专题 25.2 降次——解一元二次方程（配方法）（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦“降次——解一元二次方程（配方法）”核心知识点，先梳理直接开平方法的标准基础型、简单平移型、系数不为1型及降次思想，再系统讲解配方法的移项、系数化为1、配方等步骤，最后延伸至配方法在判断正负性、求最值、几何问题中的应用，构建从基础到应用的学习支架。 该资料以分层题型设计为特色，基础题型巩固直接开平方法和配方法步骤，巩固提升题型结合实例（如用配方法求代数式最小值、解决几何边长问题）培养数学思维中的运算能力与推理意识，同步检测通过选择、填空、解答题全面评估学习效果。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，提升用数学语言解决实际问题的应用意识。

专题 25.2 降次——解一元二次方程（配方法）（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】直接开平方法 1 【题型 1】直接开平方法解的条件 2 【题型 2】直接开平方法解一元二次方程 3 【知识点二】配方法 6 【题型 3】配方法解二次项系数为1的一元二次方程 6 【题型 4】配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 8 二.题型精析（巩固提升） 10 【题型 5】配方法的应用——判断式子的正负性 10 【题型 6】配方法的应用——求最值 12 【题型 7】配方法的应用——几何问题中配方问题 15 三.同步检测 19 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 19 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 22 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 26 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】直接开平方法 1、标准基础型 （1）：两个不相等实数根 ；（2）：两个相等实数根 （3）：无实数根. 2、简单平移型 把看成整体，直接开平方：得到，再移项求出. 3、系数不为1型 整体开方得：，分别解两个一元一次方程. 【特别提示】把一个一元二次方程化为两下一元一次方程，这样的方法叫“降次”. 【题型 1】直接开平方法解的条件 【例题1】（24-25九年级上·陕西渭南·阶段检测）如果关于x的一元二次方程可以用直接开平方求解，则m的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据平方的非负性得出不等式，求出不等式的解集即可． 解：∵方程可以用直接开平方求解， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点拨】本题考查了解一元二次方程和解一元一次不等式，能得出关于m的不程是解此题的关键． 【变式1】（24-25八年级下·全国·课后作业）一元二次方程的根是（    ） A． B． C．无实数根 D．以上均不正确 【答案】C 【分析】本题主要考查了直接开平方法求一元二次方程的解，解这类问题要先把所有含未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边，化成的形式求解． 先把所有含未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边，再利用直接开平方求解即可． 解：∵， ∴， ∴， ∵任何实数的平方都是非负数，即，而， ∴该一元二次方程无实数根． 故选C． 【变式2】（24-25九年级上·山东菏泽·期中）若方程有整数根，则m的值可以是________．（填一个可能的值） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，将原方程变形为，根据方程有整数根，即可得出为完全平方数，即可得出答案，解题的关键是熟悉方程有根的条件． 解：， ∴， ∵方程有整数根， ∴为完全平方数， ∴可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式3】（24-25九年级上·全国·期末）若一元二次方程的两个不相等的根分别是与，则为_______． 【答案】25 【分析】本题考查了解一元二次方程—直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程—直接开平方法是解题的关键．利用解一元二次方程—直接开平方法，进行计算即可解答． 解：由题意得： ， ， ， ， ， ， 故答案为：25． 【题型 2】直接开平方法解一元二次方程 【例题2】（2026八年级下·全国·专题练习）用直接开平方法解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1），；（2），；（3），；（4）， 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法求解可得； （2）利用直接开平方法求解可得； （3）先整理成，再直接开平方可得； （4）利用直接开平方法求解可得． 解：（1）解：∵， ∴， 解得，； （2）解：∵， 整理得， ∴， ∴，； （3）解：∵， ∴， 则， ∴，即，； （4）解：∵． ∴或， 解得，． 【变式1】（25-26九年级上·陕西渭南·期中）方程的根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查一元二次方程的解法，解题关键是直接开方会得到正负两个值，然后分别求解即可．通过直接开平方的方法求解方程，得到两个根． 解：∵， ∴或， 当时，， 当时，， ∴方程的根为， 故选：A． 【变式2】（23-24八年级下·上海·期中）方程的根是________． 【答案】 【分析】等式两边同时除以，将未知数的系数化为1，再根据乘方的计算即可求解． 解：， ∴， ∴或（舍去）， ∴ ． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： （1）． （2）． 【答案】（1），；（2）， 【分析】（1）用直接开平方法解答即可； （2）用直接开平方法解答即可． 解：（1）解：（1）， ， 或， 解得，． （2）， ， ， ， 解得，． 【点拨】本题主要考查了用开平方法解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握开方法． 【知识点二】配方法 一元二次方程，配方法一般步骤： （1）移项：将常数项移到等号右侧，二次项、一次项留在左侧； （2）系数化为1：方程两边同时除以二次项系数，化为形式； （3）配方：等式两边同时加上一次项系数一半的平方； （4）变形：左边写成完全平方式，右侧合并常数项； （5）开方：右侧非负则直接开平方，右侧为负则无实数根； （6）求解：解出两个一元一次方程的根，规范书写结果。 【题型 3】配方法解二次项系数为1的一元二次方程 【例题3】（26-27八年级·上海·暑假作业）解方程 （1）； （2）（用配方法）． 【答案】（1）；（2）， 【分析】（1）将按照配方法解方程，先将一元二次方程转化为 形式，再利用直接开平方法即可求出答案． （2）将按照配方法解方程，先将一元二次方程转化为 形式，再利用直接开平方法即可求出答案． 解：（1）解： ， ， ， ， ， . （2）解：， ， ， ， ，． 【变式1】（25-26八年级下·安徽池州·期末）用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，完成配方后即可判断正确选项． 解： 移项得，， 配方得，，即． 【变式2】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的方程通过配方可变形为，则的值为_____． 【答案】 【分析】将配方后的方程展开整理为一元二次方程的一般形式，与原方程对比系数得到m和n的值，代入计算即可． 解：， ∴， 即， ∵方程通过配方可变形为， ∴， ∴． 【变式3】（26-27八年级·上海·暑假作业）解方程： （1）（用配方法） （2）（用配方法） 【答案】（1），；（2）， 【分析】（1）将常数项移到等号右侧，再给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式，再开方求解即可； （2）先展开左侧并整理成一元二次方程的一般形式，后续按照配方法的步骤，移常数项、配方、开方求解即可． 解：（1）解：原方程化为， ， ，即， ，； （2）解：原方程化为， ， ， ，即， ，； 【题型 4】配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 【例题4】（25-26九年级上·广东揭阳·阶段检测）解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程． 根据配方法求解即可． 解：移项，得， 两边同除以3，得：， 配方，得：， 整理，得：， 开平方，得：， 解得：． 【变式1】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，根据配方法解一元二次方程的步骤即可得出答案． 解： 故选：D． 【变式2】（23-24九年级上·福建泉州·期中）已知实数满足，则______． 【答案】2 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．运用整体的思想是解题的关键． 由，整理得，即，然后求解作答即可． 解：∵， ∴，整理得， ∴， 解得，， 故答案为：2． 【变式3】（25-26九年级上·河南洛阳·期中）用配方法推导一元二次方程（为常数）的求根公式 【答案】见分析 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方法解方程的步骤． 先移项，然后系数化为1，然后在等号两边同时加上一次项系数一半的平方，再直接开平方求解． 解：（为常数）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 二.题型精析（巩固提升） 【题型 5】配方法的应用——判断式子的正负性 【例题5】（2025九年级上·全国·专题练习）求证：不论x，y取任何实数，多项式的值总为正数． 【答案】见分析 【分析】本题考查配方法的应用，利用配方法和完全平方的非负性，进行证明即可． 解：证明：， 不论x，y取任何实数，多项式的值总为正数． 【变式1】（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）不论为何实数，多项式的值一定是（） A．正数 B．负数 C．0 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查配方法的应用，掌握知识点是解题的关键． 利用配方法将多项式转化为完全平方加常数的形式，根据平方的非负性判断其值恒为正数即可． 解：∵ ∵对于所有实数，都有， ∴ 因此，多项式的值总是正数． 故选：A． 【变式2】（25-26九年级上·江苏泰州·期中）已知，，，则M________N ．（填 “＞”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了配方法的应用及整式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 通过计算M与N的差值，得到，从而判断M恒小于N． 解： ， ∵, ∴ ∴． 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·甘肃·期中）用配方法求证：代数式的值恒为正数． 【答案】证明： ， ∵， ∴， ∴， ∴代数式的值恒为正数． 【分析】本题主要考查了配方法的应用，利用配方法得到，再根据偶次方的非负性得到，据此可证明结论． 解：略 【题型 6】配方法的应用——求最值 【例题6】（24-25九年级上·河南商丘·阶段检测）先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题 例题：求代数式的最小值 解： ∵        ∴不代数式的最小值为4． （1）代数式的最小值为 （2）已知实数a，b满足，求代数式的最小值． 【答案】（1）2；（2）5 【分析】本题考查了配方法的应用，解题的关键是熟练掌握配方法． （1）先将原式变形，进行配方后即可得答案； （2）由可得，再代入后，进行配方，利用配方法即可得答案． 解：（1）， ， ， 的最小值是2， 故答案为：2； （2）， ， ， ， 代数式的最小值是5． 【变式1】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）已知点为平面直角坐标系中一点，若为原点，则线段的最小值为（    ） A．2 B．2.4 C．2.5 D．3 【答案】B 【分析】利用勾股定理求出两点的距离OP=配方得，当时，OP最小即可． 解：， OP=， ， ， ∴，OP最小， 故选择：B． 【点拨】本题考查勾股定理求两点距离问题，掌握勾股定理两点距离公式，会用配方法求最值是解题关键． 【变式2】（25-26九年级上·内蒙古包头·阶段检测）利用配方法可求出二次三项式的最小值为______． 【答案】6 【分析】本题考查了配方法的应用，先整理得，对于任意实数，则，故当时，，即可作答． 解： ， 对于任意实数，则， 当时，，即二次三项式的最小值为， 故答案为：6． 【变式3】（25-26九年级上·河南洛阳·期中）已知代数式， （1）用配方法说明，不论取何值，这个代数式的值总是正数； （2）求当取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？ 【答案】（1）见分析；（2）当时，代数式的值最小，最小值为1 【分析】本题主要考查了在代数式中配方法的运用，抛物线的最值等知识，熟练掌握配方法的运用是解题关键． （1）首先将原式变形为，根据非负数的意义就可以得出代数式的值总是正数； （2）设代数式的值为y，根据二次函数的图像与性质可求出最值． 解：（1）解： ， ∵， ∴， ∴不论取何值，这个代数式的值总是正数； （2）解：令， ∴， ∵， ∴函数开口向上，有最小值， ∴当时，最小值为1． 【题型 7】配方法的应用——几何问题中配方问题 【例题7】（23-24九年级上·河南周口·期末）先阅读内容，再解决问题： 若，求和的值． ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． （1）已知，求的值； （2）若，请问以为三边的是什么形状？说明理由． 【答案】（1），；（2）是等腰三角形，理由见分析． 【分析】本题考查了配方法的应用，等腰三角形定义，掌握完全平方公式、非负数的性质是解题的关键． （）仿照题例通过完全平方公式进行变形，根据非负数的性质分别求出即可； （）仿照题例通过完全平方公式进行变形，根据非负数的性质分别求出，根据等腰三角形的概念解答即可． 解：（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，； （2）解：是等腰三角形，理由， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴，， ∴是等腰三角形． 【变式1】（25-26九年级上·全国·课后作业）已知三角形的三条边为，，，且满足，则这个三角形的唯一最大边的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是配方法、平方的非负性及三角形的三边关系，解题关键是熟练掌握配方法在三角形的三边关系中的应用． 先利用配方法对含的式子和含有的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出和的值，然后根据三角形的三边关系可得答案． 解：， ， ， ，， ，， ，， 三角形的三条边为，，， ， ， 又这个三角形的最大边为， ． 故选：． 【变式2】（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，已知，为线段上的一个动点，分别以为边在的同侧作菱形和菱形，点在一条直线上，，分别是对角线的中点．当点在线段上移动时，点之间的距离最短为______． 【答案】 【分析】连接、．首先证明，设，则，，，根据勾股定理和完全平方公式求出，然后根据非负数的性质即可解决问题． 解：连接、．    四边形，四边形是菱形，， ，， ，分别是对角线，的中点， ，， ， 设， 则，， ， ， 当时，有最小值，最小值为， 即时，有最小值，最小值为． 【变式3】（24-25九年级上·宁夏中卫·期中）阅读理解并解答： 【方法呈现】 （1）配方法在代数式求值、解方程、解决最值问题中都有着广泛的应用． 例如：， ∵ ． 则这个代数式的最小值为_______，这时相应的x的值是________． 【尝试应用】 （2）求代数式的最小或最大值． 【拓展提高】 （3）已知a、b、c是的三边长，满足，求c的取值范围． 【答案】（1）2，（2）；（3） 【分析】本题考查了配方法的应用，三角形的三边关系，解题的关键是掌握完全平方公式的应用． （1）利用非负数的性质确定代数式的最值； （2）利用完全平方公式变形，最后确定最值； （3）变形等式，利用非负数的性质，求出、的值，再利用三角形的三边关系确定边长的取值范围． 解：（1）∵代数式 ∴代数式的最小值是，这时相应的的值是； （2） ∵ ∴， ∴代数式有最小值； （3）∵a，，是的三边长，满足， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26九年级上·江苏淮安·期末）方程的解是（    ） A． B．， C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元二次方程，利用直接开平方法解方程即可． 解： ∴， 即，． 故选：B． 2．（25-26九年级下·山东淄博·期末）若用配方法解一元二次方程，则下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再配方得到完全平方形式，对比选项即可得到正确结果． 解：， 移项得， 配方得， 整理得． 3．（25-26九年级上·广东东莞·阶段检测）一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根的情况．根据3和的平方都等于9即可求解． 解：∵ 3和的平方都等于9， ∴ 方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 4．（25-26九年级上·全国·期末）用配方法将方程转化为的形式，则的值为（） A．2028 B． C．2024 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是关键． 先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，据此求出、的值即可得到答案． 解：∵方程， ∴移项得， 配方得，即， 与比较，得，， ∴， 故选：B． 5．（2025·吉林·模拟预测）下列方程中，有两个相等实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，通过解方程逐一判断即可，掌握一元二次方程解法是解题的关键． 解：、，右边为负数，无实数根，不符合题意； 、，解得，即两个相等的实数根，符合题意； 、，解得，，有两个不等实根，不符合题意； 、，解得，有两个不等实根，不符合题意； 故选：． 6．（25-26九年级上·浙江台州·阶段检测）若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了配方法的应用，由题意可得，即得，进而即可求解，掌握配方法的应用是解题的关键． 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最大值为， 故选：． 7．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）已知点M是线段AB的黄金分割点（），，那么AM的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查黄金分割，根据黄金分割点的性质，较长部分的平方等于整个线段与较短部分的乘积，列出方程，进而即可求解． 解：设，则， ∵ M是黄金分割点且， ∴ ， 即， 解得（负值舍去）， ∴ ， 故选：B． 8．（25-26九年级上·河北沧州·期末）一元二次方程的等号右边只有常数项，且该常数项被墨水覆盖，但知道整理成一般形式后该方程的常数项为0，将其配方后变形为，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：先整理成一元二次方程的一般形式；②把常数项移到等号的右边；③把二次项的系数化为1；④等式两边同时加上一次项系数一半的平方．方程两边都加9，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式，据此计算即可判断． 解：∵原方程整理成一般形式后该方程的常数项为0， ∴原方程为， 配方得，即， ∴，， 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26八年级·全国·暑假作业）方程解为_________． 【答案】 解：， ∴， ∴， 解得：． 10．（25-26九年级上·山西太原·期末）用配方法解一元二次方程时，配方后所得方程为__________ 【答案】10 【分析】本题考查配方法解方程，熟练掌握配方法是解题的关键，方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行计算即可． 解：方程，两边加上 9，得，即； 故答案为：10 11．（25-26九年级上·陕西商洛·阶段检测）将一元二次方程配方后化成的形式，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．通过配方法将一元二次方程转化为完全平方形式，进而确定常数项的值． 解：方程移项得，配方时添加一次项系数一半的平方， 即， 两边同时加上16，得，即， 与形式对比，得． 故答案为： 12．（24-25九年级上·山东济宁·阶段检测）若方程能配成的形式，则直线不经过第______象限． 【答案】三 【分析】本题主要考查了配方法的应用，一次函数图象与其系数的关系，先把二次项系数化为1，再把常数项移到方程右边，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方得到，则，据此可得直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限． 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限， 故答案为；三． 13．（25-26九年级上·全国·课后作业）若一元二次方程的两根为，则等于______． 【答案】 【分析】本题考查直接开方法解一元二次方程，直接开方法求出方程的根，进而确定的值，再求和即可． 解：由题意，有根， ∴， ∴， ∵方程的根为， ∴， ∴； 故答案为：． 14．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）若，则的值为_____． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了配方法的应用，求代数式的值． 移项后配方，利用完全平方式的非负性求出x和y的值，然后代入计算即可． 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15．（25-26八年级下·安徽淮北·期中）已知直角两条边长分别是方程的两根，则的周长为__________． 【答案】或24 【分析】本题考查解一元二次方程和直角三角形的性质综合，先利用配方法解一元二次方程，得到两根，再进行分类讨论，利用勾股定理计算出另一边，即可求解． 解：解方程， 整理可得， 即，解得，， 当两个根是两条直角边时，斜边长为， ∴此时的周长为； 当两个根是直角边和斜边时，另一条直角边为， ∴此时的周长为． 16．（24-25九年级下·广东清远·阶段检测）如图，双曲线经过的两顶点轴交轴于点，过点作轴于点，若，且的面积为，则的值为___________． 【答案】6 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积，表示出A、C的坐标是解题的关键． 由题意可知，，利用的面积为，得到，解方程求得的值． 解：∵轴， 由题意可知，， ∵的面积为， ， 解得：或（舍去）， 故答案为：． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26八年级上·广西贺州·期中）小明在学习一元二次方程时，解方程的过程如下： ①， ②， ③， ④， ⑤， ⑥． 小明的解答从第_____步开始出错，请写出正确的解答过程． 【答案】⑤；见分析． 【分析】根据配方法解一元二次方程即可． 解：小明从第⑤步开始出现了错误；正确的解答过程如下： 由， 移项，得：，即：， 配方，得：，即：， 开方，得：， 解得：． 18．（25-26八年级下·山东泰安·期末）解方程： （1）； （2）（用配方法解方程）． 【答案】（1）；（2） 解：（1）解：， ， 或， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 19．（25-26九年级上·贵州毕节·期末）解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）；（2）， 【分析】（1）利用完全平方公式将方程变形，再求解即可； （2）先将二次项系数化为1，再通过配方法求解即可． 解：（1）解：， ， ， ∴； （2）解：， ， ，即， ，即， ． 20．（25-26九年级上·河北沧州·期末）配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值和最小值等．例如，我们用此方法求代数式的最小值的过程如下： 解：． ， ， 的最小值是9． 请根据以上材料，完成下列问题： （1）代数式，当_______时，代数式有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______； （2）比较代数式与的大小，并说明理由． 【答案】（1）1；大；8；（2），理由见分析 【分析】本题考查了配方法的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的非负性． （1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最值； （2）两式相减，配方后根据完全平方式恒大于等于0，可得差值的正负，即可得到两式的大小关系． 解：（1）解：∵，∴当1时，代数式有最大值，这个值是8； 故答案为：1，大，8． （2）解：， 理由如下： ， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 25.2 降次——解一元二次方程（配方法）（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】直接开平方法 1 【题型 1】直接开平方法解的条件 2 【题型 2】直接开平方法解一元二次方程 2 【知识点二】配方法 2 【题型 3】配方法解二次项系数为1的一元二次方程 3 【题型 4】配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 3 二.题型精析（巩固提升） 4 【题型 5】配方法的应用——判断式子的正负性 4 【题型 6】配方法的应用——求最值 4 【题型 7】配方法的应用——几何问题中配方问题 5 三.同步检测 6 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 6 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 7 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 8 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】直接开平方法 1、标准基础型 （1）：两个不相等实数根 ；（2）：两个相等实数根 （3）：无实数根. 2、简单平移型 把看成整体，直接开平方：得到，再移项求出. 3、系数不为1型 整体开方得：，分别解两个一元一次方程. 【特别提示】把一个一元二次方程化为两下一元一次方程，这样的方法叫“降次”. 【题型 1】直接开平方法解的条件 【例题1】（24-25九年级上·陕西渭南·阶段检测）如果关于x的一元二次方程可以用直接开平方求解，则m的取值范围是_________． 【变式1】（24-25八年级下·全国·课后作业）一元二次方程的根是（    ） A． B． C．无实数根 D．以上均不正确 【变式2】（24-25九年级上·山东菏泽·期中）若方程有整数根，则m的值可以是________．（填一个可能的值） 【变式3】（24-25九年级上·全国·期末）若一元二次方程的两个不相等的根分别是与，则为_______． 【题型 2】直接开平方法解一元二次方程 【例题2】（2026八年级下·全国·专题练习）用直接开平方法解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1】（25-26九年级上·陕西渭南·期中）方程的根是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·上海·期中）方程的根是________． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： （1）． （2）． 【知识点二】配方法 一元二次方程，配方法一般步骤： （1）移项：将常数项移到等号右侧，二次项、一次项留在左侧； （2）系数化为1：方程两边同时除以二次项系数，化为形式； （3）配方：等式两边同时加上一次项系数一半的平方； （4）变形：左边写成完全平方式，右侧合并常数项； （5）开方：右侧非负则直接开平方，右侧为负则无实数根； （6）求解：解出两个一元一次方程的根，规范书写结果。 【题型 3】配方法解二次项系数为1的一元二次方程 【例题3】（26-27八年级·上海·暑假作业）解方程 （1）； （2）（用配方法）． 【变式1】（25-26八年级下·安徽池州·期末）用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的方程通过配方可变形为，则的值为_____． 【变式3】（26-27八年级·上海·暑假作业）解方程： （1）（用配方法） （2）（用配方法） 【题型 4】配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 【例题4】（25-26九年级上·广东揭阳·阶段检测）解方程： 【变式1】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（　　） A．2 B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·福建泉州·期中）已知实数满足，则______． 【变式3】（25-26九年级上·河南洛阳·期中）用配方法推导一元二次方程（为常数）的求根公式 二.题型精析（巩固提升） 【题型 5】配方法的应用——判断式子的正负性 【例题5】（2025九年级上·全国·专题练习）求证：不论x，y取任何实数，多项式的值总为正数． 【变式1】（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）不论为何实数，多项式的值一定是（） A．正数 B．负数 C．0 D．不能确定 【变式2】（25-26九年级上·江苏泰州·期中）已知，，，则M________N ．（填 “＞”，“”或“”） 【变式3】（24-25九年级上·甘肃·期中）用配方法求证：代数式的值恒为正数． 【题型 6】配方法的应用——求最值 【例题6】（24-25九年级上·河南商丘·阶段检测）先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题 例题：求代数式的最小值 解： ∵        ∴不代数式的最小值为4． （1）代数式的最小值为 （2）已知实数a，b满足，求代数式的最小值． 【变式1】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）已知点为平面直角坐标系中一点，若为原点，则线段的最小值为（    ） A．2 B．2.4 C．2.5 D．3 【变式2】（25-26九年级上·内蒙古包头·阶段检测）利用配方法可求出二次三项式的最小值为______． 【变式3】（25-26九年级上·河南洛阳·期中）已知代数式， （1）用配方法说明，不论取何值，这个代数式的值总是正数； （2）求当取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？ 【题型 7】配方法的应用——几何问题中配方问题 【例题7】（23-24九年级上·河南周口·期末）先阅读内容，再解决问题： 若，求和的值． ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． （1）已知，求的值； （2）若，请问以为三边的是什么形状？说明理由． 【变式1】（25-26九年级上·全国·课后作业）已知三角形的三条边为，，，且满足，则这个三角形的唯一最大边的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，已知，为线段上的一个动点，分别以为边在的同侧作菱形和菱形，点在一条直线上，，分别是对角线的中点．当点在线段上移动时，点之间的距离最短为______． 【变式3】（24-25九年级上·宁夏中卫·期中）阅读理解并解答： 【方法呈现】 （1）配方法在代数式求值、解方程、解决最值问题中都有着广泛的应用． 例如：， ∵ ． 则这个代数式的最小值为_______，这时相应的x的值是________． 【尝试应用】 （2）求代数式的最小或最大值． 【拓展提高】 （3）已知a、b、c是的三边长，满足，求c的取值范围． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26九年级上·江苏淮安·期末）方程的解是（    ） A． B．， C． D． 2．（25-26九年级下·山东淄博·期末）若用配方法解一元二次方程，则下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·广东东莞·阶段检测）一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 4．（25-26九年级上·全国·期末）用配方法将方程转化为的形式，则的值为（） A．2028 B． C．2024 D． 5．（2025·吉林·模拟预测）下列方程中，有两个相等实数根的是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·浙江台州·阶段检测）若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）已知点M是线段AB的黄金分割点（），，那么AM的长为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·河北沧州·期末）一元二次方程的等号右边只有常数项，且该常数项被墨水覆盖，但知道整理成一般形式后该方程的常数项为0，将其配方后变形为，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26八年级·全国·暑假作业）方程解为_________． 10．（25-26九年级上·山西太原·期末）用配方法解一元二次方程时，配方后所得方程为__________ 11．（25-26九年级上·陕西商洛·阶段检测）将一元二次方程配方后化成的形式，则的值为___________． 12．（24-25九年级上·山东济宁·阶段检测）若方程能配成的形式，则直线不经过第______象限． 13．（25-26九年级上·全国·课后作业）若一元二次方程的两根为，则等于______． 14．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）若，则的值为_____． 15．（25-26八年级下·安徽淮北·期中）已知直角两条边长分别是方程的两根，则的周长为__________． 16．（24-25九年级下·广东清远·阶段检测）如图，双曲线经过的两顶点轴交轴于点，过点作轴于点，若，且的面积为，则的值为___________． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26八年级上·广西贺州·期中）小明在学习一元二次方程时，解方程的过程如下： ①， ②， ③， ④， ⑤， ⑥． 小明的解答从第_____步开始出错，请写出正确的解答过程． 18．（25-26八年级下·山东泰安·期末）解方程： （1）； （2）（用配方法解方程）． 19．（25-26九年级上·贵州毕节·期末）解下列方程： （1） （2） 20．（25-26九年级上·河北沧州·期末）配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值和最小值等．例如，我们用此方法求代数式的最小值的过程如下： 解：． ， ， 的最小值是9． 请根据以上材料，完成下列问题： （1）代数式，当_______时，代数式有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______； （2）比较代数式与的大小，并说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $