专题1.3 线段垂直平分线与角平分线（7题型+高效培优讲义）数学新教材苏科版八年级上册

本初中数学讲义聚焦线段垂直平分线与角平分线核心知识点，先探索并证明两者的性质定理（垂直平分线上的点到线段两端距离相等，角平分线上的点到角两边距离相等），再学习判定定理（到两端距离相等的点在垂直平分线上，到两边距离相等的点在角平分线上），构建互逆关系的知识支架，为后续应用奠定基础。 该资料亮点在于题型分层设计，含性质求解、判定应用、实际问题等7类题型，每类配典例与变式。如实际应用题型通过“建凉亭到公路距离相等”培养数学眼光，综合题结合两者性质证明提升推理思维，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺。

专题1.3 线段垂直平分线与角平分线 教学目标 1. 探索并证明线段垂直平分线的性质与判定定理，理解其上的点到线段两端距离相等。 2. 探索并证明角平分线的性质与判定定理，理解其上的点到角两边距离相等。 3. 能运用这两条线段的性质与判定解决几何证明、计算及尺规作图问题。 教学重难点 重点： 1. 线段垂直平分线的性质与判定的掌握，能灵活用于证明线段相等。 2. 角平分线的性质与判定的掌握，能灵活用于证明线段相等或角度相等。 教学难点： 1. 性质定理与判定定理的互逆关系理解，以及在证明中根据条件正确选择。 2. 在实际问题或复杂图形中，识别或添加垂直平分线、角平分线作为辅助线解决问题。 知识点1 线段的垂直平分线性质与判定 1.线段的垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 2.线段的垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 【即学即练】1．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，分别是边，的垂直平分线，，则的周长 ． 【答案】8 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质的应用，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质，可得，即可求解． 【详解】解：∵，分别是边，的垂直平分线， ∴， ∴的周长为， ∵， ∴的周长为8． 故答案为：8 2．（25-26八年级上·河南周口·月考）从常见的风筝中可以抽象出一个几何图形．已知是等边三角形，，过点A作，交于点E，交于点F，连接． (1)求证：垂直平分线段； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见详解 (2)11 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定定理及性质，等边三角形的性质，平行线的性质及解含的特殊直角三角形． （1）利用等边三角形的性质得出，根据线段垂直平分线的判定定理可得点C在的垂直平分线上，同理由可得点A在的垂直平分线上，最后根据两点确定一条直线可证得结论； （2）先利用等边三角形的性质和平行线的性质得出是等边三角形，再由已知条件求出的长度，进而利用解含的特殊直角三角形求出的长度，即可求出的长度，由（1）的结论可得，最终可求出的长． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∴点C在的垂直平分线上， 又∵， ∴点A在的垂直平分线上， ∴垂直平分线段． （2）解：∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 知识点2 角平分线性质与判定 1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 2.角平分线的判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 【即学即练】1．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，在中，，是的角平分线，点E在边上，连接，且．若面积为4，，则面积 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等直角三角形的判定和性质，角平分线的性质定理． 过点 作交于点，可证，，根据面积为4，，求出面积为2，，即，，根据计算即可． 【详解】解：如图；过点 作交于点 ∵，是的平分线 ∴ ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵面积为4，， ∴面积为2， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·辽宁营口·月考），直线与交于点． (1)如图1，若，求证：平分； (2)如图2，若，（1）中的结论是否成立？说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)成立，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的判定定理， （1），先说明，再根据“边角边”证明，可得，进而根据角平分线的判定定理得出答案； （2）过点C作直线的垂线，垂足分别为M，N，由（1）得，可知，然后根据“角角边”证明，可得，最后根据角平分线的判定定理得出答案． 【详解】（1）证明：∵ ∴ ∴． ∵， ∴， ∴， 即， ∴平分； （2）解：成立，理由：过点C作直线的垂线，垂足分别为M，N， 由（1）得， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵ ∴平分． 题型01 线段垂直平分线的性质求解 【典例1】（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，，是的垂直平分线，交于点，交于点，连接．若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得，则，再根据三角形的外角的性质即可求解． 【详解】解：是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·北京通州·期末）如图，在中，，是的中垂线，交于点．如果，，那么的周长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质， 先根据勾股定理求得，再根据中垂线的性质得，然后根据的周长为得出答案． 【详解】解：∵， 根据勾股定理，得． ∵是的中垂线， ∴， ∴的周长为． 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，在中，，，，为中点，延长至点，延长至点．连接、．当，时，的长为 ． 【答案】5 【分析】如图所示，延长到点G，使，连接，，，利用勾股定理求出，然后得到，证明出，得到，，设，则，利用勾股定理表示出， ，然后利用垂直平分线的性质得到，进而求解即可． 【详解】如图所示，延长到点G，使，连接，，， ∵在中，，，， ∴ ∵为中点， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ 设，则 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴的长为5． 故答案为：5． 【变式3】（25-26八年级上·四川南充·期末）已知，如图，在中，的垂直平分线交于点是直线上的一动点．连接，若，则的周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，轴对称最短路线问题的应用，解此题的关键是找出的位置. 根据线段垂直平分线的性质即可得出点关于直线的对称点为点，当和重合时，的值最小，最小值等于的长，即可求解. 【详解】解：∵是的垂直平分线，是直线上的一动点， ∴，关于直线对称， 设直线交于，如图： ∵， ∴， 当和重合时，的值最小，最小值等于的长， ∴周长的最小值是：. 题型02 线段垂直平分线的判定定理 【典例2】（25-26八年级上·贵州·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点P． (1)求的度数； (2)求证：点P在线段的垂直平分线上． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质与判定及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质与判定及等腰三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据线段垂直平分线的性质可得，则有，进而问题可求解； （2）连接、、，由题意易得，然后问题可求证． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接、、， ∵是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上． 【变式1】（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，与相交于点，，，． (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，证明是本题的关键． （1）根据定理即可证得； （2）由，可得，且，可得垂直平分． 【详解】（1）证明：，， 在与中， ， ， （2）证明：， ， ， 点与点在线段的垂直平分线上， 垂直平分． 【变式2】（25-26八年级上·全国·假期作业）如图，在中，，平分，于E． (1)若，求的度数； (2)求证：直线是线段的垂直平分线． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定等知识，掌握这些知识是关键． （1）在中，求出即可解决问题； （2）只要证明，利用等腰三角形的性质即可证明． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， 又∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴，平分线段， 即直线是线段的垂直平分线． 【变式3】（25-26八年级上·广东肇庆·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，． (1)若的周长是，的长是，求的周长． (2)若，求证：点在线段的垂直平分线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握三角形全等的判定及性质，利用转换的思想进行求解． （1）根据题意得出，根据△ABC的周长是16，可得，通过等量代换可知，即可得出答案； （2）通过证明出，得出，即可证明． 【详解】（1）解：是的垂直平分线， ， ， ， 的周长为， ， ， ， 的周长为； （2）证明：是的垂直平分线， ， ， ， ， ∴点E在线段的垂直平分线上． 题型03 角平分线性质定理 【典例3】（25-26八年级上·四川南充·期末）如图，在中，，平分，，，则点到的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，过点作于点，根据题意可得，由角平分线的性质可得，即可得解． 【详解】解：如图，过点作于点， ，， ， 平分，，， ， 即点到的距离为， 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·山东德州·期末）如图，的内角的外角平分线与的外角平分线相交于点，若点到的距离为，则点到的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是角平分线的性质，解题关键是熟练掌握角平分线的性质． 过点作于点，作于点，作于点，由角平分线的性质推得即可得解． 【详解】解：如图，过点作于点，作于点，作于点， 的外角平分线与的外角平分线相交于点， ， 即点到的距离为． 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在中，，平分，，点分别为边上的动点，连接，则 ，的最小值为 ． 【答案】 /度 【分析】本题考查了角平分线的性质，垂线段最短及直角三角形的性质，先利用角平分线的性质进行转化，求得；再分析何时取得最小值，最终求得最小值为BE的长度即可. 【详解】解：如图，过点作交于点，交于点，过点作于， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴当点三点共线时，，此时的值最小， ∵， ∴的最小值为， 故答案为：. 【变式3】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，为的中线，为的角平分线，在中作边上的高． （1）若，，的度数为 ； （2）在（1）的条件下，若的面积为40，，则的长为 ． 【答案】 /30度 / 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，三角形中线的性质，三角形外角的定义，等知识，掌握这些知识是解题的关键． （1）由三角形外角的定义和性质得出，再由角平分线的定义即可求出． （2）过点作于点，过点作于点．由三角形面积公式求出，由含30度直角三角形的性质得出，由角平分线的性质定理得出，最后根据即可求出的值． 【详解】（1）解：，， ． 为的角平分线， ； 故答案为：； （2）解：如图，过点作于点，过点作于点． ，为的中线， ． ． ． 在中， ， ． 为的角平分线，，， ． ， ， 即． ． 故答案为：； 题型04 角平分线的判定定理 【典例4】（25-26八年级上·上海崇明·期末）如图，在中，，点、分别在边、上，，作于，交边于． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理、线段的和差等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）先证明可得，再根据角平分线的判定定理即可证明结论； （2）先证明，再根据线段的和差以及等量代换即可证明结论． 【详解】（1）证明：， ， 在与中， ， ， ， 平分． （2）证明：在与中 ， ， ， ， ， ， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·全国·假期作业）如图，点D是外一点，连接，，过点C作，垂足为E．，，，的面积为14． (1)求证：是的平分线． (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的判定，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． （1）延长，过点C作于点F，根据的面积为14，，求出，得出，根据角平分线的判定，得出结论即可； （2）在上取点G，使，根据勾股定理和垂直平分线性质求出，证明，得出． 【详解】（1）证明：过点C作交延长线于点F，如图所示： ∵的面积为14，， ∴， ∴， ∵，， ∴是的平分线． （2）解：在上取点G，使，连接， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴为的垂直平分线， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·四川南充·期末）如图，将的边、延长到、，、的角平分线、交于点，连接，，过点作、的垂线，垂足分别为，． (1)求证：点在的角平分线上； (2)用等式表示、、的数量关系，并说明理由； (3)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质． （1）作于，于，于．由角平分线的性质得出，，得出，即可判断结论正确； （2）由全等三角形的性质得出，，即可得出； （3）根据角平分线的定义得到，，根据三角形外角的性质得到，即，根据三角形外角的性质得到，即，则，根据全等三角形的性质得到，即可求出的度数． 【详解】（1）证明：作于， 平分，平分，，， ，， ， 点在的角平分线上； （2）解：，理由如下， 在和中， ， ∴， ， 同理：， ， ； （3）解：∵点在的角平分线上， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的外角， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴ ∵是的外角， ∵， 即， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3】（25-26八年级上·上海闵行·期末）如图，已知，，点是线段的中点，平分． (1)求证：平分； (2)如果，求四边形的周长； (3)将线段沿着经过点的一条直线翻折，点恰好落在射线上的点处，过点作，交边于点，试猜想线段与之间的数量关系，并进行证明． 【答案】(1)见解析 (2)14 (3)，证明见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质定理及其逆定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的判定等知识点． （1）过点作于点，根据角平分线的性质定理得到，然后结合已知条件得到，再根据角平分线的逆定理即可证明； （2）过点作于点，先由直角三角形全等的判定定理证明，则，同理可证明，可得，同理可证明，由勾股定理求解，则，即可求解四边形的周长； （3）由翻折可得，，先证明，则，由（2）知，则，然后证明，再代入证明即可． 【详解】（1）证明：过点作于点， ∵，， ∴， ∵平分，， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴平分； （2）解：过点作于点， 在和中， ， ∴（直角三角形全等的判定定理）， ∴， 同理可证明， ∴， ∵，，， ∴， 同理可证明， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的周长； （3）解：，理由如下： 由翻折可得，， ∵， ∴（直角三角形全等的判定定理） ∴ 由（2）知， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， ∴． 题型05 线段垂直平分线与角平分线的实际应用 【典例5】（25-26八年级上·上海金山·期末）上海正在建设一批精品口袋公园，如图所示，是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路的距离都相等，则凉亭是的（　　） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三角形的内心 D．三角形的外心 【答案】C 【分析】此题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键． 根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：∵是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路的距离都相等，且角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴应建在三条角平分线的交点处，即三角形的内心． 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·天津·期末）某小区计划在绿化区域增设3条绿化带，如图所示，绿化带，绿化带交于点，交于点，若要建一喷灌处，喷灌处到三条绿化带的距离相等，则可供选择的喷灌处修建点有（    ）    A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质， 由角平分线的交点到角边的距离相等，两同旁内角平分线的交点满足条件；这样的点有2个，可得可供选择的修建点有2个． 【详解】解：作和的平分线相交于，过作于E，于F，于G，    ∴， 即和的平分线的交点到、、距离相等， ∴这两个角的平分线的交点满足条件； 同理∶ 和的平分线的交点到、、距离相等， ∴这两个角的平分线的交点满足条件； ∴满足这条件的点有2个； 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·江苏南京·期中）某景区有一块三角形的草坪，、、是三个商店，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到三个商店的距离相等，凉亭的位置应选在（　　） A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】D 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意． 根据垂直平分线上的点到线段两端距离相等即可求解． 【详解】解：∵凉亭到三个商店的距离相等， ∴凉亭的位置应选在三边垂直平分线的交点上． 故选：D． 【变式3】（25-26八年级上·山西吕梁·期中）某考古队在一片古代遗址中发现了三处疑似重要文物埋藏点，，，为了更高效地开展勘探工作，考古队计划设置一个中央勘探站，要求该勘探站到这三个埋藏点的距离都相等，则勘探站应建在（    ） A．三条中线的交点处 B．三条高线的交点处 C．三个角的角平分线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质即可解答． 【详解】解：由题意可知：当该勘探站到这三个埋藏点A，B，C的距离都相等时，则该勘探站应建在的三条边的垂直平分线的交点处． 故选D． 题型06 作垂线与角平分线（尺规作图） 【典例6】（25-26八年级上·山东德州·月考）如图，在中，． (1)尺规作图：作的垂直平分线交于点不写作法，保留作图痕迹； (2)在的条件下，若，求的度数． 【答案】(1)图见详解 (2) 【分析】本题考查了作图复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了三角形内角和、线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质． 利用基本作图作的垂直平分线即可； 先根据线段垂直平分线的性质得到，由于，所以，再根据等腰三角形的性质得到，所以为等腰直角三角形，从而得到的度数． 【详解】（1）解：如图，点为所作； （2）解：的垂直平分线交于点， ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ． 【变式1】（25-26八年级上·福建厦门·月考）如图，在中，，，，垂足点． (1)尺规作图：在线段上，求作一个点，使得； (2)连接，求度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了尺规作图、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、垂直平分线的判定与性质定理等知识点，掌握垂直平分线上的点到线段的两端点距离相等是解题的关键． （1）如图：作的垂直平分线与的交点即为所求的点E； （2）由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，是的角平分线，再求出，即可求出，再利用求解即可． 【详解】（1）解：如图：点E即为所求． （2）解：∵在中，，，， ∴，，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·甘肃天水·期末）天水市要在麦积山建第五代移动通信技术铁塔（简称），要求发射塔离村庄A、B的距离必须相等，且到两条高速公路的距离也必须相等．发射塔点G应修建在什么位置？（在图上用直尺和圆规做出它的位置．保留作图痕迹，不写做法） 【答案】图见解析 【分析】本题考查角平分线的性质，中垂线的性质，由题意可知，发射塔点G为的角平分线与线段的中垂线的交点，利用尺规作出的平分线，线段的中垂线即可． 【详解】解：由题意点G如下图所求： 【变式3】（25-26七年级上·山东威海·期中）如图，在中，，点在上，连接，并延长至点，连接，使． (1)作的平分线，交于点（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，求证：． 【答案】(1)图见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了基本作图—角平分线，角平分线定义，全等三角形的判定与性质，等边对等角，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）作出的平分线即可； （2）利用等腰三角形的性质得到，再证明得出，进而即可得证． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）证明：连接， ，， ，， 由（1）知：平分， ， 在和中， ， ， ， ． 题型07 线段的垂直平分线与角平分线的综合问题 【典例7】（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，的平分线与的垂直平分线相交于点，，，垂足分别为、． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】此题主要考查了角平分线的性质和线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，理解角平分线的性质和线段垂直平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）连接， ，根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质得，，由此可依据“”判定和全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）设，则，依据“”判定和全等得，则，据此即可得出的周长． 【详解】（1）证明：连接， ，如图所示： ∵是的平分线，，, ∴， ∴, ∴,,,都是直角三角形， ∵是边的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴, ∴. （2）解：设， ∵,, ∴， 在和中， ， ∴， ∴, ∴, ∴的周长为：． 【变式1】（24-25八年级下·陕西宝鸡·期末）如图，是平分线上的一点．过点作，，垂足分别为，连接． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，全等三角形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理的运用，掌握角平线的性质定理是关键． （1）根据角平分线的性质定理得到点在的垂直平分线上，再证，得到，点在的垂直平分线上由此即可求解； （2）根据含角的直角三角形的性质，勾股定理得到，，结合周长的计算即可求解． 【详解】（1）证明：是平分线上的一点，，，垂足分别为， ，， 点在的垂直平分线上， 在和中， ， ， ， 点在的垂直平分线上． 是的垂直平分线； （2）解：，， ， ，， ， ， ， 的周长是． 【变式2】（25-26八年级上·江西宜春·期中）已知：如图，中，的平分线与的垂直平分线交于点，于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题考查三角形综合，涉及角平分线性质、垂直平分线性质、角平分线定义、三角形全等的判定与性质等知识，熟记三角形相关性质是解决问题的关键． （1）由角平分线的性质得到，再由垂直平分线的性质得到，从而由两个直角三角形全等的判定定理得到，再由全等性质即可得证； （2）先求出，再由三角形全等的判定得到，进而得到，表示出即可得到答案． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： 平分，，， ， 垂直平分， ， ， ； （2）解：由（1）可知 ， ， 平分， ， ，， ， 又， ， ， ． 【变式3】（25-26八年级上·广东广州·期中）已知：如图中，O是的中点，D是的角平分线上一点，且，过D作于E点，于F点． (1)连接，求证：所在直线是的垂直平分线； (2)求证：； (3)判断之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形的综合应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质，角平分线的性质是解题关键， （1）根据证明，进而解答即可； （2）根据证明，进而利用全等三角形的性质与等式的性质解答即可； （3）根据证明，进而利用全等三角形的性质与线段的关系解答即可． 【详解】（1）证明：O是的中点， ， ， ， ， ， ， 所在直线是的垂直平分线； （2）证明：D是的角平分线上一点，，， ， ， ， ， ， ； （3）证明：，理由如下： ， ， ， ， ， ． 一、单选题 1．（25-26七年级下·浙江宁波·阶段检测）如图，在锐角中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，，则的周长为（     ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】A 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，，据此即可求解． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长． 2．（2026·山东济南·模拟预测）在中，，按以下步骤作图：  ①以点为圆心，以小于的长为半径画图，分别交，于点，；  ②分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点；  ③作射线，交边于点，若，  则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据作图得到平分，如图所示，过点D作于点H，由角平分线的性质定理得到，再根据面积的计算公式求解即可． 【详解】解：根据作图可知平分，如图所示，过点D作于点H， ∵，即， ∴， ∴， 故选：B ． 3．（25-26八年级下·河南郑州·期末）如图，要在A、B、C三个城镇附近修建一个物流集散中心，要使物流集散中心到三个城镇的距离相等，则物流集散中心的位置应建在（   ）． A．三条中线的交点处 B．三条高线的交点处 C．三条角平分线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处 【答案】D 【分析】线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，因此三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点距离相等． 【详解】解：根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的任意一点，到这条线段两个端点的距离相等． 若一点在的垂直平分线上，则该点到A、B距离相等； 若一点在的垂直平分线上，则该点到B、C距离相等； 若一点在的垂直平分线上，则该点到A、C距离相等， 三条边垂直平分线的交点，同时在的垂直平分线上，因此这个点到A、B、C三点距离全部相等． 4．（25-26八年级下·山西太原·期中）如图，已知，，D是线段上一点（不与A，D重合），下列结论不一定正确的是（     ） A．平分和 B．垂直平分 C． D． 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的判定定理，由，可得是的垂直平分线，利用全等三角形的判定与性质或轴对称性质逐一判断选项即可． 【详解】解：，， 点，都在线段的垂直平分线上 ， 垂直平分，故B选项正确； 在和中， ， ，， 平分和，故A选项正确 ； 垂直平分，在上 ， ， 在和中， ， ，故C选项正确 ； 与的长度取决于点在上的位置，无法确定，故D选项不一定正确 ． 二、填空题 5．（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图，是的角平分线，点在上，，垂足为，且，则点到的距离是______cm． 【答案】3 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等解题即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵是的角平分线，，， ∴． 即点到的距离是． 6．（25-26七年级下·河南平顶山·期末）如图，在中，的周长为，通过尺规作图，的周长为，则________． 【答案】3 【分析】先根据垂直平分线的性质得到，，列出两个三角形周长式子并作差，再用线段等量代换消去、、，化简后直接算出的长度． 【详解】解：由尺规作图痕迹可得，直线是线段的垂直平分线， ，． 的周长为， 的周长为， ， ∴． ∴， ， 7．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）把两个同样大小的三角尺与像如图所示那样放置，M是与的交点．根据刻度可知，则点M到的距离是 __cm． 【答案】 【分析】本题主要是考查了角平分线的性质，能够熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键． 先利用直角三角板性质求得，根据角平分线性质可得点M到的距离等于点M到的距离． 【详解】解：由题意可得：,, ∵， ∴， ∴点M到的距离等于点M到的距离， ∵,， ∴点M到的距离为， ∴点M到的距离等于的长为． 故答案为：5． 8．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图，在中，，，边的垂直平分线分别交，于点E，F，点D为直线上一点，则的周长最小值是________． 【答案】 【分析】连接，由线段垂直平分线的性质可得，从而得出的周长，再结合三角形三边关系得出当点、、在同一直线上时，的值最小为，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， ， ∵垂直平分， ∴， ∴的周长， ∵， ∴当点、、在同一直线上时，的值最小为， ∴的周长最小值是． 三、解答题 9．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在与中，，平分，，分别为，的高． (1)试说明：； (2)已知，求的长． 【答案】(1)证明：∵平分， ∴， 又∵，， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）证明，即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质可得，再根据角平分线的性质得到答案. 【详解】（1）略； （2）解：∵， ∴， ∵，分别为，的高，即， ∴， ∵， ∴. 10．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，是的垂直平分线，为的中点． (1)求证：； (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，等量代换证明即可； （2）根据线段垂直平分线的性质，三角形的周长，解答即可． 【详解】（1）证明：是的垂直平分线， ， ， ； （2）解：根据题意，得， ， ∵的周长为， ， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， 故的周长为． 11．（25-26八年级下·广东河源·阶段检测）如图，在中，，D是上一点，若过点D作，垂足为F，点E在上，，． (1)求证：AD平分； (2)请你判断之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）先运用证明可得，再根据角平分线的判定定理即可证明结论； （2）先运用证明可得，再根据线段的和差以及等量代换即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴平分． （2）解：，理由如下： 在与中，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．（25-26八年级下·广东佛山·阶段检测）如图，在中，直线垂直平分边，分别交于点，连接． (1)若，的周长为，则的长为______； (2)已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点在边的垂直平分线上，理由见解析 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到，得到，再利用三角形的周长公式即可求解； （2）根据垂直平分线的性质得到，再利用垂直平分线的判定即可得出结论． 【详解】（1）解：直线垂直平分边，分别交，于点，， ， ， 的周长为， ， ， ， 即； （2）解：点在边的垂直平分线上，理由如下： 连接、， 直线垂直平分边，点在直线上， ， 点在边的垂直平分线上， ， ， 点在边的垂直平分线上． 一、单选题 1．（2026·辽宁阜新·二模）如图，在中，，的平分线交边于点D．若的面积为，则的面积是（     ） A．6 B．9 C．10 D．15 【答案】D 【分析】因为是的角平分线，所以可根据角平分线的性质，得到点到、的距离相等，即和的高相等；因为两个三角形高相等，所以面积比等于对应底和的长度比，结合已知与的比例，可得到和的面积比；因为的面积是和的面积之和，所以结合总面积和两个三角形的面积比，可求出的面积． 【详解】解：过点作， ∵平分， ∴， ∵， 即， ∴， ∴， 又∵的总面积， ∴， ∴， 解得． 2．（25-26八年级上·广西贵港·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质．由线段垂直平分线的性质可得，，再由三角形的周长公式计算即可得解． 【详解】解：∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴的周长为， 故选：C． 3．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，分别以A，B为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线交的平分线于点D，过点D作，交的延长线于点E．若，，则的长为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质和作法，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． 过点作于点，连接，根据线段垂直平分线的性质和角平分线的性质，得出相等的线段和直角，证明和，得出相等的边，最后利用线段的和差进行求解即可． 【详解】解：如图所示，过点作于点，连接， ∵平分，且， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 由作图可得，垂直平分线段， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 4．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）如图，在中，．以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点，画射线与交于点，点是上一点，连接．根据以上作图，下列结论错误的是（    ）． A．得出射线是的角平分线的依据是 B．点和点关于射线对称 C．如果，则 D．连接，，则 【答案】A 【详解】解：如图，连接、， 由尺规作图的操作流程可知，，，故D正确； 对于A：在和中， ， ∴， ∴，故A错误； 对于B：由，结合图形可知，和关于射线对称， ∴点和点关于射线对称，故B正确； 对于C：∵射线是的角平分线， 又∵，， ∴，故C正确． 5．（25-26八年级上·山东临沂·期末）如图，点P为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点P旋转的过程中，其两边分别与、相交于M、N两点，则以下结论： （1）恒成立； （2）的值不变； （3）四边形的面积不变； （4）的长不变． 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】如图作于点，于点，由角平分线的性质定理可得，证明，得出，证明，得出，，再逐项分析即可得出结果． 【详解】解：如图：如图作于点，于点， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵与互补， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，故（1）正确； ∴，即的值不变，故（2）正确； ∵，， ∴，， ∴，即四边形的面积不变，故（3）正确； ∵为定角， ∴，为定角， ∵， ∴的形状确定， ∵的长度变化， ∴的长度变化，故（4）错误； 综上所述，正确的有（1）、（2）、（3），共个． 二、填空题 6．（25-26八年级下·湖北武汉·开学考试）如图，点A，D分别在，的垂直平分线上，A，E，D三点在同一条直线上，如果，，那么四边形的周长为 ____ ． 【答案】17 【分析】根据“垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”得出，，即可求解． 【详解】解：点A，D分别在，的垂直平分线上， ，， ， ， ． 7．（22-23八年级下·浙江宁波·假期作业）如图，在中，，，是的中线，，，且，则____________． 【答案】6 【分析】延长交的延长线于，证明，得到，，根据垂直平分线的性质解答． 【详解】解：延长交的延长线于，如图所示： ∵是的中线， ∴， ，， ， 又∵， ， ，， ， ． 8．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，在四边形中，，点在边上，且的垂直平分线经过点，点在边上，且，连接，且，延长交的延长线于点，已知，则的长为__________． 【答案】1 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的性质，解题的关键是作出正确的辅助线． 连接，先利用线段垂直平分线的性质得到，再证明，结合垂直平分的性质，进而求出的长度． 【详解】解：连接，如图， 点在的垂直平分线上， ， ， ，， 点是中点， ， ， ，， ， 垂直平分， ， ． 故答案为：1． 9．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如图，直线是中边的垂直平分线，点是直线上的一动点．若，，，则周长的最小值是______． 【答案】 【分析】连接，根据垂直平分线性质可得，所以，则当三点共线时有最小值，为长，即最小值为长，从而求出周长的最小值． 【详解】解：如图，连接， ∵直线是中边的垂直平分线，点是直线上的一动点， ∴， ∴， ∴当三点共线时有最小值，为，即最小为， ∴周长的最小值． 10．（25-26八年级上·山西朔州·期末）如图，为的角平分线，，，，D为上一动点，连接，则的最小值为________． 【答案】/ 【分析】过点作于点，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式得到，，则有，设，，结合，求出的值，得到，再根据垂线段最短的性质即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵为的角平分线，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，， ∵ ∴， 解得， ∴， ∵D为上一动点， ∴当时，有最小值，此时点与点重合， ∴的最小值为． 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，是的角平分线上一点，，，垂足分别为，．过点作，交于点，在射线上取一点，使． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定． （1）根据角平分线的性质可得，再根据已知条件证明，即可证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （2）证明得出，根据，得出，根据，即可求解． 【详解】（1）证明：平分，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：在和中， ， ， ， 由（1）可知：， ； ， ， ． 12．（25-26八年级下·山东青岛·阶段检测）如图，已知，，，，，与相交于点，连接．求证： (1)； (2)是的中垂线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先利用“”，得出，再利用“”，得出，即可得证； （2）根据全等三角形的性质，得出，，进一步得，结合，得出点和点在的垂直平分线上，即可得证． 【详解】（1）证明：， ， 即． ，， ． 又， ， ． 又， ， ． （2）证明：由（1）可知，，， ，， ， 即． 又， 点和点在的垂直平分线上， 是的中垂线． 13．（24-25八年级下·广西来宾·期中）已知：如图，在四边形中，，过点C作于E，于F且． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，角平分线的性质定理的逆定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质及角平分线的性质定理的逆定理是解题的关键． （1）根据直角三角形全等的判定证明，所以，再根据角平分线的性质定理的逆定理，即可证明结论； （2）根据直角三角形全等的判定证明，可得，进一步即可求得答案． 【详解】（1）证明：，， ，， 和均为直角三角形， 在和中， ， ， ， ，， 平分； （2）解：，， 和均为直角三角形， 在和中， ， ， ， ，， ， ． 14．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）如图，已知，垂直平分，交于点，交于点，垂直平分，交于点，交于点，连接． (1)连接，，若，求的周长； (2)若，求证：平分． 【答案】(1)15 (2)见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的判定定理，熟练掌握线段垂直平分的性质是解题关键． （1）先根据线段垂直平分线的性质可得，，再根据三角形的周长公式即可得； （2）先根据已知可得，，，，从而可得，再根据角平分线的判定定理即可得证． 【详解】（1）解：垂直平分， ． 同理：． 的周长； （2）证明：，垂直平分，垂直平分，， ，， ． 平分． 15．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图1，都是等腰三角形，，连接和相交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，求的大小； (3)如图2，若，F为上一点，，交于点G，求证：垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）证明即可证明； （2）过点O作于点M，于点N，求出，再证明平分，即可求出结论； （3）先证明，得出，进而证明，点E在的垂直平分线上，再根据为等边三角形得出点A在的垂直平分线上，证明结论即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ． ； （2）解：如图，过点O作于点M，于点N，则， 由（1）， ∴， ， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴平分， ∴． （3）证明：由（1）得：． 在和中， ． ∵， ∴，点E在的垂直平分线上； 在中，， ∴为等边三角形， ∴，点A在的垂直平分线上； ∴直线垂直平分． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题1.3线段垂直平分线与角平分线 内容总览 1教学目标、教学重难点 知识点1：线段的垂直平分线性质与判定 2.知识清单 知识点2：角平分线性质与判定 题型01线段垂直平分线的性质求解 题型02线段垂直平分线的判定定理 线段的垂直平分线与 题型03角平分线性质定理 角平分线 题型04角平分线的判定定理 3.题型精讲 题型05线段垂直平分线与角平分线的实际应用 题型06作垂线与角平分线（尺规作图） 题型07线段的垂直平分线与角平分线的综合问题 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1.探索并证明线段垂直平分线的性质与判定定理，理解其上的点到线段两端距离相 等。 教学目标 2.探索并证明角平分线的性质与判定定理，理解其上的点到角两边距离相等。 3.能运用这两条线段的性质与判定解决几何证明、计算及尺规作图问题。 重点： 1.线段垂直平分线的性质与判定的掌握，能灵活用于证明线段相等。 2.角平分线的性质与判定的掌握，能灵活用于证明线段相等或角度相等。 教学重难点 教学难点： 1. 性质定理与判定定理的互逆关系理解，以及在证明中根据条件正确选择。 2.在实际问题或复杂图形中，识别或添加垂直平分线、角平分线作为辅助线解决问 题。 1/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识清单 知识点1线段的垂直平分线性质与判定 1.线段的垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 2.线段的垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 【即学即练】1.(25-26八年级上浙江杭州期中)如图，在△ABC中，DM,EN分别是边AB,AC的 垂直平分线，BC=8,则△ADE的周长 D 2.(25-26八年级上河南周口月考)从常见的风筝中可以抽象出一个几何图形.已知△BCD是等边三角 形，AB=AD,过点A作AE∥DC,交BC于点E,交BD于点E,连接AC. (I)求证：AC垂直平分线段BD: (2)若AE=8,BE=3,求BD的长. 知识点2角平分线性质与判定 1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 2.角平分线的判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 【即学即练】1.(25-26八年级上·浙江金华期中)如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠CAB的角平 分线，点E在边AC上，连接DE,且DE=DB.若△ADE面积为4，AE=2EC,则△ABC面积= 2/20 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(25-26八年级上辽宁营口月考)∠ACB=∠DCE=90,BC=AC,EC=DC,直线AD与BE交于点F. 图1 图2 (1)如图1，若∠CEB=90°，求证：FC平分∠BFD; (2)如图2，若∠CEB≠90°，(1)中的结论是否成立？说明理由， 题型精讲 题型01线段垂直平分线的性质求解 【典例1】(25-26八年级下·全国·周测)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，ED是AC的垂直平分线， 交AC于点D,交BC于点E,连接AE.若∠BAE=IO°，则∠C的度数是 B 【变式1】(25-26八年级上北京通州期末)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，MN是BC的中垂线，交 AB于点E.如果AC=2,BC=6,那么△ACE的周长为一 M E 3/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式2】(25-26八年级上江苏泰州月考)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6,BC=8,D 为AC中点，延长BA至点E,延长CB至点F.连接DE、DF.当DE⊥DF,BF=2时，AE的长为 B 【变式3】(25-26八年级上四川南充期末)已知，如图，在△ABC中，BC的垂直平分线m交BC于点 D,P是直线m上的一动点.连接BP,CP,AP,若AB=7,AC=3,BC=8,则△APC的周长的最小值 为 m B 题型02线段垂直平分线的判定定理 【典例2】(25-26八年级上·贵州期末)如图，在△ABC中，∠BAC=130°，AB的垂直平分线分别交AB, BC于点E,F,AC的垂直平分线分别交AC,BC于点M,N,直线EF,MN交于点P. (1)求∠FAN的度数； (2)求证：点P在线段BC的垂直平分线上. 【变式1】(25-26八年级上云南昆明期末)如图，AD与BC相交于点O,AB=CD,∠A=∠C, BE=DE 4/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ○ E (1)求证：△ABO≌△CDO: (2)求证：OE垂直平分BD 【变式2】(25-26八年级上全国假期作业)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC, DE⊥AB于E. E (I)若∠BAC=40°，求∠EDA的度数： (2)求证：直线AD是线段CE的垂直平分线， 【变式3】(25-26八年级上广东肇庆期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线交 AB于点D,交BC于点E,连接CD,AE. ()若△ABC的周长是16，AD的长是3，求△AEC的周长 (2)若∠DAE=∠CAE,求证：点E在线段CD的垂直平分线上， 题型03角平分线性质定理 【典例3】(25-26八年级上四川南充期末)如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC, BC=10cm,BD=7cm,则点D到AB的距离为- 5/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 【变式1】(25-26八年级上山东德州期末)如图，△ABC的内角∠ABC的外角平分线BD与∠ACB的外 角平分线CE相交于点P,若点P到AC的距离为3，则点P到AB的距离为一 B 【变式2】(25-26八年级上海南省直辖县级单位期中)如图，在△ABC中，AB=8,AD平分∠BAC, ∠BAD=15°，点PO分别为边AD,AB上的动点，连接BPPD,则∠BAC=一， BP+PO的最 小值为 B 【变式3】(25-26八年级上安徽合肥期末)如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的角平分线，在 △BED中作BD边上的高EM. DM (1)若∠BED=40°，∠BAD=25°，∠ABD的度数为 (2)在(1)的条件下，若△ABC的面积为40，BD=5,则EM的长为 题型04角平分线的判定定理 【典例4】(25-26八年级上·上海崇明·期末)如图，在△ABC中，∠A=90°，点D、E分别在边AB、BC 上，AD=CE,作EF LBC于E,交边AC于F,DF=CF 6/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E C (1)求证：BF平分∠ABC: (2)求证：BC+BD=2BE 【变式1】(25-26八年级上全国假期作业)如图，点D是△ABC外一点，连接AD,CD,过点C作 CE⊥AB,垂足为E.AD=7,CE=4,AB=13,△ADC的面积为14. D E (I)求证：AC是∠BAD的平分线 (2)若AB-AD=2BE,求证：CD=BC, 【变式2】(25-26八年级上四川南充·期末)如图，将△ABC的边BA、BC延长到E、F,∠ABC、 ∠EAC的角平分线BP、AP交于点P,连接CP,∠BPC=25°，过点P作BE、BF的垂线，垂足分别为M, N M A B (I)求证：点P在∠ACF的角平分线上： (2)用等式表示AC、AM、CN的数量关系，并说明理由： (3)求∠CAP的度数. 【变式3】(25-26八年级上·上海闵行·期末)如图，已知AD∥BC,BC>AD,∠A=90°，点E是线段AB 的中点，DE平分∠ADC D D B (备用图) 7/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)求证：CE平分∠BCD: (②)如果AD=1,BC=4,求四边形ABCD的周长： (③)将线段EC沿着经过点E的一条直线翻折，点C恰好落在射线AD上的点P处，过点P作P吧∥DE,交 边CD于点O,试猜想线段AD与CQ之间的数量关系，并进行证明. 题型05线段垂直平分线与角平分线的实际应用 【典例5】(25-26八年级上·上海金山期末)上海正在建设一批精品口袋公园，如图所示，△ABC是一个 正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭H,使该凉亭到公路AB、AC、BC的距离都相等，则凉亭 H是△ABC的( B A.三条中线的交点 B.三条高的交点 C.三角形的内心 D.三角形的外心 【变式1】(25-26八年级上·天津·期末)某小区计划在绿化区域增设3条绿化带，如图所示，绿化带 AB∥CD,绿化带MN交AB于点M,交CD于点N,若要建一喷灌处，喷灌处到三条绿化带的距离相等， 则可供选择的喷灌处修建点有() B D A.1处 B.2处 C.3处 D.4处 【变式2】(25-26八年级上江苏南京期中)某景区有一块三角形的草坪，A、B、C是三个商店，现要 在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到三个商店的距离相等，凉亭的位置应选在() B 8/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.△ABC的三条中线的交点 B.△ABC三条角平分线的交点 C.△ABC三条高所在直线的交点 D.△ABC三边垂直平分线的交点 【变式3】(25-26八年级上山西吕梁·期中)某考古队在一片古代遗址中发现了三处疑似重要文物埋藏点 A,B,C,为了更高效地开展勘探工作，考古队计划设置一个中央勘探站O,要求该勘探站O到这三个 埋藏点的距离都相等，则勘探站应建在() A.△ABC三条中线的交点处 B.△ABC三条高线的交点处 C.△ABC三个角的角平分线的交点处 D.△ABC三条边的垂直平分线的交点处 题型06 作垂线与角平分线（尺规作图） 【典例6】(25-26八年级上山东德州月考)如图，在△ABC中，AB=AC. (I)尺规作图：作AB的垂直平分线交BC于点D(不写作法，保留作图痕迹)； (②)在()的条件下，若AD=CD,求∠BAD的度数. 【变式1】(25-26八年级上福建厦门月考)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=50°，AD1BC, 垂足点D (I)尺规作图：在线段AD上，求作一个点E,使得AE=CE; 9/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)连接BE,求∠EBD度数. 【变式2】(25-26八年级上·甘肃天水·期末)天水市要在麦积山建第五代移动通信技术铁塔（简称5G), 要求发射塔离村庄A、B的距离必须相等，且到两条高速公路MNP№的距离也必须相等.发射塔点G应 修建在什么位置？（在图上用直尺和圆规做出它的位置.保留作图痕迹，不写做法） ●B N 【变式3】(25-26七年级上山东威海·期中)如图，在△ABC中，AB=AC,点D在AC上，连接BD, 并延长至点E,连接AE,使AE=AB. E A B (I)作∠EAC的平分线AF,AF交DE于点F(用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)： (2)在(1)的条件下，连接CF,求证：∠ABE=∠ACF」 题型07线段的垂直平分线与角平分线的综合问题 【典例7】(25-26八年级上江苏苏州期中)如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D, DE⊥AB,DF L AC,垂足分别为E、F. E B (I)求证：BE=CF: 10120 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②)若AF=6,BC=10,求△ABC的周长. 【变式1】(24-25八年级下陕西宝鸡期末)如图，P是∠AOB平分线上的一点.过点P作PC⊥OA, PD⊥OB,垂足分别为C,D,连接CD (1)求证：OP是CD的垂直平分线： (2)若∠AOB=60°，OP=6,求△COP的周长， 【变式2】(25-26八年级上江西宜春·期中)已知：如图，△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分 线交于点D,DF⊥AC于点F,DE LAB交AB的延长线于点E. E (I)求证：BE=CF; (2)若AC=16,BE=4,求AB的长. 【变式3】(25-26八年级上：广东广州期中)已知：如图△ABC中，O是BC的中点，D是∠BAC的角平 分线上一点，且DB=DC,过D作DE L AB于E点，DF L AC于F点. (1)连接OD,求证：OD所在直线是BC的垂直平分线： (2)求证：∠BDC=∠EDF: (3)判断AB,AC,CF之间的数量关系，并说明理由. 11/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 强化训练 基础自测 一、单选题 1.(25-26七年级下·浙江宁波阶段检测)如图，在锐角△ABC中，BC=9,AB的垂直平分线分别交AB、 BC于点D、E,AC的垂直平分线分别交AC、BC于点R、G,EG=L,则△AEG的周长为() D A.11 B.10 C.9 D.8 2.(2026山东济南模拟预测)在△ABC中，∠C=90°，按以下步骤作图： ①以点B为圆心，以小于BC的长为半径画图，分别交AB,BC于点E,F: ②分别以点E、F为圆心，以大于2EF的长为半径画弧，两弧相交于点G: ③作射线BG,交4C边于点D,若CD- 2’AB=5. 则△ABD的面积为() B 15 A.2 B.4 5 C.6 3.(25-26八年级下·河南郑州期末)如图，要在A、B、C三个城镇附近修建一个物流集散中心，要使物 流集散中心到三个城镇的距离相等，则物流集散中心的位置应建在()· 12120 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B c A.△ABC三条中线的交点处 B.△ABC三条高线的交点处 C.△ABC三条角平分线的交点处 D.△ABC三条边的垂直平分线的交点处 4.(25-26八年级下山西太原期中)如图，已知AB=AC,BE=CE,D是线段AE上一点（不与A,D 重合)，下列结论不一定正确的是() A.AE平分∠BAC和∠BEC B.AE垂直平分BC C.∠DBE=∠DCE D.BD=DE 二、填空题 5.(25-26八年级上江西赣州期末)如图，AM是∠BAC的角平分线，点P在AM上，PD⊥AB,垂足 为D,且PD=3cm,则点P到AC的距离是cm D M 6.(25-26七年级下河南平顶山期末)如图，在△ABC中，△ABC的周长为18cm,通过尺规作图， △ABD的周长为l2cm,则CE=_cm. 13120 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.(25-26八年级上·江苏盐城期末)把两个同样大小的三角尺△ABC与△BAD像如图所示那样放置，M是 AD与BC的交点.根据刻度可知MC=5cm,则点M到AB的距离是_cm. 8.(25-26八年级上·贵州遵义期末)如图，在△ABC中，AB=6,AC=4,边BC的垂直平分线分别交 BC,AB于点E,F,点D为直线EF上一点，则△ADC的周长最小值是一 D B 三、解答题 9.(25-26七年级下陕西咸阳阶段检测)如图，在△ABC与△ADC中，AB=AD,AC平分∠BAD,AE, AF分别为△ABC,△ADC的高. (1)试说明：∠B=∠D: (2)已知AE=8,求AF的长. 10.(25-26八年级下陕西西安阶段检测)如图，在△ABC中，EF是AB的垂直平分线，AE=AC,D为 CE的中点 14120 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B ED C (①)求证：BE=AC: (2)若BD=8cm,求△AEC的周长. 11.(25-26八年级下广东河源阶段检测)如图，在△ABC中，∠C=90°，D是BC上一点，若过点D作 DF⊥AB,垂足为F,点E在AC上，DE=BD,CE=FB. E D (1)求证：AD平分∠BAC: (②)请你判断AE,AF,BF之间的数量关系，并说明理由. 12.(25-26八年级下·广东佛山阶段检测)如图，在△ABC中，直线I垂直平分边BC,分别交AC,BC于 点D,E,连接BD. A E (1)若AB=8,△ABD的周长为19，则AC的长为 (2)已知点P在线段DE上，且点P在边AC的垂直平分线上，连接PC,试判断点P是否在边AB的垂直平 分线上，并说明理由 能力提升 一、单选题 15120 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026辽宁阜新三模)如图，在MBC中，BCAB,∠ABC的平分线BD交4C边于点D △ABC的面积为25，则△BCD的面积是() D B A.6 B.9 C.10 D.15 2.(25-26八年级上广西贵港期末)如图，在△ABC中，BC=16,AB的垂直平分线分别交AB、BC于 点D、E,AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G,则△AEG的周长为() F E A.14 B.15 C.16 D.17 3。(2526八年级上浙江台州期末)如图，在。HBC中，分别以4，B为同心，大于4B长为半径面弧。 两弧交于点M,N,作直线MN交∠ACB的平分线于点D,过点D作DE⊥CB,交CB的延长线于点E.若 CB=5,BE=3,则AC的长为() B A.8 B.9 C.10 D.11 4.(2026内蒙古鄂尔多斯一模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.以点A为圆心，适当长度为半径画弧， 分别交AC,AB于点M,N,再分别以点M,N为圆心，大于2MW的长为半径画弧，两弧在∠CAB的 内部交于点P,画射线AP与BC交于点D,点E是AB上一点，连接DE,根据以上作图，下列结论错误 的是(). 16120 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D P A.得出射线AD是∠CAB的角平分线的依据是SAS B.点M和点N关于射线AD对称 C.如果DE⊥AB,则DC=DE D.连接PM,PN,则PM=PN 5.(25-26八年级上山东临沂期末)如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与 ∠AOB互补，若∠MPV在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于MN两点，则以下结论： A B (1)PM=PN恒成立： (2)OM+ON的值不变： (3)四边形PMON的面积不变： (4)MN的长不变 其中正确的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题 6.(25-26八年级下·湖北武汉·开学考试)如图，点A,D分别在BE,EC的垂直平分线上，A,E,D三 点在同一条直线上，如果AD=5cm,BC=7cm,那么四边形ABCD的周长为cm. 7.(22-23八年级下浙江宁波假期作业)如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=-2,AD是△ABC的中线， CE⊥BC,CE=4,且∠ADE=90°，则AE= 17/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E Y D 8.(25-26八年级上陕西榆林期末)如图，在四边形ABCD中，AD‖BC,点E在边BC上，且AB的垂 直平分线经过点E,点F在CD边上，且DF=CF,连接EF,AF,且AF⊥EF,延长AF交BC的延长线 于点G,已知AD=2,BE=3,则CE的长为 4 D B G 9.(25-26七年级下江苏扬州·期中)如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一 动点.若AB=8,AC=6,BC=9,则△APC周长的最小值是一 m AC5 10.(25-26八年级上山西朔州期末)如图，AP为△ABC的角平分线，∠C=90°，AB13,BC=6, D为AB上一动点，连接PD,则PD的最小值为 D 三、解答题 11.(25-26八年级上湖南长沙期末)如图，C是∠MAN的角平分线上一点，CE⊥AN,CF⊥AM,垂 足分别为E,F.过点C作CD⊥CE,交AM于点D,在射线EN上取一点B,使∠CBE=∠DAE. 18120 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M B N (1)求证：CD=CB: (2)若AB=16.7,AD=7.3,求DF的长. 12.(25-26八年级下'山东青岛·阶段检测)如图，己知，AC=AE,∠CAD=∠EAB,AD1DE, AB⊥BC,BC与DE相交于点F,连接AF.求证： (1)DF=BF: (2)AF是CE的中垂线. 13.(24-25八年级下'广西来宾期中)己知：如图，在四边形ABCD中，BC=CD,过点C作CE⊥AB 于E,CF⊥AD于F且DF=BE. (I)求证：AC平分∠DAB; (2)若AB=8cm,DF=2cm,求AD的长. 14.(25-26八年级上河北石家庄期末)如图，己知△PMN,OA垂直平分MP,交MN于点E,交MP 于点Q,OB垂直平分PN,交MN于点F,交PN于点R,连接OP. N P B (I)连接PE,PF,若MN=15,求△PEF的周长； 19120 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②)若PM=PN,求证：OP平分∠AOB 15.(25-26八年级上湖南长沙期末)如图1，△OAB,△OCD都是等腰三角形， OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD,连接AC和BD相交于点E,连接OE. 】 D 图1 图2 (I)求证：△ACO≌△BDO (2)若∠AOB=2a,求∠OED的大小： (3)如图2，若∠AOB=60°，F为BD上一点，DF=CE,OF=BE,AC交OB于点G,求证：AC垂直平分 BO 20120