精品解析：吉林省友好学校协作体第八十一届联考2025-2026学年高二下学期7月期末数学试题

吉林省友好学校协作体第八十一届联考2025-2026学年高二下学期7月期末数学试题 本试卷共19题，满分150分，共4页．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码贴在条形码区域内． 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色中性笔书写，字体工整，笔迹清楚. 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在草纸、试题卷上答题无效． 4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱、不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 某非遗手工作坊中有剪纸艺人3人，刺绣艺人4人，木雕艺人6人，每人均只会一种技艺类别，现从中选取2人担任联合展示嘉宾，且这2人掌握的技艺类别不同，则不同的选法种数为（ ） A. 27 B. 54 C. 60 D. 78 3. 有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，则不同排列方式共有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 4. 已知甲、乙两批袋装食盐的质量（单位：g）分别服从正态分布和，其正态曲线如图所示，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 已知随机变量X满足，，下列说法正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 盒中装有除颜色外完全相同的3个红球、2个白球．甲从中随机取出两个球，在已知甲取出的有红球的条件下，他取出两个红球的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示的五个区域中，现在要求在五个区域中涂色，现有四种颜色可供选择要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为（ ） A. 64 B. 72 C. 84 D. 96 8. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数在上单调递减 C. 函数在处取得极小值 D. 10. 某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗(吨)的几组对应数据如表，现发现表中有个数据看不清，已知回归直线方程为，下列说法正确的是（ ） 2 3 4 5 6 19 25 38 44 A. 看不清的数据的值为34 B. 具有正相关关系，相关系数 C. 第三个样本点对应的残差 D. 据此模型预测产量为7吨时，相应的生产能耗约为50吨 11. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. 展开式中二项式系数最大项为第4项 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．其中第14题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分． 12. 某中学有2000名学生参加考试，考试后数学成绩X近似服从正态分布，若，则估计学生数学成绩在120分以上的人数为________． 13. 在的展开式中常数项为80，则____________． 14. 6名同学相约去游乐场游玩，进场时按顺序验票，则甲、乙、丙按顺序进场的不同情况有____种;进场后他们选定了3个游玩项目，每人都只玩1个项目，且每个项目都有人玩，则A项目恰有2个人游玩的不同分配方法有____种.(请用数字作答) 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 2025年7月15日，搭载天舟九号货运飞船的长征七号遥十运载火箭成功发射，标志着我国航天事业又迈上了一个新台阶．某中学为了解学生对我国航天事业发展的关注度，随机地从该校学生中抽取一个容量为200的样本进行调查，调查结果如下表： 性别 关注情况 合计 高度关注 非高度关注 女学生 男学生 合计 以频率估计概率，若在这200名学生中随机抽取1人，该学生高度关注我国航天事业发展的概率为． （1）求，的值； （2）根据小概率值的独立性检验，判断该校学生对航天事业发展的高度关注是否与学生性别有关． 参考公式：，其中． 临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若，求的最大值与最小值． 17. 某会员店因为商品品控出色，所以吸纳了大量会员，只有成为该会员店的会员才能在该店进行消费．根据统计数据，该店的本地会员占，外地会员占．现对该店会员开展商品质量满意度调查，已知本地会员对该店商品质量满意的概率为，外地会员对该店商品质量满意的概率为．每个会员对该店商品质量满意与否相互独立． （1）从该店所有会员中随机抽取1名会员，求其对该店商品质量满意的概率； （2）从该店所有会员中随机抽取2名会员，记这2名会员中对该店商品质量满意的人数为，求的分布列与数学期望． 18. 《中国诗词大会》自开播以来受到广泛关注.为营造乐学向上的学风，某班组织古诗背诵比赛，小明、小华两位同学进入决赛阶段，需从首古诗中随机抽取首，答对多者获胜，小明可背诵其中首，而小华能背诵每首古诗的概率均为，小明、小华两位同学背诵古诗都是互不影响的. （1）求小明可以背诵首古诗的概率； （2）求小明背诵古诗数的期望与方差； （3）选哪位同学代表班级参加学校总决赛更合适? 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数有且仅有一个零点，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省友好学校协作体第八十一届联考2025-2026学年高二下学期7月期末数学试题 本试卷共19题，满分150分，共4页．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码贴在条形码区域内． 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色中性笔书写，字体工整，笔迹清楚. 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在草纸、试题卷上答题无效． 4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱、不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由基本初等函数的导数与导数的运算法则逐项计算即可. 【详解】因为是常数，所以，所以A错误； 因为，所以B错误； 因为，所以C正确； 因为，所以D错误. 2. 某非遗手工作坊中有剪纸艺人3人，刺绣艺人4人，木雕艺人6人，每人均只会一种技艺类别，现从中选取2人担任联合展示嘉宾，且这2人掌握的技艺类别不同，则不同的选法种数为（ ） A. 27 B. 54 C. 60 D. 78 【答案】B 【解析】 【详解】2人掌握的技艺类别不同的选法共有种. 3. 有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，则不同排列方式共有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 【答案】D 【解析】 【分析】利用“元素相邻捆绑法”求解即可. 【详解】将甲和乙看作一个整体，有种方法， 将甲乙组成的整体与丙、丁、戊进行排列，则有种方法， 根据分步乘法计数原理可得不同的排列方式有：种． 4. 已知甲、乙两批袋装食盐的质量（单位：g）分别服从正态分布和，其正态曲线如图所示，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】观察图表，根据对称轴得到平均数的大小，根据形状特征得到方差的大小，得到答案. 【详解】从图总可以看出乙的对称轴大于甲的对称轴， 故甲的平均数小于乙的平均数，即， 且乙“高瘦”，甲“矮胖”，即乙数据更加集中，方差比甲小，即. 故选：C 5. 已知随机变量X满足，，下列说法正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据方差和期望的运算性质计算即可. 【详解】由，解得， 由，解得. 故选：D. 6. 盒中装有除颜色外完全相同的3个红球、2个白球．甲从中随机取出两个球，在已知甲取出的有红球的条件下，他取出两个红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件概率的公式代入计算，即可得到结果. 【详解】设事件为甲取出的有红球，事件表示取出两个红球， 则，， 则. 故选：C 7. 如图所示的五个区域中，现在要求在五个区域中涂色，现有四种颜色可供选择要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为（ ） A. 64 B. 72 C. 84 D. 96 【答案】B 【解析】 【详解】根据题意可知需要5步才能涂完， 第一步，涂区域，共有4种颜色可选；第二步，涂区域，共有3种颜色可选； 第三步，涂区域，共有2种颜色可选； 第四步，涂区域， 若和同色时，则第五步区域有2种颜色可选， 若和不同色时，区域只有一种颜色可选，则第五步区域有1种颜色可选， 利用分类加法和分步乘法计数原理可知共有种. 8. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意将问题转化为恒成立，参变分离，结合基本不等式求最值即可. 【详解】因为在上单调递减， 所以恒成立， 即恒成立， 而（当且仅当时，等号成立）， 所以只需，解得.经检验，当时，仅有使，符合题意. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数在上单调递减 C. 函数在处取得极小值 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据导函数的正负性得出函数的单调性即可逐一判断. 【详解】因为在上恒成立，所以在上单调递增，故A正确； 因为在上恒成立，所以在上单调递增，故B错误； 因为在上恒成立，在上恒成立， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则函数在处取得极小值，故C正确； 因为在上单调递减，所以，故D错误. 故选：AC 10. 某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗(吨)的几组对应数据如表，现发现表中有个数据看不清，已知回归直线方程为，下列说法正确的是（ ） 2 3 4 5 6 19 25 38 44 A. 看不清的数据的值为34 B. 具有正相关关系，相关系数 C. 第三个样本点对应的残差 D. 据此模型预测产量为7吨时，相应的生产能耗约为50吨 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用回归直线方程结合各选项的条件逐一分析计算即可判断作答. 【详解】对于A，，由回归直线方程得，则，A正确； 对于B，由回归直线方程及数表知，具有正相关关系，而相关系数的绝对值不超过1，B不正确； 对于C，第三个样本点对应的残差，C正确； 对于D，在回归直线方程中，时，生产能耗约(吨) ，D正确. 故选：ACD 11. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. 展开式中二项式系数最大项为第4项 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，取，得，A正确； 对于B，展开式共7项，二项式系数最大项为第4项，B正确； 对于C，取，得， 取，得，因此，C错误； 对于D，，，因此，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．其中第14题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分． 12. 某中学有2000名学生参加考试，考试后数学成绩X近似服从正态分布，若，则估计学生数学成绩在120分以上的人数为________． 【答案】300 【解析】 【分析】根据正态分布概率的对称性求解. 【详解】因为， 所以， 所以, 所以， 所以估计学生数学成绩在120分以上的人数为. 13. 在的展开式中常数项为80，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】在二项展开式的通项公式中，令的指数等于0，求出的值，即可建立等式求解. 【详解】的展开式的通项为， 令，得， 所以展开式中常数项为，解得. 故答案为： 14. 6名同学相约去游乐场游玩，进场时按顺序验票，则甲、乙、丙按顺序进场的不同情况有____种;进场后他们选定了3个游玩项目，每人都只玩1个项目，且每个项目都有人玩，则A项目恰有2个人游玩的不同分配方法有____种.(请用数字作答) 【答案】 ①. 120 ②. 210 【解析】 【分析】（1）用定序问题即可求解. （2）利用分组分配即可求解. 【详解】甲、乙、丙按顺序进场的不同情况有=120种， A项目恰有2人游玩的组合有(+)=210种. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 2025年7月15日，搭载天舟九号货运飞船的长征七号遥十运载火箭成功发射，标志着我国航天事业又迈上了一个新台阶．某中学为了解学生对我国航天事业发展的关注度，随机地从该校学生中抽取一个容量为200的样本进行调查，调查结果如下表： 性别 关注情况 合计 高度关注 非高度关注 女学生 男学生 合计 以频率估计概率，若在这200名学生中随机抽取1人，该学生高度关注我国航天事业发展的概率为． （1）求，的值； （2）根据小概率值的独立性检验，判断该校学生对航天事业发展的高度关注是否与学生性别有关． 参考公式：，其中． 临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）， （2）认为该校学生高度关注我国航天事业发展与学生性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.001 【解析】 【分析】（1）利用古典概型列方程，解方程可得答案； （2）零假设为：该校学生高度关注我国航天事业发展与学生性别无关，计算出，利用独立性检验可得答案. 【小问1详解】 因为在这200名学生中随机抽取1人，该学生高度关注我国航天事业发展的概率为， 所以，解得． 又，解得，所以， 【小问2详解】 零假设为：该校学生高度关注我国航天事业发展与学生性别无关． 根据列联表中的数据，经计算得到 根据小概率值的独立性检验，可以推断不成立，即认为该校学生高度关注我国航天事业发展与学生性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.001． 16. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若，求的最大值与最小值． 【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，求出极值点，然后通过导函数的符号，判断函数的单调性求出单调区间． （2）借助（1）求解函数的极值、端点值比较即可． 【小问1详解】 因为． 令，得或， 当变化时，的变化情况如表所示． 2 0 0 单调递增 28 单调递减 单调递增 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为． 【小问2详解】 由（1）知当时，取得极小值． 因为 . 所以． 17. 某会员店因为商品品控出色，所以吸纳了大量会员，只有成为该会员店的会员才能在该店进行消费．根据统计数据，该店的本地会员占，外地会员占．现对该店会员开展商品质量满意度调查，已知本地会员对该店商品质量满意的概率为，外地会员对该店商品质量满意的概率为．每个会员对该店商品质量满意与否相互独立． （1）从该店所有会员中随机抽取1名会员，求其对该店商品质量满意的概率； （2）从该店所有会员中随机抽取2名会员，记这2名会员中对该店商品质量满意的人数为，求的分布列与数学期望． 【答案】（1） （2）分布列： 0 1 2 P 数学期望为 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式计算即可； （2）利用离散型随机变量的分布列及期望公式计算即可. 【小问1详解】 设事件：抽取的是本地会员，事件：抽取的是外地会员，事件B：对该店质量满意， 则由题意可知：， 所以； 【小问2详解】 易知可能取值，则， ，， 即的分布列如下： 0 1 2 P 期望为. 18. 《中国诗词大会》自开播以来受到广泛关注.为营造乐学向上的学风，某班组织古诗背诵比赛，小明、小华两位同学进入决赛阶段，需从首古诗中随机抽取首，答对多者获胜，小明可背诵其中首，而小华能背诵每首古诗的概率均为，小明、小华两位同学背诵古诗都是互不影响的. （1）求小明可以背诵首古诗的概率； （2）求小明背诵古诗数的期望与方差； （3）选哪位同学代表班级参加学校总决赛更合适? 【答案】（1） （2）， （3）选小明同学代表班级参加学校总决赛更合适 【解析】 【分析】（1）根据组合计数原理结合古典概型的概率公式求解即可； （2）分析可知的可能取值为、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，结合随机变量的期望和方差公式求解即可； （3）设小华背诵的古诗数为，由题意可知，利用二项分布的期望和方差公式求出、的值，比较与、与的大小关系，即可得出结论. 【小问1详解】 由题意得小明背诵首古诗的概率. 【小问2详解】 已知小明背诵的古诗数为，则的可能取值为、、， ，，， 所以， . 【小问3详解】 设小华背诵的古诗数为，由题意可知， 由二项分布的期望和方差公式可得，, 显然，，所以选小明同学代表班级参加学校总决赛更合适. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数有且仅有一个零点，求的值. 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，结合导数的运算法则、直线的点斜式方程进行求解即可； （2）方法一：利用二次求导法，结合零点的定义、函数的最值进行求解即可； 方法二：利用函数零点的定义，得到的表达式，利用构造新函数法，结合导数的正负性与函数单调性的关系，最后求出函数的最值即可. 【小问1详解】 当时，，， 得， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 方法一：，， ， 令，，得， 故在内单调递增，又， 则当，，得，单调递减， 当，，得，单调递增， 从而在处取得极小值，同时也是最小值， 最小值为. 又当且时，，当时，， 由函数有且仅有一个零点，可得， 则a的值为9. 方法二：，， 令得， 令，， 则， 令，，得， 故在内单调递增，又， 则当，，得，单调递减， 当，，得，单调递增， 从而在处取得极小值，同时也是最小值， 最小值为. 又当且时，，当时，， 由函数有且仅有一个零点，可得， 则的值为9. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $