暑期预习讲义（第9讲）——一元一次方程的解法 - 2026-2027学年苏科版七年级数学上册

暑期预习讲义（第9讲）——一元一次方程的解法（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.预习目标与填空 1 1. 预习目标 2 2.预习前置：自主填空梳理 2 二.教材知识梳理与解读 2 【知识点一】 一元一次方程定义 2 【知识点二】 移项 2 【知识点三】 解一元一次方程完整步骤及规范 3 三.经典题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】 一元一次方程及其解 3 【题型 2】 基础一元一次方程求解（无分母无括号） 5 【题型 3】 含括号的一元一次方程求解（核心基础） 7 【题型 4】 含分母的一元一次方程求解（高频必考） 9 四.经典题型精析（巩固提升） 11 【题型 5】 解含分母为小数的一元一次方程（拔高题型） 12 【题型 6】 已知一元一次方程的解求参数 16 【题型 7】 解含绝对值的一元一次方程（拔高题型） 17 五.同步自测 20 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 20 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 23 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 26 预习方法：读概念→理解定义性质→学例题→练变式→同步自测 一.预习目标与填空 1. 预习目标 （1）理解方程、一元一次方程的定义，会判断一元一次方程 （2）熟练掌握解方程五步：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1 （3）攻克含分数、含括号、含小数的复杂方程 （4）重难点：去分母漏乘、移项变号、小数方程化简技巧 2.预习前置：自主填空梳理 请结合课本内容，自主完成以下填空，提前夯实本节核心概念： （1）只含有_______个未知数，并且未知数的次数是________，等号两边都是________的方程，叫做一元一次方程。 （2）解一元一次方程的五大步骤：去分母→______→_______→______→系数化为1。 （3）移项法则：把方程中的某一项改变________后，从方程的一边________另一边，移项必须________。 答案：（1)一；1；整式 (2) 去括号；移项；合并同类项 (3) 符号；移到；变号 二.教材知识梳理与解读 【知识点一】 一元一次方程定义 一般地，如果方程中只含有一个未知数(元)，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫作一元一次方程 【要点提示】 1.一元一次方程判定条件：① 只含一个未知数；② 未知数最高次数为1；③ 等式两边均为整式（分母不含未知数）。 2. 标准形式：（a、b为常数，a不能为0，否则未知数消失，不再是一元一次方程）。 3. 易错辨析：不是一元一次方程（分母含未知数，不是整式方程）；不是一元一次方程（未知数次数为2）。 【知识点二】 移项 定义：把方程或不等式一边的某一项，改变符号后移到等号（不等号）另一边，这种恒等变形操作叫做移项。 【要点提示】（1）移项必须变号：加变减、减变加；正数变负数，负数变正数；（2）不移的项符号保持不变；（3）移项依据：等式基本性质 1（等式两边同时加或减同一个代数式，等式仍成立）。 【知识点三】 解一元一次方程完整步骤及规范 （1）去分母——方程两边同乘所有分母的最小公倍数，消去分母；注意：不含分母的常数项也要乘，杜绝漏乘。 （2）去括号——依据去括号法则，正号不变、负号全变，系数遍乘每一项，防止漏乘、错号。 （3）移项——含未知数的项移到左边，常数项移到右边；移项必变号，不移项不变号。 （4）合并同类项——化为最简形式。 （5）系数化为1——方程两边同时除以未知数系数a，得。 三.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】 一元一次方程及其解 【例题1】（25-26七年级下·湖南衡阳·阶段检测）已知方程是关于x的一元一次方程，求m的值，并写出其方程． 【答案】，方程为 【分析】根据一元一次方程的定义“只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程”，得到，且，求解即可得到答案． 解：根据题意得：，且， 解得：． 其方程为． 【变式1】（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）下列各式中是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一元一次方程需要满足：①只含有一个未知数，②未知数的最高次数为1，③两边都为整式的等式，据此逐一判定选项即可． 解：选项A：是不等式，不是等式，不是一元一次方程； 选项B：含有两个未知数，不是一元一次方程； 选项C：是代数式，不是等式，不是一元一次方程； 选项D：满足一元一次方程的所有定义，是一元一次方程． 【变式2】（24-25七年级上·全国·课后作业）（1），________； （2），________ （3），________． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程、等式的基本性质等知识点，熟练运用等式的基本性质是解题的关键． （1）给等式两边同时减去5即可解答； （2）先给等式两边同时减去3，然后再给等式两边同时除以10即可解答； （3）先给等式两边同时加上，然后再给等式两边同时乘以即可解答． 解：（1）， ． 故答案为． （2）， ， ， ． 故答案为：． （3）， ， ， ， ． 故答案为． 【变式3】（25-26七年级上·江苏常州·期中）若是关于的一元一次方程 （1）求的值，并写出这个一元一次方程； （2）判断是否为方程的解． 【答案】（1），方程是；（2）是 【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点． （1）根据只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是（a，b是常数且），可得m的值； （2）根据方程的解是使方程成立的未知数的值，可得答案． 解：（1）解：∵是关于的一元一次方程， ∴且， 解得：， 则这个一元一次方程为． （2）解：把代入， 得， 故是方程的解． 【题型 2】 基础一元一次方程求解（无分母无括号） 【例题2】（25-26七年级上·河北张家口·期末）解下列方程，并指出每一步的依据． （1） （2） 【答案】（1），依据见分析；（2），依据见分析 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤． （1）根据等式的性质两边同时加1即可求出解； （2）根据等式的性质两边同时除以即可求出解． 解：（1）解： 两边同时加1，得（等式两边同时加上同一个数，等式仍然成立） 解得； （2）解： 两边同时除以，得（等式两边同时除以同一个不为零的数，等式仍然成立） 解得． 【变式1】（25-26七年级下·福建泉州·期中）下列方程中，解为的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 解：选项A：，移项得，系数化为1得，不符合要求； 选项B：，移项得，系数化为1得，不符合要求； 选项C：，两边同乘3得，移项得，系数化为1得，符合要求； 选项D：，移项得，系数化为1得，不符合要求． 【变式2】（23-24七年级上·北京西城·期中）阅读下面解方程的步骤，完成填空： 解：去括号，得． 移项，得．依据________； 合并同类项，得． 系数化为1，得________． 【答案】 等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），等式仍成立 【分析】本题考查了解一元一次方程，根据等式的基本性质1和等式的基本性质2即可求解，熟练掌握解方程的一般步骤是解题的关键． 解：去括号，得． 移项，得．依据：等式的基本性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），等式仍成立， 合并同类项，得． 系数化为1，得， 故答案为：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），等式仍成立；． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）在把方程化成的形式时，小桔同学的做法如下： 去括号，得，① 移项，得，② 合并同类项，得，③ 两边都除以9，得．④ 上述变形是从第几步开始出错的？出现的错误是什么？请改正，并给出这个方程的正确变形过程． 【答案】见分析 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． 根据解一元一次方程的方法解答即可． 解：从第①步开始出错，去括号时漏乘2． 正确的变形过程如下： 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以5，得． 【题型 3】 含括号的一元一次方程求解（核心基础） 【例题3】（25-26七年级下·全国·课后作业）列方程求解： （1）当x取何值时，代数式和的值相等？ （2）当y取何值时，代数式的值比的值大3？ 【答案】（1）；（2） 解：（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在解此方程的过程中，“”代表的内容是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程的方法．根据移项，合并同类项，系数化为1，即可得到答案． 解：， 移项得，， 故选：A． 【变式2】（25-26七年级下·河南开封·期中）某同学在解方程去分母时，方程右边的忘记了乘3，因而求得方程的解为，则的值为_____． 【答案】2 【分析】方程右边的忘记了乘3，则所得的式子是：，再把代入即可得到一个关于的方程，即可求得的值． 解：方程右边的忘记了乘3，则所得的式子是：， 把代入方程，得， 解得：． 【变式3】（25-26六年级上·上海·课后作业）解方程 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键： （1）去括号，移项，合并，系数化为1，进行求解即可； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可； 解：（1）， ， ， ， 解得； （2） ， ， ， ， ． 易错提醒：括号外系数需乘遍括号内每一项，禁止漏乘常数项。 【题型 4】 含分母的一元一次方程求解（高频必考） 【例题4】（25-26七年级下·全国·课后作业）解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据解一元一次方程的步骤计算即可； （2）根据解一元一次方程的步骤计算即可． 解：（1）解：去分母得， 移项并合并同类项得， 系数化为1得； （2）解：去分母得， 去括号得， 移项并合并同类项得， 系数化为1得． 【变式1】（25-26六年级上·上海宝山·期末）对于方程，去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次方程（二）-去括号，根据去括号法则进行分析，即可作答． 解：∵， ∴去括号得， 故选：D． 【变式2】（26-27七年级上·全国·课后作业）依据下列解方程的过程，请在前面括号内填写变形步骤，在后面括号内填写变形依据． 解：原方程可变形为，____________， 去分母，得，____________， 去括号，得，_______________， 得，______________， ___________，得， ___________，得．____________ 【答案】 分数的基本性质 等式的性质2 去括号法则或分配律 移项 合并同类项 系数化为1 等式的性质2 【分析】先利用分数的基本性质把方程化为：，再去分母，去括号，移项，合并同类项，把未知数的系数化“”，从而可得答案. 解：原方程可变形为，（分数的基本性质）， 去分母，得，（等式的性质2）， 去括号，得，（去括号的法则或乘法的分配律）， 得，（移项）， （合并同类项），得， （把未知数的系数化为“”），得．（等式的性质2） 故答案为：分数的基本性质；等式的性质2；去括号法则或分配律；移项；合并同类项；系数化为1；等式的性质2. 【点拨】本题考查的是解一元一次方程的步骤及依据，掌握解一元一次方程的每一步的依据是解题的关键. 【变式3】（24-25七年级上·辽宁大连·阶段检测）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤是解题的关键． （1）先通过去分母消除分数系数，再依次进行去括号、移项、合并同类项、系数化为的运算，求出方程的解； （2）先确定各分母的最小公倍数进行去分母，再通过去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤求解方程． 解：（1）解： ； （2）解： ． 重点警示：去分母时，等式右侧的常数项1必须乘公倍数6，是最高频漏分易错点。 四.经典题型精析（巩固提升） 【题型 5】 解含分母为小数的一元一次方程（拔高题型） 【例题5】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： （1）． （2）； （3）． （4）． 【答案】（1）；（2）（3）；（4） 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的解题步骤． （1）去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化1即可． （2）先化简，再按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可； （3）先将方程中的分数化成整数，然后再按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可． （4）先根据分数的性质，将方程化简，再按照去括号，移项，合并同类项，化系数为1的步骤求解即可． 解：（1）解：， 乘2得：， 乘3得：， 移项、合并同类项得：， 乘4得：， ， ． （2）解：， ， ， ， ， ， ， ． （3）解：， ， ， ， ， ． （4）解： ∴， 化简得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 【变式1】（25-26六年级下·全国·课后作业）把方程去分母，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程去分母的运算，先确定分母的最小公倍数，再给方程两边每一项同乘该数，同时注意括号与符号的处理． 解：∵方程分母2和6的最小公倍数是6， ∴给方程两边同时乘以6，得 ， 化简得， 故选：D． 【变式2】（25-26七年级下·重庆·期中）已知关于x的方程的解为负整数，则所有满足条件的整数a的和为________． 【答案】 【分析】先解关于的一元一次方程，用含的式子表示出，再根据方程的解为负整数且为整数，确定所有满足条件的的值，最后计算的值的和即可． 解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得， ∵方程的解为负整数，且a为整数， ∴是9的负整数约数，即的值为或或， 当时，解得，符合条件； 当时，解得，符合条件； 当时，解得，符合条件； 则所有满足条件的整数a的和为． 【变式3】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）解下列方程 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了一元一次方程的求解，涉及移项合并、去括号、分母化为整数等步骤；解题的关键是根据方程特点选择对应步骤（如含括号先去括号、含小数分母先化整数），再通过移项合并、系数化为1求解． （1）直接移项合并同类项，将含x的项移到左边、常数项移到右边，再系数化为1； （2）先去括号，再移项合并、系数化为1； （3）先将分母化为整数，再去分母、去括号、移项合并、系数化为1． （4）先将分母化为整数，再去分母、去括号、移项合并、系数化为1． 解：（1）解：， 移项：， 合并：， 系数化为1：． （2）， 去括号：， 合并：， 移项：， 合并：， 系数化为1：． （3）， 分母化整数：， 化简：， 合并：， 移项：， 系数化为1：． （4）， 分母化整数：， 去分母：， 去括号：， 合并：， 移项：， 系数化为1：． 【题型 6】 已知一元一次方程的解求参数 【例题6】（25-26七年级下·河南周口·期末）已知关于x的方程的解比关于x的方程的解大2，求a的值． 【答案】 【分析】分别解两个方程，根据两个方程的解的关系列方程并解方程即可求出a的值． 解：的解为， 方程的解为 由题意： 解得 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）把方程的分母化为整数，以下变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程，解决本题的关键是要注意把方程中分母化为整数再求解． 把方程中的分子与分母同时乘以一个数，使分母变为整数即可． 解：把 的分子与分母同时乘以得， 的分子分母同时乘以20得， 所以把方程的分母化为整数可得：， 故选：A． 【变式2】（25-26七年级上·重庆·期末）若有理数满足，则的值为__________． 【答案】1或9 【分析】本题考查含绝对值的方程、解一元一次方程、代数式求值，解绝对值方程需分情况讨论a的符号，然后解一元一次方程，最后代入a的值计算平方． 解：当时，，代入方程，得 解得，则； 当时，，代入方程得， 解得，则． 故答案为：1或9． 【变式3】（24-25七年级下·四川眉山·周测）已知关于方程与关于方程的解相同，求代数式的值. 【答案】16 【分析】先求出，再将代入，求出m的值，最后将代入代数式计算即可． 解：解，得 ， ∵关于方程与关于方程的解相同， ∴将代入，得 ， 解得， ∴ ． 【题型 7】 解含绝对值的一元一次方程（拔高题型） 【例题7】（25-26七年级下·全国·单元复习）解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）或；（2）或 【分析】利用绝对值的性质：若（），则，将绝对值方程转化为一元一次方程求解即可． 解：（1）解：对于方程， 由绝对值的性质可得， 当时，解得， 当时，解得， 即原方程的解为或． （2）解：对于方程， 两边同乘，得， 由绝对值的性质可得， 当时，解得， 当时，解得， 即原方程的解为或． 【变式1】（25-26七年级下·四川遂宁·期末）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两个方程结构的一致性，将第二个方程中的整体看作第一个方程中的，结合已知第一个方程的解即可求解． 解：观察关于的方程，其结构与已知关于的方程完全一致， ∵关于的一元一次方程的解为， ∴， 解得． 【变式2】（25-26七年级上·四川达州·期中）当的值为 25 时，代数式的值是（ ） A．51 B．15 C．51 或 D．15 或 【答案】C 【分析】本题考查了代数式求值，绝对值的意义．由得出，将变形为，利用整体代入法求值即可． 解：， ∴， ∴， 当时，， 当时，， ∴ 代数式的值为51或， 故选：C． 【变式3】（25-26七年级上·甘肃兰州·期末）解方程 （1）； （2）． 【答案】（1）或；（2）或 【分析】本题考查了解含绝对值的一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键． （1）根据题意，分类讨论当时，当时，化简原方程求解即可； （2）根据题意，分类讨论当时，当时，当时，化简原方程求解即可． 解：（1）解：， 当时，， 解得， 当时，， 解得， 综上，或； （2）解：， 当时，， 解得（不合题意，舍去）， 当时，， 解得， 当时，， 解得， 综上，或． 五.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级下·河南周口·期末）下列等式属于一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1，等号两边均为整式的方程，逐一判断各选项即可． 解：对选项A：含有两个未知数，不满足条件，不是一元一次方程； 对选项B：整理，去括号得，移项合并得，满足所有条件，是一元一次方程； 对选项C：中未知数最高次数为2，不满足条件，不是一元一次方程； 对选项D：中是分式，不是整式，不满足条件，不是一元一次方程． 2．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）已知是一元一次方程的解，则的值为（   ） A．4 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的解、代数式求值，理解方程的解满足方程是解答的关键． 将代入方程得到，再提取公因式2即可求解 解：∵是方程的解， ∴，即， ∴， ∴． 故选：A． 3．（25-26七年级下·山西临汾·期末）若代数式的值为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意列出一元一次方程，再解方程即可求解． 解：∵代数式的值为， ∴， 解得， ∴的值为． 4．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期中）解方程去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 解：∵原方程为 ， 根据去括号法则展开得：， 整理得. 5．（25-26七年级下·河南周口·期末）若关于的方程与的解相同，则的值为（     ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】根据同解方程的定义，先求出第一个方程的解，再将解代入第二个方程，即可求出的值． 解：解方程得， ∵ 方程与的解相同， ∴把代入，得， 解得． 6．（25-26七年级下·河南南阳·期末）把一元一次方程 去分母，变形正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 解：原方程为 ， ∵方程分母为和，最小公倍数是， ∴给方程两边每一项同时乘以去分母，得， ， 化简得 . 7．（25-26七年级下·河南新乡·期中）已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题可先将关于的方程变形为与已知方程结构相同的形式，再利用整体代换的思想，结合已知方程的解求解的值． 解：由，得． 关于的方程的解为， ， ． 8．（2026年河北省初中学业水平考试数学模拟试卷（二））在数轴上，点P表示的数为x，点Q表示的数为，且，则所有满足条件的x的和为（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题利用数轴上两点间距离的性质，即两点距离等于两点所表示数的差的绝对值，列出绝对值方程求解x，再计算所有x的和，即可得到答案． 解：∵数轴上两点的距离等于两点所表示数的差的绝对值，点P表示的数为x，点Q表示的数为，且， ∴，整理得， 分两种情况讨论： 当时，解得， 当时，解得， 则所有满足条件的的和为 ． 9．（25-26七年级下·四川乐山·阶段检测）下面是从小明同学作业本中摘抄的内容，其中正确的是（    ） A．方程，移项得： B．方程，去分母得 C．方程，去括号得 D．方程，系数化为得 【答案】D 解：对于A，∵方程，移项时移项要变号，∴正确移项结果为，原变形错误，不符合题意； 对于B，∵方程，去分母时需要给等式两边同时乘分母的最小公倍数6，∴正确去分母结果为，原变形错误，不符合题意； 对于C，∵方程，去括号时需要给括号内每一项都乘括号外的系数，∴正确去括号结果为，原变形错误，不符合题意； 对于D，∵方程，系数化为1需要给等式两边同时除以9，∴得，原变形正确，符合题意． 10．（25-26八年级下·江西吉安·期中）方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先提取公因式x，再利用裂项相消法化简左边的多项式，最后解一元一次方程即可得到结果． 解： 解得：． （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级下·全国·期末）请你写出一个解为，且未知数的系数为2的一元一次方程_____． 【答案】（答案不唯一） 【分析】一元一次方程指只含有一个未知数，未知数的最高次数为且两边都为整式的等式，结合题干给出的解和未知数系数写出符合要求的方程即可． 解：根据题意，满足解为且未知数系数为的一元一次方程有无数个， 例如：（答案不唯一）． 12．（25-26七年级上·陕西榆林·期末）写出一个关于y的一元一次方程，使它的解为，则这个方程可以是________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查一元一次方程的定义，掌握只含有一个未知数（元），并且未知数的次数是1的方程叫做一元一次方程是解题关键． 根据定义结合方程解的定义即可求解． 解：由题意，方程的解为， 因此可构造方程（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 13．（25-26七年级下·广东广州·期末）已知，且与互为相反数，则______． 【答案】 解：与互为相反数， ，即， 将代入得， 合并同类项得， 系数化为得， 14．（25-26七年级下·河南周口·期末）方程：的解为______． 【答案】 解：， ， ， . 15．（25-26七年级下·河南鹤壁·阶段检测）已知与相等，则m的值为________． 【答案】2 【分析】根据题意，由两个代数式相等，可建立关于的一元一次方程，按照一元一次方程的解法求解即可得到结果． 解：根据题意列方程得， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 16．（25-26七年级下·河南周口·期末）若方程的解为，则_____ 【答案】1 解：， 去分母得，， ∴， ∵解为， ∴， ∴． 17．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）若关于的方程的解是负整数，且也是整数，则满足条件的所有的值为_________． 【答案】， 【分析】先解关于的一元一次方程，用含的代数式表示出，根据方程的解是负整数，为整数，可知是的负因数，进而求出所有满足条件的的值． 解： 去分母，得 去括号，得 移项合并同类项，得 解得 方程的解是负整数，是整数 是的负因数，即或 当时， 解得，符合题意 当时， 解得，符合题意 故满足条件的所有的值为，． 18．（25-26六年级下·山东泰安·期中）我们知道 ，因此关于x的方程 的解是_______． 【答案】 【分析】把方程化为，再进一步求解即可. 解：∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：. （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26六年级下·山东淄博·期中）已知：是关于的一元一次方程． （1）求出的值； （2）求出方程的解． 【答案】（1）；（2） 解：（1）解：∵是关于的一元一次方程， ∴，， 解得：； （2）解：由（1）可知：方程为， 移项、合并同类项得：， 系数化为1得：． 20．（本小题满分8分）（25-26六年级下·山东泰安·期末）解方程 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 解：（1）解： 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； （2）解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 21．（本小题满分10分）（25-26六年级下·山东泰安·期末）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 解：（1）解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项合并同类项得，， 系数化为1得，； （2）解：， 整理得，， 去分母得，， 去括号得，， 移项合并同类项得，， 系数化为1得，． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级下·重庆·期中）已知代数式，，解答下列问题： （1）若，则为何值时，代数式与相等？ （2）若关于的方程的解使得，两个代数式的值互为相反数，求的值． 【答案】（1）的值为8时，这两个代数式的值相等；（2）的值为9 【分析】（1）根据题意，列出方程，即可求解； （2）先解出关于x的方程，再根据关于x的方程的解使得，两个代数式的值互为相反数，可得到关于m的方程，即可求解． 解：（1）解：根据题意，得． 解这个方程，得．             答：的值为8时，这两个代数式的值相等． （2）解：解方程，得．             由代数式和的值互为相反数，得：．    将代入上式中，得 ．         解这个方程，得．             答：的值为9． 23．（本小题满分10分）（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算题： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】根据解一元一次方程的步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为，进行计算即可． 解：（1）解：， ， ， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ． （3）解：， ， ， ， ． （4）解：， ， ， ， ， ． 24．（本小题满分12分）（24-25七年级下·吉林四平·期末）先阅读下列解题过程，然后解答问题． 解方程：． 解：当时，原方程可化为，解得； 当时，原方程可化为，解得． 所以原方程的解是或． （1）解方程：． （2）已知关于的方程． ①若方程无解，则的取值范围是________； ②若方程有解，则的取值范围是________． 【答案】（1）或；（2）①；②． 【分析】（1）首先认真审题，根据绝对值的意义去绝对值，化为一元一次方程即可求解； （2）根据绝对值的性质分类讨论进行解答． 解：（1）解：当时，原方程可化为为，解得； 当时，原方程可化为为，解得； ∴原方程的解是或； （2）解：∵， ∴当，即时，方程无解； 当，即时，方程有解； 故答案为：①；②． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第9讲）——一元一次方程的解法（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.预习目标与填空 1 1. 预习目标 1 2.预习前置：自主填空梳理 2 【知识点一】 一元一次方程定义 2 【知识点二】 移项 2 【知识点三】 解一元一次方程完整步骤及规范 3 二.经典题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】 一元一次方程及其解 3 【题型 2】 基础一元一次方程求解（无分母无括号） 3 【题型 3】 含括号的一元一次方程求解（核心基础） 4 【题型 4】 含分母的一元一次方程求解（高频必考） 5 三.经典题型精析（巩固提升） 5 【题型 5】 解含分母为小数的一元一次方程（拔高题型） 5 【题型 6】 已知一元一次方程的解求参数 6 【题型 7】 解含绝对值的一元一次方程（拔高题型） 6 四.同步自测 7 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 7 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 8 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 8 预习方法：读概念→理解定义性质→学例题→练变式→同步自测 一.预习目标与填空 1. 预习目标 （1）理解方程、一元一次方程的定义，会判断一元一次方程 （2）熟练掌握解方程五步：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1 （3）攻克含分数、含括号、含小数的复杂方程 （4）重难点：去分母漏乘、移项变号、小数方程化简技巧 2.预习前置：自主填空梳理 请结合课本内容，自主完成以下填空，提前夯实本节核心概念： （1）只含有_______个未知数，并且未知数的次数是________，等号两边都是________的方程，叫做一元一次方程。 （2）解一元一次方程的五大步骤：去分母→______→_______→______→系数化为1。 （3）移项法则：把方程中的某一项改变________后，从方程的一边________另一边，移项必须________。 答案：（1)一；1；整式 (2) 去括号；移项；合并同类项 (3) 符号；移到；变号 二.教材知识梳理与解读 【知识点一】 一元一次方程定义 一般地，如果方程中只含有一个未知数(元)，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫作一元一次方程 【要点提示】 1.一元一次方程判定条件：① 只含一个未知数；② 未知数最高次数为1；③ 等式两边均为整式（分母不含未知数）。 2. 标准形式：（a、b为常数，a不能为0，否则未知数消失，不再是一元一次方程）。 3. 易错辨析：不是一元一次方程（分母含未知数，不是整式方程）；不是一元一次方程（未知数次数为2）。 【知识点二】 移项 定义：把方程或不等式一边的某一项，改变符号后移到等号（不等号）另一边，这种恒等变形操作叫做移项。 【要点提示】（1）移项必须变号：加变减、减变加；正数变负数，负数变正数；（2）不移的项符号保持不变；（3）移项依据：等式基本性质 1（等式两边同时加或减同一个代数式，等式仍成立）。 【知识点三】 解一元一次方程完整步骤及规范 （1）去分母——方程两边同乘所有分母的最小公倍数，消去分母；注意：不含分母的常数项也要乘，杜绝漏乘。 （2）去括号——依据去括号法则，正号不变、负号全变，系数遍乘每一项，防止漏乘、错号。 （3）移项——含未知数的项移到左边，常数项移到右边；移项必变号，不移项不变号。 （4）合并同类项——化为最简形式。 （5）系数化为1——方程两边同时除以未知数系数a，得。 三.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】 一元一次方程及其解 【例题1】（25-26七年级下·湖南衡阳·阶段检测）已知方程是关于x的一元一次方程，求m的值，并写出其方程． 【变式1】（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）下列各式中是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·全国·课后作业）（1），________； （2），________ （3），________． 【变式3】（25-26七年级上·江苏常州·期中）若是关于的一元一次方程 （1）求的值，并写出这个一元一次方程； （2）判断是否为方程的解． 【题型 2】 基础一元一次方程求解（无分母无括号） 【例题2】（25-26七年级上·河北张家口·期末）解下列方程，并指出每一步的依据． （1） （2） 【变式1】（25-26七年级下·福建泉州·期中）下列方程中，解为的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级上·北京西城·期中）阅读下面解方程的步骤，完成填空： 解：去括号，得． 移项，得．依据________； 合并同类项，得． 系数化为1，得________． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）在把方程化成的形式时，小桔同学的做法如下： 去括号，得，① 移项，得，② 合并同类项，得，③ 两边都除以9，得．④ 上述变形是从第几步开始出错的？出现的错误是什么？请改正，并给出这个方程的正确变形过程． 【题型 3】 含括号的一元一次方程求解（核心基础） 【例题3】（25-26七年级下·全国·课后作业）列方程求解： （1）当x取何值时，代数式和的值相等？ （2）当y取何值时，代数式的值比的值大3？ 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在解此方程的过程中，“”代表的内容是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·河南开封·期中）某同学在解方程去分母时，方程右边的忘记了乘3，因而求得方程的解为，则的值为_____． 【变式3】（25-26六年级上·上海·课后作业）解方程 （1） （2） 易错提醒：括号外系数需乘遍括号内每一项，禁止漏乘常数项。 【题型 4】 含分母的一元一次方程求解（高频必考） 【例题4】（25-26七年级下·全国·课后作业）解下列方程： （1）； （2）． 【变式1】（25-26六年级上·上海宝山·期末）对于方程，去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27七年级上·全国·课后作业）依据下列解方程的过程，请在前面括号内填写变形步骤，在后面括号内填写变形依据． 解：原方程可变形为，____________， 去分母，得，____________， 去括号，得，_______________， 得，______________， ___________，得， ___________，得．____________ 【变式3】（24-25七年级上·辽宁大连·阶段检测）解方程： （1）； （2）． 重点警示：去分母时，等式右侧的常数项1必须乘公倍数6，是最高频漏分易错点。 四.经典题型精析（巩固提升） 【题型 5】 解含分母为小数的一元一次方程（拔高题型） 【例题5】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： （1）． （2）； （3）． （4）． 【变式1】（25-26六年级下·全国·课后作业）把方程去分母，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·重庆·期中）已知关于x的方程的解为负整数，则所有满足条件的整数a的和为________． 【变式3】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）解下列方程 （1） （2） （3） （4） 【题型 6】 已知一元一次方程的解求参数 【例题6】（25-26七年级下·河南周口·期末）已知关于x的方程的解比关于x的方程的解大2，求a的值． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）把方程的分母化为整数，以下变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·重庆·期末）若有理数满足，则的值为__________． 【变式3】（24-25七年级下·四川眉山·周测）已知关于方程与关于方程的解相同，求代数式的值. 【题型 7】 解含绝对值的一元一次方程（拔高题型） 【例题7】（25-26七年级下·全国·单元复习）解下列方程： （1）； （2）． 【变式1】（25-26七年级下·四川遂宁·期末）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·四川达州·期中）当的值为 25 时，代数式的值是（ ） A．51 B．15 C．51 或 D．15 或 【变式3】（25-26七年级上·甘肃兰州·期末）解方程 （1）； （2）． 五.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级下·河南周口·期末）下列等式属于一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）已知是一元一次方程的解，则的值为（   ） A．4 B． C．8 D． 3．（25-26七年级下·山西临汾·期末）若代数式的值为，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期中）解方程去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·河南周口·期末）若关于的方程与的解相同，则的值为（     ） A． B． C． D．0 6．（25-26七年级下·河南南阳·期末）把一元一次方程 去分母，变形正确的是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·河南新乡·期中）已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 8．（2026年河北省初中学业水平考试数学模拟试卷（二））在数轴上，点P表示的数为x，点Q表示的数为，且，则所有满足条件的x的和为（   ） A． B． C．0 D．1 9．（25-26七年级下·四川乐山·阶段检测）下面是从小明同学作业本中摘抄的内容，其中正确的是（    ） A．方程，移项得： B．方程，去分母得 C．方程，去括号得 D．方程，系数化为得 10．（25-26八年级下·江西吉安·期中）方程的解是（   ） A． B． C． D． （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级下·全国·期末）请你写出一个解为，且未知数的系数为2的一元一次方程_____． 12．（25-26七年级上·陕西榆林·期末）写出一个关于y的一元一次方程，使它的解为，则这个方程可以是________．（写出一个即可） 13．（25-26七年级下·广东广州·期末）已知，且与互为相反数，则______． 14．（25-26七年级下·河南周口·期末）方程：的解为______． 15．（25-26七年级下·河南鹤壁·阶段检测）已知与相等，则m的值为________． 16．（25-26七年级下·河南周口·期末）若方程的解为，则_____ 17．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）若关于的方程的解是负整数，且也是整数，则满足条件的所有的值为_________． 18．（25-26六年级下·山东泰安·期中）我们知道 ，因此关于x的方程 的解是_______． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26六年级下·山东淄博·期中）已知：是关于的一元一次方程． （1）求出的值； （2）求出方程的解． 20．（本小题满分8分）（25-26六年级下·山东泰安·期末）解方程 （1） （2） 21．（本小题满分10分）（25-26六年级下·山东泰安·期末）解方程： （1）； （2）． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级下·重庆·期中）已知代数式，，解答下列问题： （1）若，则为何值时，代数式与相等？ （2）若关于的方程的解使得，两个代数式的值互为相反数，求的值． 23．（本小题满分10分）（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算题： （1） （2） （3） （4） 24．（本小题满分12分）（24-25七年级下·吉林四平·期末）先阅读下列解题过程，然后解答问题． 解方程：． 解：当时，原方程可化为，解得； 当时，原方程可化为，解得． 所以原方程的解是或． （1）解方程：． （2）已知关于的方程． ①若方程无解，则的取值范围是________； ②若方程有解，则的取值范围是________． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $