1.1探索勾股定理（2) 课时练习 2026-2027学年 北师大版八年级上册数学

**基本信息** 本同步练聚焦勾股定理应用与证明，通过基础计算、情境应用到定理推导的三层设计，覆盖从单一知识点到综合能力的巩固路径，融合实际问题与数学文化，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|直角边求斜边、周长等基本计算|如选择2（两直角边6和8求周长）、填空6（非负性求斜边），强化公式直接应用| |能力提升|面积关系转化、实际情境建模|如选择3（赵爽弦图求(a+b)²）、填空9（正方形面积和），培养几何直观与运算能力| |拓展应用|定理证明与综合推理|解答13（赵爽弦图多方法证明），通过数学史情境发展推理意识与创新意识|

§1.1探索勾股定理 （2） 一.选择题：（共35分） 1．（7分）如图1,山坡AB的高BC=5m，水平距离AC=12m，若在山坡上每隔0.65m栽一棵茶树,则从上到下共栽了( )A．19棵 B．20棵 C．21棵 D．22棵 2．（7分）已知直角三角形的两直角边的长分别为6和8，则此三角形的周长是（ ）． A．22 B．23 C．21 D．24 3．（7分）我国古代数学家赵爽的《勾股方圆图》是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果大正方形的面积是16，小正方形的面积是3，直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b那么（a+b）2的值为（　　）A．16 B．29 C．19 D．48 ( 图5 ) ( 图4 ) ( 图3 ) ( 图2 ) ( 图1 ) 4（7分）如图3是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是5、7、3、5，则最大的正方形E的面积是( )A．108 B．50 C．20 D．12 5.（7分）如图4，在△ABC中，∠ACB=90，CD⊥AB于点D，AC=3，BC=4，则CD的长是( )． A．2.4 B．2 C．2.5 D．3 二.填空题： 6．（7分）若直角三角形的两边长为a，b，且满足（a﹣3）2+|b﹣4|=0，则该直角三角形的斜边长为_______． 7．（7分）如图5，在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为______米. 8．（7分）如图6在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A，利用旗杆顶部的索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B，玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN＝______． 9．（7分）如图7，在直线上依次摆放着3个正方形，已知正着放置的2个正方形的面积分别为10，9，则斜着放置的那个正方形的面积为____． ( 图9 ) ( 图8 ) ( 图7 ) ( 图6 ) 10．（7分）如图8，AC⊥BC，DC⊥EC，AC=BC，DC=EC，若AC=2，CE=3，则AD2+BE2=____． 三.解答题：（共35分） 11．（8分）如图9，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC=8，BC=6，则线段AD的长度为多少？ 12．（9分）如图11,台风“玛娃”在广东汕尾陆丰市登陆，给人们的生活环境造成极大的破坏。台风“玛娃”将一颗竖直9米高的参天古树吹折（如图），事后测得树尖距树底6米远，求断裂处距树底的高度. ( 图11 ) 13．（13分）(1)我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成丁一个大的正方形（如图1），这个矩形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边a、b与斜边c满足关系式a2＋b2＝c2，称为勾股定理. 证明：∵大正方形面积表示为S＝c2，，又可表示为S＝4×ab＋(b－a)2， ∴4×ab＋(b－a)2＝c2.∴______________即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. (2)爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形(如图2)，也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程. (3)如图3所示，∠ABC＝∠ACE＝90°，请你添加适当的辅助线，证明结论a2＋b2＝c2. ( 图1 图2 图3 ) 【北师大版八年级数学（上）课时练习】 §1.1探索勾股定理 （2） 一.选择题：（共35分） 1．(7分)如图1,山坡AB的高BC=5m，水平距离AC=12m，若在山坡上每隔0.65m栽一棵茶树,则从上到下共栽了( C )A．19棵 B．20棵 C．21棵 D．22棵 2．(7分)已知直角三角形的两直角边的长分别为6和8，则此三角形的周长是（ D ）． A．22 B．23 C．21 D．24 3．(7分)我国古代数学家赵爽的《勾股方圆图》是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图2），如果大正方形的面积是16，小正方形的面积是3，直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b那么（a+b）2的值为（　B　）A．16 B．29 C．19 D．48 ( 图5 ) ( 图4 ) ( 图3 ) ( 图2 ) ( 图1 ) 4．(7分)如图3是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是5、7、3、5，则最大的正方形E的面积是(　C　) A．108 B．50 C．20 D．12 5.(7分)如图4，在△ABC中，∠ACB=90，CD⊥AB于点D，AC=3，BC=4，则CD的长是( A )． A．2.4 B．2 C．2.5 D．3 二.填空题：（共35分） 6．(7分)若直角三角形的两边长为a，b，且满足（a﹣3）2+|b﹣4|=0，则该直角三角形的斜边长为_5或4_． 7．(7分)如图5，在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为__7__米. 8．(7分)如图6,在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A，利用旗杆顶部的索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B，玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN＝_2m__． 9．(7分)如图7，在直线上依次摆放着3个正方形，已知正着放置的2个正方形的面积分别为10，9，则斜着放置的那个正方形的面积为__19__． ( 图6 图7 图8 ) 10．(7分)如图8，AC⊥BC，DC⊥EC，AC=BC，DC=EC，若AC=2，CE=3，则AD2+BE2=_26_． 三.解答题： 11．(8分)如图9，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC=8，BC=6，则线段AD的长度为多少？ 解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10 ( 图9 )在Rt△ACD中，AD=6.4 12．(9分)如图11,台风“玛娃”在广东汕尾陆丰市登陆，给人们的生活环境造成极大的破坏。台风“玛娃”将一颗竖直9米高的参天古树吹折（如图），事后测得树尖距树底6米远，求断裂处距树底的高度. ( 图11 )解：设断裂处距树底的高度为，则树尖距吹折处为9-x，如图，即BC=x，AB=9-x，AC=6，∵在Rt△ABC中，BC2+AC2=AB2，∴ ，解得：x=2.5，即断裂处距树底的高度为2.5米. 13．(13分)(1)我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成丁一个大的正方形（如图1），这个矩形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边a、b与斜边c满足关系式a2＋b2＝c2，称为勾股定理. 证明：∵大正方形面积表示为S＝c2，，又可表示为S＝4×ab＋(b－a)2， ∴4×ab＋(b－a)2＝c2.∴______________ 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. (2)爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形(如图2)，也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程. (3)如图3所示，∠ABC＝∠ACE＝90°，请你添加适当的辅助线，证明结论a2＋b2＝c2. ( 图1 图2 图3 ) 证明：（1）∵大正方形面积表示为S＝，又可表示为S＝4×， ∴4×=．∴，∴， 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．故答案为：； （2）证明：由图得，大正方形面积＝×ab×4＋＝（a＋b）×（a＋b）， 整理得，，即 ； （3）如图，过A作AF⊥AB，过E作EF⊥AF于F，交BC的延长线于D，则四边形ABDF是矩形， ∵△ACE是等腰直角三角形，∴AC＝CE＝c，∠ACE＝90°＝∠ACB＋∠ECD， ∵∠ACB＋∠BAC＝90°，∴∠BAC＝∠ECD， ∵∠B＝∠D＝90°，∴△ABC≌△CDE（AAS），∴CD＝AB＝b，DE＝BC＝a， S矩形ABDF＝b（a＋b）＝2×，∴． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $