25.1一元二次方程的概念（讲义，3大知识10大题型）数学新教材人教版九年级上册

第二十五章 一元二次方程 25.1 一元二次方程的概念 知识点一 一元二次方程的概念 一元二次方程的定义：一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程. 一元二次方程的三要素：整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2. 【注意】 1）定义中“只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2”是对整理化简后的方程而言的. 2）定义中“整式方程”是指原方程等号两边都是整式，而不是指将原方程化简之后等号两边都是整式. 即学即练 1．（25-26九年级上·湖北黄冈·月考）下列方程中是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）下列方程中，不是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·福建漳州·期末）若方程是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是________． 知识点二 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式： ，它的特征：等号左边是一个关于未知数的二次多项式，等号右边是0.其中：是二次项，a是二次项系数，是一次项，b是一次项系数，c是常数项. 【补充说明】 1) 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理后都可以化成的形式，所以判断一个方程是不是一元二次方程时，要先化成一般形式，再判断. 2) 二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的，所以在确定一元二次方程各项的系数时，应先将方程化为一般形式，并且在说明各项系数的时，一定要带上前面的符号.特殊情况： ①若二次项系数为负，则要把它转化为正数，注意其他项的符号均需要改变； ②若有的项系数为分数，则要把它转化为整数. 3) 当方程中的二次项系数含有字母时，若字母的取值不确定，则这个方程不一定是一元二次方程. 【易错/热考】如果明确了为一元二次方程，就隐含了这个条件. 即学即练 1．（25-26九年级上·广东江门·期中）一元二次方程的二次项系数是_____，一次项系数是_____，常数项是_____． 2．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）将关于x的一元二次方程化为一般形式为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·江苏连云港·月考）已知关于x的一元二次方程的常数项为0，则k的值为（    ） A．4 B． C．8 D． 知识点三 一元二次方程的根 定义：使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根. 判断一个数是不是一元二次方程的根：将此数代入这个一元二次方程，若能使等式成立，则是一元二次方程的根；反之，它就不是一元二次方程的根. 【补充说明】一元二次方程的解，要么无解，有解必有两个，所以最后方程的解一定要写明． 即学即练 1．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）下列方程中，有根为1的一元二次方程是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·重庆南岸·期中）若是方程的一个根，则______． 3．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）已知关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值是（   ） A． B．2 C． D．4 题型01 识别一元二次方程 判断一个方程是不是一元二次方程的三个条件:①整式方程(等号两边都是整式)；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为2.注意“整式方程”是指原方程是整式方程，而不是指化简之后;“只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2”是对方程化简之后而言的. 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·福建漳州·期末）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）下列各方程中一定是关于的一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）下列方程不是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河南许昌·月考）方程①；②；③；④中，一元二次方程的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 题型02 已知含参方程为一元二次方程，求参数的取值范围 如果明确了为一元二次方程，就隐含了这个条件. 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·湖南张家界·期末）关于的方程是一元二次方程，那么的值为（     ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·广东中山·期中）若关于x的方程是关于x的一元二次方程，则m的取值是（    ） A．任意实数 B．1或 C．1 D． 2．（25-26九年级上·天津南开·期中）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是_____． 3．（2025·四川广元·一模）关于x的方程是一元二次方程，则_________． 4．（25-26九年级上·江西九江·月考）已知关于的方程． (1)当满足什么条件时，此方程是一元一次方程？ (2)当满足什么条件时，此方程是一元二次方程？ 题型03 将一元二次方程化为一般形式 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·云南曲靖·月考）把方程化为一元二次方程的一般形式是（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·吉林长春·期中）将一元二次方程化为一般形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·四川广安·月考）一元二次方程化成一般形式为________． 题型04 根据一元二次方程的一般形式求系数 忽略系数前面的符号 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·河南开封·期末）方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·四川泸州·月考）把一元二次方程整理成一般形式后，一次项系数的值是（   ） A．5 B． C．2 D． 2．（25-26九年级上·河南郑州·月考）关于的一元二次方程化成一般形式后，一次项系数和常数项分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（25-26九年级上·云南曲靖·期末）将一元二次方程化为的形式，则___________． 4．（25-26九年级上·河南平顶山·阶段检测）把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 题型05 根据一元二次方程各系数的值求字母的值 典｜例｜精｜析 1．（24-25八年级下·云南昆明·期末）关于x的一元二次方程常数项为0，则k值为（　　） A．3 B． C． D．9 变｜式｜巩｜固 1．（河北省廊坊市燕郊燕昌中学等联考2025-2026学年上学期九年级数学期中试卷）关于的一元二次方程化成一般形式，其二次项系数、一次项系数和常数项分别是1，4，0，则表示的数为（   ） A． B．4 C．2 D． 2（25-26九年级上·江苏扬州·期中）关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为__________． 3．（25-26九年级上·河北唐山·月考）已知关于的一元二次方程的常数项是2，则的值为________． 题型06 判断是否是一元二次方程的解 分别将未知数的值代入原方程，看左右两边是否相等.相等则是，否则不是. 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·福建厦门·期中）若一元二次方程有一个根是，则这个方程可以是（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）能使方程成立的x的值可以为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（25-26九年级上·河北保定·期中）列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，如下表，根据表格可知方程：的解是（   ） 0 1 2 3 ... ... A． B． C．或 D．或 3．（25-26九年级上·江西南昌·期中）若一元二次方程中的满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 题型07 根据一元二次方程的解代入求值 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·陕西汉中·期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 变｜式｜巩｜固 1．（2025·陕西西安·一模）若是关于的一元二次方程的根，则的值为（   ） A． B． C．2026 D．2025 2．（25-26九年级上·福建漳州·期末）若m是一元二次方程的一个根，则代数式为（   ） A．2026 B．2025 C．2033 D．2034 3．（25-26九年级上·四川达州·期末）若m、n是一元二次方程的两个实数根，多项式的值是_______． 题型08 根据一元二次方程的解求另一方程的解 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·黑龙江鹤岗·月考）若一元二次方程的一个根是1，则另一个根是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如果是一元二次方程的一个根，那么该方程另一个根是（    ） A．3 B． C．0 D． 2．（25-26九年级上·河北保定·月考）若方程的一个根为，则另一个根为________ 3．（24-25九年级上·内蒙古乌兰察布·期末）若关于x的方程有一个根是，则方程的另一个根为______． 题型09 根据一元二次方程的解降次求值 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·山东德州·期末）若是方程的一个根，则的值为（    ） A．2025 B． C．2026 D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·全国·寒假作业）已知m为方程的根，那么的值为（    ） A． B．3 C．2025 D．4047 2．（25-26九年级上·四川成都·期中）设、是方程的两个实数根，则的值为_______． 题型10 由实际问题抽象出一元二次方程 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·云南昆明·期末）一个长方体木盒的高是，长比宽多，体积是，求这个木盒的长．设这个木盒的长为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2022年我国快递业务收入为10000亿元，预计2024年将增加到13000亿元．设我国2022年至2024年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，学校计划用长的篱笆围成一个面积为的长方形菜地，菜地的一边利用墙、设菜地垂直于墙的一边长为，可列方程是_______． 3．（25-26九年级上·四川泸州·期中）国庆期间，一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，已知全组共送贺卡张，则这个小组共有人．根据题意，可列方程______． 4．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）已知一个直角三角形的两条直角边的和是，面积是，设其中一条直角边的长为，则根据题意可列方程为______． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十五章 一元二次方程 25.1 一元二次方程的概念 知识点一 一元二次方程的概念 一元二次方程的定义：一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程. 一元二次方程的三要素：整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2. 【注意】 1）定义中“只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2”是对整理化简后的方程而言的. 2）定义中“整式方程”是指原方程等号两边都是整式，而不是指将原方程化简之后等号两边都是整式. 即学即练 1．（25-26九年级上·湖北黄冈·月考）下列方程中是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一元二次方程需要同时满足三个条件：1、 是整式方程 ，2 、只含有一个未知数； 3、 未知数的最高次数为2，根据三个条件逐一判断选项即可． 【详解】解：A、方程含有2个未知数，属于二元一次方程，不是一元二次方程； B、分母含有未知数，属于分式方程，不是一元二次方程； C、方程是整式方程，只含1个未知数，且未知数最高次数为2，是一元二次方程； D、方程含有2个未知数，属于二元二次方程，不是一元二次方程． 2．（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）下列方程中，不是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据一元二次方程的定义判断即可，一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程． 【详解】解：∵一元二次方程必须同时满足三个条件：①是整式方程，②只含有一个未知数，③未知数的最高次数为2． 对各选项分析如下： A选项：，满足三个条件，是一元二次方程． B选项：，满足三个条件，是一元二次方程． C选项：中，是分式，该方程是分式方程，不是整式方程，不满足一元二次方程的条件，因此不是一元二次方程． D选项：整理得，满足三个条件，是一元二次方程． 3．（25-26九年级上·福建漳州·期末）若方程是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，即得到关于的不等式，解之即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 知识点二 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式： ，它的特征：等号左边是一个关于未知数的二次多项式，等号右边是0.其中：是二次项，a是二次项系数，是一次项，b是一次项系数，c是常数项. 【补充说明】 1) 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理后都可以化成的形式，所以判断一个方程是不是一元二次方程时，要先化成一般形式，再判断. 2) 二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的，所以在确定一元二次方程各项的系数时，应先将方程化为一般形式，并且在说明各项系数的时，一定要带上前面的符号.特殊情况： ①若二次项系数为负，则要把它转化为正数，注意其他项的符号均需要改变； ②若有的项系数为分数，则要把它转化为整数. 3) 当方程中的二次项系数含有字母时，若字母的取值不确定，则这个方程不一定是一元二次方程. 【易错/热考】如果明确了为一元二次方程，就隐含了这个条件. 即学即练 1．（25-26九年级上·广东江门·期中）一元二次方程的二次项系数是_____，一次项系数是_____，常数项是_____． 【答案】 3 【分析】先将原一元二次方程化为一般形式（），再根据一元二次方程一般形式的定义确定各项系数． 【详解】解：， ∴二次项的系数为3，一次项的系数为，常数项为． 2．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）将关于x的一元二次方程化为一般形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将方程左边展开，然后移项使右边为零，得到一般形式． 本题考查等式的性质，一元二次方程的基本形式，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 【详解】解：∵ 原方程为 ， 展开左边得 ， 移项得 ， ∴ 一般形式为 ． 故选：C． 3．（25-26九年级上·江苏连云港·月考）已知关于x的一元二次方程的常数项为0，则k的值为（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解一元二次方程，解题的关键是一元二次方程的一般形式是（为常数且），特别注意，这是在解题中容易忽略的知识点． 由一元二次方程常数项为0，得，解方程即可，二次项系数已满足非零条件． 【详解】解：常数项为0， ， ， ， 由二次项系数， ． 故选：． 知识点三 一元二次方程的根 定义：使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根. 判断一个数是不是一元二次方程的根：将此数代入这个一元二次方程，若能使等式成立，则是一元二次方程的根；反之，它就不是一元二次方程的根. 【补充说明】一元二次方程的解，要么无解，有解必有两个，所以最后方程的解一定要写明． 即学即练 1．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）下列方程中，有根为1的一元二次方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义“只含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程”，一元二次方程的解．根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解，即可进行解答． 【详解】解：A、，是一元一次方程，故该选项不符合题意； B、，未知数的最高次数为3，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； C、，是一元二次方程，当时，，故该选项不符合题意； D、，是一元二次方程，当时，，故该选项符合题意； 故选：D． 2．（25-26九年级上·重庆南岸·期中）若是方程的一个根，则______． 【答案】9 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，理解一元二次方程的根的定义是解题的关键． 将代入方程得到关于m的方程，变形后整体代入求出代数式的值即可． 【详解】 m是方程的一个根，， ， 将代入得 ． 故答案为：9． 3．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）已知关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值是（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的定义． 将已知根代入方程即可求出m的值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴将代入方程得：， 即， ∴， 解得． 故选：A． 题型01 识别一元二次方程 判断一个方程是不是一元二次方程的三个条件:①整式方程(等号两边都是整式)；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为2.注意“整式方程”是指原方程是整式方程，而不是指化简之后;“只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2”是对方程化简之后而言的. 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·福建漳州·期末）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程需满足只含一个未知数，未知数最高次数为2，且为整式方程，逐一判断选项即可． 【详解】解：A选项，只含一个未知数，最高次数为2，且是整式方程，满足所有条件，故本选项符合题意； B选项方程含有分式，不是整式方程，不满足条件，故本选项不符合题意； C选项方程含有和两个未知数，不是一元方程，不满足条件，故本选项不符合题意； D选项方程含有和两个未知数，不是一元方程，不满足条件，故本选项不符合题意； 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）下列各方程中一定是关于的一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一元二次方程的定义为只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程，据此逐一分析选项即可． 【详解】解：A选项只含有一个未知数，最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义； B选项中，未说明，当时，方程不是一元二次方程； C选项中含有和两个未知数，不符合一元二次方程定义； D选项整理得，含有两个未知数，不符合定义． 2．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）下列方程不是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，判断各选项是否为整式方程且最高次数是否为． 【详解】解：∵ 一元二次方程必须是整式方程，且未知数的最高次数为2； A、，是整式方程，最高次数，是一元二次方程，不符合题意； B、，展开并化简得，是整式方程，最高次数，是一元二次方程，不符合题意； C、，分母含有未知数，不是整式方程，符合题意； D、，展开并化简得，是整式方程，最高次数，是一元二次方程，不符合题意； 故选：C． 3．（25-26九年级上·河南许昌·月考）方程①；②；③；④中，一元二次方程的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，通过判断每个方程是否满足一元二次方程的定义（整式方程、一个未知数、最高次数为2）来确定个数． 【详解】∵ 方程① 含有分式，不是整式方程， ∴ 不是一元二次方程． ∵ 方程② 含有两个未知数x和y， ∴ 不是一元二次方程． ∵ 方程③ 可化为 ，满足一元二次方程定义， ∴ 是一元二次方程． ∵ 表达式④ 没有等号，不是方程， 综上所述：只有③是一元二次方程，共1个． 故选C． 题型02 已知含参方程为一元二次方程，求参数的取值范围 如果明确了为一元二次方程，就隐含了这个条件. 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·湖南张家界·期末）关于的方程是一元二次方程，那么的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键，一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程．根据一元二次方程的定义列式计算即可． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， 且 ， 由得， ， 又， ， ． 故选：B． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·广东中山·期中）若关于x的方程是关于x的一元二次方程，则m的取值是（    ） A．任意实数 B．1或 C．1 D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程需满足条件，未知数最高次数为2，且二次项系数不为0，据此计算m的取值即可 【详解】解：∵关于x的方程是关于x的一元二次方程， ∴， 解得或， ∵ ∴， ∴． 2．（25-26九年级上·天津南开·期中）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程：根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零，因此． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴二次项系数，解得． 故答案为：． 3．（2025·四川广元·一模）关于x的方程是一元二次方程，则_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2且二次项系数不为0，列出条件求解． 【详解】解：由题意，得且， 解得或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·江西九江·月考）已知关于的方程． (1)当满足什么条件时，此方程是一元一次方程？ (2)当满足什么条件时，此方程是一元二次方程？ 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元一次方程的定义，解题的关键是明确一元二次方程的定义和一元一次方程的定义． （1）根据一元一次方程的定义解答即可； （2）根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵方程是一元一次方程， 则且． 解得； （2）解：方程是一元二次方程， 则， 解得． 题型03 将一元二次方程化为一般形式 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·云南曲靖·月考）把方程化为一元二次方程的一般形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了将一元二次方程化为一般式. 将方程化为一般形式 （），需将所有项移到等号左边. 【详解】解：∵ 原方程为 ， ∴ 移项得 ， 合并同类项得 ， ∴ 一般形式为 ， 故选：D. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·吉林长春·期中）将一元二次方程化为一般形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，需熟练掌握化简步骤，确保方程为标准形式． 将原方程通过去括号、移项和合并同类项化为一般形式． 【详解】解：∵原方程为， 去括号：， 合并同类项：， 移项：， 乘以（使二次项系数为正）：， ∴一般形式为， 故选：C． 2．（25-26九年级上·四川广安·月考）一元二次方程化成一般形式为________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，熟练掌握一元二次方程的一般式是解题关键．先计算完全平方公式、去括号，再移项、合并同类项，整理成一元二次方程的一般式即可得． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 题型04 根据一元二次方程的一般形式求系数 忽略系数前面的符号 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·河南开封·期末）方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是，其中是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项． 【详解】将原方程化为一元二次方程的一般形式为，所以二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 故选：D 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·四川泸州·月考）把一元二次方程整理成一般形式后，一次项系数的值是（   ） A．5 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，即．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 将方程整理成一般形式后作答即可． 【详解】解：， ， ， ∴一般形式为，其中． 故选：B． 2．（25-26九年级上·河南郑州·月考）关于的一元二次方程化成一般形式后，一次项系数和常数项分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，将方程化为一般形式后，比较系数即可，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故一次项系数为，常数项为， 故选：D． 3．（25-26九年级上·云南曲靖·期末）将一元二次方程化为的形式，则___________． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握定义是解题关键． 直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ， ， ∴． 故答案为： 4．（25-26九年级上·河南平顶山·阶段检测）把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 先把一元二次方程化成一般式，然后根据二次项、一次项、常数项的定义解答即可． 【详解】解：把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 9 4 1 2 题型05 根据一元二次方程各系数的值求字母的值 典｜例｜精｜析 1．（24-25八年级下·云南昆明·期末）关于x的一元二次方程常数项为0，则k值为（　　） A．3 B． C． D．9 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义，常数项为0且二次项系数不为0，解方程即可确定k的值． 【详解】解：根据题意得，且， 解得且， ∴， 故选：B． 变｜式｜巩｜固 1．（河北省廊坊市燕郊燕昌中学等联考2025-2026学年上学期九年级数学期中试卷）关于的一元二次方程化成一般形式，其二次项系数、一次项系数和常数项分别是1，4，0，则表示的数为（   ） A． B．4 C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是： （，，是常数且）特别要注意的条件．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：设表示的数为， 化成一元二次方程一般形式是， ∵二次项系数、一次项系数和常数项分别是1，4，0， ∴， ∴表示的数为4， 故选：B． 2（25-26九年级上·江苏扬州·期中）关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式；将方程化为一般形式，根据不含一次项的条件，令一次项系数为零，且二次项系数不为零，求解． 【详解】解：原方程化为一般形式：， 即， 由于不含一次项，则一次项系数，且二次项系数． 解，得． 由，得， 故． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·河北唐山·月考）已知关于的一元二次方程的常数项是2，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的定义和解法，掌握一元二次方程的定义与基本解法是解题关键．根据一元二次方程的定义和题意列出a满足的条件求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的常数项是2， ∴， 解得：， 故答案为：． 题型06 判断是否是一元二次方程的解 分别将未知数的值代入原方程，看左右两边是否相等.相等则是，否则不是. 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·福建厦门·期中）若一元二次方程有一个根是，则这个方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 根据一元二次方程的解的定义判断即可． 【详解】解：A、把代入，可得，所以不是方程的根，不符合题意； B、把代入，可得，所以不是方程的根，不符合题意； C、把代入，可得，所以不是方程的根，不符合题意； D、把代入，可得，所以是方程的根，符合题意； 故选：D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）能使方程成立的x的值可以为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，通过解一元二次方程，得到根后与选项对比． 【详解】解：∵， ∴，因式分解得：， ∴或， ∴或， 故选：C． 2．（25-26九年级上·河北保定·期中）列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，如下表，根据表格可知方程：的解是（   ） 0 1 2 3 ... ... A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查列表法求一元二次方程的解，将方程变形为 ，从表格中找出使该式值为6的x值，即为方程的解． 【详解】解：∵ 可化为 ， 由表可知，当 或 时，， ∴ 方程的解为 或 ． 故选：D． 3．（25-26九年级上·江西南昌·期中）若一元二次方程中的满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程根的定义，将x的值代入方程，若满足方程则为其根，条件恰好对应时的方程值，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵当时，代入方程得：， ∴方程必有一根为， 故选：C． 题型07 根据一元二次方程的解代入求值 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·陕西汉中·期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义．利用方程根的定义，将代入原方程，通过移项即可求出目标代数式的值. 【详解】解：∵是方程的一个根 ∴ ∴ 故选：A． 变｜式｜巩｜固 1．（2025·陕西西安·一模）若是关于的一元二次方程的根，则的值为（   ） A． B． C．2026 D．2025 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，将代入方程，通过计算即可求出的值． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的根， ∴把代入方程得：， 即， ∴， 故选：C． 2．（25-26九年级上·福建漳州·期末）若m是一元二次方程的一个根，则代数式为（   ） A．2026 B．2025 C．2033 D．2034 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的解及代数式求值．利用方程解的定义对代数式变形，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵m是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故选：B. 3．（25-26九年级上·四川达州·期末）若m、n是一元二次方程的两个实数根，多项式的值是_______． 【答案】11 【分析】利用一元二次方程根的定义将高次项降次，再结合根与系数的关系代入求值． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根， ∴根据一元二次方程根的定义，得，即， 根据一元二次方程根与系数的关系，得，， 将代入多项式，得： 把，代入上式： ． 题型08 根据一元二次方程的解求另一方程的解 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·黑龙江鹤岗·月考）若一元二次方程的一个根是1，则另一个根是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的解法，将代入方程求出m的值，再求解方程即可． 【详解】解：将代入方程得， ∴， ∴方程为， 化为， 故根为， 故选：B． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如果是一元二次方程的一个根，那么该方程另一个根是（    ） A．3 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，直接开平方法解一元二次方程，求得是解题的关键． 将代入原方程，得到，进而即可求解． 【详解】∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴， ∴原方程为， 解得，． 故选：B． 2．（25-26九年级上·河北保定·月考）若方程的一个根为，则另一个根为________ 【答案】3 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程求出a的值，再解原方程即可得到答案． 【详解】解：∵方程的一个根为， ∴， ∴原方程为， 解得， ∴原方程的另一个根为， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·内蒙古乌兰察布·期末）若关于x的方程有一个根是，则方程的另一个根为______． 【答案】4 【分析】本题考查一元二次方程的解、解一元二次方程．先将代入方程中求得，再解方程即可解答． 【详解】解：∵方程有一个根是， ∴，解得， ∴方程为，即， 解得，， ∴方程的另一个根为4， 故答案为：4． 题型09 根据一元二次方程的解降次求值 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·山东德州·期末）若是方程的一个根，则的值为（    ） A．2025 B． C．2026 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根，以及代数式求值，利用方程根的性质，将、表示出来，然后代入表达式化简计算，即可解题． 【详解】解：∵ a是方程的根， ∴，即， ∴， ∴． 故选：A． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·全国·寒假作业）已知m为方程的根，那么的值为（    ） A． B．3 C．2025 D．4047 【答案】B 【分析】本题考查了利用未知数是一元二次方程的根求解代数式的值．根据题意有，即有，再整体代入计算即可作答． 【详解】解：∵m为的根， ∴，且， ∴， ∴ ， 故选：B． 2．（25-26九年级上·四川成都·期中）设、是方程的两个实数根，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系．根据方程的解得到，根据根与系数的关系得到，然后将表达式进行变形，利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：因为α是方程的实数根， 所以， 即． 因为α，β是方程的两个实数根， 所以根据根与系数的关系，． ∴ 故答案为：． 题型10 由实际问题抽象出一元二次方程 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·云南昆明·期末）一个长方体木盒的高是，长比宽多，体积是，求这个木盒的长．设这个木盒的长为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据长方体体积公式，长宽高体积，已知高为，长为，长比宽多，故宽为，代入公式即可得到方程． 【详解】解：设这个木盒的长为，则木盒的宽为， 根据题意，， 故选：C． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2022年我国快递业务收入为10000亿元，预计2024年将增加到13000亿元．设我国2022年至2024年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为． 设平均增长率为x，根据年至年我国快递业务收入由亿元增加到亿元，即可列出一元二次方程． 【详解】解：设平均增长率为x， 根据题意得：， 2．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，学校计划用长的篱笆围成一个面积为的长方形菜地，菜地的一边利用墙、设菜地垂直于墙的一边长为，可列方程是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．由篱笆的总长及垂直于墙的篱笆长度，可得出平行于墙的篱笆长为，根据长方形菜地的面积为，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：∵要用长的篱笆围成一个面积为的长方形菜地，垂直于墙的边长为， ∴平行于墙的边长为， 根据题意，可得． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·四川泸州·期中）国庆期间，一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，已知全组共送贺卡张，则这个小组共有人．根据题意，可列方程______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系是列方程的关键．根据“新年互送贺卡一张”得每个人都要求送其他的人一张贺卡，即每人需送出张贺卡，进而求出全组共送的数量，再根据等量关系“全组共送贺卡张”， 列方程即可． 【详解】解：这个小组共有人，每人需送出张贺卡， 全组共送贺卡张， 全组共送贺卡张， ， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）已知一个直角三角形的两条直角边的和是，面积是，设其中一条直角边的长为，则根据题意可列方程为______． 【答案】（答案形式不唯一） 【分析】本题主要考查实际问题与一元二次方程；设一条直角边为，则另一条直角边为，根据直角三角形面积公式列方程即可． 【详解】解：设其中一条直角边的长为，则另一条直角边的长为． 直角三角形的面积等于两条直角边乘积的一半，即． 故答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $