lna与y=一a°+1在 故所有不同的学习方案种数为15×4=60 区间(0，十∞)上的大致图象， 答案60 由图易知当a>1时，lna>-a+1, 7.解析(1)若三科竞赛均有2人报名参加，则报名方法有 即1-lna-a<0. y=-a2+1(a>0) CCC2=90种. 所以实数a的取值范围为(1，十∞) (2)若4人报名参加数学竞赛，另外两科竞赛各1人报名 【易错警示】 参加，则报名方法有CA=30种. (3)由题可得报名人数的分配方案可以是1,2,3或1,1,4 [示例1]Cf(x)的定义域为(0，十o),f(x)=4x一 2， 或2,2,2. 令f(x)=0,易得x=.故选C 若三科竞赛的报名人数为1,2,3，则报名方法有 CCCA=360种； [示例2][解析]f‘(x)=3x一6mx十n. 若三科竞赛的报名人数为1,1,4，则报名方法有CA 根据题意，f(一1)=3十6m十n=0, 90种： f(-1)=-1-3m-n+m2=0, 若三科竞赛的报名人数为2,2,2，则报名方法有CCC 解得{3或”m=2,当1m筒 =90种. n=9. (n=3 所以三科竞赛均有人报名参加，报名方法共有360十90十 (x)=3x+6x+3=3(x十1)≥0，f(x)在R上单调递 90=540种. 增，无极值点，故合去.当m=。-2时，了(x)=3x+12z 【真题体验】 (n=9 1.D +9=3(x+1)(x十3).当x∈（一∞，一3）和x∈(-1，十 2.解析先选两位家长排在首尾有A=12种排法；再排队 o)时，f(x)>0,f(x)单调递增；当x∈(-3，一1)时， 中的四人有A=24种排法，故有12×24=288种排法. f(x)<0,f(x)单调递减，故f(x)在x=一1处有极小 故答案为288」 值，满足条件。 答案288 综上，m十n=一2十9=7. 3.解析(1)当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共 [答案]7 有CC=16种； 作业（四）两个计数原理排列与组合 (2)当从8门课中选修3门， 【基础诊断】 ①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有CC 1.BCD2.B3.C4.30 24种；②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有 【综合应用】 CC=24种；综上所述，不同的选课方案共有16+24+ 1.B先考虑6号，有3种颜色可选，则剩下的1至5号有2 24=64种. 种颜色可选，7,8号也有2种颜色可选，所以一共有3×2 故答案为64. ×2=12种灯光组合.故选B. 答案64 2.AC对于A,4个人分别从3个景点中选择一处游览，每 【易错警示】 个人有3种选择，故共有3=81种选法，故A正确；对于 [示例1][解析]设既能当车工又能当钳工的2名工人 B,从5名员工中选出经理、副经理各1名，共有A=20 为A,B.A,B都不在内的选派方法有CC=5种；A,B 种方法，故B错误；对于C,要从4名男生和6名女生中选 都在内且当钳工的选派方法有CCC=10种；A,B都在 取5名志愿者，志愿者中至少有3名男生包括3名男生或 内且当车工的选派方法有CCC=30种；A,B都在内， 4名男生两种情况，故共有选法数为CC+CC=60十 且一人当钳工，另一人当车工的选派方法有ACC=80 6=66种，故C正确：对于D,先确定千位数字，有3种方 种；A,B有一人在内且当钳工的选派方法有CCC=20 法，再考虑其他三个数位，有A种方法，故没有重复数字 种：A,B有一人在内且当车工的选派方法有CCC=40 的四位数共有3A=18个，故D错误.故选AC 种.所以不同的选派方法共有5+10十30+80十20十40= 3.C第一步，先分组，分为一组2人，另一组4人，有CC 185种. 答案]185 =8种：分为每组各3人，有CC=6种，分组方法共有14 [示例2][解析]解法一（特殊元素优先法）丙、丁相邻 A 且顺序固定，故将其视为1个元素，记为丙丁，则6项工程 种，第二步，将两组志愿者分配到两个服务站共有A=2 可视为5个元素.分成两步来完成：第一步，从5个位置中 种.所以，总的分配方案有14×2=28种.故选C 选择3个位置排列甲、乙、丙丁这3个特殊元素，又甲、乙、 4.C当甲去B学校时，若从乙、丙中选1人去B学校，有 丙、丁的相对顺序固定，故不同的排法有C=10种：第二 C。种方法，剩下4人去A,C两个学校，有C种方法，共 步，将余下的2项工程任意排列到剩下的2个空位置上， 有CC=12种方法；若从丁、戊、己中选1人去B学校， 不同的排法有A=2种.由分步乘法计数原理，可知共有 有C种方法，乙、丙去A,C两个学校，有A种方法，余下 10×2=20种不同排法. 2人去A,C两个学校，也有A种方法，共有C3A2A= 解法二（插空法）分成两步来完成：第一步，将相对顺序 12种方法.所以甲去B学校共有12十12=24种方法.同 固定的甲、乙、丙、丁排列好，丙、丁相邻且顺序固定，从而 理，甲去C学校也有24种方法.故不同的安排方法有24 形成3个特殊元素（丙、丁视为1个元素），共有1种排法； +24=48种.故选C. 第二步，将余下的2项工程逐个插入3个特殊元素所形成 5.ACDA对，由排列知识可得共有A=120种排列方式. 的空隙中，共有CC=20种排法.根据分步乘法计数原 B错，将两个“车”捆绑作为一个元素，有A；=2种排列方 理，安排这6项工程共有1×20=20种不同排法. 式，再和剩余的3个棋子进行全排列，故共有2A=48种排 [答案]20 列方式.C对，两个“马”不相邻，先将剩余的3个棋子进行 全排列，产生4个空，再将两个“马”插空，故共有AA= 作业（五）二项式定理 72种排列方式.D对，将2个黑色的棋子进行全排列，产生3 【基础诊断】 个空，再将3个红色的棋子进行插空，故共有AA=12种 1.D 2.AC 3.84.604 排列方式.故选ACD. 【综合应用】 6.解析由题意可将5名大学生分为1人、2人、2人三组， 共有C·CS·C=15种分法. 1.C (会 x）的展开式中，所有二项式系数之和为2 A =32,解得n=5. 51