吉林省部分校2025-2026学年高二下学期7月期末联考数学试题

高二数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则的元素个数为 A．16 B．12 C．8 D．4 2．已知函数的导函数为，且的部分图象如图所示，则 A． B． C． D． 3．超市的某商品从甲、乙两个工厂进货的数量分别占总数的，，且甲、乙两工厂此产品的优品率分别为，．若小明同学从该超市购买一件该商品，则该商品是优品的概率为 A． B． C． D． 4．若曲线在处的切线方程为，则 A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知变量与变量线性相关，与的样本相关系数为，且样本数据的平均数分别为，，则关于的经验回归方程可能是 A． B． C． D． 6．除以7的余数为 A．1 B．2 C．3 D．4 7．若，，且，则 A．， B．， C．， D．， 8．已知函数在上有两个极值点，则的取值范围为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若，为两个随机事件，且，，，则 A． B． C． D．与相互独立 10．若，则 A． B． C． D． 11．设关于，，的三元方程的正整数解的组数为，其中，，均为常数，则 A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若随机变量，且，，则_______． 13．已知函数的导函数，且，则在上的最小值为_______． 14．在的展开式中，只有第25项的二项式系数最大，则_______，在的展开式中，含项的系数为_______（结果用数字作答）． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 某材料研究所研发了两种防冰涂层：电热防冰涂层、疏水防冰涂层．该研究所在模拟高空低温云雾环境的风洞中开展积冰试验，共记录200次试验数据，统计涂层无积冰（合格）、有积冰（不合格）的情况，整理得到如下列联表： 防冰涂层类型 积冰情况 合计 无积冰 有积冰 电热防冰涂层 70 30 100 疏水防冰涂层 85 15 100 合计 155 45 200 （1）分别求两种防冰涂层的合格率； （2）依据的独立性检验，能否认为防冰涂层类型和防冰涂层是否有积冰有关联？ 参考公式：，其中． 参考数据： 0.05 0.01 3.841 6.635 16．（15分） 吉林雾凇是中国四大自然奇观之一，冬季江水不冻，水汽遇低温凝华在树枝上形成洁白蓬松的雾凇，冰清玉洁，仪态万千．某文创店推出的雾凇盲盒销售火爆，货架上仅存6个盲盒，其中4个盲盒中各有1个雾凇冰箱贴，另外2个盲盒中各有1个雾凇冰晶挂件． （1）若甲先购买1个盲盒，乙再购买1个盲盒，求甲买到雾凇冰箱贴且乙买到雾凇冰晶挂件的概率； （2）若甲一次性购买4个盲盒，甲买到的雾凇冰箱贴数量为，雾凇冰晶挂件数量为，记，求的分布列与期望． 17．（15分） 已知三对夫妻坐成一排照相． （1）求不同的排列数； （2）求每对夫妻两人均相邻的排列数； （3）求同性别的人均不相邻的排列数． 18．(17分) 某同学进行投篮训练，投中1次记1分，未投中1次记分，次投篮后累计得分为，当或时，训练结束．设该同学每次投中的概率均为，各次投中与否相互独立． （1）当时，求； （2）求时训练结束的概率； （3）记该同学恰好经过次投篮后训练结束，证明：． 19．(17分) （1）证明：函数在上单调递增． （2）已知函数有两个不同的零点，． （Ⅰ）求的取值范围； （Ⅱ）证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试卷参考答案 1．A 2．D 3．C 4．C 5．B 6．A 7．B 8．D 9．ACD 10．BC 11．BCD 12．0.4 13．0 14．48；19600 15．解：（1）电热防冰涂层的合格率为，　　　　　　3分 疏水防冰涂层的合格率为．　　　　　　6分 （2）零假设为：防冰涂层类型和防冰涂层是否有积冰无关，　　　　　　7分 根据列联表中的数据，计算得到，　　　12分 根据的独立性检验，我们推断不成立，即认为防冰涂层类型和防冰涂层是否有积冰有关．　　　　　　13分 16．解：（1）甲买到雾凇冰箱贴且乙买到雾凇冰晶挂件的概率为．　　　　　　5分 （2）的所有可能取值为0，2，4．　　　　　　6分 ，　　　　　　8分 ，　　　　　　10分 ，　　　　　　12分 则的分布列为 0 2 4 　　　　　　　　　　　　　　　　　　13分 故．　　　　　　15分 17．解：（1）不同的排列数为．　　　　　　3分 （2）先捆绑每对夫妻，不同的排列数为，　　　　　　5分 再将三对夫妻当作三个整体排列，不同的排列数为，　　　　　　7分 所以每对夫妻两人均相邻的排列数为．　　　　　　9分 （3）先排三位男士，不同的排列数为，　　　　　　11分 两位男士之间要有一位女士，不同的排列数为，　　　　　　13分 所以同性别的人均不相邻的排列数为．　　　　　　15分 18．（1）解：．　　　　　　4分 （2）解：前两次投篮为投中一次，未投中一次，． 第三次、第四次投篮为投中一次，未投中一次，． 第五次、第六次投篮为连续两次投中，或连续两次未投中，或． 故时训练结束的概率为．　　　　　　10分 （3）证明：的取值必定为偶数，设． ，，，…，．　12分 ，　　　　　　13分 ，　　　　　　14分 两式相减得，　　　15分 得．　　　　　　16分 因为，所以．　　　　　　17分 19．（1）证明：的定义域为，，的导函数．　　　　　1分 当时，，单调递减，　　　　　　2分 当时，，单调递增，　　　　　　3分 所以，　　　　　　4分 所以在上单调递增　　　　　　5分 （2）（ⅰ）解：令，得．设函数，得　　　　　　6分 当时，，单调递增，当时，，单调递减，　　　　7分 所以　　　　　　8分 因为当时，，，的图象与直线有两个交点，　　　　9分 所以，即的取值范围为　　　　　　10分 （ⅱ）证明：不妨假设，因为，所以，得　　　　　　11分 由（1）可知当时，在上单调递增，且， 所以当时，，当时，　12分 所以得　　　　　　13分 因为，所以，，　　　　　　14分 所以得　　　　15分 两式相加得，　　　　　　16分 得　　　　　　17分 学科网（北京）股份有限公司 $