第02讲 全等三角形的性质与基础判定及尺规作图 讲义 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

本讲义聚焦全等三角形的定义、性质、判定定理及尺规作图核心知识，构建“定义→性质（对应边与角相等及拓展性质）→判定（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）→作图（依据全等原理）”的逻辑学习支架，形成边角互推的完整知识链。 资料通过6个易错辨析（如SSA、AAA判定误区）、9个典例精讲（含测量池塘距离等生活实例）强化推理意识，规范作图要求培养几何直观，课中辅助教师突破重难点，课后助力学生通过分层作业查漏补缺，发展应用意识与严谨思维。

第02讲 全等三角形的性质与基础判定及尺规作图 （核心知识+6易错辨析+9典例精讲+课后作业） 【知识点01】全等三角形的定义 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。重合的顶点为对应顶点，重合的边为对应边，重合的角为对应角。 规范书写：记全等三角形时，必须将对应顶点字母按顺序书写（如△ABC≌△DEF），可直接通过字母顺序确定对应边、对应角。 【知识点02】全等三角形的性质（必考） 1. 基础性质：对应边相等，对应角相等（解题核心依据）。 2. 拓展性质：全等三角形的对应中线、对应高、对应角平分线相等，周长相等、面积相等。 3. 图形变换性质：平移、旋转、翻折（轴对称）前后的三角形全等，位置改变，形状、大小不变。 【知识点03】全等三角形基础判定定理（普通三角形4种，直角三角形专属1种） 判定核心：只需3组对应元素相等，且必须包含至少一组对应边相等，边角位置需符合定理要求。 1. SSS（边边边） 三边对应相等的两个三角形全等。适用于已知三条边长、无角度条件的题型。 2. SAS（边角边） 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。关键点：角必须是两条已知边的夹角，非夹角不成立。 3. ASA（角边角） 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。关键点：边必须是两个已知角的公共夹边。 4. AAS（角角边） 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。与ASA互补，无需夹边，任意一组对边即可。 5. HL（斜边直角边，仅限直角三角形） 直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等，两个直角三角形全等。无需考虑其他边角，是直角三角形专属最简判定方法。 【知识点04】全等三角形核心尺规作图（苏科版重点） 所有作图要求：保留作图痕迹，不写作法（题目要求除外），作图结果精准规范。 1. 作一个三角形与已知三角形全等 常用依据：SSS、SAS、ASA，根据题目给定条件选择对应作图方法，是后续复杂作图的基础。 2. 作已知角的平分线 作图原理：SSS全等判定。核心结论：角平分线上的点到角两边的距离相等。 3. 过一点作已知直线的垂线 分为点在直线上、点在直线外两种情况，作图原理均为SSS全等，是几何作图高频考点。 4. 作线段的垂直平分线 作图原理：SSS全等。核心结论：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 易错点1：混淆对应关系，书写不规范 错误表现：随意书写全等符号，对应顶点错位，导致找错对应边、对应角。 正确规则：全等式字母顺序=对应关系，解题先看全等式，再找边角等量关系。 易错点2：误用SSA、AAA判定全等（绝对不成立） 1. SSA：两边及其中一边的对角对应相等，不能判定全等，存在两种不同三角形的情况。 2. AAA：三个角对应相等（相似三角形），只能证明形状相同，大小不一定相等，不能判定全等。 易错点3：SAS、ASA边角位置判断错误 1. SAS必须是夹角，非夹角的两边一角是SSA，判定无效； 2. ASA必须是夹边，两角对边相等是AAS，二者不可混淆，定理混用会导致解题失分。 易错点4：HL定理使用范围混淆 错误表现：普通三角形使用HL判定，或直角三角形误用普通判定定理复杂化解题。 正确规则：HL仅适用于直角三角形，非直角三角形一律不能使用；直角三角形优先尝试HL判定。 易错点5：概念误区：周长、面积相等≠全等 周长相等或面积相等的两个三角形，形状、边长不一定完全相同，不一定全等；全等三角形一定周长、面积相等，反之不成立。 易错点6：尺规作图痕迹不规范 常见问题：遗漏圆弧痕迹、线条虚实不分、垂直平分线只画直线未画两端圆弧。 得分关键：所有作图圆弧痕迹必须保留，辅助线用虚线，作图结果用实线。 【题型一】图形的全等 【例1】．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）下列各组图形中，属于全等图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段检测）下列5个说法： ①两个形状相同的图形称为全等图形； ②两个圆是全等图形； ③两个正方形是全等图形； ④全等图形的形状和大小都相同； ④面积相等的两个三角形是全等图形． 其中，说法正确的是___________． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）下列各组图形中，一定是全等图形的是（　　） A．两个底边相等的等腰三角形 B．两个斜边相等的直角三角形 C．两个周长相等的长方形 D．两个面积相等的圆 【变式3】．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）（1）判断两个图形是不是全等图形的关键是看两个图形能否 _________． （2）试找出图中的全等图形：________________． 【题型二】将已知图形分割成几个全等图形(全等图形） 【例2】．试在下列两个图中，沿正方形的网格线（虚线）把这两个图形分别分割成两个全等的图形，将其中一部分涂上阴影． 【变式1】．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段检测）用不同的方法沿着网格线把正方形分割成两个全等的图形．（至少画3种，分割线用粗实线） 【变式2】．知识重现：“能够完全重合的两个图形叫做全等形．” 理解应用：我们可以把4×4网格图形划分为两个全等图形． 范例：如图1和图2是两种不同的划分方法，其中图3与图1视为同一种划分方法． 请你再提供四种与上面不同的划分方法，分别在图4中画出来． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段检测）图（），图（）都是由边长为的小正方形和腰长为的等腰直角三角形组成的图形． (1)用实线把图（）分割成六个全等图形； (2)用实线把图（）分割成四个全等图形． 【题型三】全等三角形的概念与性质 【例3】．（25-26八年级上·江苏南京·期中）下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．周长相等的两个三角形全等 D．全等三角形的对应边相等 【例4】．（25-26八年级上·江苏·期末）如图，，若，，，则的长为________． 【例5】．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，，求的长． 【变式1】．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段检测）下列说法中，正确的有(　　) ①形状相同的两个图形是全等形；②面积相等的两个图形是全等形；③全等三角形的周长相等，面积相等；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】．（22-23八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，已知AB=AC，D为∠BAC的角平分线上的一点，连接BD，CD；如图2，已知AB=AC，D、E为∠BAC的角平分线上的两点，连接BD，CD，BE，CE；如图3，已知AB=AC，D、E、F为∠BAC的角平分线上的三点，连接BD，CD，BE，CE，BF，CF；…，依次规律，第5个图形中有全等三角形的对数是_____． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，于点D，．完成下面说明的理由的过程． 解：（已知）， ___________（垂直的定义）． 当把图形沿AD对折时，射线DB与DC___________． （___________） 点B与点___________重合， 与___________， ___________（全等三角形的定义）， （___________）． 【题型四】SSS判定三角形全等 【例6】．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，分别以的顶点A，C为圆心，边，为半径画弧，两弧交于点D，连接，，可以判定，理由是（   ） A． B． C． D． 【例7】．（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）如图，的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，称这样的三角形为格点三角形，那么图中与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是__________． 【例8】．（25-26八年级上·江苏·期末）如图，在和中，，，求证：，并写出与的关系． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图是一个平分角的仪器，其中，．将点A放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线，就是这个角的平分线．此仪器的原理是（　　） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）工人师傅常用角尺平分一个任意角．作法如下：如图所示，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合，过角尺顶点C的射线即是的平分线．这种作法的依据是______．（选填“”“”“”“”“”） 【变式3】．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）已知：如图，，，点、、在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若．求的度数． 【题型五】SAS判定三角形全等 【例9】．（22-23八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图1，已知，D为的角平分线上一点，连接；如图2，已知，D、E为的角平分线上两点，连接；如图3，已知，D、E、F为的角平分线上三点，连接；…，依此类推，第n个图形中全等三角形的对数是（ ） A． B． C． D． 【例10】．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，为了测量池塘两端A、B的距离，小红在地面上选择了点O、C、D，，，且点A、O、C和点B、O、D分别都在一条直线上，就可以知道A、B之间的距离．那么判定的理由是______． 【例11】．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）如图，，，，求证∶ ． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）为了测量一池塘两端的距离，如图在平地取一个可直接到达的点，连接，并分别延长到点，延长到点，使，测出的长即为的距离，是运用了“全等三角形的对应边相等”这一性质，其运用判定全等的方法是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，已知长方形的边长，，点在边上，，如果点在线段上从点向点运动，同时，点在线段上从点向点运动，已知点的运动速度是．则点运动速度为_____时，与全等． 【变式3】．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，点在同一条直线上，点分别在直线的两侧，且，．    (1)求证：； (2)若，求的长． 【题型六】ASA(AAS)判定三角形全等 【例12】．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，为测量坪山河宽度，某同学在河岸边选定观测点和，在岸边标记目标点、，使，并利用测角仪测得．此时，利用三角形全等的性质，测量长度即可得到河宽．要说明两个三角形全等最恰当的理由是（   ） A． B． C． D． 【例13】．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知，若以“ASA”判定，需添加的条件是______．    【例14】．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）已知，如图，点、分别在、上，，、相交于点，，求证： (1)； (2)． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，，，垂足分别为，，，．若，，则的长度是（   ） A．5 B．7 C．8 D．10 【变式2】．（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，在四边形中，平分，于点D，，，延长、交于点，则的值为__________，面积的最大值为__________． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，延长至点E，过点E作，使，连接交于点D． (1)求证：； (2)若G是上一点，满足，连接，请你判断和的关系，并证明你的结论． 【题型七】三角形的稳定性及应用 【例15】．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，工人师傅用三角形支架来固定空调外机，这是根据三角形的性质：（   ） A．稳定性 B．大边对大角 C．两边之和大于第三边 D．两边之差小于第三边 【变式1】．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，很多大桥会采用斜拉索的设计来使其结构稳固，其中蕴含的数学道理是（    ） A．三角形具有稳定性 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．垂线段最短 【变式2】．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）我们在生活中经常会看到如图所示的场景：一根倾斜的树木，会用一根铁棒或木棒进行支撑．这其中蕴含的数学原理________． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）9月3日，灌南县中小学纷纷组织全体师生集中收看纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年大会阅兵仪式，进行爱国主义教育．观看完阅兵仪式，同学们倍感震撼、自豪，纷纷表示要铭记历史、缅怀先烈、珍爱和平、开创未来． 生活中的数学：某校计划为七年级学生开学初军训配备如图1所示的折叠凳． (1)这种折叠凳坐着舒适、稳定，这种设计所运用的数学原理是三角形的___________性； (2)图2是折叠凳撑开后的示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，O是它们的中点．为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为，则由以上信息可推得的长度也为，请说明． 【题型八】HL判定三角形全等 【例16】．（23-24八年级上·江苏南京·期末）如图，，垂足为C，A是上一点，且．若，，则的长为（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．5.5 【例17】．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，，，，射线，点和分别在线段和射线上运动，且．当___________时，与全等． 【例18】．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图．，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式1】．（2025八年级上·江苏·专题练习）如图，要用“”判定和全等的条件是（ ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，，垂足为点，射线，垂足为点，，．动点从点出发以的速度沿射线运动，动点在射线上，随着点运动而运动，始终保持．若点的运动时间为，则当___________秒时，与全等． 【变式3】，点E落在上，所在直线交所在直线于点F． (1)判断，与的数量关系，并说明理由； (2)若将图1中的绕点B按顺时针方向旋转角α，且，其他条件不变，如图2．你认为（1）中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时、与之间的数量关系，并说明理由． 【题型九】尺规作图——作三角形 【例19】．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，已知，用直尺和圆规按照以下步骤作图：①以点O为圆心，任意长为半径画弧， 分别交于点 C、D； ②画射线， 以点为圆心，长为半径画弧，交于点；③以点为圆心， 长为半径画弧，交前弧于点；④过点画射线 ．就是与 相等的角．根据以上操作， 可以判定， 其判定的依据是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图是，根据下列尺规作图痕迹作出的，能够用于说明“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式2】．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，给定一个，用直尺和圆规作 ，有人的作法是： ①作上方作；②以点为圆心，以 长为半径作弧，交 于点； ③以点为圆心，以 长为半径作弧，交 于点；④连接． 就是求作三角形．在此作法中，判定 的依据是__________． 【变式3】．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，已知线段、． (1)尺规作图（保留作图痕迹，不要求写做法）：作，使得，，，在图中求作点，使得到的两边的距离相等，且； (2)在（1）的条件下，点到的一边的距离为______（用含、的代数式表示）． 1. 知识逻辑主线 全等定义→全等性质（由全等得边角相等）→全等判定（由边角相等证全等）→尺规作图（依托全等原理精准作图），几何核心是边角互推、数形结合。 2. 判定解题优先级 已知三边→优先SSS；已知两边→找夹角用SAS；已知两角→找夹边ASA或对边AAS；直角三角形→优先HL。 3. 几何解题核心原则 证全等、求边角、做作图，全程紧扣对应关系，杜绝凭视觉判断边角相等，所有结论必须有定理依据。 4. 易错避雷总结 禁用AAA、SSA；分清夹角、夹边；限定HL使用范围；规范全等书写与作图痕迹，是本章满分关键。 一、单选题 1．下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（ ） A． B． C． D． 2．下列生活实例中，没有用到三角形的稳定性的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知于点于点，若，则可判定，其依据是（   ） A． B． C． D． 4．如图，，点在上，下列结论中不一定成立的是(     ) A． B． C． D． 5．如图，在与中，给出以下六个条件：①；②：③；④；⑤；⑥．以其中三个作为已知条件，不能判定与全等的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．③④⑥ D．①②⑤ 6．如图，，，垂足分别为B，E，，相交于点F，且．若，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图，长方形纸片中，，，M是上的点，且．将长方形纸片沿过点M的直线折叠，使点D落在边上的点P处，点C落在点Q处，折痕为，则线段的长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．山东潍坊是中国风筝之乡，匠人在制作过程中采用了全等的相关知识．在如图所示的风筝“龙骨”图案中，．则不一定能得到以下哪个结论（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，．下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的是________．（填序号）    10．在课堂上，李老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小宏同学先画出了之后，后续画图的主要过程如图所示，这种画图方法的依据是______． 11．如图，，，和相交于点，则图中全等三角形共有_____对． 12．如图，中，垂直的平分线于P．若的面积为， 且的面积是的面积的 2 倍．则的面积_______． 三、解答题 13．如图，，，垂足分别为，，，．求证：． 14．如图，和的边，交于点，，.求证：． 15．如图，，B、C、D在同一直线上，且，．求长． 16．已知：如图，，，，、相交于点F，求的度数． 17．求证：有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等． 已知：如图，在和中，、分别是边、上的中线，，，，求证：． 18．如图，已知线段，，．求作，使，且分别满足下列条件； (1)上的中线为． (2)上的高为． 19．如图，点，分别在，上，，，，相交于点，．求证：．小明的证明过程如下： 证明：， ，第一步 又， 第二步 第三步 (1)小明的证明过程中，第____步出现错误； (2)请写出正确的证明过程． 20．如图，，垂足分别为，连接． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 全等三角形的性质与基础判定及尺规作图 （核心知识+6易错辨析+9典例精讲+课后作业） 【知识点01】全等三角形的定义 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。重合的顶点为对应顶点，重合的边为对应边，重合的角为对应角。 规范书写：记全等三角形时，必须将对应顶点字母按顺序书写（如△ABC≌△DEF），可直接通过字母顺序确定对应边、对应角。 【知识点02】全等三角形的性质（必考） 1. 基础性质：对应边相等，对应角相等（解题核心依据）。 2. 拓展性质：全等三角形的对应中线、对应高、对应角平分线相等，周长相等、面积相等。 3. 图形变换性质：平移、旋转、翻折（轴对称）前后的三角形全等，位置改变，形状、大小不变。 【知识点03】全等三角形基础判定定理（普通三角形4种，直角三角形专属1种） 判定核心：只需3组对应元素相等，且必须包含至少一组对应边相等，边角位置需符合定理要求。 1. SSS（边边边） 三边对应相等的两个三角形全等。适用于已知三条边长、无角度条件的题型。 2. SAS（边角边） 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。关键点：角必须是两条已知边的夹角，非夹角不成立。 3. ASA（角边角） 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。关键点：边必须是两个已知角的公共夹边。 4. AAS（角角边） 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。与ASA互补，无需夹边，任意一组对边即可。 5. HL（斜边直角边，仅限直角三角形） 直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等，两个直角三角形全等。无需考虑其他边角，是直角三角形专属最简判定方法。 【知识点04】全等三角形核心尺规作图（苏科版重点） 所有作图要求：保留作图痕迹，不写作法（题目要求除外），作图结果精准规范。 1. 作一个三角形与已知三角形全等 常用依据：SSS、SAS、ASA，根据题目给定条件选择对应作图方法，是后续复杂作图的基础。 2. 作已知角的平分线 作图原理：SSS全等判定。核心结论：角平分线上的点到角两边的距离相等。 3. 过一点作已知直线的垂线 分为点在直线上、点在直线外两种情况，作图原理均为SSS全等，是几何作图高频考点。 4. 作线段的垂直平分线 作图原理：SSS全等。核心结论：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 易错点1：混淆对应关系，书写不规范 错误表现：随意书写全等符号，对应顶点错位，导致找错对应边、对应角。 正确规则：全等式字母顺序=对应关系，解题先看全等式，再找边角等量关系。 易错点2：误用SSA、AAA判定全等（绝对不成立） 1. SSA：两边及其中一边的对角对应相等，不能判定全等，存在两种不同三角形的情况。 2. AAA：三个角对应相等（相似三角形），只能证明形状相同，大小不一定相等，不能判定全等。 易错点3：SAS、ASA边角位置判断错误 1. SAS必须是夹角，非夹角的两边一角是SSA，判定无效； 2. ASA必须是夹边，两角对边相等是AAS，二者不可混淆，定理混用会导致解题失分。 易错点4：HL定理使用范围混淆 错误表现：普通三角形使用HL判定，或直角三角形误用普通判定定理复杂化解题。 正确规则：HL仅适用于直角三角形，非直角三角形一律不能使用；直角三角形优先尝试HL判定。 易错点5：概念误区：周长、面积相等≠全等 周长相等或面积相等的两个三角形，形状、边长不一定完全相同，不一定全等；全等三角形一定周长、面积相等，反之不成立。 易错点6：尺规作图痕迹不规范 常见问题：遗漏圆弧痕迹、线条虚实不分、垂直平分线只画直线未画两端圆弧。 得分关键：所有作图圆弧痕迹必须保留，辅助线用虚线，作图结果用实线。 【题型一】图形的全等 【例1】．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）下列各组图形中，属于全等图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】图形的全等 【分析】本题考查全等图形，掌握知识点是解题的关键． 根据全等图形的定义，逐项分析判断即可． 【详解】解：A．这两个图形不是全等图形，不符合题意； B． 这两个图形不是全等图形，不符合题意； C． 这两个图形不是全等图形，不符合题意； D． 这两个图形是全等图形，符合题意； 故选D． 【变式1】．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段检测）下列5个说法： ①两个形状相同的图形称为全等图形； ②两个圆是全等图形； ③两个正方形是全等图形； ④全等图形的形状和大小都相同； ④面积相等的两个三角形是全等图形． 其中，说法正确的是___________． 【答案】④ 【知识点】图形的全等 【分析】此题主要考查了全等形．根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形进行分析即可． 【详解】解：①两个形状相同的图形大小不一定相等，不一定是全等图形，原说法错误； ②两个圆形状相同，大小不一定相等，不一定是全等图形，原说法错误； ③两个正方形形状相同，大小不一定相等，不一定是全等图形，原说法错误； ④全等图形的形状和大小都相同，说法正确； ⑤面积相等的两个三角形形状不一定相同，不一定是全等图形，原说法错误； 正确的说法只有④， 故答案为：④． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）下列各组图形中，一定是全等图形的是（　　） A．两个底边相等的等腰三角形 B．两个斜边相等的直角三角形 C．两个周长相等的长方形 D．两个面积相等的圆 【答案】D 【知识点】图形的全等 【分析】此题考查全等图形的定义，全等图形必须形状和大小完全相同，选项A、B、C中，图形可能因其他参数（如腰长、直角边、长宽比）不同而不全等；选项D中，圆的全等仅取决于半径，面积相等则半径相等，故一定全等． 【详解】A、两个底边相等的等腰三角形，腰长不一定相等，故不一定全等； B、两个斜边相等的直角三角形，内角不一定分别相等，直角边长也不一定分别相等，故不一定全等； C、两个周长相等的长方形，长和宽不一定分别相等，故不一定全等； D、∵ 圆的面积公式为 ，且圆的大小由半径唯一确定； ∴ 两个面积相等的圆，其半径必然相等，因此一定全等； 故选：D 【变式3】．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）（1）判断两个图形是不是全等图形的关键是看两个图形能否 _________． （2）试找出图中的全等图形：________________． 【答案】 完全重合 ②与⑦；③与⑫；⑤与⑨ 【知识点】图形的全等 【分析】本题考查全等图形的定义和性质，熟练掌握全等图形的定义和性质是解题的关键． （1）根据全等图形的定义求解即可； （2）根据题意，找到图中的全等图形，即可求解； 【详解】解：（1）判断两个图形是全等图形的关键是看两个图形能否完全重合； （2）图中的全等图形的有②与⑦；③与⑫；⑤与⑨． 故答案为：（1）完全重合； （2）②与⑦；③与⑫；⑤与⑨． 【题型二】将已知图形分割成几个全等图形(全等图形） 【例2】．试在下列两个图中，沿正方形的网格线（虚线）把这两个图形分别分割成两个全等的图形，将其中一部分涂上阴影． 【答案】见解析（第一个图答案不唯一） 【知识点】将已知图形分割成几个全等图形(全等图形） 【分析】根据全等图形的定义，利用图形的对称性和互补性来分割成两个全等的图形． 【详解】解：第一个图形分割有如下几种： 第二个图形的分割如下： 【点睛】本题主要考查了学生的动手操作能力和学生的空间想象能力，牢记全等图形的定义是解题的重点． 【变式1】．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段检测）用不同的方法沿着网格线把正方形分割成两个全等的图形．（至少画3种，分割线用粗实线） 【答案】见详解 【知识点】将已知图形分割成几个全等图形(全等图形） 【分析】题目主要考查了全等图形的定义，理解全等图形的定义是解题关键； 观察图形发现：这个正方形网格的总面积为16，因此只要将面积分为8，且图形形状相同即可． 【详解】解：如图所示即为所求． 【变式2】．知识重现：“能够完全重合的两个图形叫做全等形．” 理解应用：我们可以把4×4网格图形划分为两个全等图形． 范例：如图1和图2是两种不同的划分方法，其中图3与图1视为同一种划分方法． 请你再提供四种与上面不同的划分方法，分别在图4中画出来． 【答案】见解析 【知识点】将已知图形分割成几个全等图形(全等图形） 【分析】根据网格的特点和全等形的定义进行作图即可． 【详解】依题意，如图 【点睛】本题考查了全等图形的定义，熟练掌握网格特点作图和全等图形的概念是解题的关键． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段检测）图（），图（）都是由边长为的小正方形和腰长为的等腰直角三角形组成的图形． (1)用实线把图（）分割成六个全等图形； (2)用实线把图（）分割成四个全等图形． 【详解】（1）解：如图，分成的每一个图形的面积为 ，分成六个等腰个直角三角形， ； （2）解：如图，分成的每一个图形的面积为 ，分成四个直角梯形， ． 【题型三】全等三角形的概念与性质 【例3】．（25-26八年级上·江苏南京·期中）下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．周长相等的两个三角形全等 D．全等三角形的对应边相等 【答案】D 【知识点】全等三角形的概念、全等三角形的性质 【详解】本题考查全等三角形的定义、全等三角形的性质等知识点，掌握全等三角形要求形状和大小完全相同是解题的关键． 根据全等三角形的定义和性质逐项判断即可． 【分析】解：A．形状相同的三角形大小可能不相等，不不一定全等，该选项错误，不符合题意； B．面积相等的三角形不一定全等，故该选项错误，不符合题意； C．周长相等的三角形不一定全等，故该选项错误，不符合题意； D．全等三角形的对应边相等，故该选项正确，符合题意． 故选D． 【例4】．（25-26八年级上·江苏·期末）如图，，若，，，则的长为________． 【答案】7 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，由全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：7． 【例5】．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，，求的长． 【答案】2 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：， ， ， ． 【变式1】．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段检测）下列说法中，正确的有(　　) ①形状相同的两个图形是全等形；②面积相等的两个图形是全等形；③全等三角形的周长相等，面积相等；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】全等三角形的概念、全等三角形的性质 【分析】根据全等形的定义，全等三角形的判定与性质，即可判断． 【详解】解：能够完全重合的两个图形叫做全等形，即形状和大小相同的两个图形是全等形，故①②说法错误； 全等三角形能够完全重合，所以全等三角形的周长相等，面积相等，故③说法正确； 若，的对应角为，所以，故④说法正确； 说法正确的有③④，共2个． 故选：B． 【点睛】本题考查全等形，理解能够完全重合的两个图形叫做全等形是解题关键． 【变式2】．（22-23八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，已知AB=AC，D为∠BAC的角平分线上的一点，连接BD，CD；如图2，已知AB=AC，D、E为∠BAC的角平分线上的两点，连接BD，CD，BE，CE；如图3，已知AB=AC，D、E、F为∠BAC的角平分线上的三点，连接BD，CD，BE，CE，BF，CF；…，依次规律，第5个图形中有全等三角形的对数是_____． 【答案】15 【知识点】全等三角形的概念、图形类规律探索 【分析】根据图形得出当有1点D时，有1对全等三角形；当有2点D、E时，有3对全等三角形；当有3点D、E、F时，有6对全等三角形；根据以上结果得出当有n个点时，图中有 个全等三角形，进而即可求解． 【详解】解：当有1点D时，有1对全等三角形； 当有2点D、E时，有3对全等三角形； 当有3点D、E、F时，有6对全等三角形； 当有4点时，有10个全等三角形； … 当有n个点时，图中有个全等三角形． ∴第5个图形中有全等三角形的对数是：． 故答案为：15． 【点睛】本题考查了全等三角形的概念，关键是根据已知图形得出规律，题目比较典型，但有一定的难度． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，于点D，．完成下面说明的理由的过程． 解：（已知）， ___________（垂直的定义）． 当把图形沿AD对折时，射线DB与DC___________． （___________） 点B与点___________重合， 与___________， ___________（全等三角形的定义）， （___________）． 【答案】；重合；已知；C；重合；；全等三角形的性质 【知识点】全等三角形的概念 【分析】根据全等三角形的定义，即可得到答案． 【详解】解：（已知）， （垂直的定义）． 当把图形沿AD对折时，射线DB与DC重合． （已知） 点B与点C重合， 与重合， （全等三角形的定义）， （全等三角形的性质）． 故答案为：；重合；已知；C；重合；；全等三角形的性质． 【点睛】本题主要考查证明三角形全等，掌握全等三角形的定义：能够完全重合的三角形叫做全等三角形，是关键． 【题型四】SSS判定三角形全等 【例6】．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，分别以的顶点A，C为圆心，边，为半径画弧，两弧交于点D，连接，，可以判定，理由是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．根据全等三角形的判定方法结合作图解答即可． 【详解】解：由题意知， 在和中， ， ∴， ∴判定的理由是． 故选：A． 【例7】．（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）如图，的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，称这样的三角形为格点三角形，那么图中与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是__________． 【答案】7 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理，按公共边的不同情况分类寻找全等格点三角形． 分别以、、为公共边，依据全等三角形判定条件，找出与全等的格点三角形，统计数量． 【详解】解：如图所示，以为公共边，与全等的格点三角形有3个， 以为公共边，与全等的格点三角形有1个， 以为公共边，与全等的格点三角形有3个， 共个． 故答案为：7． 【例8】．（25-26八年级上·江苏·期末）如图，在和中，，，求证：，并写出与的关系． 【答案】证明见解析， 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 利用即可证明，再由全等三角形的对应角相等即可得到． 【详解】证明：∵，，， ∴， ∴． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图是一个平分角的仪器，其中，．将点A放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线，就是这个角的平分线．此仪器的原理是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握其性质是解题的关键．根据“”判定即可得出答案． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， 即是的平分线． 故选：A． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）工人师傅常用角尺平分一个任意角．作法如下：如图所示，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合，过角尺顶点C的射线即是的平分线．这种作法的依据是______．（选填“”“”“”“”“”） 【答案】 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质． 根据题意可知和三边对应相等，可证明，可得对应角相等，从而可得射线是的平分线，即可得这种作法的依据． 【详解】解：根据题意，，，， ∴， ∴， ∴射线即是的平分线， ∴这种作法的依据是“”． 故答案为：． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）已知：如图，，，点、、在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若．求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)． 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据“”即可证明； （2）根据得出，据此得到． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）解：∵， ∴， ∴． 【题型五】SAS判定三角形全等 【例9】．（22-23八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图1，已知，D为的角平分线上一点，连接；如图2，已知，D、E为的角平分线上两点，连接；如图3，已知，D、E、F为的角平分线上三点，连接；…，依此类推，第n个图形中全等三角形的对数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS）、图形类规律探索 【分析】本题主要考查了图形规律的探索，全等三角形的判定，角平分线的性质，解题的关键是掌握以上性质，并找出图形规律． 根据角平分线的性质得出相等的角，证明，根据图2和图3找出全等三角形的对数，最后总结出规律即可． 【详解】解：由图1可得，D为的角平分线上一点， ∴， 又∵，， ∴； 同理图2中有3对全等三角形； 图3中有6对全等三角形； ∴第n个图形中全等三角形的对数是， 故选：D． 【例10】．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，为了测量池塘两端A、B的距离，小红在地面上选择了点O、C、D，，，且点A、O、C和点B、O、D分别都在一条直线上，就可以知道A、B之间的距离．那么判定的理由是______． 【答案】 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】本题考查了三角形全等的应用，根据题目给出的条件，要观察图中有哪些相等的边和角，然后判断所选方法．已知两边及其夹角相等，利用可证两个三角形全等． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴判定的理由是． 故答案为：． 【例11】．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）如图，，，，求证∶ ． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 根据证明即可得到． 【详解】证明：∵， ∴, ∴， ∵， ∴ ∴． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）为了测量一池塘两端的距离，如图在平地取一个可直接到达的点，连接，并分别延长到点，延长到点，使，测出的长即为的距离，是运用了“全等三角形的对应边相等”这一性质，其运用判定全等的方法是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据判定方法“”即可求解，掌握全等三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∴其运用判定全等的方法是， 故选：． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，已知长方形的边长，，点在边上，，如果点在线段上从点向点运动，同时，点在线段上从点向点运动，已知点的运动速度是．则点运动速度为_____时，与全等． 【答案】18或1.5 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】由长方形的性质可得，．设运动时间为，Q点的速度为，则，，．然后分两种情况讨论：①当时，；①当时，．分别列方程求出t和x的值即可． 本题主要考查全等三角形的判定，由条件分两种情况得到关于t和x的方程是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是长方形，且边长，， ∴，， ∵， ∴． 设运动时间为，Q点的速度为，则，，． ①当时，， ∴，， 解得，． ①当时，， ∴,， 解得，． 综上，点运动速度为或． 故答案为：18或1.5． 【变式3】．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，点在同一条直线上，点分别在直线的两侧，且，．    (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)9 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质． （1）先证明，再根据证明即可； （2）根据，依据全等三角形的性质即可得到，再由可得结论． 【详解】（1）∵， ∴，即 在和中， ， ∴； （2）由（1）知， ∴， ∵， ∴， 故的长为9． 【题型六】ASA(AAS)判定三角形全等 【例12】．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，为测量坪山河宽度，某同学在河岸边选定观测点和，在岸边标记目标点、，使，并利用测角仪测得．此时，利用三角形全等的性质，测量长度即可得到河宽．要说明两个三角形全等最恰当的理由是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题考查三角形全等的判定定理，关键是识别两个三角形中相等的角和边，匹配对应的判定条件．根据题目所给条件结合三角形的判定方法即可得答案． 【详解】解：在和中： ∵（已知），（已知），（对顶角相等）， ∴． 故选：B． 【例13】．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知，若以“ASA”判定，需添加的条件是______．    【答案】 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟知判定三角形全等的方法是关键； 根据题意，题目中已有公共边，已知中有，若以“”判定，需添加的条件是． 【详解】解：在中， ∵，， ∴若以“”判定，需添加的条件是； 故答案为：． 【例14】．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）已知，如图，点、分别在、上，，、相交于点，，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，掌握知识点的应用是解题的关键． （）直接利用“”证明即可； （）由，则，故有，利用“”证明，然后通过全等三角形的性质即可求证． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，，，垂足分别为，，，．若，，则的长度是（   ） A．5 B．7 C．8 D．10 【答案】B 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定．根据垂直的定义得到根据平行线的性质得到，证明得出，进而根据，即可求解． 【详解】证明：， ， 又， ， 在和中 ． ∴， ∴， ∴     故选：B． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，在四边形中，平分，于点D，，，延长、交于点，则的值为__________，面积的最大值为__________． 【答案】 4 10 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】过C作于H，由角平分线定义得到，由垂直的定义得到，而，判定，推出，，得到，根据，即可求出；当的面积最大时，的面积最大，根据可求出面积的最大值，即可得到面积的最大值． 【详解】解：延长、交于E，过C作于H， ∵平分， ∴， ∵于点D， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴当的面积最大时，的面积最大， ∵， ∴； ∵的面积，， ∴面积的最大值， ∴面积的最大值为． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，延长至点E，过点E作，使，连接交于点D． (1)求证：； (2)若G是上一点，满足，连接，请你判断和的关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过角和边的关系证明全等三角形． （1）利用垂直得直角，结合对顶角和，证明，得； （2）证明，得． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，证明如下： ∵， ∴， ∵， ，即， 在和中， ， ， ， ， ． 【题型七】三角形的稳定性及应用 【例15】．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，工人师傅用三角形支架来固定空调外机，这是根据三角形的性质：（   ） A．稳定性 B．大边对大角 C．两边之和大于第三边 D．两边之差小于第三边 【答案】A 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】本题主要考查了三角形稳定性的应用．利用三角形的稳定性求解即可． 【详解】解：工人师傅用三角形支架来固定空调外机，这种做法的依据是：三角形的稳定性． 故选：A． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，很多大桥会采用斜拉索的设计来使其结构稳固，其中蕴含的数学道理是（    ） A．三角形具有稳定性 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．垂线段最短 【答案】A 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】本题考查三角形稳定性及其应用．根据三角形的稳定性，判断即可． 【详解】解：很多大桥会采用斜拉索的设计来使其结构稳固，其中蕴含的数学道理是三角形具有稳定性； 故选：A． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）我们在生活中经常会看到如图所示的场景：一根倾斜的树木，会用一根铁棒或木棒进行支撑．这其中蕴含的数学原理________． 【答案】三角形具有稳定性 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】本题考查了三角形的稳定性，熟记相关结论即可； 【详解】解：当树干与支撑杆及地面的接触点连成三角形时，三边固定后不易发生变形，因此能稳固支撑倾斜的树干； 这利用了三角形在几何中最稳定、不易变形的特性． 故答案为：三角形具有稳定性． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）9月3日，灌南县中小学纷纷组织全体师生集中收看纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年大会阅兵仪式，进行爱国主义教育．观看完阅兵仪式，同学们倍感震撼、自豪，纷纷表示要铭记历史、缅怀先烈、珍爱和平、开创未来． 生活中的数学：某校计划为七年级学生开学初军训配备如图1所示的折叠凳． (1)这种折叠凳坐着舒适、稳定，这种设计所运用的数学原理是三角形的___________性； (2)图2是折叠凳撑开后的示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，O是它们的中点．为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为，则由以上信息可推得的长度也为，请说明． 【答案】(1)稳定 (2)见解析 【知识点】三角形的稳定性及应用、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了三角形的稳定性，全等三角形的判定和性质． （1）根据三角形的稳定性解答即可； （2）先证明，根据全等三角形的性质回答即可． 【详解】（1）解：这种设计所运用的数学原理是三角形具有稳定性质， 故答案为：稳定； （2）解：是和的中点， ， 又， ， ． 【题型八】HL判定三角形全等 【例16】．（23-24八年级上·江苏南京·期末）如图，，垂足为C，A是上一点，且．若，，则的长为（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．5.5 【答案】A 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明，得到，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：， ， 在和中： ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选：A． 【例17】．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，，，，射线，点和分别在线段和射线上运动，且．当___________时，与全等． 【答案】3或4 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】本题考查证明三角形全等，掌握相关知识是解决问题的关键．因为且，所以若使与全等，只需当时， 此时，或当时，此时，据此解答即可． 【详解】解：， ， ， 若使与全等， 只需①当时， 此时， ②当时，此时， 故答案为：3或4． 【例18】．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图．，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）利用即可证明； （2）根据全等三角形对应边相等即可得到答案． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴ （2）解：∵， ∴． 【变式1】．（2025八年级上·江苏·专题练习）如图，要用“”判定和全等的条件是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】本题考查“”定理判定直角三角形全等，具体内容为：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 根据“”定理即可求解． 【详解】解：在和中， 若，， 则和全等， C选项符合题意． 故选：C． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，，垂足为点，射线，垂足为点，，．动点从点出发以的速度沿射线运动，动点在射线上，随着点运动而运动，始终保持．若点的运动时间为，则当___________秒时，与全等． 【答案】2或8或10 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，学会分类是解题的关键．分情况，当E在线段上，或当E在线段延长线上，由即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， 当E在线段上时， 若， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 若， ∴， ∴， ∴（舍去）， 当E在线段延长线上时， 若， ∴， ∵， ∴， 若， ∴， ∵， ∴， ∴当或8或10秒时，与全等． 故答案为：2或8或10． 【变式3】，点E落在上，所在直线交所在直线于点F． (1)判断，与的数量关系，并说明理由； (2)若将图1中的绕点B按顺时针方向旋转角α，且，其他条件不变，如图2．你认为（1）中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时、与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)原结论不成立，关系式为：．理由见解析 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质．解题时注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等． （1）如图，连接，由，可得，根据直角三角形的“”判定定理证明，即可得出结论； （2）同（1）得，由，可得，． 【详解】（1）解：结论：； 如图，连接， ∵， ， ， 在和中， ， ， ， ； 故答案为：； （2）解：原结论不成立，关系式为：．理由如下： 如图，连接，   ， ， ， 和是直角三角形， 在和中， ， ， ， ， ． 【题型九】尺规作图——作三角形 【例19】．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，已知，用直尺和圆规按照以下步骤作图：①以点O为圆心，任意长为半径画弧， 分别交于点 C、D； ②画射线， 以点为圆心，长为半径画弧，交于点；③以点为圆心， 长为半径画弧，交前弧于点；④过点画射线 ．就是与 相等的角．根据以上操作， 可以判定， 其判定的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS）、尺规作图——作三角形 【分析】根据基本作图，结合三角形全等的判定解答即可．本题考查了已知角的等角的基本作图，三角形全等的判定，熟练掌握基本作图，三角形全等的判定是解题的关键． 【详解】解：根据基本作图，由作图得，， 判定的依据是， 故选：D． 【变式1】．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图是，根据下列尺规作图痕迹作出的，能够用于说明“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【知识点】用HL证全等（HL）、尺规作图——作三角形 【分析】根据证明即可得解． 【详解】解：选项B满足题意；由作图知，斜边，，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，给定一个，用直尺和圆规作 ，有人的作法是： ①作上方作；②以点为圆心，以 长为半径作弧，交 于点； ③以点为圆心，以 长为半径作弧，交 于点；④连接． 就是求作三角形．在此作法中，判定 的依据是__________． 【答案】 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS）、尺规作图——作三角形 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，尺规作图-作三角形，根据作图方法可得，据此根据全等三角形的判定定理即可得到答案． 【详解】解：由作图方法可得， ， 故答案为：． 【变式3】．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，已知线段、． (1)尺规作图（保留作图痕迹，不要求写做法）：作，使得，，，在图中求作点，使得到的两边的距离相等，且； (2)在（1）的条件下，点到的一边的距离为______（用含、的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2)或； 【知识点】用勾股定理解三角形、用HL证全等（HL）、尺规作图——作三角形、作角平分线(尺规作图) 【分析】（1）先作出，再作的平分线和线段的垂直平分线，与相交于点P； （2）作于点N，作于点M，连接，证明得，，再证明、是等腰直角三角形，可得，求出；求出，，然后根据求出. 【详解】（1）解：点P即为所求， （2）解：如图，作于点N，作于点M，连接， 则四边形是长方形， ∴， 由作图知，， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴，即点P到的距离为； ∴． ∵， ∴， ∴，即点P到的距离为． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了尺规作图－复杂作图，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定及性质，综合运用各知识点是解答本题的关键． 1. 知识逻辑主线 全等定义→全等性质（由全等得边角相等）→全等判定（由边角相等证全等）→尺规作图（依托全等原理精准作图），几何核心是边角互推、数形结合。 2. 判定解题优先级 已知三边→优先SSS；已知两边→找夹角用SAS；已知两角→找夹边ASA或对边AAS；直角三角形→优先HL。 3. 几何解题核心原则 证全等、求边角、做作图，全程紧扣对应关系，杜绝凭视觉判断边角相等，所有结论必须有定理依据。 4. 易错避雷总结 禁用AAA、SSA；分清夹角、夹边；限定HL使用范围；规范全等书写与作图痕迹，是本章满分关键。 一、单选题 1．下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等图形，根据能够完全重合的两个图形是全等图形判断即可求解，掌握全等图形的定义是解题的关键． 【详解】解：、两个图形大小不一样，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； 、两个图形形状不一样，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； 、两个图形大小、形状一样，可以完全重合，是全等图形，符合题意； 、两个图形大小不一样，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； 故选：． 2．下列生活实例中，没有用到三角形的稳定性的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，正确的理解题意是解题的关键．根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：选项C中活动门上没有三角形，其余A、B、D选项中都含有三角形， 由三角形的稳定性可知：选项C中没有利用三角形的稳定性， 故选：C． 3．如图，已知于点于点，若，则可判定，其依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形全等的判定，利用证明，即可． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中 ， ∴； 故选A． 4．如图，，点在上，下列结论中不一定成立的是(     ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质得出，，，，据此得出选项即可． 【详解】解：， ，，，， ，即， 故A、B、C正确，D不正确， 故选：D． 5．如图，在与中，给出以下六个条件：①；②：③；④；⑤；⑥．以其中三个作为已知条件，不能判定与全等的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．③④⑥ D．①②⑤ 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．根据全等三角形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：A、符合判定方法，能判定与全等； B、不符合全等三角形的判定方法，不能判定与全等； C、符合判定方法，能判定与全等； D、符合全等三角形的判定方法，能判定与全等． 故选：B． 6．如图，，，垂足分别为B，E，，相交于点F，且．若，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质和判定； 由垂直得，求出，证明，得到，，然后利用线段的和差求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 7．如图，长方形纸片中，，，M是上的点，且．将长方形纸片沿过点M的直线折叠，使点D落在边上的点P处，点C落在点Q处，折痕为，则线段的长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查长方形的折叠问题，解题的关键是看到隐藏条件，学会利用翻折不变性解决问题．连接，证明即可得到，即可求解． 【详解】解：连接， ∵长方形纸片中，，， ∴， ∵， ∴， 由折叠性质可知：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 8．山东潍坊是中国风筝之乡，匠人在制作过程中采用了全等的相关知识．在如图所示的风筝“龙骨”图案中，．则不一定能得到以下哪个结论（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，灵活运用全等三角形的判定定理证明三角形全等是解题的关键． 根据已知条件分析和易得可判断A选项；由得出，再由全等三角形的判定和性质即可判定B、C选项即可解答． 【详解】解：在和中， ， ∴，故选项A不符合题意； ∴， ∴，即， ∵、， ∴，故选项B不符合题意； ∴， ∴，即，故选项C不符合题意； 无法证明，故选项D符合题意． 故选：D． 二、填空题 9．如图，．下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的是________．（填序号）    【答案】②④ 【分析】本题主要考查了全等三角形的有关概念，解题时应注重识别全等三角形中的对应边、对应角． 根据全等三角形的有关概念，即可求解． 【详解】解：∵， ∴与是对应边，故①错误； 与是对应边，故②正确； 与是对应角，故③错误； 与是对应角，故④正确． 所以正确的有②④． 故答案为：②④ 10．在课堂上，李老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小宏同学先画出了之后，后续画图的主要过程如图所示，这种画图方法的依据是______． 【答案】 【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定．根据演示由尺规作图的方法确定作图的具体步骤，即可判断． 【详解】解：由图示知，小宏第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为； 故答案为：． 11．如图，，，和相交于点，则图中全等三角形共有_____对． 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的判定，先证明，可得，，再进一步证明其它三角形全等即可，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴； ∴，， ∵， ∴； ∵， ∴； ∴，， ∵， ∴； ∴共有对全等三角形， 故答案为：． 12．如图，中，垂直的平分线于P．若的面积为， 且的面积是的面积的 2 倍．则的面积_______． 【答案】4 【分析】延长交于E，证明，得出，，根据三角形面积公式，求出结果即可． 【详解】解：延长交于E， ∵垂直的平分线于P， ∴，， 在和中， ∴， ∴，， ∴和等底等高， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 三、解答题 13．如图，，，垂足分别为，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．解题的关键在于熟练运用证明三角形全等．由题意知，，由，可得，证明，进而结论得证． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴． 14．如图，和的边，交于点，，.求证：． 【答案】 证明：在和中， ． ，． ， 即． 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，注意：全等三角形的对应角相等，全等三角形的判定定理有，根据推出，根据全等三角形的性质推出即可． 【详解】略 15．如图，，B、C、D在同一直线上，且，．求长． 【答案】8 【分析】本题考查了全等三角形的性质内容，全等三角形对应边相等，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据，得，，即可得的长． 【详解】解：因为，，． 所以，， 则． 16．已知：如图，，，，、相交于点F，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．由得到，利用角的和差以及等量代换得到，设，利用角的和与差列出方程，求出的值即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， 设， ∵ ∴， 解得， ∴． 17．求证：有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等． 已知：如图，在和中，、分别是边、上的中线，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了用证明三角形全等（），全等的性质和综合（），解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先利用中线的意义得出，，由推出，得到，由即可证明． 【详解】证明：∵、分别是边、上的中线， ∴，， ∵， ， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 18．如图，已知线段，，．求作，使，且分别满足下列条件； (1)上的中线为． (2)上的高为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图； （1）作线段，以为圆心，为半径作弧，以为圆心，为半径作弧，两弧交于点，延长到点，使得，连接，即为所求； （2）作射线，并截取，过作的垂线，以点为圆心，为半径作弧，与的垂线交于点，以为圆心，在的垂线上截取，连接，即为所求． 【详解】（1）解：如图1，即为所求， （2）解：如图2，即为所求， 19．如图，点，分别在，上，，，，相交于点，．求证：．小明的证明过程如下： 证明：， ，第一步 又， 第二步 第三步 (1)小明的证明过程中，第____步出现错误； (2)请写出正确的证明过程． 【答案】(1)二； (2)见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定定理判断； （2）证明，根据全等三角形的性质得到，再证明，得到． 【详解】（1）解：小明同学的证明过程中，第二步出现错误， 故答案为：二； （2）证明：，， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ． 20．如图，，垂足分别为，连接． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； (2)10 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由垂线的定义可得，由同角的余角相等可得，再利用证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，，再结合四边形的面积计算即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即四边形的面积为10. 1 学科网（北京）股份有限公司 $