第12讲 用一元一次方程解决问题 -（暑假衔接讲义） 2026--2027学年苏科版七年级数学上册

第12讲用一元一次方程解决问题（3大知识点+15大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 配套问题(一元一次方程的应用) 典型例题二 工程问题(一元一次方程的应用) 典型例题三 销售盈亏(一元一次方程的应用) 典型例题四 比赛积分(一元一次方程的应用) 典型例题五 方案选择(一元一次方程的应用) 典型例题六 数字问题(一元一次方程的应用) 典型例题七 几何问题(一元一次方程的应用) 典型例题八 动点问题(一元一次方程的应用) 典型例题九 和差倍分问题(一元一次方程的应用) 典型例题十 电费和水费问题(一元一次方程的应用) 典型例题十一 行程问题(一元一次方程的应用) 典型例题十二 比例分配(一元一次方程的应用) 典型例题十三 日历问题(一元一次方程的应用) 典型例题十四 古代问题(一元一次方程的应用) 典型例题十五 其他问题(一元一次方程的应用) 知识点一：列方程解应用题的步骤 审：弄清已知什么，求什么及其数量关系； 找：找出能表示题目全部含义的一个数量关系； 设：设未知数，可根据已知和所求选择直接假设或间接假设； 列：根据相等关系列出方程； 解：解方程； 检：检验求得的解是否正确及其是否符合实际意义； 答：写出答案． 【即时训练】 1．（2026·七年级上 河北邯郸·单元测试）现有一个水池，若单独打开甲进水管，1个小时可以注满水池；若单独打开乙进水管，个小时可以注满水池．若甲、乙两管同时打开，几个小时可以注满水池？设若甲、乙两管同时打开，个小时可以注满水池，则（   ） A． B． C． D． 2．（26-27七年级上·全国·暑期初衔接）张欣和李明相约到图书城去买书． 张欣：“听说花20元办张会员卡，买书可以享受8折优惠？” 李明：“是的，我上次买了几本书，加上办卡的费用，还省了12元．” 李明上次所买书籍的原价是______元． 知识点二：分析问题中的等量关系 1. 逐步列式法：例如，的2倍比大5．首先写出“的2倍”，即，它比大5，那么“大－小＝5”，即． 2. 列表分析法：用行（或列）表示不同的项目或种类，用列（或行）表示相应的数量． 3. 画图分析法：用图形表示题目中的数量关系．例如，行程问题中常用线段示意图帮助分析相等关系． 【即时训练】 1．（23-24七年级上·全国·暑期衔接）为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接受方由密文—明文（解密）．已知加密规则为：明文a，b，c，对应，，．例如明文1，2，3对应的密文2，8，18．如果接收方收到的密文7，18，15，则解密得到的明文为（    ） A．4，5，6 B．6，7，2 C．2，6，7 D．7，2，2 2．（23-24七年级上·宁夏银川·暑期衔接）把长的铁丝围成一个长方形，使长比宽多，长是____． 知识点三：常见问题中的等量关系 1. 配套问题 相等关系：加工总量成比例，若一件产品需要A，B两种配件配成，A，B两种配件的数量比是，则A种配件总数量×b＝B种配件总数量×a． 2. 工程问题 （1）基本相等关系：工作量＝工作效率×工作时间，工作时间＝，工作效率＝； （2）当问题中总工作量未知而又不求总工作量时，要把总工作量看作整体1； （3）常见的相等关系为总工作量＝各部分工作量之和． 3. 营销问题 （1）相等关系：①利润＝售价－进价；②；③售价＝进价×（1＋利润率）． （2）打折：n折即标价的，如7折即标价的（或70%），其中n叫折数．实际售价＝标价×． 4. 分段计费问题 常见类型：我国公民个人所得税按分段累进税制计算；社会医疗保险实行分段累进按比例报销制度；为鼓励节约用水、用电、用气，水费、电费、煤气费实行分段价格收费标准；某些运营商的话费、出租车费实 行分段计费；商家为促销商品，实行分段优惠销售等．解决这些分段讨论问题的关键是理顺部分与整体的关系：①各段费用之和=总费用；②每一段的计费标准不同． 5. 球赛积分问题 点相等关系：（1）比赛总场数＝胜场数＋平场数＋负场数； （2）比赛总得分＝胜场总得分＋平场总得分＋负场总得分． 6. 行程问题 基本相等关系：路程＝速度×时间；速度＝路程÷时间；时间＝路程÷速度． （1）直线形相遇问题：甲走的路程＋乙走的路程＝两地之间的路程． （2）直线形追及问题：快者走的路程＝慢者走的路程＋两人初始路程差； 快者走的路程＝慢者先走的路程＋慢者后走的路程． （3）环形相遇问题：同起点、同时间、背向出发，首次相遇时，等量关系是二者合走了1圈；从出发到相遇所用时间＝；第 n次相遇时，二者合走了n圈． （4）环形追及问题：同起点、同时间、同向出发，首次相遇时，等量关系是快者比慢者多走1圈；追及所用时间＝；第n次相遇时，快者比慢者多走n圈． 7. 利息问题 （1）本金×利率×期数＝利息（若未特别说明，银行定期存款的利率是指年利率，期数是年数)． （2）本金＋利息＝本息和；本息和＝本金×（1＋利率×期数）． 8. 年龄问题 “年龄问题”的基本规律是不管时间如何变化，两人的年龄差总是不变的，抓住“年龄差”是解答年龄问题的关键． 9. 方案决策问题 方案决策问题是实际生活中常见的问题，用一元一次方程解最佳方案问题的一般步骤：（1）列代数式； （2）列方程；（3）取特殊值试解；（4）决策． 【即时训练】 1．（2026·七年级上 辽宁大连·暑期衔接）我国元代数学家朱世杰所著的《算学启蒙》（1299年）中有这样一个问题，“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之”．其大意为：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·七年级上 陕西西安·单元测试）跑步是学校常见的体育锻炼方式，有利于提高学生的身体素质．小悦每秒跑2.4米，小秦每秒跑2.6米，两人绕操场跑道同时同地反向而行，第一次相遇时小秦比小悦多跑16米，第一次相遇他们用了________秒． 【典型例题一 配套问题(一元一次方程的应用)】 1．（2026·七年级上 四川成都·暑期衔接）某工厂承接甲、乙两种零件加工任务，已知加工1个甲种零件需耗材5元，加工1个乙种零件需耗材3元．若该工厂共加工甲、乙两种零件40个，且购买耗材总费用为170元，设加工甲种零件x个，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·河南商丘·暑期衔接）在红色文化纪念馆，同学们可以制作红旗来表达对革命先烈的敬意和缅怀之情．已知1张黄色卡纸可制作3个大星星或8个小星星，1个大星星配4个小星星为一套．现有30张卡纸，设用x张卡纸制作大星星，其余卡纸制作小星星，恰好配套组成国旗上的五个星星．则可列方程为（   ） A． B． C． D． 1．（25-26七年级上·重庆·暑期衔接）博物馆正在修缮一座宫殿，需要制作一批斗拱．已知每个斗拱由1个“昂”和2个“拱”配套组成，一名工匠每天能制作20个“昂”或30个“拱”，现有40名工匠，为使每天制作的“昂”和“拱”刚好配套，设安排名工匠加工“昂”，依题意列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·福建福州·暑期衔接）我国古代数学名著《算法统宗》中记载了这样一道题，原文是：铧工一人，日成犁铧三；辕工一人，日成犁辕六．一犁需铧一、辕二．共用工十人，犁铧犁辕恰配套，问二工各几何？其大意是：1名铧工每日做3个犁铧，1名辕工每日做6个犁辕．1张犁需1个犁铧和2个犁辕．共10名工人，做出的犁铧和犁辕恰好配套，求铧工、辕工人数各是多少？设铧工x人，依题意可列方程（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·黑龙江伊春·阶段检测）某工厂生产A、B两种零件，每个A零件需要2千克甲材料，每个B零件需要3千克甲材料．现有千克甲材料，设生产A零件用x千克甲材料，恰好使生产的A、B零件配套(1个A零件配1个B零件)，则可列方程为___________． 4．（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）一个校办厂购进了5立方米的木材，厂长决定做成方桌销售，已知一张方桌由一张桌面和4个桌腿做成，经试验发现立方米的木材可以做张桌面或个桌腿，问工厂能做多少张方桌？ 【典型例题二 工程问题(一元一次方程的应用)】 1．（24-25七年级上·海南省直辖县级单位·期中）甲、乙两个工程队共有100人，且甲队的人数比乙队的人数的4倍少10人．如果设乙队的人数为x人，则所列的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·北京·暑期衔接）小区需制作一块广告牌，请来两名工人．已知甲单独完成需4天，乙单独完成需6天，问：两人合作需几天完成？针对小林提出的问题，设两人合作需x天完成，根据题意，可列方程为______（列出的方程不需要化简） 1．（25-26七年级上·全国·暑期衔接）湘绣是中国优秀的民族传统工艺之一，湖南某文创街区上分布了很多湘绣手工店．某湘绣手工店接了一个订单，预计甲店员单独做天可完成，乙店员单独做天可完成．现甲先做天后，顾客临时加急，店长安排乙加入合作，则完成这个订单共需要（   ） A．天 B．天 C．天 D．天 2．（2024·七年级上 浙江·单元测试）学校要制作一块广告牌，请来两名工人，已知甲单独完成需4天，乙单独完成需6天，若先由乙做1天，再两人合作，完成任务后共得到报酬900元，若按各人的工作量计算报酬，则分配方案为（    ） A．甲360元，乙540元 B．甲450元，乙450元 C．甲300元，乙600元 D．甲540元，乙360元 3．（25-26七年级上·重庆·单元测试）有一个温泉游泳池，池底有泉水不断涌出，要想抽干满池的水，10台抽水机需工作8小时，9台抽水机需工作9小时，为了保证游泳池水位不变（池水既不减少，也不增多），则向外抽水的抽水机需( )台． 4．（25-26七年级上·陕西西安·期中）智能机器人分拣货物，每分钟可分拣件货物，机器人先单独工作一段时间，之后人工辅助分拣货物，每分钟共分拣件．若总共用时50分钟，一共分拣件货物，求机器人单独工作的时长． 【典型例题三 销售盈亏(一元一次方程的应用)】 1．（25-26七年级上·河北保定·阶段检测）为庆祝九三阅兵，某红色主题文创店推出“致敬英雄”促销活动，所有阅兵主题纪念徽章按原价打九折销售仍可获利．军军的爸爸购买一枚“胜利日阅兵”纪念徽章，打折后支付99元，该文创店这枚纪念徽章的进价是（   ） A．110元 B．100元 C．90元 D．81元 2．（2026·七年级上 陕西商洛·暑期衔接）陕西富平柿饼霜厚肉糯、甜润无涩．某商家购进一批柿饼，以每盒22元的价格出售，每盒可获利，则该批柿饼的进价为每盒________元． 1．（25-26七年级上·山西大同·阶段检测）某体育用品店购进一批运动鞋，每双进价为120元．为迎接新学期促销，店主按进价的进行标价．活动期间，为吸引顾客，商店决定打折销售，但希望每双鞋仍能获得的利润．若设商店打x折销售，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·安徽蚌埠·阶段检测）文具店有两种不同品牌的地球仪．某天这两种地球仪都以60元的价格各售出一台．其中一台盈利，一台亏本，则文具店（　　） A．不赔不赚 B．赔了 C．赚了 D．说不清 3．（24-25七年级上·安徽合肥·单元测试）某商场服装部处理一批上衣，经计算如果打九折出售可以获利元，如果打八折出售就要亏本元，则这批上衣打九折后的总价是( )元． 4．（2026·七年级上 陕西西安·阶段测试）2026年春晚武术表演的宇树科技GI EDU U2进阶版机器人深受大家喜爱，某科技公司也购买了A、B两种型号的同款机器人，已知A型号机器人的单价比B型号机器人的单价多4万元，且5台A型号机器人的总价钱和6台B型号机器人的总价钱相等．请问A、B两种型号机器人的单价分别是多少万元？ 【典型例题四 比赛积分(一元一次方程的应用)】 1．（23-24七年级上·广东江门·暑期衔接）2022年11月足球世界杯又一次让人们沉浸在了足球竞技的美好中，某校举办足球比赛，计分规则：胜一场积2分，负一场扣1分，平场积0分．如果某队在本次比赛共参赛10场（无平场），积14分，那么该队胜场数为（） A．9 B．8 C．7 D．6 2．（25-26七年级上·四川绵阳·暑期衔接）2025年秋四川省城市足球联赛（“川超”）2025—2026赛季正式开始，第一阶段为分区赛，采用积分制，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，截至11月9日，川北赛区绵阳九州长虹队在7场比赛以不败战绩获积分15分，则绵阳九州长虹队在前7场比赛中共获胜了______场． 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）某次知识竞赛由40道选择题组成，答对一道得5分，答错一道扣3分，全部做完后（不能漏答）才可以提交试题，小明提交试题后显示得分为152分，设小明答对了道题，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·云南昆明·单元测试）6位中国象棋选手进行比赛，每两人之间比赛一局，如果是平局，参赛选手各得1分；否则赢者得3分，输者得0分．最后六位选手的得分之和为39分，则平了（   ）局． A．3 B．4 C．5 D．6 3．（23-24七年级上·贵州遵义·单元测试）在2022年举办的红花岗区中小学生校园篮球赛中，小李表现出色，投中了9个球（不含罚球得分），总共得分20分.他一共投中了 _____个两分球，_____个三分球． 4．（25-26七年级上·全国·单元测试）在一次数学测试中，老师出了25道选择题，每道题都有四个选项，有且只有一个选项是正确的．老师的评分标准：答对一道题给4分，不答或答错一题倒扣1分．若某位同学得了90分，则这位同学答对了几道题？ 【典型例题五 方案选择(一元一次方程的应用)】 1．（2025七年级上·广东深圳·专题练习）某校组织师生研学，若租用49座客车若干辆，刚好坐满；若租用54座客车，可比49座客车少租两辆且空余17个座位．若设租用的49座客车有辆，则可列方程（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·四川广安·暑期衔接）活动大促期间，某商店推出两种优惠方案．方案一：购买的所有商品一律打8折；方案二：购物满150元后，超过部分享受7折优惠．一次性购物满_____元时，两种方案最终付款金额相等． 1．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）某书店推出两种购书方案：①单买，每本按标价10元销售；②会员制，缴纳20元会员费后每本按标价的8折销售．若小明购买x本图书，两种方案费用相等时x的值为：（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）某同学花了100元购买游泳馆会员证（只限本人使用），凭证入馆每次收费5元，否则每次收费9元．若购买会员证与不购买会员证花费相同，则该同学去游泳馆的次数为（   ） A．23 B．24 C．25 D．26 3．（23-24七年级上·甘肃武威·暑期衔接）某班全体同学参加义务植树活动，如果每人种6棵树，那么剩余15棵，如果每人种7棵树，那么还差33棵，问这个班共有人，树苗共有__________棵． 4．（24-25七年级上·广东河源·暑期衔接）“华南最大的人工湖”——万绿湖风景名胜区，碧波万顷，生态优美，是国家5A级旅游景区，暑假期间，景区门票定价35元/张，团队票可享受两种优惠方案： 方案一：全体人员享受门票8折优惠． 方案二：团队中4人可免票，其余成员享受门票9折优惠． (1)某团队共有40人，为节省购票费用，应选择哪种购票方案？ (2)如果该团队人数为x人（），当x为多少时，购票费用刚好相同？ 【典型例题六 数字问题(一元一次方程的应用)】 1．（25-26七年级上·河南周口·暑期衔接）将连续的正整数1，2，3，…排成如图1所示的数表，现在用如图2所示的方框在图1中框出5个数字，分别为、、、、，若，则的值为（   ） A．1001 B．1000 C．999 D．998 2．（2026·七年级上 四川内江·暑期衔接）对于一个四位自然数M，它的各个位置上的数字不同且都不为0．若十位数字是千位数字的2倍，个位数字比百位数字多2，则称M为“博文数”．如：四位数4183，∵，，∴4183是“博文数”．若四位自然数是“博文数”，则这个数是________． 1．（23-24七年级上·全国·单元测试） 与 的和为 ，则 （   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·山东滨州·阶段检测）循环小数，可以被等同表示为，a与b为互素正整数，则的值为（    ） A．1100 B．1456 C．1561 D．1461 3．（25-26七年级上·浙江温州·单元测试）两数相除，被除数、除数、商、余数之和等于75，如果把被除数和除数都扩大5倍，再相除得2余10，那么原来这两个数是( )、( )． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）有五个连续的整数，设其中最小的数为n． (1)请写出这五个数的和． (2)这五个数各是什么数时，它们的和等于300？ 【典型例题七 几何问题(一元一次方程的应用)】 1．（25-26七年级上·河北保定·暑期衔接）如图1，A，B两点间的线段上排列着四位同学（同学看作点，不计长度），每两位同学间的距离相等．如图2，增加三位同学再调整位置后，每两位同学间的距离仍相等，且每两位同学间的距离减少．若设A，B两点间的距离为，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·安徽合肥·暑期衔接）实施乡村振兴战略是新时代“三农”工作总抓手，安徽作为农业大省，正在奋力推动乡村振兴走在全国前列．某村制定农户养殖奖励方案，每平方米每月补助金为10元．如图，王大爷计划利用长35米的竹篱笆，围成一个长边靠墙的长方形养鸡场，墙的长度为14米，围成的养鸡场的长比宽多2米，王大爷每月能领取养殖补助金为__________． 1．（25-26七年级上·云南文山·暑期衔接）若长方形的长为，宽为，其周长为，则的值为（    ） A．13 B．11 C．6 D．4 2．（25-26七年级上·安徽六安·期中）将边长为的正方形卡片和边长为的正方形卡片按如图方式叠放在一起，重叠部分为长方形．若整个图形的外围周长恰好等于重叠部分周长的3倍，则重叠部分的周长为（    ） A． B． C． D． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）小明爸爸想用长的栅栏靠墙围一个如图所示的正方形养鸡场，中间用栅栏隔开，并在其中一侧开2个宽的小门，则养鸡场的面积为___________． 4．（25-26七年级上·江苏徐州·暑期衔接）一张长方形纸片，经过n次裁剪（每次沿直线剪去一个正方形），若剩下的图形为正方形，则称该长方形为“n阶奇异长方形”． 例如：图1为“1阶奇异长方形”（①、②为正方形）； 图2的2个图形均为“2阶奇异长方形”（③、④、⑤、⑥、⑦、⑧为正方形）． 设“n阶奇异长方形”的长为a，宽为． (1)若，则图1中b的值为______，图2中b的值为______与______； (2)若图3为“4阶奇异长方形”，则的值为______； (3)若，，则b的值为______（写出所有可能的结果）． 【典型例题八 动点问题(一元一次方程的应用)】 1．（23-24七年级上·湖南郴州·暑期衔接）如图，在数轴的原点处有甲、乙两只电子蚂蚁，它们都向右爬行，已知甲蚂蚁的速度是每秒爬2个单位长度，乙蚂蚁的速度是每秒爬3个单位长度，现在甲蚂蚁先爬行5秒，乙蚂蚁再出发，当乙蚂蚁追上甲蚂蚁时，此时甲、乙蚂蚁的位置用有理数表示为（    ） A．15 B．25 C．30 D．50 2．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段检测）已知数轴上两点A、B表示的数为和8．甲蚂蚁从A出发，以3个单位长度/秒向右运动；同时乙蚂蚁从B出发，以2个单位长度/秒向左运动．甲蚂蚁到原点后立即返回．向相反方向运动．甲乙蚂蚁速度一直不变，设从出发开始运动时间为t秒，则经过______秒甲乙蚂蚁相距8个单位长度． 1．（2023·七年级上 河北沧州·单元测试）规定向东为正，向西为负，将遥控小汽车两次行驶的情况表示在如图所示的数轴上，则遥控小汽车两次运动后的结果是（    ）    A．向东行驶5个单位长度 B．向西行驶3个单位长度 C．向东行驶2个单位长度 D．向西行驶1个单位长度 2．（23-24七年级上·河北石家庄·阶段检测）如果小虫在数轴上爬行了5个单位长度后停在表示﹣3的点上，那么小虫开始爬行的位置是表示（    ）的点． A．﹣8 B．﹣2 C．﹣8或2 D．8或﹣2 3．（24-25七年级上·河北保定·期中）有理数a，b，c在数轴上的对应点A，B，C的位置如图所示，点A与点B和点C的距离分别为3和9．原点O从点A开始，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点O运动_________秒时，． 4．（24-25七年级上·广东深圳·暑期衔接）如图1，点A、B在数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为 (1)点C为数轴上一点，若，则点C表示的数是______或______； (2)若数轴上两点表示的数字分别为a和b，则它们的中点表示的数为，例如：数轴上两点分别表示、9，则它们的中点表示的数为 ①点E从点A出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时点F从点B出发，以3个单位/秒的速度向右运动．设运动时间为t，当的中点恰好为原点时，求出t的值． ②点M在数轴上，且在点B右侧，点N在数轴上，，点P为中点，点Q为中点，求线段的长度． 【典型例题九 和差倍分问题(一元一次方程的应用)】 1．（26-27七年级上·全国·暑期衔接）某小区年拥有新能源汽车的家庭有户，_____．该小区年拥有新能源汽车的家庭有多少户？如果设该小区年拥有新能源汽车的家庭有户，列式为，那么横线上应该填的条件是（    ）． A．比年的多 B．年的比年的少 C．比年的少 D．年的比年的多 2．（25-26七年级上·重庆·课后作业）实验小学六年级（1）班分成两个活动小组，第一小组30人，第二小组36人．现将第一小组人数调整为第二小组人数的一半，则应从第一小组调________人到第二小组． 1．（26-27七年级上·全国·暑期衔接）甲数为80，求乙数．如果设乙数为，可以用方程“”来表示两数之间等量关系．横线上需要补充的信息是（    ）． A．甲数比乙数的3倍多7 B．乙数比甲数的3倍多7 C．甲数比乙数的3倍少7 2．（2026·七年级上 河南周口·暑期衔接）河南多地推行城市口袋公园建设，某公园计划种植月季和蔷薇两种花木，已知种植月季的数量比蔷薇的2倍少15株，设蔷薇种植x株，一共种植花木285株，列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·七年级上 陕西咸阳·暑期衔接）2026年4月1日，第五届天宫画展“天地同绘·榜样引航”主题活动在首都博物馆正式启动．某中学七年级有180名学生去观看天宫画展，若男生人数是女生人数的2倍少30人，则参观天宫画展的这180名学生中女生有______人． 4．（25-26七年级上·河南周口·期中）校园国学堂购进《论语》《孟子》共50本，《论语》每本18元，《孟子》每本15元，一共花费810元．求两种书各购进多少本？（列一元一次方程解答） 【典型例题十 电费和水费问题(一元一次方程的应用)】 1．（24-25七年级上·广东深圳·暑期衔接）为提高人们节约用水的意识，某市对“生活用水”实行分段计费，收费标准为：每月用水不超过立方米，则单价为元立方米；超过立方米的部分，单价为元立方米．小明家月份水费为元，设用水立方米（），以下方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·单元测试）亮亮家所在城市利用“分时阶梯”的方式计算电价，收费标准如下表： 时段 峰时 谷时 每千瓦时电价 元 元 亮亮家十二月份用电千瓦时，并且谷时用电量是峰时用电量的，则亮亮家十二月需要缴纳电费__________元． 1．（2023·七年级上 湖北武汉·单元测试）为保护环境，充分利用水资源，某市规定：每户每月定额用水，不超过立方米时，每立方米元；超过立方米时，超过的部分，每立方米另加收元的高额排污费，每户每月所交水费（元）与每月用水量（立方米）的关系如图所示，则等于（　　） A．元 B．元 C．元 D．元 2．（23-24七年级上·云南文山·暑期衔接）为鼓励居民节约用水，某市对居民用水实行“阶梯收费”，规定每户每月用水量不超过10吨，水价为每吨2元；超过10吨的部分每吨3.5元．已知小莉家某月交水费34元，则小莉家该月用水多少吨？若设小莉家该月用水x吨，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）一地下停车场的收费标准：1小时内收3元，超过1小时，超过部分每小时收5元．李叔叔在这个停车场停车花了13元，他停了________小时． 4．（25-26七年级上·全国·课堂例题）为了倡导节约用水，某市自去年开始实行阶梯水价．具体收费标准如下：每户每月用水量不超过12吨，每吨3.2元；超过12吨的部分，每吨4.6元． (1)林敏家今年5月用水15吨，他家应付多少元水费？ (2)马老师家5月份共交了84.4元水费，马老师家5月份一共用水多少吨？ 【典型例题十一 行程问题(一元一次方程的应用)】 1．（25-26七年级上·河南周口·期中）某同学跑步训练，先匀速慢跑，再加速冲刺，冲刺路程为200米，若设时间为x分钟，路程关系式满足方程，该方程解的实际意义是（    ） A．匀速慢跑的速度大小 B．匀速慢跑的训练时间 C．总路程 D．剩余距离 2．（25-26七年级上·全国·暑期衔接）如图，在一条东西方向的公路上有A，B两个站点，两站相距40千米，甲车从A站出发，以48千米/时的速度向东匀速行驶，同时乙车从B站出发，以36千米/时的速度向东匀速行驶，设t小时后甲车追上乙车，则t的值是__________．    1．（23-24七年级上·广西桂林·暑期衔接）小明与小红的家相距公里，小明打算从家里出发骑自行车去小红家，于是小明电话告诉小红要求小红骑自行车去接他．小明出发分钟，小红才从家里出发去接小明，已知小明骑自行车每小时行驶公里，小红骑自行车每小时行驶公里，若小红出发小时后两人相遇，根据题意列方程是（   ）． A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·云南昆明·暑期衔接）滇池绿道风光宜人，吸引了众多骑行爱好者．小官和小渡周末在滇池绿道骑行，小官骑行3小时和小渡骑行5小时的总路程为102千米．已知小官的骑行速度比小渡的骑行速度每小时快2千米，求小官、小渡的骑行速度．设小渡的骑行速度为千米/小时，根据题意，可列方程（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·山西阳泉·暑期衔接）某校科技小组研发了两款机器人甲和乙，为测试这两款机器人的性能，让机器人在笔直的测试道上运动．已知测试道的长为，如图是其测试示意图．机器人甲以每分钟的速度从点出发，机器人乙以每分钟的速度从点出发，，两个机器人到达终点均停止运动．若两个机器人同时出发，则机器人甲追上机器人乙时，它们与终点相距___________． 4．（26-27七年级上·全国·暑期衔接）只列方程不计算． 甲、乙两辆汽车同时从同一地点出发，相背而行，小时后相距千米．甲车的速度是千米/时，乙车的速度是多少千米/时？ 【典型例题十二 比例分配(一元一次方程的应用)】 1．（24-25七年级上·天津北辰·单元测试）把一根木料锯成段要分钟，以同样的速度锯成段要分钟，正确的列式为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）甲、乙、丙三人同做某种零件，已知在相同的时间内，甲、乙、丙三人做的零件个数比为．现在甲、乙、丙三人一起做了51个零件，则丙做了________个零件． 1．（25-26七年级上·河北邯郸·单元测试）一种石灰与水混合后的石灰浆，石灰与水的质量比是．现在向石灰浆中加入120千克水，要使石灰与水的质量比不变，还应加入（    ）千克石灰． A．150 B．90 C．80 2．（23-24七年级上·河南郑州·单元测试）参加某次数学竞赛的女生和男生人数的比是1：3，这次竞赛的平均成绩是82分，其中男生的平均成绩是80分，女生的平均成绩是（     ） A．82分 B．86分 C．87分 D．88分 3．（23-24七年级上·福建莆田·阶段检测）甲煤场有煤432吨，乙煤场有煤96吨，现从别的煤场调煤240吨，要使甲煤场的存煤数是乙煤场的存煤数的2倍，设调配到甲煤厂x吨，依题意，列出的方程是_______________ 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）某农户为消灭棉田中的害虫，需配制一种药水．已知这种药水中药液与水的质量比为．配制这种药水，需要多少千克的这种药液？ 【典型例题十三 日历问题(一元一次方程的应用)】 1．（24-25七年级上·四川广安·暑期衔接）在一张月历上，用的正方形方框任意框出9个数，它们的和可能是（   ） A．83 B．116 C．99 D．63 2．（25-26七年级上·北京平谷·暑期衔接）如图，是2026年1月的日历，用如图所示的十字方框去圈住图中的五个数字，当正中间的数字是9时，这五个数字的和为______；移动十字方框，若被圈住的五个数字之和为105，则被圈住的五个数字正中间的一个为______． 1．（24-25七年级上·重庆江津·暑期衔接）针对如图月历，方框中是相邻三行三列的九个数，不改变方框大小，移动方框，则框中九个数的和不可能是（   ）    A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·江苏连云港·单元测试）在月历中，一个竖列中4个相邻日期的和是，且本月的第一天恰好为星期六，那么这4天都是（　　） A．星期三 B．星期四 C．星期五 D．星期六 3．（23-24七年级上·贵州遵义·暑期衔接）图1是生活中的日历，小丽同学用下列形状（图2）覆盖日历中的5个数字，若覆盖的5个数字之和为106，则A表示的数是______．    4．（25-26七年级上·湖北黄石·暑期衔接）如下图是2025年某月的月历． (1)如果用带阴影形状的框任意框住4个数分别为a、b、c、d，设框中的日期a为x．用含x的代数式表示： ， ， ， ． (2)若框出的4个数的和为26，求框出的是这个月哪几天？ (3)框出的4个数的和可能是62吗？若能，求出这4个数；若不能，请说明理由． 【典型例题十四 古代问题(一元一次方程的应用)】 1．（2026·七年级上 湖南长沙·阶段测试）《孙子算经》记载经典盈亏问题：若干农户均分粮食，若每人分6斗，剩余4斗；若每人分8斗，还差6斗．设一共有名农户，下列方程符合题意的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·七年级上 陕西渭南·暑期衔接）中国古代数学著作《九章算术》中有一题，对其改编如下：“现有一根均匀金锤，若截去三尺，剩下的共重四斤；若截去五尺，剩下的共重二斤，问该金锤每尺重多少斤？”若设该金锤每尺重x斤，则可列方程为________． 1．（2026·七年级上 湖南岳阳·阶段测试）《九章算术》卷七“盈不足”中记载：今有童子分桃，人得四桃，则余二桃；人得六桃，则缺八桃，问童子与桃各几何？翻译为：现在有一群儿童分桃子，如果每人分4个桃子，就会多出2个桃子；如果每人分6个桃子，就还差8个桃子，求儿童和桃子分别有多少．设儿童有人，根据桃子总数不变，所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·湖南长沙·暑期衔接）我国古代有很多经典的数学古算诗，其中一首是：“分糖笑语满庭芳，糖数人数两茫茫．每人三颗多十颗，每人五颗少六颗．”大意：一些小孩在庭院高兴地分糖，糖数和人数都未知，每人3颗多颗；每人5颗少6颗．设共有人，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·七年级上 陕西咸阳·单元测试）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题，现对该问题改编如下：某人买了一批椽，每株椽的价格是135文，每株椽的运费是3文，椽的总价和总运费一共是6210文，设买椽的数量为株，则根据题意可列方程为___________． 4．（24-25七年级上·河南郑州·单元测试）古希腊有一位伟大的数学家叫丢番图，他的墓碑留下了可贵的资料，碑文大意如下：他一生的 是幸福的童年， 是无忧无虑的青年．又过了一生的 ，丢番图结了婚．再过5年儿子出生，可这孩子在世界上的时间只有他父亲的一半．儿子去世以后，丢番图在悲痛中又活了4年，也去世了．你能算出丢番图活了多少岁吗？ 【典型例题十五 其他问题(一元一次方程的应用)】 1．（25-26七年级上·河南周口·期中）某校劳动实践基地种植蔬菜，安排x人除草，每人除草6平方米，还剩4平方米未除；若每人除草7平方米，则少2平方米．可列一元一次方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·上海·期中）为了让学生有更多好的图书可读，学校今年共花元添置新图书，今年比去年经费增长了，那么去年的图书经费需要_______元． 1．（2026·七年级上 河南周口·暑期衔接）情景题某社区推行垃圾分类积分兑换生活用品，已知3个积分可兑换1包纸巾，5个积分可兑换1瓶洗手液．若小明现有x个积分，兑换了4包纸巾和2瓶洗手液，恰好用完积分，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·七年级上 四川成都·阶段测试）现有大、小两种容器共20个，每个大容器容积为40升，每个小容器容积为30升，现有液体720升，将液体全部装入容器中，容器空余的容量恰为20升．问应配置大容器多少个，才符合要求？设配置大容器个，根据题意列出方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·七年级上 陕西渭南·单元测试）秦岭山脉有着“国家中央公园”“国之绿肺”之称，是重要的生态安全屏障．为保护秦岭的生态环境，某校组织师生前往秦岭进行植树活动，已知本次活动种植侧柏和油松的总数量为270棵，且侧柏的数量是油松数量的，则本次活动种植侧柏______棵． 4．（25-26七年级上·重庆·课后作业）某物流公司有两种快递分拣机，A机每小时分拣600件，B机每小时分拣720件．B机因检修晚开半小时，B机工作多长时间后，其总处理量开始超过A机？ 1．（25-26七年级上·上海金山·期中）有甲、乙两家汽车销售公司，甲公司“五一黄金周”销售了24辆A型汽车，_______，问乙公司“五一黄金周”销售了A型汽车多少辆？如果设乙公司销售了A型汽车x辆，解决这个问题列出的方程为“”，则横线上的信息是（     ） A．甲公司销售A型汽车的数量比乙公司减少 B．甲公司销售A型汽车的数量比乙公司增加 C．乙公司销售A型汽车的数量比甲公司减少 D．乙公司销售A型汽车的数量比甲公司增加 2．（24-25七年级上·浙江台州·暑期衔接）把一些图书分给某班学生阅读，如果_____；如果每个同学分4本，则缺25本．设这个班级有x名学生，可列出方程．则横线的信息可以是（   ） A．分给3个同学，则剩余20本 B．每个同学分3本，则剩余20本 C．分给3个同学，则缺20本 D．每个同学分3本，则缺20本 3．（26-27七年级上·全国·暑期衔接）数量关系不能用表达的是（    ）． A．公园里有一条长方形的甬道，长x米，宽米．如果宽增加到米，面积则增加20平方米． B．三个同学跳绳，小明跳了x个，小强跳的个数是小明的，小亮跳的个数是小明的，小亮比小强少跳了20个． C．商店售卖x件服装，第一周卖了全部的，第二周卖了余下的，第一周比第二周多卖了20件． D．从A地到B地，有甲、乙、丙三条路，甲路长x千米，乙是甲的，丙是甲的，乙比丙长20千米． 4．（24-25七年级上·广西柳州·暑期衔接）已知线段上有两个点、，，、为动点（点在点的左侧），并且始终保持，若点从点出发向右运动（当点到达点时立即停止），运动的速度为每秒2个单位长度，当运动时间为多少秒时，、两条线段中，一条的长度恰好是另一条的两倍（   ） A． B．或 C．或 D．或 5．（25-26七年级上·河南新乡·暑期衔接）已知数轴上的点A，B，C分别表示，若数轴上存在点，使，则点表示的数为（   ） A． B． C．或 D．或 6．（2026·七年级上 山西吕梁·暑期衔接）某景区单独购票为每人元，团体购票为每人元．某旅游团按团体购票比单独购票总共节省费用元，则该旅游团人数为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·浙江绍兴·单元测试）某次“最强大脑”比赛，每个选手都需回答20道题，答对一题得7分，答错一题倒扣4分，王刚答完了全部道题，得了63分，他答对了（     ）道题． A．7 B．9 C．11 D．13 8．（24-25七年级上·安徽合肥·单元测试）一盒薯片的购入价为元，王老板订购一批薯片后，以元的价格卖出，在卖到还剩12盒时，他已获利16元，求王老板购入薯片的数量．若设王老板购入盒薯片，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 9．（25-26七年级上·山西阳泉·暑期衔接）在某市“智慧交通”项目建设中，一支工程队负责安装新型路侧通信单元．如果每天安装30台设备，会比原计划提前1天完成安装任务；如果每天安装20台设备，会比原计划推迟1天完成安装任务．若设原计划安装天完成任务，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 10．（2026·七年级上 河北邢台·阶段测试）学校组织12名校工检修智能教室的桌椅，每人每小时平均能检修3张智能课桌或6把座椅，1张智能课桌配套4把座椅，若安排x名校工检修智能课桌，其余校工检修座椅，且智能课桌和座椅刚好配套，则可以列方程为（     ） A． B． C． D． 11．（2025七年级上·全国·专题练习）原计划m个人用a天完成一项任务，若减少n个人，则完成任务所需要的天数是__________． 12．（25-26七年级上·浙江杭州·暑期衔接）学校门口的蜜雪冰城推出两款500毫升的冰鲜柠檬水：A款为“3分糖”（糖浓度为），B款为“7分糖”（糖浓度为）．小明想用这两款柠檬水混合调配成“4分糖”（糖浓度为）的柠檬水．若他购买了3杯A款，则还需要购买______杯B款． 13．（23-24七年级上·浙江温州·期中）下表是某市居民出行方式以及收费标准：（不足1千米按1千米算） 打车方式 出租车 3千米以内8元；超过3千米的部分元/千米 滴滴快车 路程：元 /千米；时间：元/分钟 说明 打车的平均车速千米/时 假设乘坐8千米，耗时：分钟；出租车收费：元；滴滴快车收费：元． 为了提升市场竞争力，出租车公司推出行驶里程超过千米立减元活动．小聪乘坐出租车从甲地到达乙地支付车费元，若改乘滴滴快车从甲地到乙地，则需支付______元． 14．（26-27七年级上·全国·暑期衔接）一辆汽车原计划6小时从A城到B城．汽车行驶了一半路程后，因故在途中停留了30分钟．如果按照原定的时间到达B城，汽车在后一半路程的速度就应该提高12千米/时，那么A、B两城相距___________千米． 15．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）嫦娥五号于2020年12月某一天返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆，探月工程嫦娥五号任务取得圆满成功，将中国古代神话“嫦娥奔月”的传说变成了现实，若返回时间是2020年12月日历中某竖列上相邻三个数中最小的一个数，且其和为72，则嫦娥五号返回器返回的具体日期是 ____号． 16．（2026·七年级上 湖南长沙·阶段测试）为进一步提升城市形象，驱动消费，长沙某地准备开展音乐节活动．长沙文旅计划组织140名志愿者参与服务．志愿者分为引导组和物资组，其中引导组6人一组，物资组8人一组，总组数比引导组多10组． (1)求引导组和物资组各有多少人？ (2)本次活动需租用A、B两种型号车辆一次性接送，它们的载客量和租金如下表所示：若租用同一种型号车辆，使每位志愿者都有座位，应怎样租用才合算？ A型车辆 B型车辆 载客量（人/辆） 20 15 租金（元/辆） 200 150 17．（26-27七年级上·全国·暑期衔接）某市居民家庭全年用气（天然气）量划分为三档，气价实行超额累进加价，先用第一档，再用第二档，最后用第三档．例如：王明家年用气量为400立方米，前360立方米按2.53元计算，后40立方米按2.78元计算． 用气量（立方米） 单价（元） 第一档 （含） 2.53 第二档 （含） 2.78 第三档 600以上 3.54 (1)李强家年用气量为440立方米，李强家需交燃气费多少元？ (2)赵刚家全年的燃气费平均每立方米2.60元，赵刚家年用气量是多少立方米？ 18．（24-25七年级上·安徽合肥·单元测试）如图，已知阴影部分的面积是120平方厘米，分别是长、宽的中点，长方形的宽是16厘米，求长方形的面积． 19．（25-26七年级上·重庆·期中）列方程解应用题： 某花店售卖金桔盆栽和花肥，已知一盆金桔盆栽售价28元，利润率为40%；花肥进价每包2元，一包花肥的利润率和一盆金桔盆栽的利润率相同．花店第一次进货总共花费720元，其中花肥的进货数量是金桔盆栽的2倍． (1)花店第一次进货购进了金桔盆栽多少盆？ (2)第一次进货商品全部售完后，商家进行第二次进货．为吸引更多顾客，花店推出促销活动：每卖出一盆金桔盆栽，免费赠送一包花肥，金桔盆栽售完后，剩余的花肥再进行单独售卖（第二次购进花肥数量大于金桔盆栽数量）．第二次进货对比第一次：金桔盆栽的进价降低了m元，进货数量增加了8盆，售价不变；花肥的进价不变，进货数量比第一次增加了2m包，售价不变．第二次售完获得的总利润比第一次多76.4元，求m的值． 20．（25-26七年级上·全国·课后作业）解答下列问题： (1)师徒两人检修一条长的自来水管道，师傅每小时检修，徒弟每小时检修．现两人合作，多少时间可以完成整条管道的检修？ (2)师徒两人检修一条煤气管道，师傅单独完成需要，徒弟单独完成需要．现两人合作，需要多少小时完成？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲用一元一次方程解决问题（3大知识点+15大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 配套问题(一元一次方程的应用) 典型例题二 工程问题(一元一次方程的应用) 典型例题三 销售盈亏(一元一次方程的应用) 典型例题四 比赛积分(一元一次方程的应用) 典型例题五 方案选择(一元一次方程的应用) 典型例题六 数字问题(一元一次方程的应用) 典型例题七 几何问题(一元一次方程的应用) 典型例题八 动点问题(一元一次方程的应用) 典型例题九 和差倍分问题(一元一次方程的应用) 典型例题十 电费和水费问题(一元一次方程的应用) 典型例题十一 行程问题(一元一次方程的应用) 典型例题十二 比例分配(一元一次方程的应用) 典型例题十三 日历问题(一元一次方程的应用) 典型例题十四 古代问题(一元一次方程的应用) 典型例题十五 其他问题(一元一次方程的应用) 知识点一：列方程解应用题的步骤 审：弄清已知什么，求什么及其数量关系； 找：找出能表示题目全部含义的一个数量关系； 设：设未知数，可根据已知和所求选择直接假设或间接假设； 列：根据相等关系列出方程； 解：解方程； 检：检验求得的解是否正确及其是否符合实际意义； 答：写出答案． 【即时训练】 1．（2026·七年级上 河北邯郸·单元测试）现有一个水池，若单独打开甲进水管，1个小时可以注满水池；若单独打开乙进水管，个小时可以注满水池．若甲、乙两管同时打开，几个小时可以注满水池？设若甲、乙两管同时打开，个小时可以注满水池，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用工作效率=工作总量工作时间，将水池总量看作单位“1”，求出甲、乙的进水效率，再根据合作效率列方程求解． 【详解】解：将注满水池的总工作量看作单位1， 甲进水管1小时注满水池，因此甲的进水效率为1； 乙进水管b小时注满水池，因此乙的进水效率为； 甲、乙两管同时打开，小时注满水池，根据“工作效率工作时间=工作总量”，可得方程： ， 对式子化简求解： ， ． 2．（26-27七年级上·全国·暑期初衔接）张欣和李明相约到图书城去买书． 张欣：“听说花20元办张会员卡，买书可以享受8折优惠？” 李明：“是的，我上次买了几本书，加上办卡的费用，还省了12元．” 李明上次所买书籍的原价是______元． 【答案】160 【分析】设李明上次所买书籍的原价为x元，根据题意可得方程，再解方程即可． 【详解】解：设李明上次所买书籍的原价为x元， 所以李明上次所买书籍的原价是160元． 知识点二：分析问题中的等量关系 1. 逐步列式法：例如，的2倍比大5．首先写出“的2倍”，即，它比大5，那么“大－小＝5”，即． 2. 列表分析法：用行（或列）表示不同的项目或种类，用列（或行）表示相应的数量． 3. 画图分析法：用图形表示题目中的数量关系．例如，行程问题中常用线段示意图帮助分析相等关系． 【即时训练】 1．（23-24七年级上·全国·暑期衔接）为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接受方由密文—明文（解密）．已知加密规则为：明文a，b，c，对应，，．例如明文1，2，3对应的密文2，8，18．如果接收方收到的密文7，18，15，则解密得到的明文为（    ） A．4，5，6 B．6，7，2 C．2，6，7 D．7，2，2 【答案】B 【分析】根据加密规则：“明文a，b，c对应的密文，，”，把7，18，15分别代入这三个式子，计算即可． 【详解】解：由题意知，，， 解得，，． 2．（23-24七年级上·宁夏银川·暑期衔接）把长的铁丝围成一个长方形，使长比宽多，长是____． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，找到等量关系是解题的关键．设长为，故宽为，根据题意列出等式进行计算即可． 【详解】解：设长为，故宽为， 根据题意，长方形周长为， ， 解得． 知识点三：常见问题中的等量关系 1. 配套问题 相等关系：加工总量成比例，若一件产品需要A，B两种配件配成，A，B两种配件的数量比是，则A种配件总数量×b＝B种配件总数量×a． 2. 工程问题 （1）基本相等关系：工作量＝工作效率×工作时间，工作时间＝，工作效率＝； （2）当问题中总工作量未知而又不求总工作量时，要把总工作量看作整体1； （3）常见的相等关系为总工作量＝各部分工作量之和． 3. 营销问题 （1）相等关系：①利润＝售价－进价；②；③售价＝进价×（1＋利润率）． （2）打折：n折即标价的，如7折即标价的（或70%），其中n叫折数．实际售价＝标价×． 4. 分段计费问题 常见类型：我国公民个人所得税按分段累进税制计算；社会医疗保险实行分段累进按比例报销制度；为鼓励节约用水、用电、用气，水费、电费、煤气费实行分段价格收费标准；某些运营商的话费、出租车费实 行分段计费；商家为促销商品，实行分段优惠销售等．解决这些分段讨论问题的关键是理顺部分与整体的关系：①各段费用之和=总费用；②每一段的计费标准不同． 5. 球赛积分问题 点相等关系：（1）比赛总场数＝胜场数＋平场数＋负场数； （2）比赛总得分＝胜场总得分＋平场总得分＋负场总得分． 6. 行程问题 基本相等关系：路程＝速度×时间；速度＝路程÷时间；时间＝路程÷速度． （1）直线形相遇问题：甲走的路程＋乙走的路程＝两地之间的路程． （2）直线形追及问题：快者走的路程＝慢者走的路程＋两人初始路程差； 快者走的路程＝慢者先走的路程＋慢者后走的路程． （3）环形相遇问题：同起点、同时间、背向出发，首次相遇时，等量关系是二者合走了1圈；从出发到相遇所用时间＝；第 n次相遇时，二者合走了n圈． （4）环形追及问题：同起点、同时间、同向出发，首次相遇时，等量关系是快者比慢者多走1圈；追及所用时间＝；第n次相遇时，快者比慢者多走n圈． 7. 利息问题 （1）本金×利率×期数＝利息（若未特别说明，银行定期存款的利率是指年利率，期数是年数)． （2）本金＋利息＝本息和；本息和＝本金×（1＋利率×期数）． 8. 年龄问题 “年龄问题”的基本规律是不管时间如何变化，两人的年龄差总是不变的，抓住“年龄差”是解答年龄问题的关键． 9. 方案决策问题 方案决策问题是实际生活中常见的问题，用一元一次方程解最佳方案问题的一般步骤：（1）列代数式； （2）列方程；（3）取特殊值试解；（4）决策． 【即时训练】 1．（2026·七年级上 辽宁大连·暑期衔接）我国元代数学家朱世杰所著的《算学启蒙》（1299年）中有这样一个问题，“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之”．其大意为：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设快马天可以追上慢马，根据快马追上慢马时，快马走的总路程等于慢马走的总路程列方程即可． 【详解】解：设快马天可以追上慢马， 由题意得，． 2．（2026·七年级上 陕西西安·单元测试）跑步是学校常见的体育锻炼方式，有利于提高学生的身体素质．小悦每秒跑2.4米，小秦每秒跑2.6米，两人绕操场跑道同时同地反向而行，第一次相遇时小秦比小悦多跑16米，第一次相遇他们用了________秒． 【答案】 【分析】本题考查行程问题中的反向相遇问题，解题的核心是利用路程差与速度差的关系建立方程求解．两人同时同地反向而行，到第一次相遇时所用时间相同；已知两人的速度和路程差，根据“路程差＝速度差×相遇时间”这一关系，即可求出相遇时间． 【详解】解：设第一次相遇的时间为秒， 由题意，第一次相遇时小秦比小悦多跑了16米， 可得：， 解得：． 即第一次相遇的时间为秒． 【典型例题一 配套问题(一元一次方程的应用)】 1．（2026·七年级上 四川成都·暑期衔接）某工厂承接甲、乙两种零件加工任务，已知加工1个甲种零件需耗材5元，加工1个乙种零件需耗材3元．若该工厂共加工甲、乙两种零件40个，且购买耗材总费用为170元，设加工甲种零件x个，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，根据“总耗材费用=甲零件总耗材费用+乙零件总耗材费用”的等量关系列方程即可． 【详解】解：∵设加工甲种零件个，甲乙两种零件共加工个， ∴加工乙种零件的个数为个． ∵加工个甲种零件需耗材元，加工个乙种零件需耗材元，总耗材费用为元， ∴甲零件总耗材为，乙零件总耗材为 ， 可得方程：． 2．（25-26七年级上·河南商丘·暑期衔接）在红色文化纪念馆，同学们可以制作红旗来表达对革命先烈的敬意和缅怀之情．已知1张黄色卡纸可制作3个大星星或8个小星星，1个大星星配4个小星星为一套．现有30张卡纸，设用x张卡纸制作大星星，其余卡纸制作小星星，恰好配套组成国旗上的五个星星．则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据大星星与小星星的配套比例关系，结合卡纸数量和制作星星数量的对应关系列方程，核心是利用“1个大星星配4个小星星”的配套规则建立等量关系． 【详解】解：∵用张卡纸制作大星星，现有30张卡纸， ∴制作小星星的卡纸为张， ∵1张黄色卡纸可制作3个大星星， ∴大星星总数为个， ∵1张黄色卡纸可制作8个小星星， ∴小星星总数为个， 又∵1个大星星配4个小星星为一套，即小星星数量是大星星数量的4倍， ∴ 故选：C． 1．（25-26七年级上·重庆·暑期衔接）博物馆正在修缮一座宫殿，需要制作一批斗拱．已知每个斗拱由1个“昂”和2个“拱”配套组成，一名工匠每天能制作20个“昂”或30个“拱”，现有40名工匠，为使每天制作的“昂”和“拱”刚好配套，设安排名工匠加工“昂”，依题意列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列一元一次方程． 根据配套关系，“拱”的数量应为“昂”数量的2倍．设x名工匠制作“昂”，则名工匠制作“拱”，分别表示出“昂”和“拱”的日产量，再列方程即可． 【详解】解：∵安排x名工匠制作“昂”，每日制作个“昂”， ∴剩余名工匠制作“拱”，每日制作个“拱”， ∵每个斗拱需1个“昂”和2个“拱”，即“拱”的数量是“昂”数量的2倍， ∴． 故选：A． 2．（25-26七年级上·福建福州·暑期衔接）我国古代数学名著《算法统宗》中记载了这样一道题，原文是：铧工一人，日成犁铧三；辕工一人，日成犁辕六．一犁需铧一、辕二．共用工十人，犁铧犁辕恰配套，问二工各几何？其大意是：1名铧工每日做3个犁铧，1名辕工每日做6个犁辕．1张犁需1个犁铧和2个犁辕．共10名工人，做出的犁铧和犁辕恰好配套，求铧工、辕工人数各是多少？设铧工x人，依题意可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设铧工x人，则辕工人，铧工日成犁铧个，辕工日成犁辕个，因为每张犁需1个犁铧和2个犁辕，故犁铧数量的2倍应等于犁辕数量，由此列方程． 【详解】解：∵铧工x人， 则辕工人， 故铧工日成犁铧个，辕工日成犁辕个， 依题意，得， 故选：B． 3．（25-26七年级上·黑龙江伊春·阶段检测）某工厂生产A、B两种零件，每个A零件需要2千克甲材料，每个B零件需要3千克甲材料．现有千克甲材料，设生产A零件用x千克甲材料，恰好使生产的A、B零件配套(1个A零件配1个B零件)，则可列方程为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了列一元一次方程，解题的关键是找出题目中的等量关系式． 根据配套条件，A零件数量等于B零件数量列出方程即可． 【详解】解：设生产A零件用x千克甲材料，则生产B零件用千克甲材料， ∵每个A零件需要2千克甲材料， ∴生产的A零件数量为个， ∵每个B零件需要3千克甲材料， ∴生产的B零件数量为个， ∵生产的A、B零件配套(1个A零件配1个B零件)， ∴． 故答案为：． 4．（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）一个校办厂购进了5立方米的木材，厂长决定做成方桌销售，已知一张方桌由一张桌面和4个桌腿做成，经试验发现立方米的木材可以做张桌面或个桌腿，问工厂能做多少张方桌？ 【答案】150 【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用，读懂题意，正确列出方程是做题的关键．根据题意，设用x立方米木材做桌面，利用等量关系列方程，最后解方程即可． 【详解】解：设用x立方米木材做桌面，则工厂能做张桌面，用立方米木材做桌腿，则可以做个桌腿， 根据题意，得， 解得， ∴，， 故工厂能做150张方桌． 答：工厂能做150张方桌． 【典型例题二 工程问题(一元一次方程的应用)】 1．（24-25七年级上·海南省直辖县级单位·期中）甲、乙两个工程队共有100人，且甲队的人数比乙队的人数的4倍少10人．如果设乙队的人数为x人，则所列的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列一元一次方程，根据题意，设乙队人数为，甲队人数为，总人数为100，建立方程即可． 【详解】解：设乙队人数为，则甲队人数为， 根据总人数关系，甲队和乙队人数之和为100， 因此方程为：，即， 故选：A 2．（24-25七年级上·北京·暑期衔接）小区需制作一块广告牌，请来两名工人．已知甲单独完成需4天，乙单独完成需6天，问：两人合作需几天完成？针对小林提出的问题，设两人合作需x天完成，根据题意，可列方程为______（列出的方程不需要化简） 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设总工作量为1，甲每天完成，乙每天完成，合作时每天完成，x天完成的工作量为，等于总工作量1． 【详解】解：甲的工作效率为，乙的工作效率为，两人合作的工作效率为， 合作x天完成的工作量为， 根据题意，完成总工作量1， 故列方程为， 故答案为：． 1．（25-26七年级上·全国·暑期衔接）湘绣是中国优秀的民族传统工艺之一，湖南某文创街区上分布了很多湘绣手工店．某湘绣手工店接了一个订单，预计甲店员单独做天可完成，乙店员单独做天可完成．现甲先做天后，顾客临时加急，店长安排乙加入合作，则完成这个订单共需要（   ） A．天 B．天 C．天 D．天 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设完成这个订单共需天，则乙用了天，此订单总工作量为，根据甲完成的部分乙完成的部分整个工作量（单位），即可得出关于的一元一次方程，此题得解． 【详解】 解：根据题意设完成这个订单共需天，此订单总工作量为， 则可列方程为 ， 解得， 答：完成这个订单共需要天． 故选：D． 2．（2024·七年级上 浙江·单元测试）学校要制作一块广告牌，请来两名工人，已知甲单独完成需4天，乙单独完成需6天，若先由乙做1天，再两人合作，完成任务后共得到报酬900元，若按各人的工作量计算报酬，则分配方案为（    ） A．甲360元，乙540元 B．甲450元，乙450元 C．甲300元，乙600元 D．甲540元，乙360元 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，熟悉掌握工程问题中的数量关系是解题的关键． 设两人合作了天，根据甲的工作量乙的工作量剩余工作总量列出方程求解即可． 【详解】解：设两人合作了天， ∴由题意可得： 解得： ∴甲的工作量为 ∴甲的报酬为：元， ∴乙的报酬为：元， 故选：B． 3．（25-26七年级上·重庆·单元测试）有一个温泉游泳池，池底有泉水不断涌出，要想抽干满池的水，10台抽水机需工作8小时，9台抽水机需工作9小时，为了保证游泳池水位不变（池水既不减少，也不增多），则向外抽水的抽水机需( )台． 【答案】1 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设1台抽水机1小时抽1份水，每小时涌入a份水，根据游泳池中的原有水量不变，可列出关于a的一元一次方程，解之可得出a的值，结合1台抽水机1小时抽1份水，即可得出结论． 【详解】解：设1台抽水机1小时抽1份水，每小时涌入a份水， 根据题意得：， 解得：， ∴每小时涌入1份水， ∴为了保证游泳池水位不变（池水既不减少，也不增多），则向外抽水的抽水机需1台． 故答案为：1． 4．（25-26七年级上·陕西西安·期中）智能机器人分拣货物，每分钟可分拣件货物，机器人先单独工作一段时间，之后人工辅助分拣货物，每分钟共分拣件．若总共用时50分钟，一共分拣件货物，求机器人单独工作的时长． 【答案】机器人单独工作的时长为分钟 【分析】设机器人单独工作的时长为分钟，则人工辅助分拣货物的时长为分钟，根据题意建立一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：设机器人单独工作的时长为分钟，则人工辅助分拣货物的时长为分钟， 由题意得：， 解得， 答：机器人单独工作的时长为分钟． 【典型例题三 销售盈亏(一元一次方程的应用)】 1．（25-26七年级上·河北保定·阶段检测）为庆祝九三阅兵，某红色主题文创店推出“致敬英雄”促销活动，所有阅兵主题纪念徽章按原价打九折销售仍可获利．军军的爸爸购买一枚“胜利日阅兵”纪念徽章，打折后支付99元，该文创店这枚纪念徽章的进价是（   ） A．110元 B．100元 C．90元 D．81元 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设进价为元，根据利润售价进价，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设进价为元，根据题意得： ， 解得：， ∴进价为90元． 故选：C． 2．（2026·七年级上 陕西商洛·暑期衔接）陕西富平柿饼霜厚肉糯、甜润无涩．某商家购进一批柿饼，以每盒22元的价格出售，每盒可获利，则该批柿饼的进价为每盒________元． 【答案】20 【分析】设该柿饼的进价为每盒元，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设该柿饼的进价为每盒元，根据题意得： ， 解得， 答：该柿饼的进价为每盒元． 1．（25-26七年级上·山西大同·阶段检测）某体育用品店购进一批运动鞋，每双进价为120元．为迎接新学期促销，店主按进价的进行标价．活动期间，为吸引顾客，商店决定打折销售，但希望每双鞋仍能获得的利润．若设商店打x折销售，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意；根据利润计算公式，售价减进价等于利润，结合标价和折扣关系列方程即可． 【详解】解：∵进价元，标价， 打x折后，售价=标价， 则有； 故选B． 2．（25-26七年级上·安徽蚌埠·阶段检测）文具店有两种不同品牌的地球仪．某天这两种地球仪都以60元的价格各售出一台．其中一台盈利，一台亏本，则文具店（　　） A．不赔不赚 B．赔了 C．赚了 D．说不清 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确地用代数式表示每台地球仪的售价是解题的关键．设盈利的一台的进价为x元，亏本的一台的进价为y元，则盈利的一台的售价可表示为元，亏本的一台的售价可表示为元，可列方程，，分别求出x、y的值，再用售价的和减去进价的和即可得到问题的答案． 【详解】解：设盈利的一台的进价为x元，亏本的一台的进价为y元， 根据题意得，， 解得，， ∴（元）， ∴这次出售中文具店赔了5元， 故选：B． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·单元测试）某商场服装部处理一批上衣，经计算如果打九折出售可以获利元，如果打八折出售就要亏本元，则这批上衣打九折后的总价是( )元． 【答案】 【分析】本题中上衣成本为不变量，设上衣原价为元，根据成本相等列出一元一次方程，求解得到原价后，再计算打九折后的总价即可． 【详解】解：设这批上衣原价为元， 由成本不变，列方程得 移项得 合并同类项得 系数化为得， 则打九折后的总价为（元）． 4．（2026·七年级上 陕西西安·阶段测试）2026年春晚武术表演的宇树科技GI EDU U2进阶版机器人深受大家喜爱，某科技公司也购买了A、B两种型号的同款机器人，已知A型号机器人的单价比B型号机器人的单价多4万元，且5台A型号机器人的总价钱和6台B型号机器人的总价钱相等．请问A、B两种型号机器人的单价分别是多少万元？ 【答案】A型号机器人的单价为24万元，B型号机器人的单价是20万元 【分析】设A型号机器人的单价为x万元，则B型号机器人的单价是万元，根据“5台A型号机器人的总价钱和6台B型号机器人的总价钱相等”列出一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】解：设A型号机器人的单价为x万元，则B型号机器人的单价是万元． 依题意得：， 解得． 所以（万元）． 所以A型号机器人的单价为24万元，B型号机器人的单价是20万元． 【典型例题四 比赛积分(一元一次方程的应用)】 1．（23-24七年级上·广东江门·暑期衔接）2022年11月足球世界杯又一次让人们沉浸在了足球竞技的美好中，某校举办足球比赛，计分规则：胜一场积2分，负一场扣1分，平场积0分．如果某队在本次比赛共参赛10场（无平场），积14分，那么该队胜场数为（） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，列方程解应用题的关键是找出题目中的相等关系，有的题目所含的等量关系比较隐蔽，要注意仔细审题，耐心寻找．设该队胜了场，根据共参赛10场，得了14分，列出方程，然后求解即可． 【详解】解：设该队胜了场，根据题意得： ， 解得：， 所以该队胜了8场； 故选：． 2．（25-26七年级上·四川绵阳·暑期衔接）2025年秋四川省城市足球联赛（“川超”）2025—2026赛季正式开始，第一阶段为分区赛，采用积分制，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，截至11月9日，川北赛区绵阳九州长虹队在7场比赛以不败战绩获积分15分，则绵阳九州长虹队在前7场比赛中共获胜了______场． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设胜场，平局为场，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设胜场，平局为场，由题意得， 解得： 故答案为：． 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）某次知识竞赛由40道选择题组成，答对一道得5分，答错一道扣3分，全部做完后（不能漏答）才可以提交试题，小明提交试题后显示得分为152分，设小明答对了道题，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，理解题意中数量关系，掌握一元一次方程列式解实际问题是解题的关键．设小明答对了道题，则答错了道题，根据题意列出方程即可． 【详解】解：设小明答对了道题，则答错了道题， 根据题意得，． 故选：C． 2．（25-26七年级上·云南昆明·单元测试）6位中国象棋选手进行比赛，每两人之间比赛一局，如果是平局，参赛选手各得1分；否则赢者得3分，输者得0分．最后六位选手的得分之和为39分，则平了（   ）局． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据题意求出共有多少场比赛，结合平局共得分，有胜负共得分，然后设平局为x，则分胜负局数为，列出一元一次方程，计算求解即可． 本题主要考查了实际问题与一元一次方程． 【详解】解：总共局数：， ∵平局共得分，有胜负共得分， 设平局为x，则分胜负局数为， ∴ 解得； 答：六位选手平了6局． 故选：D． 3．（23-24七年级上·贵州遵义·单元测试）在2022年举办的红花岗区中小学生校园篮球赛中，小李表现出色，投中了9个球（不含罚球得分），总共得分20分.他一共投中了 _____个两分球，_____个三分球． 【答案】 7 2 【分析】本题考查了二元一次方程组在实际得分问题中的应用，解题的关键是根据投中球的总数和总得分建立两个等量关系，设未知数后联立方程组求解． 设投中两分球的个数为未知数，三分球个数用投中总数与两分球个数的关系表示；根据“两分球得分三分球得分总得分”列方程，求解得出两分球和三分球的个数． 【详解】解：设投中两分球个，则投中三分球个． 由总得分20分，得方程：． 展开计算：， 整理得：，即， 解得． 则三分球个数为．   故答案为：7；2． 4．（25-26七年级上·全国·单元测试）在一次数学测试中，老师出了25道选择题，每道题都有四个选项，有且只有一个选项是正确的．老师的评分标准：答对一道题给4分，不答或答错一题倒扣1分．若某位同学得了90分，则这位同学答对了几道题？ 【答案】23道 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键．设这位同学答对了道题，则不答或答错了道题，根据这位同学得了90分，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设这位同学答对了道题，则不答或答错了道题． 根据题意，得， 解得：． 答：这位同学答对了23道题． 【典型例题五 方案选择(一元一次方程的应用)】 1．（2025七年级上·广东深圳·专题练习）某校组织师生研学，若租用49座客车若干辆，刚好坐满；若租用54座客车，可比49座客车少租两辆且空余17个座位．若设租用的49座客车有辆，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设租用的49座客车有辆，根据所有49座客车刚好坐满可得师生总人数为人，根据54座客车比49座客车少租两辆且空余17个座位可得师生总人数为人，据此列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：D． 2．（24-25七年级上·四川广安·暑期衔接）活动大促期间，某商店推出两种优惠方案．方案一：购买的所有商品一律打8折；方案二：购物满150元后，超过部分享受7折优惠．一次性购物满_____元时，两种方案最终付款金额相等． 【答案】450 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设一次性购物满x元时，两种方案最终付款金额相等，则分别用x表示出两种方案付款金额，即可建立方程求解． 【详解】解：设一次性购物满元时，两种方案最终付款金额相等 根据题意，得， 解得， 故答案为：450． 1．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）某书店推出两种购书方案：①单买，每本按标价10元销售；②会员制，缴纳20元会员费后每本按标价的8折销售．若小明购买x本图书，两种方案费用相等时x的值为：（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到等量关系并列出一元一次方程是解题的关键． 通过列代数式，表示出两种方案的费用，当两种费用相等时，解方程求出x即可． 【详解】解：设购买x本图书时方案和方案费用相等， 方案费用：元， 方案费用：元， ， ， ， ． 当时，两种方案费用相等． 故选：C． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）某同学花了100元购买游泳馆会员证（只限本人使用），凭证入馆每次收费5元，否则每次收费9元．若购买会员证与不购买会员证花费相同，则该同学去游泳馆的次数为（   ） A．23 B．24 C．25 D．26 【答案】C 【分析】可设游泳x次，得到购买会员证需付元，不购买会员证需付元，再根据购会员证与不购证付一样的钱的等量关系列出方程求解即可； 【详解】解：设游泳x次，则购买会员证需付元，不购买会员证需付元， 由题意可得：. 解得． 答：当游泳25次时，购买会员证与不购买会员证花费相同． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解决问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用方程解答． 3．（23-24七年级上·甘肃武威·暑期衔接）某班全体同学参加义务植树活动，如果每人种6棵树，那么剩余15棵，如果每人种7棵树，那么还差33棵，问这个班共有人，树苗共有__________棵． 【答案】303 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是找出合适的等量关系列出方程，再求解．设这个班共有x名同学，根据等量关系：如果每人种6棵树，那么剩余15棵树苗；如果每人种7棵树，那么还差33棵树苗，列出方程求解即可． 【详解】解：设这个班共有x名同学，依题意有 ， 解得， 棵． 故答案为：303． 4．（24-25七年级上·广东河源·暑期衔接）“华南最大的人工湖”——万绿湖风景名胜区，碧波万顷，生态优美，是国家5A级旅游景区，暑假期间，景区门票定价35元/张，团队票可享受两种优惠方案： 方案一：全体人员享受门票8折优惠． 方案二：团队中4人可免票，其余成员享受门票9折优惠． (1)某团队共有40人，为节省购票费用，应选择哪种购票方案？ (2)如果该团队人数为x人（），当x为多少时，购票费用刚好相同？ 【答案】(1)该团队应该选择方案一 (2)x为36时购票费用刚好相同 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是明确方案一和方案二的收费方式，再列出方程解题． （1）分别计算出方案一和方案二的费用，再比较哪种更划算即可； （2）根据题意，可以列出方程，再求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得： 方案一的花费为：（元）， 方案二的花费为：（元）， ∵， 答：该团队应该选择方案一； （2）解：根据题意得：， 解得， 答：x为36时购票费用刚好相同． 【典型例题六 数字问题(一元一次方程的应用)】 1．（25-26七年级上·河南周口·暑期衔接）将连续的正整数1，2，3，…排成如图1所示的数表，现在用如图2所示的方框在图1中框出5个数字，分别为、、、、，若，则的值为（   ） A．1001 B．1000 C．999 D．998 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，先根据图形得出，，，，再求出，，根据列出关于a的方程，解方程即可． 【详解】解：根据题意得：，，，， ∴， ， ∵， ∴， 解得：． 故选：D． 2．（2026·七年级上 四川内江·暑期衔接）对于一个四位自然数M，它的各个位置上的数字不同且都不为0．若十位数字是千位数字的2倍，个位数字比百位数字多2，则称M为“博文数”．如：四位数4183，∵，，∴4183是“博文数”．若四位自然数是“博文数”，则这个数是________． 【答案】 【分析】本题考查新定义题型． 根据“博文数”的定义列出关于和的等式，由“博文数”的定义可得∶ 十位数字是千位数字的倍， 即，个位数字比百位数字多， 即，由此求出，的值， 验证条件后即可得到所求四位数． 【详解】解∶ 根据题意， 四位自然数是“博文数”， ，， 解得， ， 因此这个数是，符合“博文数”的定义． 1．（23-24七年级上·全国·单元测试） 与 的和为 ，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的运用，根据题意列出方程求解，即可解题． 【详解】解：由题意得， 解得， 故选：C． 2．（23-24七年级上·山东滨州·阶段检测）循环小数，可以被等同表示为，a与b为互素正整数，则的值为（    ） A．1100 B．1456 C．1561 D．1461 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设则，根据题意得出，求出，得出，，求出结果即可． 【详解】解：设，则： ， ∴， 解得：， ∴，， ∴， 故选：D． 3．（25-26七年级上·浙江温州·单元测试）两数相除，被除数、除数、商、余数之和等于75，如果把被除数和除数都扩大5倍，再相除得2余10，那么原来这两个数是( )、( )． 【答案】 48 23 【分析】本题主要考查有余数的除法问题，解题关键是理解如果被除数、除数都扩大到原来的5倍，商不变，余数变成原来的5倍． 如果被除数、除数都扩大到原来的5倍，被除数÷除数=2余10，那么扩大前商不变，但是余数也要变成扩大后的，设扩大前除数为 x，被除数为，根据被除数、除数、商、余数的和等于75，列出方程解答即可． 【详解】设扩大前除数为 x，被除数为 ， ， ∴扩大前除数为23，被除数为， 故答案为：48；23． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）有五个连续的整数，设其中最小的数为n． (1)请写出这五个数的和． (2)这五个数各是什么数时，它们的和等于300？ 【答案】(1) (2)58，59，60，61，62 【分析】本题考查整式加减及解方程． （1）表示出这五个连续整数，再求和即可； （2）根据题意得出方程，解方程求最小数n，即可求解． 【详解】（1）解：设其中最小的数为n，则五个连续整数为， ∴它们的和为． （2）解：根据题意可得， ， ， ∴五个数为58，59，60，61，62． 【典型例题七 几何问题(一元一次方程的应用)】 1．（25-26七年级上·河北保定·暑期衔接）如图1，A，B两点间的线段上排列着四位同学（同学看作点，不计长度），每两位同学间的距离相等．如图2，增加三位同学再调整位置后，每两位同学间的距离仍相等，且每两位同学间的距离减少．若设A，B两点间的距离为，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了几何问题(一元一次方程的应用)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 分别求出四位同学，七位同学时的相邻两位同学的间距，再根据两次间距相差列出方程即可． 【详解】解：设A，B两点间的距离为， 因为A，B两点间的线段上排列着四位同学（同学看作点，不计长度），每两位同学间的距离相等， 所以相邻两位同学的间距为， 增加三位同学再调整位置后，每两位同学间的距离仍相等， 此时相邻两位同学的间距为， 根据每两位同学间的距离减少， 可列出方程为：， 故选：C． 2．（25-26七年级上·安徽合肥·暑期衔接）实施乡村振兴战略是新时代“三农”工作总抓手，安徽作为农业大省，正在奋力推动乡村振兴走在全国前列．某村制定农户养殖奖励方案，每平方米每月补助金为10元．如图，王大爷计划利用长35米的竹篱笆，围成一个长边靠墙的长方形养鸡场，墙的长度为14米，围成的养鸡场的长比宽多2米，王大爷每月能领取养殖补助金为__________． 【答案】元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程，是解题的关键．设垂直于墙的一边长为x米，则另一条边长为米，根据竹篱笆的总长为35米，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设垂直于墙的一边长为x米，则另一条边长为米，根据题意得： ， 解得：， （米）， ∵， ∴此时长方形符合题意， （元）， 答：王大爷每月能领取养殖补助金为1430元． 故答案为：1430元． 1．（25-26七年级上·云南文山·暑期衔接）若长方形的长为，宽为，其周长为，则的值为（    ） A．13 B．11 C．6 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据长方形周长公式建立方程，求解未知数a． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故选：C． 2．（25-26七年级上·安徽六安·期中）将边长为的正方形卡片和边长为的正方形卡片按如图方式叠放在一起，重叠部分为长方形．若整个图形的外围周长恰好等于重叠部分周长的3倍，则重叠部分的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的周长，一元一次方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键． 先计算出两个正方形的总周长，设重叠部分的周长为，则整个图形的外围周长为，再根据整个图形的外围周长恰好等于重叠部分周长的3倍即可列方程求解． 【详解】解：由题意得，边长为的正方形周长：； 边长为的正方形周长：， ∴两个正方形周长和为：， 设重叠部分的周长为，则整个图形的外围周长为：， ∵整个图形的外围周长恰好等于重叠部分周长的3倍， ∴ ， 解得：． 故选：C． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）小明爸爸想用长的栅栏靠墙围一个如图所示的正方形养鸡场，中间用栅栏隔开，并在其中一侧开2个宽的小门，则养鸡场的面积为___________． 【答案】49 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设正方形养鸡场的边长为，理解题意且观察图形，认真分析，进行列式，解得，再算出面积，即可作答． 【详解】解：设正方形养鸡场的边长为， ∵用长的栅栏靠墙围一个如图所示的正方形养鸡场，中间用栅栏隔开，且在一侧开2个宽的小门， ∴， 解得， 即正方形养鸡场的边长为， ∴， 故答案为：49． 4．（25-26七年级上·江苏徐州·暑期衔接）一张长方形纸片，经过n次裁剪（每次沿直线剪去一个正方形），若剩下的图形为正方形，则称该长方形为“n阶奇异长方形”． 例如：图1为“1阶奇异长方形”（①、②为正方形）； 图2的2个图形均为“2阶奇异长方形”（③、④、⑤、⑥、⑦、⑧为正方形）． 设“n阶奇异长方形”的长为a，宽为． (1)若，则图1中b的值为______，图2中b的值为______与______； (2)若图3为“4阶奇异长方形”，则的值为______； (3)若，，则b的值为______（写出所有可能的结果）． 【答案】(1)3；2，4； (2)； (3)5，8，12，15 【分析】本题主要考查代数式的运用，一元一次方程的运用，理解图示，掌握代数式的运用，一元一次方程的计算是关键． （1）结合图形，由正方形的性质列式求解即可； （2）根据题意，设右上方的小正方形的边长为，由此得到，由此即可求解； （3）根据题意，分别画出3阶奇异长方形，结合图形列式求解即可． 【详解】（1）解：图1中，， ∴， 图2中，左边的图，， ∴， 右边的图，， ∴， 解得，， 故答案为：，，； （2）解：如图所示， 设右上方的小正方形的边长为， ∴，， 即， ∴， 故答案为：； （3）解：如图所示， ∴； 如图所示， ∴， 解得，； 如图所示， 设右上角的小正方形的边长为， ∴， ∴； 如图所示， 设右上角的小正方形的边长为， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，b的值为，，，． 【典型例题八 动点问题(一元一次方程的应用)】 1．（23-24七年级上·湖南郴州·暑期衔接）如图，在数轴的原点处有甲、乙两只电子蚂蚁，它们都向右爬行，已知甲蚂蚁的速度是每秒爬2个单位长度，乙蚂蚁的速度是每秒爬3个单位长度，现在甲蚂蚁先爬行5秒，乙蚂蚁再出发，当乙蚂蚁追上甲蚂蚁时，此时甲、乙蚂蚁的位置用有理数表示为（    ） A．15 B．25 C．30 D．50 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，一元一次方程的应用； 设乙蚂蚁爬行的时间为t，根据乙蚂蚁追上甲蚂蚁时，甲、乙蚂蚁表示的数相同列方程求出t的值，然后再计算此时甲、乙蚂蚁的位置表示的数即可． 【详解】解：设乙蚂蚁爬行的时间为t， 由题意得：， 解得：， ∴， 即此时甲、乙蚂蚁的位置用有理数表示为30， 故选：C． 2．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段检测）已知数轴上两点A、B表示的数为和8．甲蚂蚁从A出发，以3个单位长度/秒向右运动；同时乙蚂蚁从B出发，以2个单位长度/秒向左运动．甲蚂蚁到原点后立即返回．向相反方向运动．甲乙蚂蚁速度一直不变，设从出发开始运动时间为t秒，则经过______秒甲乙蚂蚁相距8个单位长度． 【答案】或3 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，涉及到分类讨论思想和一元一次方程的应用．解题的关键在于根据蚂蚁的运动方向、是否到达原点、是否折返等不同情况，分析它们在不同时刻的位置关系，进而列出对应的方程求解． 本题需要分情况讨论甲乙蚂蚁的位置关系，即甲蚂蚁到底原点前和甲到达原点后，根据它们的运动速度和方向，结合相距距离列出方程求解即可． 【详解】解：情况一：甲蚂蚁到达原点前，向右出发， 此时， 甲蚂蚁从A出发，甲蚂蚁表示的数为， 乙蚂蚁从B出发，乙蚂蚁表示的数为． 因为甲乙蚂蚁相距8个单位长度， 所以．解得． 满足， 即经过秒甲乙蚂蚁相距8个单位长度． 情况二：甲蚂蚁到达原点时，甲乙蚂蚁各运动了1秒， 此时甲蚂蚁表示的数为0，乙蚂蚁表示的数为6， 甲蚂蚁到达原点后，开始向左出发， 此时， 甲蚂蚁表示的数为，乙蚂蚁表示的数为． 因为甲乙蚂蚁相距8个单位长度， 所以．解得． 即经过3秒甲乙蚂蚁相距8个单位长度． 故答案为：或3． 1．（2023·七年级上 河北沧州·单元测试）规定向东为正，向西为负，将遥控小汽车两次行驶的情况表示在如图所示的数轴上，则遥控小汽车两次运动后的结果是（    ）    A．向东行驶5个单位长度 B．向西行驶3个单位长度 C．向东行驶2个单位长度 D．向西行驶1个单位长度 【答案】C 【分析】根据图象得最后停在的位置，起始位置为，然后即可得出结果． 【详解】解：根据图象得最后停在的位置，起始位置为， ∴两次运动后的结果是向东行驶2个单位长度， 故选：C． 【点睛】题目主要考查数轴上点的运动，理解题意是解题关键． 2．（23-24七年级上·河北石家庄·阶段检测）如果小虫在数轴上爬行了5个单位长度后停在表示﹣3的点上，那么小虫开始爬行的位置是表示（    ）的点． A．﹣8 B．﹣2 C．﹣8或2 D．8或﹣2 【答案】C 【分析】设小虫初始位置的值为x，根据题意分情况进行讨论，即可得到结果． 【详解】解：设小虫初始位置所表示的值为x； ①当小虫向左爬行时；则有，x-5=-3；解得x=2． ②当小虫向右爬行时；则有，x+5=-3；解得：x=-8． 故选：C． 【点睛】本题考查了数轴的知识，分析出小虫爬行的两种不同情况是正确解题的关键． 3．（24-25七年级上·河北保定·期中）有理数a，b，c在数轴上的对应点A，B，C的位置如图所示，点A与点B和点C的距离分别为3和9．原点O从点A开始，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点O运动_________秒时，． 【答案】4 【分析】本题主要查了一元一次方程的应用，数轴上两点间的距离．根据数轴上两点间的距离可得，然后根据，可列出方程，即可求解． 【详解】解：∵点A与点B和点C的距离分别为3和9， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴当点O运动4秒时，． 故答案为：4 4．（24-25七年级上·广东深圳·暑期衔接）如图1，点A、B在数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为 (1)点C为数轴上一点，若，则点C表示的数是______或______； (2)若数轴上两点表示的数字分别为a和b，则它们的中点表示的数为，例如：数轴上两点分别表示、9，则它们的中点表示的数为 ①点E从点A出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时点F从点B出发，以3个单位/秒的速度向右运动．设运动时间为t，当的中点恰好为原点时，求出t的值． ②点M在数轴上，且在点B右侧，点N在数轴上，，点P为中点，点Q为中点，求线段的长度． 【答案】(1)或； (2)①；②或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． （1）根据两点之间的距离公式求解； （2）①根据互为相反数的两个数的和0，列方程求解；②根据两点之间的距离列代数式求解． 【详解】（1）解：， 所以，， 故答案为：或； （2）解：①由题意得：， 解得：； ②设点M表示的数为m，则点P表示的数为：， 当点N在M的右边时：点Q表示的数为：， ， 当点N在M的左边时：点Q表示的数为：， ． 【典型例题九 和差倍分问题(一元一次方程的应用)】 1．（26-27七年级上·全国·暑期衔接）某小区年拥有新能源汽车的家庭有户，_____．该小区年拥有新能源汽车的家庭有多少户？如果设该小区年拥有新能源汽车的家庭有户，列式为，那么横线上应该填的条件是（    ）． A．比年的多 B．年的比年的少 C．比年的少 D．年的比年的多 【答案】A 【分析】设该小区年拥有新能源汽车的家庭有户，根据方程进行分析即可得到答案． 【详解】解：根据方程，可知年拥有新能源汽车的家庭数量比年拥有新能源汽车的家庭数量多． 2．（25-26七年级上·重庆·课后作业）实验小学六年级（1）班分成两个活动小组，第一小组30人，第二小组36人．现将第一小组人数调整为第二小组人数的一半，则应从第一小组调________人到第二小组． 【答案】8 【分析】设出未知数，再根据倍数关系列一元一次方程求解即可 ． 【详解】解：设应从第一小组调x人到第二小组， 则有，解得， 则应从第一小组调8人到第二小组． 1．（26-27七年级上·全国·暑期衔接）甲数为80，求乙数．如果设乙数为，可以用方程“”来表示两数之间等量关系．横线上需要补充的信息是（    ）． A．甲数比乙数的3倍多7 B．乙数比甲数的3倍多7 C．甲数比乙数的3倍少7 【答案】C 【详解】解：A．甲数比乙数的3倍多7，列方程为：．不符合题意． B．乙数比甲数的3倍多7，列方程为：．不符合题意． C．甲数比乙数的3倍少7，列方程为：．符合题意． 所以，横线上需要补充的信息是甲数比乙数的3倍少7． 2．（2026·七年级上 河南周口·暑期衔接）河南多地推行城市口袋公园建设，某公园计划种植月季和蔷薇两种花木，已知种植月季的数量比蔷薇的2倍少15株，设蔷薇种植x株，一共种植花木285株，列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题意用含的代数式表示出月季的种植数量，再根据两种花木总种植数量为株，列出等式判断正确选项． 【详解】解：∵设蔷薇种植株，种植月季的数量比蔷薇的倍少株， ∴月季的种植数量为株， ∵一共种植花木株，即蔷薇数量与月季数量之和为， ∴列方程得 ，整理得 ． 3．（2026·七年级上 陕西咸阳·暑期衔接）2026年4月1日，第五届天宫画展“天地同绘·榜样引航”主题活动在首都博物馆正式启动．某中学七年级有180名学生去观看天宫画展，若男生人数是女生人数的2倍少30人，则参观天宫画展的这180名学生中女生有______人． 【答案】70 【分析】设女生人数有人，根据男生人数与女生人数的数量关系，结合总人数为180人，建立一元一次方程求解即可． 【详解】解：设参观天宫画展的女生有人，则男生人数为人， 由题可得：， 解得：， ∴参观天宫画展的这180名学生中女生有人． 4．（25-26七年级上·河南周口·期中）校园国学堂购进《论语》《孟子》共50本，《论语》每本18元，《孟子》每本15元，一共花费810元．求两种书各购进多少本？（列一元一次方程解答） 【答案】《论语》20本，《孟子》30本 【分析】设《论语》x本，则《孟子》本，根据“《论语》每本18元，《孟子》每本15元，一共花费810元”列方程求解即可． 【详解】解：设《论语》x本，则《孟子》本， ， 解得， ∴． 答：《论语》20本，《孟子》30本． 【典型例题十 电费和水费问题(一元一次方程的应用)】 1．（24-25七年级上·广东深圳·暑期衔接）为提高人们节约用水的意识，某市对“生活用水”实行分段计费，收费标准为：每月用水不超过立方米，则单价为元立方米；超过立方米的部分，单价为元立方米．小明家月份水费为元，设用水立方米（），以下方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设用水立方米（），根据题意列出一元一次方程，即可求解． 【详解】解：设用水立方米（），根据题意得 故选：B． 2．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·单元测试）亮亮家所在城市利用“分时阶梯”的方式计算电价，收费标准如下表： 时段 峰时 谷时 每千瓦时电价 元 元 亮亮家十二月份用电千瓦时，并且谷时用电量是峰时用电量的，则亮亮家十二月需要缴纳电费__________元． 【答案】 【分析】设峰时用电量为千瓦时，则谷时用电量为千瓦时，根据题意得，据此即可求得答案． 【详解】设峰时用电量为千瓦时，则谷时用电量为千瓦时． 根据题意，得 ， 解得 ． 则峰时用电量为千瓦时，则谷时用电量为千瓦时． 亮亮家十二月需要缴纳电费(元)． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的实际应用，能根据题意得到方程是解题的关键． 1．（2023·七年级上 湖北武汉·单元测试）为保护环境，充分利用水资源，某市规定：每户每月定额用水，不超过立方米时，每立方米元；超过立方米时，超过的部分，每立方米另加收元的高额排污费，每户每月所交水费（元）与每月用水量（立方米）的关系如图所示，则等于（　　） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】根据图示，不超过立方米时，每立方米元，当用水量是立方米水的总价是元，由此求得的值，即不收排污费时的用水量；当用水量是立方米的总结是元，即另立方米水多付了超过部分的费用，数量关系是“立方米水的费用加上多的立方米水的费用加上立方米水加收的费用，总价是元”由此即可求出的值． 【详解】解：由图可知，当用水量是时，水费为元， ∵不超过立方米时，每立方米元， ∴，即（元）， 当用水量是，水费为元， ∵超过立方米时，超过的部分，每立方米另加收元的高额排污费， ∴， 解方程得：（元）， 故选：． 【点睛】考查函数的应用，根据图像求得的值是解决本题的突破点，求得吨水的总治污费是解决本题的难点．解题的关键是不超过时的费用与超过时的费用之间的等量关系． 2．（23-24七年级上·云南文山·暑期衔接）为鼓励居民节约用水，某市对居民用水实行“阶梯收费”，规定每户每月用水量不超过10吨，水价为每吨2元；超过10吨的部分每吨3.5元．已知小莉家某月交水费34元，则小莉家该月用水多少吨？若设小莉家该月用水x吨，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设小莉家该月用水x吨，根据水费的计算方法，每户每月用水量不超过10吨，水价为每吨2元，超过10吨的部分每吨3.5元，将x吨水分为两部分，10吨和超过10吨的部分，分别算出水费相加，列出关于x的方程即可． 【详解】解：设小莉家该月用水x吨，根据题意得： ，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系，是解题的关键． 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）一地下停车场的收费标准：1小时内收3元，超过1小时，超过部分每小时收5元．李叔叔在这个停车场停车花了13元，他停了________小时． 【答案】3 【分析】先设李叔叔停车x小时，根据题意列出一元一次方程，再求出解即可． 【详解】解：设李叔叔停车x小时，根据题意，得 ， 解得． 所以李叔叔停了3小时． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系列出一元一次方程是解题的关键． 4．（25-26七年级上·全国·课堂例题）为了倡导节约用水，某市自去年开始实行阶梯水价．具体收费标准如下：每户每月用水量不超过12吨，每吨3.2元；超过12吨的部分，每吨4.6元． (1)林敏家今年5月用水15吨，他家应付多少元水费？ (2)马老师家5月份共交了84.4元水费，马老师家5月份一共用水多少吨？ 【答案】(1)林敏家今年5月用水15吨，他家应付52.2元水费 (2)马老师家5月份一共用水22吨 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）15吨大于12吨，所以把15吨分成两部分，第一部分是12吨，按照每吨3.2元缴费；第二部分是剩下的3吨，按照每吨4.6元缴费，分别根据总价＝单价×数量求出两部分需要缴费的钱数，再相加； （2）设他家5月份用水x吨，先确定用水12吨应交的水费为38.4元，可知他家5月份用水超过12吨，超过12吨部分的水费为元，可列方程，解方程求出x的值即可． 【详解】（1）解：（元）， （元）， （元）， 答：林敏家今年5月用水15吨，他家应付52.2元水费． （2）解：设马老师家5月份一共用水x吨， 用水12吨时，水费为（元）， ∵84.4元＞38.4元， ∴马老师家5月份5月份用水量超过了12吨， 根据题意得， 解得， 答：马老师家5月份一共用水22吨． 【典型例题十一 行程问题(一元一次方程的应用)】 1．（25-26七年级上·河南周口·期中）某同学跑步训练，先匀速慢跑，再加速冲刺，冲刺路程为200米，若设时间为x分钟，路程关系式满足方程，该方程解的实际意义是（    ） A．匀速慢跑的速度大小 B．匀速慢跑的训练时间 C．总路程 D．剩余距离 【答案】B 【分析】题目已定义x为时间，解一元一次方程得到x的值，结合变量定义即可判断解的实际意义． 【详解】解：原方程为， 解得：． ∵题目中明确x代表时间（单位：分钟）， ∴该方程的解的实际意义是对应匀速慢跑的训练时间． 2．（25-26七年级上·全国·暑期衔接）如图，在一条东西方向的公路上有A，B两个站点，两站相距40千米，甲车从A站出发，以48千米/时的速度向东匀速行驶，同时乙车从B站出发，以36千米/时的速度向东匀速行驶，设t小时后甲车追上乙车，则t的值是__________．    【答案】 【分析】本题主要考查的是一元一次方程的应用，明确题中的数量关系是解题的关键． 分析题意可得等量关系：甲车走的路程乙车走的路程，根据题意可知，小时甲车走的路程为，乙车走的路程为，据此即可得到关于的方程． 【详解】解：若设小时后甲车追上乙车， 由题意： 解得． 则的值是． 故答案为：． 1．（23-24七年级上·广西桂林·暑期衔接）小明与小红的家相距公里，小明打算从家里出发骑自行车去小红家，于是小明电话告诉小红要求小红骑自行车去接他．小明出发分钟，小红才从家里出发去接小明，已知小明骑自行车每小时行驶公里，小红骑自行车每小时行驶公里，若小红出发小时后两人相遇，根据题意列方程是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先统一时间单位，确定两人的骑行时长、路程，根据“两人骑行路程之和等于两家总距离”列方程． 【详解】解：分钟小时， 小红骑行小时的路程为：(公里)， 小明骑行小时的路程为：(公里)， 相遇时两人路程和等于两家的距离公里，因此列方程得：． 2．（25-26七年级上·云南昆明·暑期衔接）滇池绿道风光宜人，吸引了众多骑行爱好者．小官和小渡周末在滇池绿道骑行，小官骑行3小时和小渡骑行5小时的总路程为102千米．已知小官的骑行速度比小渡的骑行速度每小时快2千米，求小官、小渡的骑行速度．设小渡的骑行速度为千米/小时，根据题意，可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设小渡的骑行速度为千米/小时，则小官速度为千米/小时，根据路程和列方程． 【详解】解：∵小官速度比小渡每小时快2千米，小渡速度为x千米/小时， ∴小官速度为千米/小时， ∵小官骑行3小时路程为千米，小渡骑行5小时路程为千米，总路程102千米， ∴． 故选：C． 3．（25-26七年级上·山西阳泉·暑期衔接）某校科技小组研发了两款机器人甲和乙，为测试这两款机器人的性能，让机器人在笔直的测试道上运动．已知测试道的长为，如图是其测试示意图．机器人甲以每分钟的速度从点出发，机器人乙以每分钟的速度从点出发，，两个机器人到达终点均停止运动．若两个机器人同时出发，则机器人甲追上机器人乙时，它们与终点相距___________． 【答案】6 【分析】本题考查了一元一次方程的应用－行程问题． 首先求出，设t分钟机器人甲追上机器人乙，根据甲追上乙时比乙多走了的长度列方程列出t的值，然后再求它们与终点的距离． 【详解】解：设t分钟机器人甲追上机器人乙， ∵，的长为， ∴， 由题意，得， 解得， ∴机器人甲追上机器人乙时，它们与终点相距：． 故答案为：6． 4．（26-27七年级上·全国·暑期衔接）只列方程不计算． 甲、乙两辆汽车同时从同一地点出发，相背而行，小时后相距千米．甲车的速度是千米/时，乙车的速度是多少千米/时？ 【答案】 【分析】根据“路程时间速度和”，两车行驶时间为小时，甲车速度为42千米/时，乙车速度为x千米/时，两车行驶路程为216千米，则，据此解答． 【详解】解：设乙车的速度是x千米/时， 两车行驶时间为小时，甲车速度为42千米/时，乙车速度为x千米/时，两车行驶路程为216千米， 可得． 【典型例题十二 比例分配(一元一次方程的应用)】 1．（24-25七年级上·天津北辰·单元测试）把一根木料锯成段要分钟，以同样的速度锯成段要分钟，正确的列式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程，锯成段需要锯次，锯木料的时间与锯的次数成正比可得比例关系． 【详解】∵锯成段需锯：（次），用时分钟， ∵锯成段需锯（次），用时分钟， 由于每次锯木料的时间是固定的，根据锯木料的时间与锯的次数成正比，可得比例关系： ， 故选：B． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）甲、乙、丙三人同做某种零件，已知在相同的时间内，甲、乙、丙三人做的零件个数比为．现在甲、乙、丙三人一起做了51个零件，则丙做了________个零件． 【答案】24 【分析】本题考查了列方程解应用题，设未知数，利用等量关系列方程是解题的关键. 【详解】解：设甲做了个零件，由甲、乙、丙三人做的零件个数比为，则乙做了个零件，丙做了个零件，得： ， 解得：， ， 故答案为： ． 1．（25-26七年级上·河北邯郸·单元测试）一种石灰与水混合后的石灰浆，石灰与水的质量比是．现在向石灰浆中加入120千克水，要使石灰与水的质量比不变，还应加入（    ）千克石灰． A．150 B．90 C．80 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用：比的应用，解题的关键是：根据题意，设应加入x千克石灰，根据石灰与水的质量比是，列出比例，解方程即可． 【详解】解：根据比例关系，设原有石灰和水的质量分别为和千克，加入120千克水后，总水量变为千克，设需加入x千克石灰，使石灰与水的质量比不变，根据题意得： ， 解这个方程得：， 要使石灰与水的质量比不变，还应加入90千克石灰， 故选：B． 2．（23-24七年级上·河南郑州·单元测试）参加某次数学竞赛的女生和男生人数的比是1：3，这次竞赛的平均成绩是82分，其中男生的平均成绩是80分，女生的平均成绩是（     ） A．82分 B．86分 C．87分 D．88分 【答案】D 【分析】根据题意，可找出数量间的相等关系:女生的平均成绩男生的平均成绩全班平均成绩，设女生的平均成绩是，列方程解答即可． 【详解】解：设女生的平均成绩是x，因为总成绩不变，根据题意列方程： 故答案为D． 【点睛】解答此题关键是先求出全班的总成绩和男生的总成绩，然后求出女生的总成绩，进而求出女生的平均成绩． 3．（23-24七年级上·福建莆田·阶段检测）甲煤场有煤432吨，乙煤场有煤96吨，现从别的煤场调煤240吨，要使甲煤场的存煤数是乙煤场的存煤数的2倍，设调配到甲煤厂x吨，依题意，列出的方程是_______________ 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，根据甲煤场的存煤数是乙煤场的存煤数的2倍列方程即可． 【详解】解：设调配到甲煤厂x吨，则调配到乙煤厂吨， 依题意，得， 故答案为：． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）某农户为消灭棉田中的害虫，需配制一种药水．已知这种药水中药液与水的质量比为．配制这种药水，需要多少千克的这种药液？ 【答案】10千克 【分析】此题考查了列一元一次方程解应用题，解题的关键是审题，找到题目中的数量关系．根据药液与水的质量比为，可得出药液在药水中的比例，进而计算所需药液质量． 【详解】解：药液与水的质量比为，则药液与药水的质量比为， 设需要药液质量为千克，则药水质量为千克， 由题意，， 解得． 答：需要10千克的这种药液． 【典型例题十三 日历问题(一元一次方程的应用)】 1．（24-25七年级上·四川广安·暑期衔接）在一张月历上，用的正方形方框任意框出9个数，它们的和可能是（   ） A．83 B．116 C．99 D．63 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式，设用的正方形方框任意框出9个数，中间一个数为x，这9个数的和为y，可以用含x的代数式表示另外8个数，进而可得， 进而可得结论． 【详解】解：设用的正方形方框任意框出9个数，中间一个数为x，这9个数的和为y， 我们可以用含一个字母的代数式表示其他8个字母了，从左至右，从上到下，分别为，，，，，，，．所以这9个数的和是， 故， ∴这9个数的和是9的整数倍，可能是99或63， 又∵时，，则不符合题意， ∴这9个数的和可能是99． 故选：C． 2．（25-26七年级上·北京平谷·暑期衔接）如图，是2026年1月的日历，用如图所示的十字方框去圈住图中的五个数字，当正中间的数字是9时，这五个数字的和为______；移动十字方框，若被圈住的五个数字之和为105，则被圈住的五个数字正中间的一个为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程与日历有关的应用题，列代数式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，设十字方框的正中间的数字为，则其他四个数分别为，得出这五个数字的和为，结合当正中间的数字是9时，算出这五个数字的和；然后根据被圈住的五个数字之和为105，进行列方程，再解方程，即可作答． 【详解】解：设十字方框的正中间的数字为， 则其他四个数分别为， ∴， 则这五个数字的和为， ∵正中间的数字是9， ∴这五个数字的和为， ∵被圈住的五个数字之和为， ∴， ∴， ∴被圈住的五个数字正中间的一个为， 故答案为：， 1．（24-25七年级上·重庆江津·暑期衔接）针对如图月历，方框中是相邻三行三列的九个数，不改变方框大小，移动方框，则框中九个数的和不可能是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式加减的实际应用，设方框中间的数为，则其它数依次为、、、、、、、，可得九个数的和为，据此逐项判断即可求解，掌握整式的加减运算是解题的关键． 【详解】解：设方框中间的数为，则其它数依次为、、、、、、、， ∴九个数的和为， ∴九个数的和为的整数倍， 当时，，九个数分别为，，，，，，，，，符合题意； 当时，，九个数分别为，，，，，，，，，符合题意； 当时，，九个数分别为，，，，，，，，，符合题意； 当时，， ∵，不合题意； ∴框中九个数的和不可能是， 故选：． 2．（23-24七年级上·江苏连云港·单元测试）在月历中，一个竖列中4个相邻日期的和是，且本月的第一天恰好为星期六，那么这4天都是（　　） A．星期三 B．星期四 C．星期五 D．星期六 【答案】A 【分析】设这四个日期中最小一个为，则另外三个分别为，根据题意列出方程并求解，再根据本月的第一天恰好为星期六即可推算出这天都是星期几． 【详解】解：设这四个日期中最小一个为，则另外三个分别为， 根据题意得，， 解得：， ∴这四个日期中最小的是5号， ∵本月的第一天恰好为星期六， ∴这4天都是星期三． 故选：A． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，根据“一个竖列中个相邻日期的和是”列出关于的一元一次方程是解题关键． 3．（23-24七年级上·贵州遵义·暑期衔接）图1是生活中的日历，小丽同学用下列形状（图2）覆盖日历中的5个数字，若覆盖的5个数字之和为106，则A表示的数是______．    【答案】18 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据日历中上下相邻的两个数相差7，左右相邻的两个数相差1，设A表示的数是x，即可表示出其它4个数，再根据5个数字之和为106，列出方程即可求出x的值． 【详解】解：∵日历中上下相邻的两个数相差7，左右相邻的两个数相差1， ∴设A表示的数是x， 则其它4个数为， 由题意得，， 解得， 即A表示的数是18， 故答案为：18． 4．（25-26七年级上·湖北黄石·暑期衔接）如下图是2025年某月的月历． (1)如果用带阴影形状的框任意框住4个数分别为a、b、c、d，设框中的日期a为x．用含x的代数式表示： ， ， ， ． (2)若框出的4个数的和为26，求框出的是这个月哪几天？ (3)框出的4个数的和可能是62吗？若能，求出这4个数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，，， (2)框出的是这个月的，，，； (3)不能，理由见详解 【分析】本题主要考查一元一次方程与日历的计算，理解图示，掌握一元一次方程解实际问题的方法是关键． （1）根据表格，运用字母表示数即可； （2）根据题意，结合（1）得，，解方程即可； （3）根据题意列式求解，结合日历图示判定即可． 【详解】（1）解：设框中的日期a为x， ∴，，， ∴， 故答案为：，，，； （2）解：由（1）得，， 解得，， ∴，，， ∴框出的是这个月的，，，； （3）解：不能，理由如下， 根据题意，， 解得，， 根据日历图示得到，是（从上往下）第二行的结尾，是第三行的首部，不符合题目中阴影图形， ∴框出的4个数的和不可能是62． 【典型例题十四 古代问题(一元一次方程的应用)】 1．（2026·七年级上 湖南长沙·阶段测试）《孙子算经》记载经典盈亏问题：若干农户均分粮食，若每人分6斗，剩余4斗；若每人分8斗，还差6斗．设一共有名农户，下列方程符合题意的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，解题核心是抓住粮食总量不变，分别根据两种分粮情况表示出粮食总量，令二者相等即可得到符合题意的方程. 【详解】解：设一共有名农户，粮食总量固定不变. ∵每人分斗，剩余斗， ∴粮食总量为 ； ∵每人分斗，还差斗，说明现有粮食总量比少斗， ∴粮食总量为 ； ∵粮食总量相等， ∴得方程 . 2．（2026·七年级上 陕西渭南·暑期衔接）中国古代数学著作《九章算术》中有一题，对其改编如下：“现有一根均匀金锤，若截去三尺，剩下的共重四斤；若截去五尺，剩下的共重二斤，问该金锤每尺重多少斤？”若设该金锤每尺重x斤，则可列方程为________． 【答案】 【分析】设该金锤每尺重x斤，根据截去三尺，剩下的共重四斤；截去五尺，剩下的共重二斤，列出方程即可． 【详解】解：设该金锤每尺重x斤，根据题意得： ； 1．（2026·七年级上 湖南岳阳·阶段测试）《九章算术》卷七“盈不足”中记载：今有童子分桃，人得四桃，则余二桃；人得六桃，则缺八桃，问童子与桃各几何？翻译为：现在有一群儿童分桃子，如果每人分4个桃子，就会多出2个桃子；如果每人分6个桃子，就还差8个桃子，求儿童和桃子分别有多少．设儿童有人，根据桃子总数不变，所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设儿童有人， 根据题意得，． 2．（25-26七年级上·湖南长沙·暑期衔接）我国古代有很多经典的数学古算诗，其中一首是：“分糖笑语满庭芳，糖数人数两茫茫．每人三颗多十颗，每人五颗少六颗．”大意：一些小孩在庭院高兴地分糖，糖数和人数都未知，每人3颗多颗；每人5颗少6颗．设共有人，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．根据糖总数不变，每人3颗多颗即糖数为颗，每人5颗少6颗即糖数为颗，两者相等为等量关系列方程即可． 【详解】解：设共有人，根据题意得： ． 故选：A． 3．（2026·七年级上 陕西咸阳·单元测试）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题，现对该问题改编如下：某人买了一批椽，每株椽的价格是135文，每株椽的运费是3文，椽的总价和总运费一共是6210文，设买椽的数量为株，则根据题意可列方程为___________． 【答案】 【详解】解：设买椽的数量为株， ∴． 4．（24-25七年级上·河南郑州·单元测试）古希腊有一位伟大的数学家叫丢番图，他的墓碑留下了可贵的资料，碑文大意如下：他一生的 是幸福的童年， 是无忧无虑的青年．又过了一生的 ，丢番图结了婚．再过5年儿子出生，可这孩子在世界上的时间只有他父亲的一半．儿子去世以后，丢番图在悲痛中又活了4年，也去世了．你能算出丢番图活了多少岁吗？ 【答案】84岁 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是根据丢番图一生各阶段的时间占比和具体年数，找出等量关系列出方程求解． 设丢番图活了x岁，分别表示出童年、青年、结婚后到儿子出生前、儿子在世及悲痛中生活的时间，根据各阶段时间之和等于他的总年龄列方程求解即可． 【详解】解：设丢番图活了x岁，根据题意得： ， 解得：． 答：丢番图活了84岁． 【典型例题十五 其他问题(一元一次方程的应用)】 1．（25-26七年级上·河南周口·期中）某校劳动实践基地种植蔬菜，安排x人除草，每人除草6平方米，还剩4平方米未除；若每人除草7平方米，则少2平方米．可列一元一次方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据除草总面积不变列方程，分别用含x的式子表示两种情况下的除草总面积，令两式相等即可得到方程． 【详解】解：∵安排x人除草，除草的总面积保持不变， 第一种情况：每人除草6平方米，还剩4平方米未除， ∴除草总面积为， 第二种情况：每人除草7平方米，少2平方米， ∴除草总面积为， ∵总面积相等， ∴可列方程． 2．（25-26七年级上·上海·期中）为了让学生有更多好的图书可读，学校今年共花元添置新图书，今年比去年经费增长了，那么去年的图书经费需要_______元． 【答案】 【分析】设去年图书经费为元，根据“今年比去年经费增长了”得到等量关系，即去年经费今年经费，据此求解即可． 【详解】解：设去年的图书经费为元， 根据题意列方程得： 整理得 解得． 1．（2026·七年级上 河南周口·暑期衔接）情景题某社区推行垃圾分类积分兑换生活用品，已知3个积分可兑换1包纸巾，5个积分可兑换1瓶洗手液．若小明现有x个积分，兑换了4包纸巾和2瓶洗手液，恰好用完积分，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题中等量关系为：总积分等于兑换纸巾的积分和兑换洗手液的积分之和，据此即可列出方程． 【详解】解：∵3个积分兑换1包纸巾，兑换4包纸巾需要的积分为， 5个积分兑换1瓶洗手液，兑换2瓶洗手液需要的积分为 ， 已知总积分恰好用完，总积分等于兑换两种物品的积分和， ∴ 可列方程 ． 2．（2026·七年级上 四川成都·阶段测试）现有大、小两种容器共20个，每个大容器容积为40升，每个小容器容积为30升，现有液体720升，将液体全部装入容器中，容器空余的容量恰为20升．问应配置大容器多少个，才符合要求？设配置大容器个，根据题意列出方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得小容器数量为个，再根据“每个大容器容积为40升，每个小容器容积为30升且现有液体720升，将液体全部装入容器中，容器空余的容量恰为20升”进行列方程即可． 【详解】解：∵设大容器有个，且总共有20个容器， ∴小容器数量为个， ∵每个大容器容积为40升，每个小容器容积为30升， ∴大容器总容积：升，小容器总容积：升， ∴所有容器的总容积为：升， 根据题意得，． 3．（2026·七年级上 陕西渭南·单元测试）秦岭山脉有着“国家中央公园”“国之绿肺”之称，是重要的生态安全屏障．为保护秦岭的生态环境，某校组织师生前往秦岭进行植树活动，已知本次活动种植侧柏和油松的总数量为270棵，且侧柏的数量是油松数量的，则本次活动种植侧柏______棵． 【答案】120 【详解】设本次活动种植油松棵， 则种植侧柏棵． 根据题意列方程，得： 解得： 则侧柏的数量为：（棵）． 4．（25-26七年级上·重庆·课后作业）某物流公司有两种快递分拣机，A机每小时分拣600件，B机每小时分拣720件．B机因检修晚开半小时，B机工作多长时间后，其总处理量开始超过A机？ 【答案】2.5小时 【分析】设B机工作x小时后，总处理量正好等于A机，根据题意建立方程，求出B机总处理量正好等于A机所用时间，即可得到B机总处理量首次超过A机所用时间． 【详解】解：设B机工作x小时后，总处理量正好等于A机， 由题意得， 解得， 则大于时，可得大于， 所以，B机工作2.5小时时间后，其总处理量开始超过A机． 1．（25-26七年级上·上海金山·期中）有甲、乙两家汽车销售公司，甲公司“五一黄金周”销售了24辆A型汽车，_______，问乙公司“五一黄金周”销售了A型汽车多少辆？如果设乙公司销售了A型汽车x辆，解决这个问题列出的方程为“”，则横线上的信息是（     ） A．甲公司销售A型汽车的数量比乙公司减少 B．甲公司销售A型汽车的数量比乙公司增加 C．乙公司销售A型汽车的数量比甲公司减少 D．乙公司销售A型汽车的数量比甲公司增加 【答案】B 【分析】本题已知乙公司销量为，根据给出的方程整理变形，结合百分数应用题的数量关系，即可判断横线上的条件． 【详解】解：∵设乙公司销售A型汽车辆，给出方程为， 整理方程得， 该式表示甲公司销量乙公司销量乙公司销量的， ∴甲公司销售A型汽车的数量比乙公司增加． 2．（24-25七年级上·浙江台州·暑期衔接）把一些图书分给某班学生阅读，如果_____；如果每个同学分4本，则缺25本．设这个班级有x名学生，可列出方程．则横线的信息可以是（   ） A．分给3个同学，则剩余20本 B．每个同学分3本，则剩余20本 C．分给3个同学，则缺20本 D．每个同学分3本，则缺20本 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据“如果每个同学分4本，则缺25本”，结合这个班级的人数，可得出这些图书共有本，结合所列方程，可得出这些图书共有本，进而可得出横线的信息，根据所列方程，找出缺失的条件是解题的关键． 【详解】解：如果每个同学分4本，则缺25本，且这个班级有名学生， 这些图书共有本， 所列方程为， 这些图书共有本， 横线的信息可以是：每个同学分3本，则剩余20本． 故选：B． 3．（26-27七年级上·全国·暑期衔接）数量关系不能用表达的是（    ）． A．公园里有一条长方形的甬道，长x米，宽米．如果宽增加到米，面积则增加20平方米． B．三个同学跳绳，小明跳了x个，小强跳的个数是小明的，小亮跳的个数是小明的，小亮比小强少跳了20个． C．商店售卖x件服装，第一周卖了全部的，第二周卖了余下的，第一周比第二周多卖了20件． D．从A地到B地，有甲、乙、丙三条路，甲路长x千米，乙是甲的，丙是甲的，乙比丙长20千米． 【答案】C 【分析】根据题意列出对应选项中的方程即可得到答案． 【详解】解：A、根据题意列方程，展开得，符合题干数量关系，故此选项不符合题意； B、根据题意列方程，符合题干数量关系，故此选项不符合题意； C、根据题意列方程，展开得，不符合题干数量关系，故此选项符合题意； D、根据题意列方程，符合题干数量关系，故此选项不符合题意； 4．（24-25七年级上·广西柳州·暑期衔接）已知线段上有两个点、，，、为动点（点在点的左侧），并且始终保持，若点从点出发向右运动（当点到达点时立即停止），运动的速度为每秒2个单位长度，当运动时间为多少秒时，、两条线段中，一条的长度恰好是另一条的两倍（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离，分两种情况：进行讨论即可求解． 【详解】设运动时间为t秒 当时，依题意有， 解得； 当时，依题意有， 解得． 故当运动时间t为或秒时，使、两条线段中，一条的长度恰好是另一条的两倍． 故选：C． 5．（25-26七年级上·河南新乡·暑期衔接）已知数轴上的点A，B，C分别表示，若数轴上存在点，使，则点表示的数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离公式、绝对值方程等知识点，正确列出绝对值方程是解题的关键． 先根据数轴上两点间距离公式求出的长度，再设点P表示的数为x，利用列出绝对值方程求解即可． 【详解】解：∵数轴上点A，B，C分别表示， ∴． 设点P表示的数为x， ∴， ∵， ∴， ∴或． 当时，， 当时，， ∴点P表示的数为或． 故选C． 6．（2026·七年级上 山西吕梁·暑期衔接）某景区单独购票为每人元，团体购票为每人元．某旅游团按团体购票比单独购票总共节省费用元，则该旅游团人数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设该旅游团人数为人，根据“单独购票总费用减去团体购票总费用等于节省的费用”列方程求解即可． 【详解】解：设该旅游团人数为人， ， 解得． 故选：C． 7．（24-25七年级上·浙江绍兴·单元测试）某次“最强大脑”比赛，每个选手都需回答20道题，答对一题得7分，答错一题倒扣4分，王刚答完了全部道题，得了63分，他答对了（     ）道题． A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】D 【分析】先设王刚答对了道题，再根据题意列方程，即可解答． 【详解】解：设王刚答对了道题，则答错了道题， 由题意得，， 解得，， 即他答对了道题． 8．（24-25七年级上·安徽合肥·单元测试）一盒薯片的购入价为元，王老板订购一批薯片后，以元的价格卖出，在卖到还剩12盒时，他已获利16元，求王老板购入薯片的数量．若设王老板购入盒薯片，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“获利=卖出总销售额购入总成本”的等量关系，梳理已知量即可列出正确方程； 【详解】解：∵设王老板购入x盒薯片，卖到还剩12盒时，卖出的数量为盒， ∴卖出薯片获得的总销售额为元， 购入所有薯片的总成本为元， ∵此时已经获利16元， ∴可列方程，因此选项C正确； 9．（25-26七年级上·山西阳泉·暑期衔接）在某市“智慧交通”项目建设中，一支工程队负责安装新型路侧通信单元．如果每天安装30台设备，会比原计划提前1天完成安装任务；如果每天安装20台设备，会比原计划推迟1天完成安装任务．若设原计划安装天完成任务，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，熟练掌握根据“总工作量不变”建立等量关系是解题的关键．抓住“总设备数不变”这一核心，分别表示出两种安装速度下的总设备数，再根据相等关系列出方程． 【详解】解：设原计划安装天完成任务，则根据题意可列方程为 ， 故选：A． 10．（2026·七年级上 河北邢台·阶段测试）学校组织12名校工检修智能教室的桌椅，每人每小时平均能检修3张智能课桌或6把座椅，1张智能课桌配套4把座椅，若安排x名校工检修智能课桌，其余校工检修座椅，且智能课桌和座椅刚好配套，则可以列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题为一元一次方程的配套问题，先根据表示出检修课桌和座椅的总数量，再结合配套关系列方程即可． 【详解】∵安排名校工检修智能课桌，总共有12名校工， ∴检修座椅的校工人数为， ∵每人每小时平均检修3张智能课桌， ∴每小时检修的智能课桌总数为张， ∵每人每小时平均检修6把座椅， ∴每小时检修的座椅总数为把， ∵1张智能课桌配套4把座椅，刚好配套时满足座椅总数课桌总数， ∴列方程得． 11．（2025七年级上·全国·专题练习）原计划m个人用a天完成一项任务，若减少n个人，则完成任务所需要的天数是__________． 【答案】 【分析】本题考查的是工程问题中的工作量、人数与工作时间的关系，解题关键是先求出总工作量，再结合变化后的人数计算所需时间． 先算出总工作量为（每人每天工作量视为 1），再用总工作量除以减少人数后的工作人数，得到所需天数． 【详解】总工作量为．减少 个人后，人数为 ， 设所需天数为，则 ， 解得 ． 故答案为． 12．（25-26七年级上·浙江杭州·暑期衔接）学校门口的蜜雪冰城推出两款500毫升的冰鲜柠檬水：A款为“3分糖”（糖浓度为），B款为“7分糖”（糖浓度为）．小明想用这两款柠檬水混合调配成“4分糖”（糖浓度为）的柠檬水．若他购买了3杯A款，则还需要购买______杯B款． 【答案】 【分析】设还需要购买x杯B款，根据A款含糖量款含糖量混合后“4分糖”（糖浓度为）的柠檬水含糖量，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设还需要购买x杯B款，根据题意得： ， 解得：， 即还需要购买1杯B款． 13．（23-24七年级上·浙江温州·期中）下表是某市居民出行方式以及收费标准：（不足1千米按1千米算） 打车方式 出租车 3千米以内8元；超过3千米的部分元/千米 滴滴快车 路程：元 /千米；时间：元/分钟 说明 打车的平均车速千米/时 假设乘坐8千米，耗时：分钟；出租车收费：元；滴滴快车收费：元． 为了提升市场竞争力，出租车公司推出行驶里程超过千米立减元活动．小聪乘坐出租车从甲地到达乙地支付车费元，若改乘滴滴快车从甲地到乙地，则需支付______元． 【答案】或 【分析】分两种情况进行分析：（1）没有超过千米；（2）超过享受优惠；分别计算即可． 【详解】解：设此次的路程为千米， 若此次路程没有超过千米， 则， 解得：千米， 则改乘滴滴快车从甲地到乙地，需支付元； 若此次路程超过千米， 则， 解得：千米， 则改乘滴滴快车从甲地到乙地，需支付元； 综上：若改乘滴滴快车从甲地到乙地，则需支付元或元， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用－分段收费问题，读懂题意，列出方程是解本题的关键． 14．（26-27七年级上·全国·暑期衔接）一辆汽车原计划6小时从A城到B城．汽车行驶了一半路程后，因故在途中停留了30分钟．如果按照原定的时间到达B城，汽车在后一半路程的速度就应该提高12千米/时，那么A、B两城相距___________千米． 【答案】 【分析】设原来的速度为v千米/时，则后一半路程为千米，而后一半路程需要的时间为小时，据此根据路程等于速度乘以时间建立方程求解即可． 【详解】解：设原来的速度为v千米/时，则后一半路程为千米， 由题意得，， 所以， 所以， 所以，即， 所以 千米， 所以A、B两城相距千米． 15．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）嫦娥五号于2020年12月某一天返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆，探月工程嫦娥五号任务取得圆满成功，将中国古代神话“嫦娥奔月”的传说变成了现实，若返回时间是2020年12月日历中某竖列上相邻三个数中最小的一个数，且其和为72，则嫦娥五号返回器返回的具体日期是 ____号． 【答案】17 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，解决的关键是观察图形找出数之间的关系，从而找到三个数的和的特点．一竖列上相邻的三个数的关系是：上面的数总是比下面的数小7．可设中间的数是，则上面的数是，下面的数是．则这三个数的和是，故． 【详解】解：设中间的数是，则上面的数是，下面的数是．则这三个数的和是． 所以． 解得． 所以． 即嫦娥五号返回器返回的具体日期是17号． 故答案为：17． 16．（2026·七年级上 湖南长沙·阶段测试）为进一步提升城市形象，驱动消费，长沙某地准备开展音乐节活动．长沙文旅计划组织140名志愿者参与服务．志愿者分为引导组和物资组，其中引导组6人一组，物资组8人一组，总组数比引导组多10组． (1)求引导组和物资组各有多少人？ (2)本次活动需租用A、B两种型号车辆一次性接送，它们的载客量和租金如下表所示：若租用同一种型号车辆，使每位志愿者都有座位，应怎样租用才合算？ A型车辆 B型车辆 载客量（人/辆） 20 15 租金（元/辆） 200 150 【答案】(1)引导组60人，物资组80人 (2)租用7辆A型车 【分析】（1）设引导组有人，根据“引导组6人一组，物资组8人一组，总组数比引导组多10组”，列一元一次方程求解即可； （2）分别求出租用两种型号车辆的费用，比较大小即可． 【详解】（1）解：设引导组有人，物资组有人， 由题意得：， 解得：， 则（人）， 答：引导组60人，物资组80人 （2）解：若租用A型车辆，则需要租用（辆），费用为（元）， 若租用B型车辆，（辆），即需要租用辆，费用为（元）， 因为， 所以租用7辆A型车合算． 17．（26-27七年级上·全国·暑期衔接）某市居民家庭全年用气（天然气）量划分为三档，气价实行超额累进加价，先用第一档，再用第二档，最后用第三档．例如：王明家年用气量为400立方米，前360立方米按2.53元计算，后40立方米按2.78元计算． 用气量（立方米） 单价（元） 第一档 （含） 2.53 第二档 （含） 2.78 第三档 600以上 3.54 (1)李强家年用气量为440立方米，李强家需交燃气费多少元？ (2)赵刚家全年的燃气费平均每立方米2.60元，赵刚家年用气量是多少立方米？ 【答案】(1)1133.20元 (2)500立方米 【分析】（1）根据燃气缴费方式求解即可． （2）先计算600立方米用气量的总费用，然后再算出平均每立方米的费用，比较得出用气量不足600立方米，设赵刚家用气量为立方米，根据题意列出关于x的一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：（元） 答：李强家需交燃气费1133.20元． （2）解：600立方米用气量的总费用：（元） 平均每立方米的费用：（元） ，因此用气量不足600立方米． 设赵刚家用气量为立方米． 答：赵刚家年用气量是500立方米． 18．（24-25七年级上·安徽合肥·单元测试）如图，已知阴影部分的面积是120平方厘米，分别是长、宽的中点，长方形的宽是16厘米，求长方形的面积． 【答案】平方厘米 【分析】设长方形的长是厘米，则厘米，厘米，根据割补法列方程求解的值，进而计算即可． 【详解】解：设长方形的长是厘米． ∵分别是长、宽的中点， ∴厘米，厘米， 由题意，得， 解得， 长方形的面积：（平方厘米）． 19．（25-26七年级上·重庆·期中）列方程解应用题： 某花店售卖金桔盆栽和花肥，已知一盆金桔盆栽售价28元，利润率为40%；花肥进价每包2元，一包花肥的利润率和一盆金桔盆栽的利润率相同．花店第一次进货总共花费720元，其中花肥的进货数量是金桔盆栽的2倍． (1)花店第一次进货购进了金桔盆栽多少盆？ (2)第一次进货商品全部售完后，商家进行第二次进货．为吸引更多顾客，花店推出促销活动：每卖出一盆金桔盆栽，免费赠送一包花肥，金桔盆栽售完后，剩余的花肥再进行单独售卖（第二次购进花肥数量大于金桔盆栽数量）．第二次进货对比第一次：金桔盆栽的进价降低了m元，进货数量增加了8盆，售价不变；花肥的进价不变，进货数量比第一次增加了2m包，售价不变．第二次售完获得的总利润比第一次多76.4元，求m的值． 【答案】(1)30 (2)3 【分析】（1）先根据金桔盆栽的售价和利润率求出金桔的进价，再设金桔进货数量为未知数，根据总进货花费列方程求解； （2）先求出花肥售价和第一次总利润，再根据题意表示出第二次的总利润，根据第二次总利润比第一次多76.4元列方程求解，验证条件后得到m的值． 【详解】（1）解：设金桔盆栽的进价为x元， 由题意得， 解得， 设花店第一次进货购进金桔盆栽y盆，则购进花肥包， 由题意得， 解得． 答：花店第一次进货购进了金桔盆栽30盆． （2）解：由（1）得第一次购进花肥数量为（包），花肥售价为（元）， 第一次总利润为（元）， 第二次金桔盆栽进货数量为（盆），进价为元，第二次花肥进货数量为包，进价为2元，每卖一盆金桔赠送一包花肥，因此免费赠送38包，单独售卖的花肥数量为（包）， 由题意得：， 整理得 ， 解得， 此时第二次花肥进货数量为，符合题意． 答：m的值为3． 20．（25-26七年级上·全国·课后作业）解答下列问题： (1)师徒两人检修一条长的自来水管道，师傅每小时检修，徒弟每小时检修．现两人合作，多少时间可以完成整条管道的检修？ (2)师徒两人检修一条煤气管道，师傅单独完成需要，徒弟单独完成需要．现两人合作，需要多少小时完成？ 【答案】(1)小时 (2)小时 【分析】（1）已知管道具体总长度和两人每小时检修长度，直接列方程计算； （2）把总工作量看作单位1，先得到两人的工作效率，再列方程求解． 【详解】（1）解：设两人合作小时可以完成整条管道的检修． 根据题意，师傅小时检修()，徒弟小时检修()，总管道长， 列方程得 解得 答：两人合作（小时）可以完成整条管道的检修． （2）设两人合作需要小时完成，根据题意得 解得 答：两人合作需要6（小时）完成． 学科网（北京）股份有限公司 $