精品解析：黑龙江鸡西市第一中学校2025-2026学年高一第二学期期末考试数学试卷

鸡西市一中高一学年第二学期期末考试数学试卷 2025～2026学年度高一年级第二学期期末考试 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版必修第二册、选择性必修第一册第一章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【详解】由题意知， 则复数在复平面内对应的点的坐标为，即位于第一象限．故A正确． 2. 在空间直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】点关于轴对称的点的坐标为． 3. 已知事件发生的概率分别为，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据事件间的包含关系即可直接求解. 【详解】因为，所以. 4. 已知平面平面，直线平面，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间线面关系，再结合充分必要条件判断. 【详解】若，则可能与平面平行，故“”不是“”的充分条件； 若，在平面内作垂直于与交线的直线， 又平面平面，所以，又， 所以，又平面，直线平面，所以， 所以“”是“”的必要条件． 综上，“”是“”的必要不充分条件． 5. 若的三个内角对应的边分别为，且满足，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上都有可能 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理和余弦定理分析即可. 【详解】由正弦定理可得：， 因为可知，由三角形边角关系得：， 由， 根据余弦定理：， 又，从而，故为锐角三角形． 6. 如图，一个正三棱柱形容器中盛有水，侧棱．若侧面水平放置时，水面恰好过，，，的中点，则当底面水平放置时，水面高为（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】C 【解析】 【详解】设正三棱柱的底面积为，又水面恰好过，，，的中点，所以水的体积， 当底面水平放置时，设水面高为，所以水的体积，解得． 7. 已知在所在平面内，满足，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由模长相等判定为三角形外心，利用外心性质拆分向量，结合垂直向量数量积为分别算出与，再将拆为展开计算数量积． 【详解】如图，作出符合题意的图形， 因为，所以为的外接圆的圆心， 取的中点，连接，则， 所以， 取的中点，连接，则， 所以 所以． 8. 如图1，在平面四边形中，，，且，将沿翻折到，得到三棱锥，如图2所示，若二面角的正切值是，则三棱锥外接球的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三棱锥的几何性质，求出，利用余弦定理求出，利用勾股定理得出垂直关系，进而求出外接球半径及表面积． 【详解】取的中点，则，，，， 所以为二面角的平面角， 所以，故， 在中，由余弦定理得： ， 所以，所以，， 即，， 又，，平面， 所以平面， 所以三棱锥外接球的半径为， 所以外接球的表面积为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，记下骰子面朝上的点数，设事件“点数为2”，事件“点数为奇数”，事件“点数不小于3”，事件“点数不大于2”，则下列说法正确的是（ ） A. A与B互斥 B. A与C互斥 C. B与D互为对立 D. C与D互为对立 【答案】ABD 【解析】 【详解】“点数为2”与“点数为奇数”不能同时发生，所以与互斥，故A正确； “点数为2”与“点数不小于3”不能同时发生，所以与互斥，故B正确； 当“点数为1”时，与同时发生，故C错误； “点数不小于3”与“点数不大于2”不能同时发生且至少有一个发生，所以与互为对立，故D正确． 10. 已知向量，，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 向量在向量上的投影向量为 【答案】AC 【解析】 【详解】由题意知，故A正确； 而，因为，所以， 所以，所以，故B错误； 由题意得，故C正确； 由投影公式得向量在向量上的投影向量为，故D错误. 11. 在棱长均为的三棱柱中，，点满足，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 当点为棱的中点时， B. 当时，四点共面 C. 当时， D. 当时，面积的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】依托三棱柱棱长与夹角条件得到基底向量数量积，分别对四个选项：A通过向量分解求出系数求和判断对错；B利用空间四点共面向量充要条件推导；C展开数量积化简消去参数得定值；D结合点到直线距离与均值不等式求三角形面积最小值． 【详解】 对于A，当点为棱的中点时， ， 所以，，，，A错误； 对于B，当时，， 所以，即， 所以四点共面，B正确； 对于C，当时， ， 所以， 所以 ，C正确； 对于D，当时， ， ， 所以点到的距离， 因为，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的面积， 即面积的最小值为，D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知一组数据的方差为2，则数据的方差为________． 【答案】18 【解析】 【分析】根据方差的性质求解. 【详解】因为数据的方差为2， 则数据的方差为． 13. 如图，在三棱柱中，点E是棱的中点，点D是棱上的一点，且平面，则_______． 【答案】 【解析】 【详解】连接，交于点，再连接， 如图所示，则， 因为平面，平面平面，平面， 所以，所以． 14. 在中，，点D，E满足，，与交于O，且，则_______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据平面向量共线定理，结合余弦定理和正弦定理计算即可. 【详解】设，，且，则， 因为，，三点共线，， 则存在实数，使得， 又因为，，三点共线，， 则存在实数，使得， 所以， 则，解得，， 所以，且． 因为， 所以 ， 解得，所以， 因为，所以， 由余弦定理得 ， 由正弦定理得，得． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某品牌空调为了解客户对某款空调使用的满意度，进行了一次客户满意度问卷测试，测试成绩均位于区间内，从中随机抽取了名客户的测试成绩，将所得数据分成五组：，，，，，绘制得到频率分布直方图，如图所示． （1）求a的值； （2）求这400名客户中测试成绩落在内的人数； （3）估计这400名客户测试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）． 【答案】（1）0.030； （2）300； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中各小矩形面积之和为列方程，解出参数 ； （2）将目标区间的频率（各小矩形面积之和）乘以总人数400，即得人数； （3）用各组区间的中点值乘以对应的频率（面积），再求和，即得平均数的估计值． 【小问1详解】 由题意知， 解得． 【小问2详解】 测试成绩落在的频率为， 所以这400名客户中测试成绩落在内的人数为． 【小问3详解】 估计这400名客户测试成绩的平均数． 16. 如图，在直四棱柱中，底面是菱形，点E，F分别为棱，的中点． （1）求证：∥平面； （2）求证：． 【答案】（1）取的中点，连接，，如图所示，又点为棱的中点，所以∥，， 在直四棱柱中，∥，， 所以∥，． 又底面是菱形，点为棱的中点，所以∥，， 所以∥，， 所以四边形是平行四边形，所以∥． 又平面，平面， 所以∥平面． （2）连接，因为底面是菱形，所以， 在直四棱柱中，平面， 又平面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以． 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，结合三角形中位线定理和平行四边形的性质根据线面平行的判定定理可得； （2）连接，结合直棱柱和菱形的性质根据线面垂直的性质定理可得 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 甲、乙两人组成“光之队”参加猜灯谜活动，每轮活动由甲、乙各猜一个灯谜，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也相互不影响． （1）求“光之队”在一轮活动中至少猜对1个灯谜的概率； （2）求“光之队”在两轮活动中猜对3个灯谜的概率； （3）求在两轮活动中甲猜对灯谜数量大于乙猜对灯谜数量的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用对立事件“两个都没猜中”计算概率； （2）分成甲猜中2个乙猜中1个和甲猜中1个乙猜中2个分别计算后再相加； （3）分成三个互斥事件计算：甲猜中1个乙猜中0个，甲猜中2个乙猜中1个，甲猜中2个乙猜中0个. 【小问1详解】 记“光之队”在一轮活动中至少猜对1个灯谜为事件， 则， 即“光之队”在一轮活动中至少猜对1个灯谜的概率为. 【小问2详解】 记事件表示在两轮活动中甲猜对个灯谜，其中，事件表示在两轮活动中乙猜对个灯谜，其中， 所以，， ， ，， ， 记事件表示“光之队”在两轮活动中猜对3个灯谜，则， 所以， 即“光之队”在两轮活动中猜对3个灯谜的概率为; 【小问3详解】 记事件表示在两轮活动中甲猜对灯谜数量大于乙猜对灯谜数量，则， 所以， 即在两轮活动中甲猜对灯谜数量大于乙猜对灯谜数量的概率为． 18. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A； （2）已知，点O是内一点，且． （ⅰ）求的值； （ⅱ）求面积的最大值． 【答案】（1）； （2）（ⅰ）；（ⅱ）． 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边转化为角的正弦，化简后得到关于角的三角方程，通过辅助角公式解出角 ； （2）（ⅰ）由面积关系建立等式，将总面积表示成三个小三角形面积之和，从而得到两两模长乘积的和，再根据夹角为 转化为向量点积的和； （ⅱ）引入角度参数，用正弦定理将、分别用该角表示，将面积表达式化为三角函数，利用角度范围确定最大值． 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 即， 即，又，所以，所以， 即，所以， 又，所以，解得． 【小问2详解】 （ⅰ）由题意知， 又， 故， 可得． 所以． （ⅱ）设，则，，，其中， 在中，由正弦定理可得，即， 则， 在中，由正弦定理可得，即，则， 所以 ， 又，， 所以，即面积的最大值为． 19. 如图，在四棱锥中，底面是边长为6的正方形，平面平面，平面平面，点E是棱的中点，点F是棱上的一点（不包含端点）． （1）求证：平面； （2）若，且平面与平面的夹角的余弦值为． （ⅰ）求三棱锥的体积； （ⅱ）记平面交于点G，点H在平面上，求与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】（1）证明：因为底面是边长为6的正方形，所以，， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又因为平面，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又因为平面，所以， 又因为，，平面，所以平面． （2）（ⅰ）6（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直可证明线面垂直，从而可证明线面垂直； （2）（ⅰ）利用空间向量法来求两平面夹角的余弦值，再计算空间体积即可； （ⅱ）利用空间向量法来求线面角的正弦值，再通过二次函数值域即可求线面角正弦值的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）知平面，又，平面，所以，，又， 则以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系， 可得：，，，，， 所以，，， 设， 则． 设平面的法向量为，则 即， 取，解得，，则， 因为平面，所以是平面的一个法向量． 因为平面与平面的夹角的余弦值为， 所以， 解得或（舍），所以， 所以三棱锥的体积 ． （ⅱ）设，则， 由（i）可知为平面的一个法向量，所以， 所以，解得， 所以， 因为在平面上，所以， 所以． 设平面的法向量，则 即， 取得，，则， 设与平面所成角为， 则． 因为，所以， 即与平面所成角的正弦值的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鸡西市一中高一学年第二学期期末考试数学试卷 2025～2026学年度高一年级第二学期期末考试 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版必修第二册、选择性必修第一册第一章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 在空间直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知事件发生的概率分别为，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面平面，直线平面，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若的三个内角对应的边分别为，且满足，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上都有可能 6. 如图，一个正三棱柱形容器中盛有水，侧棱．若侧面水平放置时，水面恰好过，，，的中点，则当底面水平放置时，水面高为（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 7. 已知在所在平面内，满足，且，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图1，在平面四边形中，，，且，将沿翻折到，得到三棱锥，如图2所示，若二面角的正切值是，则三棱锥外接球的表面积是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，记下骰子面朝上的点数，设事件“点数为2”，事件“点数为奇数”，事件“点数不小于3”，事件“点数不大于2”，则下列说法正确的是（ ） A. A与B互斥 B. A与C互斥 C. B与D互为对立 D. C与D互为对立 10. 已知向量，，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 向量在向量上的投影向量为 11. 在棱长均为的三棱柱中，，点满足，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 当点为棱的中点时， B. 当时，四点共面 C. 当时， D. 当时，面积的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知一组数据的方差为2，则数据的方差为________． 13. 如图，在三棱柱中，点E是棱的中点，点D是棱上的一点，且平面，则_______． 14. 在中，，点D，E满足，，与交于O，且，则_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某品牌空调为了解客户对某款空调使用的满意度，进行了一次客户满意度问卷测试，测试成绩均位于区间内，从中随机抽取了名客户的测试成绩，将所得数据分成五组：，，，，，绘制得到频率分布直方图，如图所示． （1）求a的值； （2）求这400名客户中测试成绩落在内的人数； （3）估计这400名客户测试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）． 16. 如图，在直四棱柱中，底面是菱形，点E，F分别为棱，的中点． （1）求证：∥平面； （2）求证：． 17. 甲、乙两人组成“光之队”参加猜灯谜活动，每轮活动由甲、乙各猜一个灯谜，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也相互不影响． （1）求“光之队”在一轮活动中至少猜对1个灯谜的概率； （2）求“光之队”在两轮活动中猜对3个灯谜的概率； （3）求在两轮活动中甲猜对灯谜数量大于乙猜对灯谜数量的概率． 18. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A； （2）已知，点O是内一点，且． （ⅰ）求的值； （ⅱ）求面积的最大值． 19. 如图，在四棱锥中，底面是边长为6的正方形，平面平面，平面平面，点E是棱的中点，点F是棱上的一点（不包含端点）． （1）求证：平面； （2）若，且平面与平面的夹角的余弦值为． （ⅰ）求三棱锥的体积； （ⅱ）记平面交于点G，点H在平面上，求与平面所成角的正弦值的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $