精品解析：吉林长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年高二下学期7月期末数学试题

东北师大附中2025—2026学年下学期高二年级期末考试数学科试卷 考试时长：120分钟  试卷总分：120分 注意事项： 1．答题前，考生需将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则的元素个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先解绝对值不等式及一元二次不等式可得集合，再由交集的定义可得. 【详解】由得，即， 又因为，所以，即. 由，解得，所以. 因此，，所以的元素个数为. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 正态分布的图象越瘦高，越大 B. 在残差图中，残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，该区域宽度越窄；其模型拟合效果越好 C. 样本相关系数的大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度，当越小，成对样本数据的线性相关程度越弱 D. 用决定系数来比较两个模型的拟合效果．越小，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好 【答案】B 【解析】 【分析】结合正态分布、残差图、样本相关系数、决定系数的相关性质，逐项分析判断即可. 【详解】对于A：正态分布中，为标准差，越小，数据集中程度越高，图象越瘦高，故A错误； 对于B：残差图的带状区域宽度越窄，说明预测值与实际值的偏差越小，模型拟合效果越好，故B正确； 对于C：样本相关系数的绝对值反映成对样本数据的线性相关程度，越接近0，线性相关程度越弱； 当为负值时，越小对应越大，线性相关程度越强，故C错误； 对于D：决定系数，越大，残差平方和越小，模型拟合效果越好，故D错误. 3. 设，，则是的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义结合不等式的性质判断. 【详解】充分性：若，由不等式的性质可知成立， 必要性：若成立，但不一定成立， 例如：，成立，但不满足， 所以是的充分不必要条件. 4. 根据分类变量与的观测数据，计算得到，依据小概率值（）的独立性检验，则（ ） A. 变量与不独立 B. 变量与独立 C. 变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.1 D. 变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过0.1 【答案】B 【解析】 【分析】根据独立性检验的概念可得正确的选项. 【详解】因为，所以在显著性水平下， 没有充分证据拒绝原假设，因此我们认为变量与是独立的， 故选：B 5. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，函数的定义域为，关于原点对称， 由，所以为奇函数，排除A； 又，排除C和D. 6. 已知数列的前项和为，若，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数列的递推公式，化简求得，进而可求解的值，得到答案. 【详解】由题意，可知，所以，所以， 所以，所以. 又因为，所以. 故选C. 【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的应用，以及等比数列的应用，其中解答中根据数列的递推公式，求的，再利用等比数列的通项公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于中档试题. 7. 已知函数是偶函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用函数的奇偶性求参数，再求导函数分类求出函数的单调性，再利用函数的单调性解不等式即可. 【详解】因为为偶函数，所以，即，即． 因为，所以，所以，所以不等式，即． 当时，，，． 当时，，，所以； 当时，，，所以，所以在上单调递增． 由，即得，得，解得． 故选:D． 8. 已知实数，分别满足，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，，，构造函数，，利用导数分别研究函数的单调性，即可得的大小关系. 【详解】由题意可得，，， 令函数， 则， 因为，所以，， 所以，，， 所以是减函数. 所以，即， 即. 令函数， ， 所以为增函数，所以， 即，即. 综上所述，. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分． 9. 已知函数，则函数（ ） A. 单调减区间为 B. 在区间上的最小值为 C. 图象关于点中心对称 D. 极小值点是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据导数与单调性、极值点与最值的关系判断ABD，根据对称中心的性质判断C. 【详解】. 令，即，解得或. 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 对于A，的单调减区间为，A错误. 对于B，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 则极大值为， 极小值为， 又， ， 故在区间上的最小值为，B正确. 对于C，设图象关于中心对称，则. . 所以，解得， 故图象关于点中心对称，C正确. 对于D，极小值点是，D正确. 10. 已知正数满足，则（ ） A. B. 的最小值为2 C. 的最小值为9 D. 的最小值为1 【答案】AC 【解析】 【分析】先根据对数的运算法则对已知等式进行化简，得到的关系，然后根据基本不等式逐一验证. 【详解】， 解得，即，选项A正确； ，即，则，所以的最小值为4，选项B错误； ，则， ， 当且仅当，时等号成立，即，选项C正确； ，当且仅当时成立， 而，则，所以取不到，选项D错误. 11. 已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 是以8为周期的周期函数 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意，结合函数的奇偶性得到函数的图象的对称性，判断A；求得的最小正周期，判断B；分析的奇偶性，判断C；利用周期性求得，判断D. 【详解】由题意可得， 又， 则， 两式相加得，， 所以函数的图象关于点，即点对称，故A错误； 由，得， 即 即. 所以. 由，得， 所以，即， 所以是以8为周期的周期函数，故B正确； 又， 得，即 ，即， 两式相减得：，故C正确； 因为函数满足， 令，得， 所以，即. 即， 故，故D正确. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分． 12. 若随机变量，且，则______． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】先利用二项分布的方差公式求出参数的值，再代入二项分布的概率计算公式求解. 【详解】因为，所以，解得. 由，所以. 13. 已知各项均为正数的等比数列中，，为函数的两个零点，则______． 【答案】##1.5 【解析】 【分析】利用根与系数的关系求出的值，结合等比数列的下标性质与对数的运算性质求解即可. 【详解】因为，为函数的两个零点，所以，是方程的两个正根，根据根与系数的关系可得. 根据等比数列的性质，有，所以（负根舍去）. 所以. 14. 已知函数，若存在实数，使得关于x的方程恰有四个不同的实数根，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先判断是的一个解，当时，将问题转化为有三个不同的解，构造函数，根据导数研究函数的性质，分类讨论求解. 【详解】因为，所以， 所以是的一个解，则存在实数，使得有四个不同的解， 即当时，有三个不同的解. ，令， 当时，，且. 当时，，， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增，且，当时，， 在同一平面直角坐标系中，作出函数的图象，如图： 由图知： 当时，的图象与直线至多有两个交点，不符合题意； 当时，的图象与直线有三个交点，符合题意； 当时，的图象与直线有三个交点，符合题意； 当时，的图象与直线至多有两个交点，不符合题意； 当时，存在实数，使得的图象与直线有三个交点，符合题意. 综上，. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某农业大学组织部分学生进行作物栽培试验，由于土壤相对贫瘠，前期作物生长较为缓慢，为了增加作物的生长速度，达到预期标准，小明对自己培育的一株作物使用了营养液，现统计了使用营养液十天中该作物的高度变化． 天数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 作物高度 9 10 10 11 12 13 13 14 14 14 （1）观察表格数据可知，天数与作物高度之间具有线性相关关系，请用最小二乘法求出作物高度关于天数的经验回归方程（其中，用分数表示）； （2）小明测得使用营养液后第22天该作物的高度为21.3cm，请根据（1）中的结果预测第22天该作物的高度的残差． 参考公式：，． 参考数据：，． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用题中数据和公式进行求解即可； （2）利用代入法，结合残差的定义进行求解即可. 【小问1详解】 因为， ， 所以， ， 所以作物高度关于天数的经验回归方程为； 【小问2详解】 把代入中，得， 所以预测第22天该作物的高度的残差为. 16. 如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，底面，，为中点，且. （1）求； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，根据可求得，即为长； （2）利用二面角的向量求法直接求解即可. 【小问1详解】 由题意平面，为矩形， 故可以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 设，则，，，， ，， ，，解得：，即， . 【小问2详解】 由（1）知，，，，， ， 设平面AMP的法向量为， 则， 令，得， 设平面BMP的法向量为，则， 令，得， 又， 所以平面与平面夹角的余弦值为 【点睛】 17. 已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为． （1）求双曲线的标准方程； （2）若斜率为的直线与圆相切，与双曲线交于两点，且（其中为坐标原点），求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意建立关于的关系式，联立求解即可； （2）根据直线与圆位置关系得出相应的关系式，再联立直线与双曲线方程，利用韦达定理，向量数量积的坐标表示，分式不等式的解法分析求解即可. 【小问1详解】 由题意知双曲线的半焦距为：，① 又双曲线的渐近线方程为得：，② 由，③ 联立①②③解得：， 故双曲线的标准方程为：. 【小问2详解】 设直线的方程为：， 因为直线与圆相切，则有：， 又直线与双曲线交于两点， 联立直线与双曲线的方程得：， 消去整理得：， 由 ， 解得， 设，则， 由 ， 将代入上式得：， 化简得：，解得：， 即或， 所以的取值范围为：. 18. 设数列的前项和为，已知，且． （1）证明：为等比数列，并求数列的通项公式； （2）设，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，设，求数列的前项和． 【答案】（1）证明：当时，，又，所以； 当时，，故， 两式相减得，即， 则，首项， 所以是以为首项，为公比的等比数列； 通项公式为； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）先根据与关系求出的递推公式，进一步构造数列，利用定义证明等比数列；再根据等比数列的通项公式求的通项公式； （2）变形得到，利用数列单调性得到数列的最大值，进而得到实数的取值范围； （3）根据得到，将利用二项式定理展开，再分类讨论n为奇数和偶数，得到的通项公式，再分组求和即可. 【小问1详解】 证明略；，所以； 【小问2详解】 由（1）知，，所以， 对任意的，不等式恒成立， 即恒成立， 设，于是， 当时，，即， 当时，，即， 故，所以实数的取值范围为； 【小问3详解】 由（1）知，， 因为 ， 当为奇数时，，故， 当为偶数时，，故， 所以 19. 已知函数，函数 （1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求b的值； （2）若，，使成立，求m的取值范围； （3）设函数有两个不同的零点，，且满足，求实数a的取值范围． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求的导数得到切线斜率，结合两直线垂直斜率乘积为列式求解. （2）将双量词条件转化为函数最值关系，分别求的最小值和的最小值，建立不等式求解的范围. （3）化简解析式，将零点问题转化为方程有两个不同解，通过比值换元构造函数分析单调性，求解的范围. 【小问1详解】 的定义域为，求导得. 则曲线在点处的切线斜率. 因切线与直线垂直，故直线斜率必存在，为， 故有，解得. 【小问2详解】 由，求导得. 令，得， 当时，，当时，， 则在上单调递减；在上单调递增， 则 ，则的最小值为. 题设条件等价于：对任意，恒成立， 即对任意恒成立. 设，则. 令，得， 当时，，当时，， 则在上单调递增；在上单调递减， 因，，且， ∴ ，∴ . 【小问3详解】 由，得， 令，求导得， 当时，，当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减，， 而当时，恒成立，且， 由有两个零点，即方程有两个不等的正根，亦即直线与的图象有两个公共点， 因此，即， 由，得，且， 不妨设，将代入， 得，即， 令，求导得，令， 求导得，则函数在上单调递减， 有，即，函数在上单调递减， 由，得，则， 因此函数在上单调递减，即， 于是，有，则， 又，而，， 在上递增，而，因此在上递增， 则，即，解得， 所以a的取值范围是. 【点睛】方法归纳：1. 导数几何意义应用：切线斜率等于切点处导数值，两直线垂直斜率乘积为. 2. 双量词问题转化：等价于. 3. 双零点问题常用比值换元法，将双变量转化为单变量构造函数求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东北师大附中2025—2026学年下学期高二年级期末考试数学科试卷 考试时长：120分钟  试卷总分：120分 注意事项： 1．答题前，考生需将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则的元素个数为（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 正态分布的图象越瘦高，越大 B. 在残差图中，残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，该区域宽度越窄；其模型拟合效果越好 C. 样本相关系数的大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度，当越小，成对样本数据的线性相关程度越弱 D. 用决定系数来比较两个模型的拟合效果．越小，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好 3. 设，，则是的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 4. 根据分类变量与的观测数据，计算得到，依据小概率值（）的独立性检验，则（ ） A. 变量与不独立 B. 变量与独立 C. 变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.1 D. 变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过0.1 5. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列的前项和为，若，则 A. B. C. D. 7. 已知函数是偶函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数，分别满足，，且，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分． 9. 已知函数，则函数（ ） A. 单调减区间为 B. 在区间上的最小值为 C. 图象关于点中心对称 D. 极小值点是 10. 已知正数满足，则（ ） A. B. 的最小值为2 C. 的最小值为9 D. 的最小值为1 11. 已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 是以8为周期的周期函数 C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分． 12. 若随机变量，且，则______． 13. 已知各项均为正数的等比数列中，，为函数的两个零点，则______． 14. 已知函数，若存在实数，使得关于x的方程恰有四个不同的实数根，则实数a的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某农业大学组织部分学生进行作物栽培试验，由于土壤相对贫瘠，前期作物生长较为缓慢，为了增加作物的生长速度，达到预期标准，小明对自己培育的一株作物使用了营养液，现统计了使用营养液十天中该作物的高度变化． 天数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 作物高度 9 10 10 11 12 13 13 14 14 14 （1）观察表格数据可知，天数与作物高度之间具有线性相关关系，请用最小二乘法求出作物高度关于天数的经验回归方程（其中，用分数表示）； （2）小明测得使用营养液后第22天该作物的高度为21.3cm，请根据（1）中的结果预测第22天该作物的高度的残差． 参考公式：，． 参考数据：，． 16. 如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，底面，，为中点，且. （1）求； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为． （1）求双曲线的标准方程； （2）若斜率为的直线与圆相切，与双曲线交于两点，且（其中为坐标原点），求的取值范围． 18. 设数列的前项和为，已知，且． （1）证明：为等比数列，并求数列的通项公式； （2）设，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，设，求数列的前项和． 19. 已知函数，函数 （1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求b的值； （2）若，，使成立，求m的取值范围； （3）设函数有两个不同的零点，，且满足，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $