专题03线段垂直平分线与角平分线、等腰三角形（暑假预习讲义）-2026-2027学年苏科版数学八年级上册.

专题03线段垂直平分线与角平分线、等腰三角形 暑假预习讲义 （苏科版◆新教材） ✺学习目标： 1.概念熟记：熟记线段垂直平分线、角平分线、等腰 / 等边三角形的定义、性质与判定，规范书写几何符号语言。 2.实操应用：掌握内心、外心概念与特征，能区分二者。会作对应辅助线，运用定理完成线段、角度计算与简单几何证明。 3.能力应用：吃透等腰三角形三线合一，掌握等边三角形、含 30° 直角三角形性质与判定。 ✺题型归纳： 题型1.线段垂直平分线的性质 题型2.线段垂直平分线的判定 题型3.角平分线的性质定理 题型4.角平分线的判定定理 题型5.角平分线性质的实际应用 题型6.等腰三角形的定义 题型7.等边对等角 题型8.等腰三角形三线合一 题型9.格点图中画等腰三角形 题型10.找出图中的等腰三角形 题型11.根据等角对等边证明等腰三角形 题型12.根据等角对等边证明边相等 题型13.根据等角对等边求边长 题型14.等腰三角形的性质和判定综合 题型15.等边三角形的性质 题型16.等边三角形的判定 题型17.等边三角形的判定和性质综合 题型18.含30度角的直角三角形 题型19.斜边中线等于斜边的一半 题型20.直角三角形的两个锐角互余 题型21.利用锐角互余判定直角三角形 题型22.旋转模型（全等三角形的辅助线问题） ✺知识◆清单 一、线段的垂直平分线 1.定义 ：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线，简称中垂线。 如下图：直线MN垂直于线段AB，且平分线段AB，AC=BC,因此直线MN是线段AB的垂直平分线。 轴对称属性: 线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的一条对称轴。 性质定理:线段垂直平分线上的点，到这条线段两个端点的距离相等。 几何语言:∵点P在线段AB的垂直平分线上，∴PA=PB. 判定定理: 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 几何语言：∵ PA=PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上. 性质与判定的互逆关系: 线段垂直平分线的性质定理与判定定理互为逆命题： 性质：点在垂直平分线上⟹ 到线段两端距离相等； 判定：到线段两端距离相等⟹ 点在垂直平分线上。 三角形外心：三角形三边的垂直平分线相交于一点，该点称为三角形的外心； 外心到三角形三个顶点的距离相等。 锐角三角形：外心在三角形内部； · 直角三角形：外心为斜边中点； · 钝角三角形：外心在三角形外部。 尺规作图（作已知线段的垂直平分线） 1 分别以线段两端点为圆心，大于线段一半的长度为半径画弧，两组弧在线段两侧各交于一点； ② 连接两组弧的交点，所得直线即为该线段的垂直平分线。 ★常用辅助线：已知点在线段垂直平分线上，连接该点与线段两个端点，构造相等线段。 二、角平分线 两类角平分线区分 （1）角的平分线：平分一个角的射线； 角是轴对称图形，角平分线所在直线为角的对称轴。 （2）三角形的角平分线：三角形内角平分线与对边相交，顶点与交点间的线段。 性质定理： 角平分线上的点，到角两边的垂线段长度相等。 几何语言：∵ OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥ OB于D ∴PC=PD 判定定理:在一个角的内部，到角两边垂线段距离相等的点，在这个角的平分线上。 几何语言：∵PC=PD，PC⊥OA于C，PD⊥ OB于D ∴点P在∠AOB的平分线上 性质与判定的互逆关系 ：角平分线性质定理与判定定理互为逆命题 性质：点在角平分线上⟹ 点到角两边垂距相等； 判定：角内部点到两边垂距相等⟹ 点在角平分线上。 注意：判定定理必须满足 “点在角内部”“垂直距离” 两个条件。 对比维度 角的平分线 三角形的角平分线 图形类型 射线 线段 教材定义 从角的顶点出发，将一个角分成两个相等角的射线 三角形内角的平分线与对边相交，顶点到交点间的线段 图形数量 单个角仅有 1 条 任意三角形共有 3 条 轴对称特点 角平分线所在直线为该角的对称轴 本身无对称轴，仅等腰三角形顶角平分线具备轴对称性 定理适用关系 角平分线性质、判定定理的研究主体，可直接使用 依托内角平分线射线，间接套用角平分线相关定理 交点相关性质 无多线相交概念 三条三角形角平分线交于一点，该交点为三角形内心，内心到三边距离相等 主要应用场景 证垂线段相等、判定点在角平分线上 结合三角形完成角度、线段计算，推导内心相关结论 三角形内心： 三角形三条角平分线相交于一点，该点称为三角形的内心；内心恒在三角形内部，内心到三角形三边的距离相等。 . ★角平分线常见辅助线： ① 作双垂线：过角平分线上一点，向角的两条边分别作垂线段，利用性质证线段相等； ②截等线段：在角的一条边上截取与另一边等长的线段，构造全等三角形； ③ 延长垂线：若线段垂直于角平分线，延长垂线与角另一边相交，构造等腰三角形。 三、等腰三角形 1.定义： 有两条边相等的三角形叫作等腰三角形。相等的两边称为腰，另一边为底边；两腰的夹角为顶角，腰与底边的夹角为底角。 轴对称属性： 等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线为其对称轴。 性质1：等腰三角形的两个底角相等。简称等边对等角 几何语言：∵ AB=AC∴∠B=∠C 性质2：等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。简称三线合一 ★等价推导： ① AB=AC，AD平分∠BAC⟹ AD⊥BC，BD=DC ②AB=AC，AD⊥BC ⟹ AD平分∠BAC，BD=DC ③ AB=AC，BD=DC ⟹ AD平分∠BAC，AD⊥BC 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等。简称等角对等边 几何语言：∵∠B=∠C，∴AB=AC 四、等边三角形 定义： 三边相等的三角形叫作等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。 性质： ① 三边长度全部相等； ② 三个内角均相等，每一个内角都等于60°； ③ 等边三角形有三条对称轴，任意一角平分线、对应底边上的中线、高三线合一。 判定方法 ：① 三边相等的三角形是等边三角形； ② 三个内角都相等的三角形是等边三角形； ③ 有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形。 五、直角三角形核心性质 性质：直角三角形的两个锐角互余，和为90°。 符号语言：在RtABC，∠C=90°，则∠A+∠B=90°。 直角判定：两角互余的三角形为直角三角形 文字表述：若一个三角形中有两个内角的和等于90°，则该三角形是直角三角形。 几何语言：∵∠A+∠B=90°，∴ABC为直角三角形，∠C=90° 直角三角形斜边中线定理 文字表述：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 几何语言： 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点 ∴CD=AB=AD=BD 含30°角的直角三角形性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 几何语言： ∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°∴BC=AB 六、补充通用解题要点 线段垂直平分线核心作用：证明线段相等，构造等腰三角形； 角平分线解题核心思路：遇平分作垂线，利用距离相等转化线段； 等腰三角形边角计算需分类讨论：已知边长 / 角度未指明腰、顶角时，分情况验证三角形内角和与三边关系； 直角三角形相关定理注意区分条件：互余判定直角、斜边中线得线段等量、30° 角关联边长倍数； ✺题型◆精讲 题型1.线段垂直平分线的性质 1．如图，DE是中边的垂直平分线．若，，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线段垂直平分线的性质得出，从而将的周长转化为，代入数据计算即可． 【详解】解：是中边的垂直平分线， ， 的周长， ，， 的周长． 2．如图，在四边形中，连接，线段的垂直平分线交于点，线段的垂直平分线交于点，若，则的长为________． 【答案】 【分析】根据线段垂直平分线的性质求解即可． 【详解】解：∵线段的垂直平分线交于点，线段的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴． 3．如图，在等腰中，，垂直平分． (1)若的周长为35，求的长度； (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，再将的周长转化为，据此求出长； （2）由（1）知，的周长为，据此求解即可． 【详解】（1）解：是的垂直平分线， ， 的周长为35， ， ， ． ； （2） 解：由（1）知，的周长为． 题型2.线段垂直平分线的判定 1．幸福小区的三个出口A，B，C的位置如图所示．物业公司计划在不妨碍小区规划的前提下，在小区内修建一个电动车充电桩，要求到3个出口的距离都相等以方便业主，则充电桩应建在的（     ） A．3条高的交点处 B．3条中线的交点处 C．3条边的垂直平分线的交点处 D．3个角的平分线的交点处 【答案】C 【分析】线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，由此即可得到答案． 【详解】解：∵线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等， ∴要求充电桩到三个出口的距离都相等，则充电桩应建在三条边的垂直平分线的交点处． 2．如图，四边形的对角线相交于点O，，下列结论：①；②；③；④垂直平分．其中正确结论的序号是______． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的判定等知识，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 由全等三角形的性质得出，，，，再由全等三角形的判定定理得出，进而得出其它结论． 【详解】解：， ，，，， ，故①正确，符合题意； 四边形的对角线、相交于点， ， 在和中， ， ，故③正确，符合题意； ，故②正确，符合题意； 与不一定相等， ∴不一定垂直平分．， 故④不正确，不符合题意； 故答案为：①②③． 3．如图，射线在内，点为射线上一点，过点作，，且． (1)求证：是的平分线； (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由、得；结合已知、公共边，用定理证明，由全等三角形对应角相等，得，从而证出结论． （2）由（1）中得，又已知，根据线段垂直平分线的判定定理，得直线是的垂直平分线，因此． 【详解】（1）证明：，， ． 在和中， ． ， 平分． （2）由（1）知， ． 又， 点、都在的垂直平分线上． ． 题型3.角平分线的性质定理 1．如图，是的角平分线，于点E，于点F，，则的长是（     ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得出，从而求出的长． 【详解】解：∵是的角平分线， 且，， ∴， ∵， ∴． 2．如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点E，，，则的面积等于__________． 【答案】 【分析】作于F，根据角平分线的性质定理得到，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：过E作于F， ∵是边上的高线，平分， ∴， ∵， ∴的面积为， 3．如图，平分，，P为延长线上一点，于点M，于点N，求证：． 【答案】证明：平分， ， ，， ， ， ，即平分， ，， ． 【分析】先证明，得到，即平分，因为，，根据角平分线的性质，可得． 【详解】略 题型4.角平分线的判定定理 1．在内部，两个完全一样的三角板如图所示放置，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的判定定理，掌握在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上是解题的关键． 由题意可知，是的角平分线，结合，角度的和差关系即可求出的度数． 【详解】解：如图，∵两个完全一样的三角板， ，， 平分（在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）， ， ， ， 故选：D． 2．如图，两把完全相同的长方形直尺按如图方式摆放，把其中一把直尺边缘和射线重合，而另一把直尺的下边缘与射线重合，记两把尺的接触点为点．上边缘与射线相交于点，连接．若，则的大小为______． 【答案】 【分析】本题考查了角的平分线的判定定理，平行线的性质，熟练掌握角的平分线的判定定理是解题的关键．设上面的直尺与射线的交点为，直尺宽度为过点作于点，由直尺宽度可得，即可得到平分，则，最后由直尺平行可得． 【详解】解：如图，设上面的直尺与射线的交点为，直尺宽度为过点作于点， 则由直尺宽度可得， ∴平分， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．如图，的延长线于，于，若，，求证：平分． 【答案】证明：∵，， ∴和都是直角三角形， 在和中，， ∴， ∴， ∴平分． 【分析】利用证明，得出，根据角平分线的判定定理即可得出结论． 【详解】略． 题型5.角平分线性质的实际应用 1．某学校内有三条主干道，分别连接教学楼A、实验楼B、图书馆C，形成了一个如图所示的三角形区域，学校计划在这个三角形区域内修建一个校园超市，要求校园超市到三条主干道的距离都相等，那么这个校园超市应建在的位置是（   ） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线判定定理的应用．根据“到角两边的距离相等的点在角的平分线上”，即可获得答案．理解到角两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 【详解】解：要求校园超市到三条主干道的距离都相等，那么这个校园超市应建在的位置是三条角平分线的交点． 故选：C． 2．点在内，且到三边的距离相等，若，则______． 【答案】/118度 【分析】根据到三边的距离相等得到点是角平分线的交点，即可得到，再利用三角形内角和进行角度计算即可． 【详解】， ， 点到三边的距离相等， 点是角平分线的交点， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的判定以及角平分线性质的运用；得到点是三角形角平分线的交点是解题关键． 3．如图，在中，，，： (1)如图1，当为中边上的高线时，求的长； (2)如图2，当为的角平分线时，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了勾股定理、角平分线的定义、三角形的高． 根据为中边上的高线，可知，设，利用勾股定理可得：，解方程求出的值，即为的长，再用勾股定理求出的长即可； 过点作，可证，根据全等三角形的性质可以求出，设，则，利用勾股定理可得：，解方程求出的值即为的长度． 【详解】（1）解：设， ， ， ， ， ， ， 解得：， ； （2）解：如下图所示，过点作， ， 为的平分线， ， 在和中，， ， ，， ， ， 由可知，， ， 设， 则，， 在中，， ， 解得：， ． 题型6.等腰三角形的定义 1．已知一个等腰三角形的两边长分别为9和4，则它的周长为（     ） A．17 B．18 C．22 D．22或17 【答案】C 【分析】解题时需要分情况讨论边长，再根据三角形任意两边之和大于第三边，排除不能构成三角形的情况，即可得到正确结果． 【详解】解：分两种情况讨论： 1. 当腰长为时，三角形三边长为 ， ，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，此种情况舍去. 2. 当腰长为时，三角形三边长为 ， ，满足三角形三边关系，可以构成三角形， 周长为. 综上，该等腰三角形的周长为． 2．等腰三角形一腰上的中线，将三角形的周长分成两部分，分别是12与15，则腰长为______． 【答案】8或10 【分析】设腰长为，底边长为，根据题意分两种情况列方程组求解，再检验结果是否符合三角形三边关系即可. 【详解】解：设等腰三角形的腰长为，底边长为，根据题意得或， 解得或， 经检验，两组解均满足三角形三边关系； 因此等腰三角形的腰长为或. 3．已知，在中，，，． (1)求的取值范围； (2)若为等腰三角形，求的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查了求不等式组的解集，等腰三角形的定义，三角形三边关系． （1）根据三角形三边关系列不等式组求解即可； （2）分情况作答即可． 【详解】（1）解：根据三角形三边关系可得， ， 解得：， 故的取值范围为； （2）解：若为等腰三角形，分情况讨论：，，． ①当时，， 解得， 三角形三边为4，4，10，不满足三角形三边关系； ②当时，， 解得， 三角形三边为4，10，10，满足三角形三边关系； ③当时，，不构成三角形，不合题意； 的值为4． 题型7.等边对等角 1．如图，在中，，，点D，P分别是图中所作直线和射线与，的交点．根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据尺规作图判定出角平分线与线段垂直平分线，再利用等腰三角形性质求出各角度数，最后逐一比对选项判断正误； 【详解】解：∵ 由尺规作图痕迹可知，射线是的角平分线， ∴ ，故选项A正确． ∵ 由尺规作图痕迹可知，所作直线为线段的垂直平分线，点在该直线上， ∴ ，故选项B正确． ∵ ，， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∵ ，， ∴，故选项C错误． ∵平分， ∴ ． 在中， 根据三角形内角和为， ， 故选项D正确． 2．如图，在中，，平分交于点D，若点D恰好落在线段的垂直平分线上，则 ______． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、角平分线的定义、垂直平分线的性质等知识． 根据垂直平分线的性质有，可得，结合角平分线的性质可得到和的关系，问题随之得解． 【详解】解：∵点D恰好落在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．如图，已知在四边形中，点E在上，，，．求证： (1)； (2)平分． 【答案】(1)证明：，， ， 又∵，， ； (2)证明：， ， ． ， ， 平分． 【分析】（1）首先得到，然后证明； （2）首先利用全等三角形的性质得到，得到，等量代换得到，即可得到平分． 【详解】（1）略 （3） 略 题型8.三线合一 1．如图，等腰三角形中，，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵等腰三角形中，，， ∴平分 ∴． 2．如图，在△中，，是的中点，在的延长线上取点，连接，若，，则为________． 【答案】/20度 【分析】本题考查等腰三角形的三线合一性质，关键是先利用等腰三角形底边上的中线平分顶角的性质求出的度数，再通过角的和差关系计算的度数． 【详解】解：∵在△中，，是的中点， ∴平分， ∵， ∴， 又∵， ∴； 故答案为：． 3．如图，等腰三角形的底边的长为，腰的垂直平分线分别交于点．若为边的中点，为线段上一动点，若的周长的最小值为，求的面积． 【答案】 【分析】连接、，根据中垂线的性质，，得到，结合垂线段最短，可知当三点共线，且时，有最小值，推出，再利用面积公式进行计算即可． 【详解】解：连接．如图所示 是等腰三角形． ． ∵点为边的中点，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴的长为的最小值, ∴的周长的最小值为， ∴， ∴， 即的面积为. 题型9.格点图中画等腰三角形 1．如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点，使得是等腰直角三角形，满足条件的格点的个数是（   ） A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定，正确画出图形是解题的关键．分两种情况讨论：①为等腰直角底边；②为等腰直角其中的一条腰；画出图形，即可解决问题． 【详解】解：如图，分两种情况讨论： ①为等腰直角底边时，符合条件的格点C有0个； ②为等腰直角其中的一条腰时，符合条件的格点C有3个； 综上所述，满足条件的格点C的个数是3个． 故选：B． 2．如图，已知在6×6的网格中（每个小正方形的边长为1），A、B两点都在格点（小正方形的顶点）上。请在图中找一点C，使为等腰三角形，此时腰长为______． 【答案】或或5 【分析】分为底边和腰两种情况解答即可． 本题考查了网格作图，勾股定理，等腰三角形的判定，熟练掌握基本作图是解题的关键． 【详解】解：连接，且，如图，当为腰时，此时； 如图，当为底边时，此时； 如图，当为底边时，此时； 综上所述，符合题意的等腰三角形顶点C，使得等腰三角形的腰长为或或5． 故答案为：或或5． 3．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形： (1)在图甲中，找一个格点，使得，，三点构成的三角形为等腰三角形． (2)在图乙中，找一个格点，使得，，三点构成的三角形是以为直角边的直角三角形； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了应用设计与作图，正确理解等腰三角形和直角三角形是解题关键． （1）根据等三角形的定义进行作图即可； （2）根据直角三角形的定义进行作图即可． 【详解】（1）解：如图，点D即为所作，（答案不唯一） （2）解：如图，点C即为所作（答案不唯一） 题型10.找出图中的等腰三角形 1．如图，已知中，，，，若过的顶点的一条直线将分割成两个三角形，使其中有一个边长为6的等腰三角形，则这样的直线最多可画（   ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】C 【分析】此题主要考查了等腰三角形的定义，根据等腰三角形的性质分别利用为底以及为腰得出符合题意的图形即可． 【详解】解：如图所示，当，时，都能得到符合题意的等腰三角形．    综上，这样的直线最多可画4条． 故选：C． 2．如图，在中，已知边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，连接，则图中有______个等腰三角形． 【答案】3 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定可解答． 【详解】解：∵边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点， ， ， ∴都是等腰三角形； 故答案为：3． 3．如图，在中，，点D在上，点E在上，连接、，． (1)求证：； (2)如图2，当时，作于H，请找出图2中的所有等腰三角形（除外），并写出理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，，，，见解析． 【分析】（1）证出，证明，由全等三角形的性质得出． （2）根据等腰三角形的判定可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴； （2）解：，，， 理由：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴和都是等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 由（1）可知是等腰三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定及性质，证明是解题的关键． 题型11.根据等角对等边证明等腰三角形 1．在中，，，的对边长分别为，，．下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（   ） A．，， B． C．， D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，关键是根据由等腰三角形的定义与等角对等边的判定定理解答． 根据等腰三角形的判定定理，有两边相等或两角相等的三角形是等腰三角形．分别验证各选项是否符合判定条件． 【详解】解：A、 ， ∴ 是等腰三角形，能判定是等腰三角形，不符合题意； B、∵ ， ，没有两边相等， ∴ △ABC不是等腰三角形，不能判定是等腰三角形，符合题意； C、∵ ， ， ， ， 是等腰三角形，能判定是等腰三角形，不符合题意； D、， ， ， 是等腰三角形，能判定是等腰三角形，不符合题意； 故选：B． 2．把一张长方形纸片如图折叠，则的形状是_________． 【答案】等腰三角形 【分析】该题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定，熟练掌握折叠前后角度不变是解题的关键．根据折叠的性质得到，而，即可得，证得，从而得到的形状． 【详解】解：在长方形纸片中， ∴， 根据折叠可得， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 故答案为：等腰三角形． 3．如图，已知 (1)尺规作图：作的平分线，交于点D．（保留作图痕迹，不写作法，并标明字母） (2)在（1）的条件下，若交的延长线于点E，求证：是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据尺规作图-角平分线的作法作图即可； （2）先推导出，得到，证明出，则是等腰三角形，即可解答． 【详解】（1）解：如图①，即为所求； （2）证明：如图②， 由（1）知，平分， ， ∵， ， ， ， 是等腰三角形． 题型12.根据等角对等边证明边相等 1．如图，是的角平分线，过点作交于点，交的平分线于点，若，，则的长为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用“角平分线+平行线”构造出等腰三角形，从而将线段和转化为和的长． 【详解】解：是的角平分线， ， ， ， ， ， 平分， ， ，即， ， ， ， ． 2．如图所示，在中，平分，平分，，过点，若，，则的周长______． 【答案】30 【分析】由平分得到，由平行线的性质得到，从而可得，故．同理可得，．由此，的周长可转化为即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 同理可得，， ∴ ． 【点睛】利用角平分线和平行线的性质得出等腰三角形是求解此类问题常用的方法． 3．如图，与相交于点，，，，求证：． 【答案】证明：∵，， ∴． 在和中， ∴， ∴ ∴． 【分析】先证明得出，根据等角对等边，即可得证． 【详解】略 题型13.根据等角对等边求边长 1．如图，点为右侧一点，连接，若，则的长为（   ） A．2 B．4 C．5 D．8 【答案】B 【分析】根据等角对等边，由 可得 ，由 可得 ，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．如图，在中，、的平分线交于点，过点作交、于点、．当，时，的长为______． 【答案】 【分析】由角平分线的定义，结合平行线的性质，可得，，可得，，即可得的长． 【详解】解：∵在中，、的平分线交于点， ∴，， ∵过点，交、于点、， ∴，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴． 3．如图，在中，D是边上的一个动点，过点D作交于点E，且平分，在边上取点F，使． (1)求证：为等腰三角形； (2)过点D作于点M，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线性质，熟练掌握相关性质定理为解题关键． （1）根据角平分线的定义得，结合平行线的性质可证，然后根据等腰三角形的判定方法即可得解； （2）利用等腰三角形的性质求得，再利用等腰直角三角形的判定和性质即可求解． 【详解】（1）证明：平分， ， 又， ， ， 为等腰三角形； （2）解：如图， 为等腰三角形，， ， ， 在中，， 是等腰直角三角形， ， 则的长为4． 题型14.等腰三角形的性质和判定综合 1．如图，在中，的角平分线和相邻的外角平分线交于点，过点作交于，交于，若，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角平分线结合平行可以得到等腰三角形即：，进而可求. 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∵， ∴， ∴ ． 2．如图，在中，，沿方向平移得到，，连接，．则的度数为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平移的性质，等腰三角形的判定与性质等知识． 根据平移可得，，进而根据平行线的性质可得的角度，再证明是等腰三角形，问题得解． 【详解】解：∵沿方向平移得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰三角形， ∴． 3．如图，B、E、C、F是直线L上的四点，、相交于点G，，，．求证：是等腰三角形． 【答案】见详解 【分析】先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的判定可得，由此即可得证． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 题型15.等边三角形的性质 1．如图，直线，等边的顶点B在直线n上，直线m交边于点D．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质得出，结合求出，再利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图， 是等边三角形， ， ∴， ， （两直线平行，同位角相等）． 2．已知为等边三角形，为的高，延长至E，使，连接，则_____． 【答案】3 【分析】由等边三角形的性质得出，，即可得出，最后根据线段的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵为等边三角形，为的高， ∴，， ∴， ∴． 3．已知：如图，等边三角形的顶点分别在等边三角形的边上．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】证明，，对应边相等． 【详解】证明：∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∴． 题型16.等边三角形的判定 1．在中，，，则的形状是（） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质得到底角相等，再利用三角形内角和定理求出三个内角的度数，即可判断三角形的形状． 【详解】解：∵在中，， ∴是等腰三角形， ∵ ∴是等边三角形． 2．如图，，，连接，交于点E．若，，则________． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的判定、等边三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据垂直平分线的判定可知是的垂直平分线，则有，再证明是等边三角形，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：． 3．如图，在中，，点D是的中点，连接，点在的左侧，连接、，，平分，且．求证：是等边三角形． 【答案】证明见解析 【分析】根据等腰三角形的性质可得，，，由角平分线的定义可得，从而得到，由可得，从而得到，即可求解． 【详解】证明：，点是的中点， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形． 题型17.等边三角形的判定和性质综合 1．如图，已知是等边三角形，点，分别在边，上，若，的周长为，，则的长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握相关知识是关键． 由等边三角形的性质可得，，结合可证明也是等边三角形，则． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 故选：B． 2．如图，已知是等边三角形，点E，F分别在边上，若，的周长为21，，则的长为________． 【答案】5 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握相关知识是关键． 由等边三角形的性质可得，，结合可证明也是等边三角形，则． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：5． 3．如图，在等边三角形的三边上分别取点，，，使．试判定的形状，并说明理由． 【答案】解：是等边三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． 【分析】由等边三角形的性质容易证明，则，，利用等量代换可得，因此是等边三角形． 【详解】略 题型18.含30度角的直角三角形 1．如图，在中，，，于点A，与边交于点D，若，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据等边对等角，求出，角的和差关系推出，进而得到，根据含30度角的直角三角形的性质，得到，再根据，进行求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∵于点A， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 2．如图，已知，，D为平分线上一点交于F，于E，若，则_____________． 【答案】 4 【分析】过点D作于点G，根据角平分线的性质得到，再根据含角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：过点D作于点G， ∵点D为平分线上，，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，． 3．如图，在中，，过点作，垂足为，且是边的中点． (1)求证：是等边三角形； (2)尺规作图：在线段上求作点，使得（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1)证明见解析 (2)见解析 【分析】1）先证垂直平分，得到，再由证得三边相等，由此证得结论； （2）作的角平分线即可求解． 【详解】（1）证明：，是边的中点， 垂直平分， ， ， ， 是等边三角形； （2）解：如图所示， ∵是等边三角形，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 题型19.斜边中线等于斜边的一半 1．如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离是（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题意判断 为直角三角形，再利用斜边中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出 、 两点间的距离． 【详解】解：， 是直角三角形，， 是的中点，， ∴． 2．如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7，则的长度为_________． 【答案】 【分析】先根据刻度尺刻度求出的长度，再利用直角三角形斜边上的中线的性质求出的长度． 【详解】解：由题意可知，，，． ∴， 在中，，是斜边上的中线， ． 3．已知：如图，分别是的中点．求证：． 【答案】证明：如图：连接， ∵分别是的中点． ∴在中，，在中，， ∴ 又∵N是的中点， ∴． 【分析】如图：连接，利用直角三角形斜边上的中线长度等于斜边长度的一半可得、，即；再利用等腰三角形三线合一的性质即可证明结论． 【详解】证明：略． 题型20.直角三角形的两个锐角互余 1．如图，点，在直线上，点，在直线上，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由垂直意义及三角形内角和求得的度数，再由平行线的性质即可求解． 【详解】解：设交于点O，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．中，，，的平分线交于D，，则_______． 【答案】 【分析】由角平分线得到，由直角三角形两锐角互余求出，从而，根据“等角对等边”即可求解． 【详解】解：如图， ∵，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 3．如图，在中，，于，平分交于，交于F． (1)如果，求的度数； (2)试说明：． 【答案】(1)； (2)证明：， ， ， ， ， 平分交于， ， ， ， ． 【分析】（1）根据三角形内角和可得的度数，根据角平分线的定义可得的度数，根据直角三角形的性质可得的度数； （2）根据直角三角形的两锐角互余可得，，根据角平分线的定义可得，从而可得，进而可知． 【详解】（1）解：，， ， 平分交于， ， ； （2）略． 题型21.利用锐角互余判定直角三角形 1．在中，，则是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的判定． 由三角形的内角和定理，结合已知可得，即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴是直角三角形． 故选：B． 2．在中，，则___________，___________，是___________三角形． 【答案】 直角 【分析】本题考查直角三角形的判定． 由三角形的内角和定理，可得，，，即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∴是直角三角形． 故答案为：，，直角． 3．如图，在中，是过点A的直线，于点于点E，且． (1)与全等吗？请说明理由； (2)求的面积． 【答案】(1)全等，理由见详解 (2)18 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形两锐角互余、三角形面积公式等知识，证明是解题关键． （1）利用“”证明与全等即可； （2）结合全等三角形的性质证明，然后由三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：与全等，理由如下： ∵，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴的面积． 题型22.旋转模型（全等三角形的辅助线问题） 1．如图，Rt中，，，，，为直线上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，则的最小值是（ 　  ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取线段的中点，过点作，连接，由已知条件可证明和全等，得到，已知点为直线上的一个动点，根据垂线段最短，当点运动到点的时候，取得最小值，也即线段的长度，根据特殊直角三角形的性质即可求得的长度． 【详解】解：如图所示，取线段的中点，过点作，并且连接， ，，， 在Rt中， ， ， ， ， 即：， ， ， 在和中， ， ， ， 点为直线上的一个动点， ； ，且，， ， 即：， 则的最小值是． 故选D． 【点睛】本题考查了旋转的性质、直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的性质和判定以及垂线段最短等知识点，正确利用相关性质将求线段的最小值转化为求线段的最小值是解这道题的关键，同时，需要熟练掌握并灵活运用旋转、全等三角形的性质和判定等知识点． 2．如图，在长方形中，，点P为边上的一个动点，以为边向右作等边，连接．当点落在边上时，的度数为 _________；当线段的长度最小时，的度数为 ________． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识．当点落在边上时，作出图形，根据等边三角形的性质，可求出的度数；以为边向右作等边，连接．利用全等三角形的性质证明，推出点在射线上运动，当时，的长最小，设交于点，再证明是等腰直角三角形，可得结论． 【详解】解：当点落在边上时，如图， 是等边三角形， ， ； 以为边向右作等边，连接． 是等边三角形，等边， ，，， ， 在和中， ， ， ， 点在射线上运动， 如图，设交于点， 当时，的长最小，此时， ∴， ∴， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：，． 3．在直角中，，，是边上一动点，连接，以为边在的右侧作一个等边，连接． (1)如图1，当平分时，证明是等边三角形； (2)如图2，证明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是构造手拉手模型证明全等． （1）由平分可证，，从而可得，再结合在等边中，，，可证明，，由有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形得出结论． （2）延长到，使，连接，容易证明，再证明，可得，由此即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 又∵平分，即， ∴，， ∴， ∵在等边中，，， ∴，， ∴是等边三角形． （2）延长到，使，连接， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴． ✺巩固测试 一、单选题 1．如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，若的周长为20，，则的周长为（     ） A．17 B．18 C．16 D．12 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的概念和性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：是的垂直平分线， ，， 的周长为20， ， ， ， 的周长． 2．若一个等腰三角形的三条边长均为整数且周长为，其底边长的所有取值为（     ） A．，， B．，，， C．， D． 【答案】C 【分析】设底边长和腰长，根据周长得到两者关系，结合三角形三边关系和边长为整数的条件，求出所有符合条件的底边长即可． 【详解】设等腰三角形底边长为，腰长为，，均为正整数， 周长为， ， ，， ， 根据三角形三边关系可得， ，解得， ， 是正整数， 或， 当时，； 当时，； 即该等腰三角形的底边长为和． 3．如图，在中，，和的平分线分别交于点F，G，若，，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．8 【答案】B 【分析】由和角平分线的性质可得，根据等角对等边得出，再由线段的和差关系可得的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵和的平分线分别交于点F，G， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴. 4．如图，等边三角形中，，与相交于点P，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质得到，，结合，证明，得到，结合，可得，即得答案． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ． 二、填空题 5．如图，中，是的平分线，是边上的中线，若的面积是，，，则的面积是__________． 【答案】 【分析】过点分别作、的垂线，垂足为、，由角平分线的性质可得，从而得到，则，由中线的性质可得． 【详解】解：如图，过点分别作、的垂线，垂足为、， ∵是的平分线，且，， ∴， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴． 6．如图，在中，，是上的一点，连接，点在上，连接、，，若，，则的长是______． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、的直角三角形的性质． 先证明，得到，再由等腰三角形三线合一的性质得到，最后再利用所对的直角边等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：∵在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴． 7．如图，在中，，分别以点B，A为圆心，，长为半径作弧，两弧交于点D，连接，交的延长线于点E有下列结论：①；②；③；④垂直平分线段．其中正确结论是_________． 【答案】①②③④ 【分析】本题主要考查直角三角形的两锐角互余，三角形外角的性质，含角的直角三角形的性质，线段的垂直平分的判定，三角形的面积公式，等腰三角形的判定，等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点是做题的关键．根据题意逐项分析判断即可． 【详解】解：如图， 连接，， ， ． 故①正确； 由作图得，，， 则点B，点A均在线段的垂直平分线上， 即垂直平分线段． 故④正确； 垂直平分线段， ． ， ， ． ， ， ． 故②正确； ， ． ， 为等边三角形， ． 故③正确． 综上，正确结论是①②③④． 故答案为：①②③④． 8．如图，中，，，的垂直平分线相交于点P，分别交于点E，F，与，分别交于点D，G．，若的周长是，则________． 【答案】6 【分析】本题考查垂直平分线的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，直角三角形的判定及性质，掌握相关的知识是解题的关键． 连接，，，由垂直平分线的性质得到，，从而由的周长是得到，根据，结合，，可得，证明，，得到，再由等腰三角形的“三线合一”与直角三角形斜边上中线的性质即可求解． 【详解】解：连接，，， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∵的周长是，即， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∵，， ∴点H是的中点， ∴． 故答案为：6． 三、解答题 9．如图，在中，是的平分线，于，于，在上，．求证： (1)； (2)如果，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积等知识点，灵活运用全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）根据角平分线的性质可得，再运用证明，最后根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）由可得，然后分别求得、，然后再根据求解即可． 【详解】（1）证明：平分，，， 、， 在和中， ， ， ； （2）解：，， ， 、， ，， ， ． 10．如图，在中，，点在的延长线上，过点作于点，交于点． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用等腰三角形得，结合，推出；再由对顶角相等，得，根据“等角对等边”得，从而证明结论． （2）过作，由（1）的结论，用“等腰三角形三线合一”得；再由及，推得；最后用证明，得，等量代换得结论． 【详解】（1）证明：， ． ， ， ，， ． ， ， ， 是等腰三角形． （2）证明：如图，过点作于点． ， ． ，，， ， ． ，， ， ， ． 11．如图，已知在中，于，于，，分别是，的中点． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)的面积为 【分析】本题主要考查直角三角形、等腰三角形的性质和勾股定理，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． （1）连接、，由直角三角形的性质可求得，则由等腰三角形的性质可证明； （2）由条件可求得、，在中可求得，则可求得的面积． 【详解】（1）证明：连接、，如下图所示： ∵，点为中点， ∴， 同理可得， ∴， ∵点为中点， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵点为中点，， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴， ∴的面积为． 12． 已知为等边三角形． (1)如图1，点D为边上一点，以为边作等边，连接，求证：； (2)如图2，当点D在边的延长线上时，以为边作等边， 判断线段、、的关系，并说明理由； (3)如图3，以为腰作等腰直角三角形，取斜边的中点E，连接，交于点F．直接写出线段，，之间存在何种数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，添加恰当辅助线是本题的关键． （1）由证明，可得结论； （2）由和都是等边三角形，则，得到，证明，得到，进而求解； （3）在上截，连接，证明，由全等三角形的性质得出，，证明是等边三角形，可得，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （2）解：、、之间存在的数量关系是：．理由如下： 如图，连接， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：． 证明：在上截，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵E为斜边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03线段垂直平分线与角平分线、等腰三角形 暑假预习讲义 （苏科版◆新教材） ✺学习目标： 1.概念熟记：熟记线段垂直平分线、角平分线、等腰 / 等边三角形的定义、性质与判定，规范书写几何符号语言。 2.实操应用：掌握内心、外心概念与特征，能区分二者。会作对应辅助线，运用定理完成线段、角度计算与简单几何证明。 3.能力应用：吃透等腰三角形三线合一，掌握等边三角形、含 30° 直角三角形性质与判定。 ✺题型归纳： 题型1.线段垂直平分线的性质 题型2.线段垂直平分线的判定 题型3.角平分线的性质定理 题型4.角平分线的判定定理 题型5.角平分线性质的实际应用 题型6.等腰三角形的定义 题型7.等边对等角 题型8.等腰三角形三线合一 题型9.格点图中画等腰三角形 题型10.找出图中的等腰三角形 题型11.根据等角对等边证明等腰三角形 题型12.根据等角对等边证明边相等 题型13.根据等角对等边求边长 题型14.等腰三角形的性质和判定综合 题型15.等边三角形的性质 题型16.等边三角形的判定 题型17.等边三角形的判定和性质综合 题型18.含30度角的直角三角形 题型19.斜边中线等于斜边的一半 题型20.直角三角形的两个锐角互余 题型21.利用锐角互余判定直角三角形 题型22.旋转模型（全等三角形的辅助线问题） ✺知识◆清单 一、线段的垂直平分线 1.定义 ：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线，简称中垂线。 如下图：直线MN垂直于线段AB，且平分线段AB，AC=BC,因此直线MN是线段AB的垂直平分线。 轴对称属性: 线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的一条对称轴。 性质定理:线段垂直平分线上的点，到这条线段两个端点的距离相等。 几何语言:∵点P在线段AB的垂直平分线上，∴PA=PB. 判定定理: 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 几何语言：∵ PA=PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上. 性质与判定的互逆关系: 线段垂直平分线的性质定理与判定定理互为逆命题： 性质：点在垂直平分线上⟹ 到线段两端距离相等； 判定：到线段两端距离相等⟹ 点在垂直平分线上。 三角形外心：三角形三边的垂直平分线相交于一点，该点称为三角形的外心； 外心到三角形三个顶点的距离相等。 锐角三角形：外心在三角形内部； · 直角三角形：外心为斜边中点； · 钝角三角形：外心在三角形外部。 尺规作图（作已知线段的垂直平分线） 1 分别以线段两端点为圆心，大于线段一半的长度为半径画弧，两组弧在线段两侧各交于一点； ② 连接两组弧的交点，所得直线即为该线段的垂直平分线。 ★常用辅助线：已知点在线段垂直平分线上，连接该点与线段两个端点，构造相等线段。 二、角平分线 两类角平分线区分 （1）角的平分线：平分一个角的射线； 角是轴对称图形，角平分线所在直线为角的对称轴。 （2）三角形的角平分线：三角形内角平分线与对边相交，顶点与交点间的线段。 性质定理： 角平分线上的点，到角两边的垂线段长度相等。 几何语言：∵ OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥ OB于D ∴PC=PD 判定定理:在一个角的内部，到角两边垂线段距离相等的点，在这个角的平分线上。 几何语言：∵PC=PD，PC⊥OA于C，PD⊥ OB于D ∴点P在∠AOB的平分线上 性质与判定的互逆关系 ：角平分线性质定理与判定定理互为逆命题 性质：点在角平分线上⟹ 点到角两边垂距相等； 判定：角内部点到两边垂距相等⟹ 点在角平分线上。 注意：判定定理必须满足 “点在角内部”“垂直距离” 两个条件。 对比维度 角的平分线 三角形的角平分线 图形类型 射线 线段 教材定义 从角的顶点出发，将一个角分成两个相等角的射线 三角形内角的平分线与对边相交，顶点到交点间的线段 图形数量 单个角仅有 1 条 任意三角形共有 3 条 轴对称特点 角平分线所在直线为该角的对称轴 本身无对称轴，仅等腰三角形顶角平分线具备轴对称性 定理适用关系 角平分线性质、判定定理的研究主体，可直接使用 依托内角平分线射线，间接套用角平分线相关定理 交点相关性质 无多线相交概念 三条三角形角平分线交于一点，该交点为三角形内心，内心到三边距离相等 主要应用场景 证垂线段相等、判定点在角平分线上 结合三角形完成角度、线段计算，推导内心相关结论 三角形内心： 三角形三条角平分线相交于一点，该点称为三角形的内心；内心恒在三角形内部，内心到三角形三边的距离相等。 . ★角平分线常见辅助线： ① 作双垂线：过角平分线上一点，向角的两条边分别作垂线段，利用性质证线段相等； ②截等线段：在角的一条边上截取与另一边等长的线段，构造全等三角形； ③ 延长垂线：若线段垂直于角平分线，延长垂线与角另一边相交，构造等腰三角形。 三、等腰三角形 1.定义： 有两条边相等的三角形叫作等腰三角形。相等的两边称为腰，另一边为底边；两腰的夹角为顶角，腰与底边的夹角为底角。 轴对称属性： 等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线为其对称轴。 性质1：等腰三角形的两个底角相等。简称等边对等角 几何语言：∵ AB=AC∴∠B=∠C 性质2：等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。简称三线合一 ★等价推导： ① AB=AC，AD平分∠BAC⟹ AD⊥BC，BD=DC ②AB=AC，AD⊥BC ⟹ AD平分∠BAC，BD=DC ③ AB=AC，BD=DC ⟹ AD平分∠BAC，AD⊥BC 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等。简称等角对等边 几何语言：∵∠B=∠C，∴AB=AC 4、 等边三角形 定义： 三边相等的三角形叫作等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。 性质： ① 三边长度全部相等； ② 三个内角均相等，每一个内角都等于60°； ③ 等边三角形有三条对称轴，任意一角平分线、对应底边上的中线、高三线合一。 判定方法 ：① 三边相等的三角形是等边三角形； ② 三个内角都相等的三角形是等边三角形； ③ 有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形。 5、 直角三角形核心性质 性质：直角三角形的两个锐角互余，和为90°。 符号语言：在RtABC，∠C=90°，则∠A+∠B=90°。 直角判定：两角互余的三角形为直角三角形 文字表述：若一个三角形中有两个内角的和等于90°，则该三角形是直角三角形。 几何语言：∵∠A+∠B=90°，∴ABC为直角三角形，∠C=90° 直角三角形斜边中线定理 文字表述：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 几何语言： 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点 ∴CD=AB=AD=BD 含30°角的直角三角形性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 几何语言： ∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°∴BC=AB 六、补充通用解题要点 线段垂直平分线核心作用：证明线段相等，构造等腰三角形； 角平分线解题核心思路：遇平分作垂线，利用距离相等转化线段； 等腰三角形边角计算需分类讨论：已知边长 / 角度未指明腰、顶角时，分情况验证三角形内角和与三边关系； 直角三角形相关定理注意区分条件：互余判定直角、斜边中线得线段等量、30° 角关联边长倍数； ✺题型◆精讲 题型1.线段垂直平分线的性质 1．如图，DE是中边的垂直平分线．若，，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，连接，线段的垂直平分线交于点，线段的垂直平分线交于点，若，则的长为________． 3．如图，在等腰中，，垂直平分． (1)若的周长为35，求的长度； (2)若，求的周长． 题型2.线段垂直平分线的判定 1．幸福小区的三个出口A，B，C的位置如图所示．物业公司计划在不妨碍小区规划的前提下，在小区内修建一个电动车充电桩，要求到3个出口的距离都相等以方便业主，则充电桩应建在的（     ） A．3条高的交点处 B．3条中线的交点处 C．3条边的垂直平分线的交点处 D．3个角的平分线的交点处 2．如图，四边形的对角线相交于点O，，下列结论：①；②；③；④垂直平分．其中正确结论的序号是______． 3．如图，射线在内，点为射线上一点，过点作，，且． (1)求证：是的平分线； (2)连接，求证：． 题型3.角平分线的性质定理 1．如图，是的角平分线，于点E，于点F，，则的长是（     ） A．2 B． C．3 D．4 2．如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点E，，，则的面积等于__________． 3．如图，平分，，P为延长线上一点，于点M，于点N，求证：． 题型4.角平分线的判定定理 1．在内部，两个完全一样的三角板如图所示放置，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，两把完全相同的长方形直尺按如图方式摆放，把其中一把直尺边缘和射线重合，而另一把直尺的下边缘与射线重合，记两把尺的接触点为点．上边缘与射线相交于点，连接．若，则的大小为______． 3．如图，的延长线于，于，若，，求证：平分． 题型5.角平分线性质的实际应用 1．某学校内有三条主干道，分别连接教学楼A、实验楼B、图书馆C，形成了一个如图所示的三角形区域，学校计划在这个三角形区域内修建一个校园超市，要求校园超市到三条主干道的距离都相等，那么这个校园超市应建在的位置是（   ） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 2．点在内，且到三边的距离相等，若，则______． 3．如图，在中，，，： (1)如图1，当为中边上的高线时，求的长； (2)如图2，当为的角平分线时，求的长． 题型6.等腰三角形的定义 1．已知一个等腰三角形的两边长分别为9和4，则它的周长为（     ） A．17 B．18 C．22 D．22或17 2．等腰三角形一腰上的中线，将三角形的周长分成两部分，分别是12与15，则腰长为______． 3．已知，在中，，，． (1)求的取值范围； (2)若为等腰三角形，求的值． 题型7.等边对等角 1．如图，在中，，，点D，P分别是图中所作直线和射线与，的交点．根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是（   ） A．B． C． D． 2．如图，在中，，平分交于点D，若点D恰好落在线段的垂直平分线上，则 ______． 3．如图，已知在四边形中，点E在上，，，．求证： (1)； (2)平分． 题型8.三线合一 1．如图，等腰三角形中，，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在△中，，是的中点，在的延长线上取点，连接，若，，则为________． 3．如图，等腰三角形的底边的长为，腰的垂直平分线分别交于点．若为边的中点，为线段上一动点，若的周长的最小值为，求的面积． 题型9.格点图中画等腰三角形 1．如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点，使得是等腰直角三角形，满足条件的格点的个数是（   ） A．2 B．3 C．5 D．7 2．如图，已知在6×6的网格中（每个小正方形的边长为1），A、B两点都在格点（小正方形的顶点）上。请在图中找一点C，使为等腰三角形，此时腰长为______． 3．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形： (1)在图甲中，找一个格点，使得，，三点构成的三角形为等腰三角形． (2)在图乙中，找一个格点，使得，，三点构成的三角形是以为直角边的直角三角形； 题型10.找出图中的等腰三角形 1．如图，已知中，，，，若过的顶点的一条直线将分割成两个三角形，使其中有一个边长为6的等腰三角形，则这样的直线最多可画（   ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 2．如图，在中，已知边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，连接，则图中有______个等腰三角形． 3．如图，在中，，点D在上，点E在上，连接、，． (1)求证：； (2)如图2，当时，作于H，请找出图2中的所有等腰三角形（除外），并写出理由． 题型11.根据等角对等边证明等腰三角形 1．在中，，，的对边长分别为，，．下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（   ） A．，， B． C．， D． 2．把一张长方形纸片如图折叠，则的形状是_________． 3．如图，已知 (1)尺规作图：作的平分线，交于点D．（保留作图痕迹，不写作法，并标明字母） (2)在（1）的条件下，若交的延长线于点E，求证：是等腰三角形． 题型12.根据等角对等边证明边相等 1．如图，是的角平分线，过点作交于点，交的平分线于点，若，，则的长为（） A． B． C． D． 2．如图所示，在中，平分，平分，，过点，若，，则的周长______． 3．如图，与相交于点，，，，求证：． 题型13.根据等角对等边求边长 1．如图，点为右侧一点，连接，若，则的长为（   ） A．2 B．4 C．5 D．8 2．如图，在中，、的平分线交于点，过点作交、于点、．当，时，的长为______． 3．如图，在中，D是边上的一个动点，过点D作交于点E，且平分，在边上取点F，使． (1)求证：为等腰三角形； (2)过点D作于点M，若，求的长． 题型14.等腰三角形的性质和判定综合 1．如图，在中，的角平分线和相邻的外角平分线交于点，过点作交于，交于，若，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，沿方向平移得到，，连接，．则的度数为________． 3．如图，B、E、C、F是直线L上的四点，、相交于点G，，，．求证：是等腰三角形． 题型15.等边三角形的性质 1．如图，直线，等边的顶点B在直线n上，直线m交边于点D．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．已知为等边三角形，为的高，延长至E，使，连接，则_____． 3．已知：如图，等边三角形的顶点分别在等边三角形的边上．求证：． 题型16.等边三角形的判定 1．在中，，，则的形状是（） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 2．如图，，，连接，交于点E．若，，则________． 3．如图，在中，，点D是的中点，连接，点在的左侧，连接、，，平分，且．求证：是等边三角形． 题型17.等边三角形的判定和性质综合 1．如图，已知是等边三角形，点，分别在边，上，若，的周长为，，则的长为（    ）． A． B． C． D． 2．如图，已知是等边三角形，点E，F分别在边上，若，的周长为21，，则的长为________． 3．如图，在等边三角形的三边上分别取点，，，使．试判定的形状，并说明理由． 题型18.含30度角的直角三角形 1．如图，在中，，，于点A，与边交于点D，若，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．如图，已知，，D为平分线上一点交于F，于E，若，则_____________． 3．如图，在中，，过点作，垂足为，且是边的中点． (1)求证：是等边三角形； (2)尺规作图：在线段上求作点，使得（不写作法，保留作图痕迹）． 题型19.斜边中线等于斜边的一半 1．如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离是（     ）    A． B． C． D． 2．如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7，则的长度为_________． 3．已知：如图，分别是的中点．求证：． 题型20.直角三角形的两个锐角互余 1．如图，点，在直线上，点，在直线上，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．中，，，的平分线交于D，，则_______． 3．如图，在中，，于，平分交于，交于F． (1)如果，求的度数； (2)试说明：． 题型21.利用锐角互余判定直角三角形 1．在中，，则是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 2．在中，，则___________，___________，是___________三角形． 3．如图，在中，是过点A的直线，于点于点E，且． (1)与全等吗？请说明理由； (2)求的面积． 题型22.旋转模型（全等三角形的辅助线问题） 1．如图，Rt中，，，，，为直线上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，则的最小值是（ 　  ）． A． B． C． D． 2．如图，在长方形中，，点P为边上的一个动点，以为边向右作等边，连接．当点落在边上时，的度数为 _________；当线段的长度最小时，的度数为 ________． 3．在直角中，，，是边上一动点，连接，以为边在的右侧作一个等边，连接． (1)如图1，当平分时，证明是等边三角形； (2)如图2，证明：． ✺巩固测试 一、单选题 1．如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，若的周长为20，，则的周长为（     ） A．17 B．18 C．16 D．12 2．若一个等腰三角形的三条边长均为整数且周长为，其底边长的所有取值为（     ） A．，， B．，，， C．， D． 3．如图，在中，，和的平分线分别交于点F，G，若，，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．8 4．如图，等边三角形中，，与相交于点P，则的度数是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 5．如图，中，是的平分线，是边上的中线，若的面积是，，，则的面积是__________． 6．如图，在中，，是上的一点，连接，点在上，连接、，，若，，则的长是______． 7．如图，在中，，分别以点B，A为圆心，，长为半径作弧，两弧交于点D，连接，交的延长线于点E有下列结论：①；②；③；④垂直平分线段．其中正确结论是_________． 8．如图，中，，，的垂直平分线相交于点P，分别交于点E，F，与，分别交于点D，G．，若的周长是，则________． 三、解答题 9．如图，在中，是的平分线，于，于，在上，．求证： (1)； (2)如果，，，求的面积． 10．如图，在中，，点在的延长线上，过点作于点，交于点． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，求证：． 11．如图，已知在中，于，于，，分别是，的中点． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 12． 已知为等边三角形． (1)如图1，点D为边上一点，以为边作等边，连接，求证：； (2)如图2，当点D在边的延长线上时，以为边作等边， 判断线段、、的关系，并说明理由； (3)如图3，以为腰作等腰直角三角形，取斜边的中点E，连接，交于点F．直接写出线段，，之间存在何种数量关系． 学科网（北京）股份有限公司 $