专题03有理数的加减、乘除运算 暑假预习讲义 2026-2027学年北师大版七年级数学上册.

专题03有理数的加减、乘除运算 暑假预习讲义 ✺知识框架 模块结构：本节承接有理数基础概念：正负数、绝对值，是初中代数运算的核心入门内容，整体分为四大连贯模块。依次为：有理数加减法（基础运算规则+运算律）、有理数加减混合运算（统一化简运算）、有理数乘法（法则、符号规律、乘法运算律）、有理数除法（倒数、除法法则、乘除混合运算）。四大模块由浅入深、层层衔接，构建完整的有理数基础运算体系，是后续复杂混合运算、整式计算的重要基础。 ✺学习目标 基础掌握：熟记有理数加减、乘除运算法则，掌握符号判断与绝对值计算核心方法，厘清正负有理数的运算差异；掌握有理数加法、乘法三大运算律，能灵活运用运算律简化计算、提升运算效率。 熟练运算：能规范完成有理数单步加减、乘除运算，熟练掌握加减、乘除混合运算的标准步骤。理解倒数的定义与核心性质，掌握0在四则运算中的特殊规则，规避常见运算错误。 思维进阶：突破小学无符号运算思维，建立初中有理数“先判符号、后算数值”的专属运算思维。掌握数学转化思想，将减法转化为加法、除法转化为乘法，统一运算形式，简化运算流程。 ✺题型归纳 题型1.有理数加法运算 题型2.有理数加法中的符号问题 题型3.有理数加法在生活中的应用 题型4.有理数加法运算律 题型5.有理数的减法运算 题型6.有理数减法的实际应用 题型7.有理数的加减混合运算 题型8.有理数加减中的简便运算 题型9.有理数加减混合运算的应用 题型10.省略加法和括号的形式 题型11.数轴上两点之间的距离 题型12.两个有理数的乘法运算 题型13.多个有理数的乘法运算 题型14.有理数乘法的实际应用 题型15.倒数 题型16.有理数乘法运算律 题型17.有理数的除法运算 题型18.有理数除法的应用 题型19.有理数乘除混合运算 题型20.有理数乘除中的简便运算 题型21.有理数四则混合运算 题型22.有理数四则混合运算的实际应用 题型23.根据点在数轴的位置判断式子的正负 题型24.数轴上的翻折 题型25.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、有理数的加法 1. 加法法则： 同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加。正数加正数和为正，负数加负数和为负。 异号两数相加：绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；绝对值相等时，和为0（互为相反数相加得0）。 一个数与0相加，仍得这个数。 2.加法运算律 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。 字母表示：a+b=b+a 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。字母表示：(a+b)+c=a+(b+c) 3.简便运算技巧：计算时可优先组合互为相反数、同符号、能凑整数的数，快速简化算式。 知识点二、有理数的减法 1. 减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数。 字母表示：a-b=a+(-b) 2.运算步骤 变符号：减号变加号； 变减数：减数变为它的相反数； 按有理数加法法则计算。 3.特殊运算规则：一个数减0仍得原数；0减去任意数，结果为这个数的相反数。 知识点三、有理数加减混合运算 1. 统一运算形式：借助减法法则，将所有减法转化为加法，省略算式中的加号和括号，写成和式简化计算。 用式子表示为：a+b-c=a+b+（-c) 2.规范读法：可读作几个正、负数的和，也可直接按常规加减运算读法读取。 3.运算顺序：从左至右依次计算，可结合加法运算律分组简算，无需越级运算。 知识点四、有理数的乘法 1.乘法法则 两数相乘：同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 任何数与0相乘：都得0。 2.多因数相乘符号规律 因数中无0时，负因数的个数为偶数，积为正数；负因数的个数为奇数，积为负数。 因数中只要有一个0，积就为0。 3.乘法运算律 乘法交换律：a×b=b×a 乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c) 乘法分配律：a×(b+c)=a×b+a×c 知识点五、倒数 1.定义：乘积为1的两个有理数，互为倒数。 2.核心性质 1的倒数是1，-1的倒数是-1； 0没有倒数 正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，倒数不改变数的符号。 知识点六、有理数的除法 1. 有理数除法 法则1：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 0除以任何不为0的数，都得0。 法则2：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即a÷b=a∙（b≠0），适用于所有分数、小数除法计算。 2.注意：0可以作为被除数，但不能作为除数，否则运算无意义。 知识点七、有理数乘除混合运算 1.运算顺序：从左到右依次计算，先将所有除法转化为乘法，再统一约分计算。 2.符号判定：统一转为乘法后，根据负因数的个数奇偶性判断最终符号，再计算绝对值乘积。 3.运算规范：计算时将小数化为分数、带分数化为假分数，方便约分简化运算。 知识点八、有理数的加减乘除混合运算 1. 有理数的加减乘除混合运算 ●有理数的四则混合运算，应遵循有括号先算括号（一般先算小括号，再算中括号，最后算大括号）里面的运算，无括号则按“先乘除，后加减”的顺序进行。●在同级运算中，要按从左到右的顺序来计算，并合理运用运算律来简化运算。 ✺题型精讲 题型1.有理数加法运算 1．将统一为加法运算，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数的加减法法则，即可求解． 【详解】解：把统一为加法运算为． 2．_____． 【答案】2 【详解】解：． 3．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据有理数的加法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 题型2.有理数加法中的符号问题 1．两个有理数的和是正数．则（   ） A．必须是两个正数 B．可以是两个负数 C．可以是一个正数一个负数，且正数的绝对值较大 D．可以是一个正数一个负数，且负数的绝对值较大 【答案】C 【分析】本题考查了有理数加法的基本规则和正负数相加时的和的符号判断．通过理解正数和负数相加的规则，可以快速准确地判断出两个有理数的和为正数时，两数可能的正负组合情况，进而选出正确答案．在处理此类问题时，清晰地识别并应用数学规则是关键． 【详解】解：A：若两个数都是正数，显然它们的和也为正数，A错误； B：若两个数都是负数，它们的和必然为负数，B错误； C：若两个数一正一负，为了使和为正数，正数的绝对值必须大于负数的绝对值，C正确； D：若两个数一正一负，为了使和为正数，正数的绝对值必须大于负数的绝对值，D错误． 故选：C ． 2．用“”或“”填空： （1）如果，那么______0； （2）如果，那么______0； （3）如果，那么______0； （4）如果，那么______0． 【答案】 【分析】（1）根据有理数的加法法则即可解答； （2）根据有理数的加法法则即可解答； （3）根据有理数的加法法则即可解答； （4）根据有理数的加法法则即可解答． 【详解】（1）同号两数相加，取相同的符号，两数都为正数，所以两数的和为正． 故答案为：； （2）同号两数相加，取相同的符号，两数都为负数，所以两数的和为负． 故答案为：； （3）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，由于，所以两数的和取a的符号，即两数和的符号为正． 故答案为：； （4）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，由于，所以两数的和取b的符号，即两数和的符号为负． 故答案为：； 【点睛】本题主要考查有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键． 3．计算： (1)，； (2)，． (3)___________． 【答案】(1)，5，， (2)，1，， (3)0 【分析】根据有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加，异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加的零． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ； （3）解：． 【点睛】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解题关键． 题型3.有理数加法在生活中的应用 1．春节假期期间某一天早晨的气温是，中午上升了，则中午的气温是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：早晨气温为，中午上升了， 中午的气温为． 2．温度从℃上升了℃后，则温度计上显示的温度是________度． 【答案】 【详解】根据题意，得（℃）． 3．某股民上周五买进股票1000股，每股27元．本周每日涨跌情况如下（单位：元）：，，，，．问本周五收盘时，每股多少元？ 【答案】元 【分析】初始价格加上所有涨跌幅，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意， ， 即本周五收盘时，每股元． 题型4.有理数加法运算律 1．下列对加法运算律的运用正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了有理数的加法运算律，熟练掌握加法运算律是解本题的关键．利用加法交换律及结合律判断即可得到结果． 【详解】解：、，故错误，不符合题意； 、，故正确，符合题意； 、，故错误，不符合题意； 、，故错误，不符合题意． 故选：． 2．计算：_______． 【答案】1008 【分析】本题考查有理数加法的简便运算，从左边第一个数开始，相邻的两个数为一组，每组的值为，共有组还剩余2015，由此可解，正确分组是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为：1008． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)3 (2)0 (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数加法运算律是解题的关键． （1）根据有理数加法的交换律和结合律计算即可； （2）根据有理数加法的交换律和结合律计算即可； （3）根据有理数加法的结合律计算即可； （4）根据有理数加法的交换律和结合律计算即可； （5）根据有理数加法的交换律和结合律计算即可； （6）根据有理数加法的交换律和结合律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 题型5.有理数的减法运算 1．下列数中比小1的数是（     ） A． B．1 C． D．3 【答案】C 【分析】根据题意列出算式，按照有理数减法法则计算即可得到结果． 【详解】解：， 即符合要求的数是． 2．计算：______． 【答案】 【分析】根据有理数的减法求解即可． 【详解】解：． 3．计算： (1) ； (2) ； (3) ． 【答案】(1) (2)7 (3)7 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 题型6.有理数减法的实际应用 1．北京市2026年5月1日的“日出、日中、日落时刻”如下表所示，则北京市2026年5月1日的白昼时长是（     ） 日出时刻 日中时刻 日落时刻 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】白昼时长为日落时刻减去日出时刻，根据时分秒的60进制计算即可得到结果． 【详解】解：． 2．在1个标准大气压下，固态酒精的熔点为，固态氧的熔点为，固态酒精的熔点比固态氧的熔点高________． 【答案】101 【详解】解：. 3．某冷库的温度是，现需将温度降低以保存特殊疫苗，降温后的温度是多少？ 【答案】 【详解】由题意，降低即为， 所以降温后的温度 ． 题型7.有理数的加减混合运算 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先去括号化简原式，再按顺序计算得到结果即可． 【详解】解：原式 ． 2．若方框表示运算，则方框 =_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，根据方框表示的运算把算式转化为一般的有理数加减混合运算，再根据运算法则进行计算． 【详解】解：由题意可得：原式． 故答案为：. 3．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型8.有理数加减中的简便运算 1．请指出下面计算从哪一步开始出错（   ） ① ② ③ ．④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，根据计算过程并结合运算法则分析即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 由计算过程可得，计算错在第②步， 故选：B． 2．计算的结果是_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算， 先将分数化成小数，再根据有理数的加减法法则计算即可. 【详解】解：原式 . 3．计算：． 【答案】 【分析】把减法转化为加法，再利用加法交换律与结合律将同分母分数结合，计算即可． 【详解】解： ． 题型9.有理数加减混合运算的应用 1．在综合实践课中，同学们探究得出，某地日出、日落时刻关于正午时刻对称．若该地日出时刻为，日落时刻为，则当天太阳高度达到最大值的时间为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，太阳高度达到最大值的时刻为正午时刻，且日出与日落关于正午对称，因此正午时刻是日出和日落时刻的平均值，计算即可得到结果． 【详解】解：∵日出、日落时刻关于正午对称，太阳高度最大值出现在正午， ∴正午时刻为日出时刻与日落时刻的平均值， ∵，， ∴当天太阳高度达到最大值的时间为． 2．小王微信钱包原有零钱1000元，一天内的收支情况如下：收到转账80元，扫二维码付款给超市45元，付款给网约车23元，收到红包30元，付款给书店18元．则当天结束后，小王微信钱包剩余零钱为________元． 【答案】1024 【分析】本题考查正数和负数的意义，有理数的加减法运算，掌握相关知识是解决问题的关键． 根据有理数的加减运算规则，将收入视为正数，支出视为负数，计算所有收支后的净变化，再与原始金额相加． 【详解】原始金额为1000元，收入80元和30元，支出45元、23元和18元， 因此剩余零钱为： （元）． 故答案为1024． 3．[热点情境·防近视]根据国家卫生健康委发布的《儿童青少年近视防控适宜技术指南》，建议中学生每天使用电子产品的时间不超过2小时，某校想了解该校学生每天使用电子产品的时间情况，特制作了调查表进行调查，如表是该校某学生某周每天使用电子产品的时间情况（标准使用时间为每天2小时，超过记为正、不足记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)该生周三使用电子产品多少个小时？ (2)该生使用电子产品的时间最多的一天比时间最少的一天多多少小时？ (3)该生这一周使用电子产品共用了多少小时？ 【答案】(1)该生周三使用电子产品1小时 (2)该生使用电子产品的时间最多的一天比时间最少的一天多8小时 (3)该生这一周使用电子产品共用了23小时 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正数和负数，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据题意可得：该生周三使用电子产品的时间，然后列式进行计算即可解答； （2）根据题意可得：使用电子产品时间最多的一天比时间最少的一天多的时间，然后列式进行计算即可解答； （3）先计算出一周的总增减时间，再加上7天的标准总时间，即可求得该生这一周使用电子产品的总时间． 【详解】（1）解：由题意得，（小时）． 答：该生周三使用电子产品1小时． （2）由题意，得（小时）． 答：该生使用电子产品的时间最多的一天比时间最少的一天多8小时． （3）由题意得：（小时）， ∴（小时）． 答：该生这一周使用电子产品共用了23小时． 题型10.省略加法和括号的形式 1．将式子省略括号和加号后变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据去括号规则，负负得正，正负得负， 则，选项符合题意． 2．不计算，把式子写成省略加号的和的形式：______． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减混合运算的符号简化，解题的关键是掌握“减去一个数等于加上它的相反数”的运算法则． 先将式子中的减法转化为加法，再省略加号和括号，写成和的形式． 【详解】根据有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数， 因为可以转化为+5， 所以原式可转化为， 省略加号和括号后，得到． 故答案为：． 3．请把下列各式写成省略加号的形式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了省略加号的和的形式，熟记省略加号的和的形式书写是解本题的关键． 直接写成省略加号的和的形式即可． 【详解】（1）解：原式； （2） 解：原式． 题型11.数轴上两点之间的距离 1．数轴上表示的点与表示的点之间的距离是（   ） A． B．8 C．4 D． 【答案】C 【分析】数轴上两点的距离等于对应两数差的绝对值，据此计算即可． 【详解】解：数轴上表示的点与表示的点之间的距离是． 2．若x为任意有理数，表示在数轴上表示的点到原点的距离，表示在数轴上表示的点到表示的点的距离，则的最小值为______． 【答案】 【分析】根据绝对值的几何意义，表示数轴上与对应点之间的距离，由可知在数轴上表示的点到表示的点与表示的点的距离之和，当位于和之间时，距离之和取得最小值，最小值为两点之间的距离． 【详解】解：∵表示数轴上与两数对应的点之间的距离， ∴，即在数轴上表示的点到表示的点与表示的点的距离之和， 当时，有最小值，为． 3．已知：为原点，是数轴上的点，表示的数字互为相反数，． (1)若是数轴上如图所示，点表示的数字为，求点表示的数字； (2)若，求点表示的数字． 【答案】(1) (2)1或或5或 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的点表示有理数，熟练掌握数轴上的点表示数的位置是解决问题的关键． （1）首先根据得到点A表示的数字为，然后根据表示的数字互为相反数求解即可； （2）首先得到点A表示的数字为或2，然后根据分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵点表示的数字为， ∴点A表示的数字为 ∵表示的数字互为相反数 ∴点表示的数字为； （2）解：∵表示的数字互为相反数， ∴点A表示的数字为或2 ∵ ∴点表示的数字或或或． 题型12.两个有理数的乘法运算 1．计算的结果等于（     ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数乘法的运算法则，只需利用0乘任何数都得0的性质计算即可． 【详解】解：． 2．计算： ______． 【答案】1 【详解】解：． 3．小明同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，他借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，运算规则为：． (1)计算的值； (2)填空：___________（填“>”或“=”或“<”） (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）， ； （2）， ， ， ； （3）， ． 题型13.多个有理数的乘法运算 1．下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数乘法的符号法则，同号为正，异号为负，积的符号由负因数的个数决定，奇负偶正，进行判断即可． 【详解】解：A、有2个负因数，积的符号为正，不符合题意； B、有3个负因数，积的符号为负，符合题意； C、积为0，不符合题意； D、有4个负因数，积的符号为正，不符合题意． 2．已知，均为有理数，现定义一种新的运算“※”，规定：．则的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的乘法运算．根据新定义运算，转化为有理数的乘法运算解答即可． 【详解】解：根据题意得， ， 故答案为：． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查有理数的乘法法则，熟练掌握运算法则“多个有理数相乘，符号由负因数个数决定，当负因数个数是奇数时，结果为负；当负因数个数是偶数时，结果为正”． （1）根据有理数乘法法则求解即可； （2）根据有理数乘法法则求解即可． 【详解】（1）解： ； ； （2）解： ． ． 题型14.有理数乘法的实际应用 1．湖里中学九（3）班在庆祝“建党100周年”开展的一次学党史知识手抄报活动中，一个由5人组成的小组里所有同学均相互传阅自己制作的手抄报，则该小组的同学共传阅（　　） A．5次 B．15次 C．20次 D．25次 【答案】C 【分析】根据题意确定每名同学需要传阅的次数，再结合总人数计算总传阅次数即可． 【详解】解：∵小组共5人，所有同学相互传阅自己的手抄报，即每名同学都要将自己的手抄报传给除自己外的名同学， ∴总传阅次数为次． 2．一种笔记本售价是2.3元/本，如果一次买100本以上（不含100本），售价是2.2元/本，如果需要100本笔记本，最少需要_______元． 【答案】222.2 【分析】本题需要分类讨论两种购买方案，分别计算总价后比较大小，得到最少花费． 【详解】分两种情况计算： 方案1：直接购买本，不享受优惠，总价为：元； 方案2：购买本，满足优惠条件，可享受优惠单价，总价为：元； 比较大小得， 因此最少需要元． 3．小北爸爸在聚餐饮酒后呼叫代驾返家，代驾收费分为两部分： ①起步价（分时段）7千米以内：为元；为35元；为55元． ②里程费：超出起步路程后每千米收费4.5元（不足1千米，按1千米计算）． 小北爸爸晚上呼叫代驾，车程共13.7千米，需要支付代驾费多少元？ 【答案】86.5元 【分析】根据题意里程费共要收取千米的费用，再加上起步价即可． 【详解】解：（千米）， 里程费共要收取千米的费用，每千米收费4.5元， 故需要支付代驾费（元）． 题型15.倒数 1．的倒数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ 乘积为的两个数互为倒数，又 ， ∴ 的倒数是． 2．的相反数的倒数是_________． 【答案】 【详解】解：根据相反数的定义，可得的相反数是．再根据倒数的定义，可得的倒数是． 3．已知的绝对值为与互为相反数，与互为倒数，求的值． 【答案】或 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、相反数、倒数的性质和应用等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键．根据题意，可得：，然后分两种情况分别求解即可． 【详解】解：∵的绝对值为与互为相反数，与互为倒数， ∴， 当时，； 当时，． 故答案为：或． 题型16.有理数乘法运算律 1．下列各式运用运算律不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数的乘法运算律进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，应用乘法交换律正确，故该选项不符合题意； B、，应用乘法结合律正确，故该选项不符合题意； C、，应用乘法结合律正确，故该选项不符合题意； D、，该等式应用乘法分配律错误，漏乘，故该选项符合题意． 2．计算：________． 【答案】236898 【详解】解：原式． 3．计算： 【答案】 【详解】解： . 题型17.有理数的除法运算 1．计算的结果等于（  ） A． B． C． D．30 【答案】A 【详解】解： 2．计算： __________． 【答案】 【详解】解： ． 3．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先把除法化为乘法，再运用乘法运算律进行简便运算，即可作答． 【详解】解： ． 题型18.有理数除法的应用 1．毕业考试的考场按学生的准考证号码编排．每30人一个考场，即号在第1考场，号在第2考场，依次类推，奇思同学的准考证号是218号，他应该在第（    ）考场． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】要求准考证号是218号应该在第几考场，就用，如果能整除商是几就在几考场，如果不能整除就在商加1的考场，据此解答即可． 【详解】解：（人）， （考场）． 2．2026年美加墨世界杯共有48支参赛球队，第一阶段为小组循环赛，每4支球队分为一个小组，小组内任意两队之间各赛1场；第一阶段结束后32支球队晋级第二阶段；第二阶段采用单场淘汰赛（每场比赛淘汰1支球队）决出冠军，半决赛落败的两支球队还要额外进行一场三四名决赛．根据以上赛制，本届世界杯全程一共要进行______场比赛． 【答案】104 【分析】全程比赛分两阶段计算，第一阶段小组循环赛按单循环场次计算，第二阶段淘汰赛按淘汰球队数加额外三四名决赛场次算，最后求和． 【详解】解：第一阶段：总共48支球队，每4支一组， 组数为：（组）， 每组单循环比赛的场次：（场）， ∴第一阶段比赛的总场次为：（场）． 第二阶段：∵晋级球队32支，采用单场淘汰赛决出冠军， ∴决出冠军需要淘汰的球队数量为：（支）， ∴淘汰赛场次为31场， 又∵半决赛落败的两支球队还要额外进行一场三四名决赛， ∴第二阶段比赛的总场次为：（场）． 全程总场次为：（场）． 3．某冷冻厂的一个冷库现在的温度是，一批食品需要在下冷冻保存，如果该冷库每小时能降温，那么需要几小时才能降到这批食品所需的保存温度？ 【答案】需要才能降到这批食品所需的保存温度 【分析】本题主要考查有理数除法的应用，解题的关键是理解题意；因此此题可根据题意直接列式进行求解即可． 【详解】解：由题意得：； 答：需要才能降到这批食品所需的保存温度． 题型19.有理数乘除混合运算 1．（     ） A．2 B． C．1 D．4 【答案】D 【详解】解：． 2．计算：__________． 【答案】 【分析】本题考查有理数的计算，掌握相关知识是解决问题的关键．根据有理数的乘除运算法则，运算顺序从左到右，先将除法转化为乘法，再计算乘法． 【详解】解： ． 故答案为：． 3．计算：． 【答案】 【分析】本题为同级乘除运算，所以按照从左到右的顺序计算，再将除法转化为乘法，统一为分数乘法运算即可． 【详解】解： ． 题型20.有理数乘除中的简便运算 1．运用你学过的运算律、规律、性质等使计算简便，写出主要过程． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】先把除法转化为乘法，再根据乘法分配律进行简便运算即可； 根据乘法运算律进行简便运算即可； 先把除法转化为乘法，再根据乘法分配律进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 2．用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的运算定律，进行简便计算； （1）运用乘法分配律计算即可； （2）运用乘法结合律计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ； 3．数学老师布置了一道思考题： “计算：，小明仔细思考了一番，用了一种特殊的方法解决了这个问题：原式的倒数为，所以请你运用小明的方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算． 的倒数为，求出其值，再求倒数即可． 【详解】解：的倒数为， ， 所以． 题型21.有理数四则混合运算 1．按照运算顺序，计算第一步应算（     ） A． B． C．同时计算 D．无法确定 【答案】B 【详解】解：有理数混合运算顺序：先乘除，后加减，所以第一步先算． 2．把四个数字分成横着两行、竖着两列，左右各画一根竖线包住，横着的一组数叫一行，从上往下是第一行、第二行；竖着的一组数叫一列，从左往右是第一列、第二列.这个整体就叫二阶行列式．例如我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为，如，请你计算的值为______． 【答案】16 【分析】根据题干所给的运算法则，结合有理数的四则混合运算法则，计算即可得出结果． 【详解】解：∵把称作二阶行列式，规定它的运算法则为， ∴． 3．计算： ． 【答案】 【分析】先计算中括号内的加法，再把除法变成乘法后计算乘法即可得到答案． 【详解】解： ． 题型22.有理数四则混合运算的实际应用 1．下表反映的是某地区的用电量与应缴电费之间的关系： 用电量（千瓦·时） 1 2 3 4 …… 应缴电费（元） 0.55 1.10 1.65 2.20 …… 下列叙述错误的是（    ） A．应缴电费随用电量的增加而增加； B．用电量每增加1千瓦·时，电费增加0.55元； C．若用电量为8千瓦·时，则应缴电费4.6元 D．若所缴电费为3.3元，则用电量为6千瓦·时 【答案】C 【分析】本题先通过表格数据得出用电量与应缴电费的变化规律，即每1千瓦时电费为0.55元，再逐一判断各选项的正误． 【详解】解：∵由表格数据可得：，，， ∴可得每1千瓦时电费为0.55元，用电量每增加1千瓦·时，电费增加0.55元， 对选项逐一判断： A、应缴电费随用电量的增加而增加，该选项正确，不符合题干要求； B、用电量每增加1千瓦·时，电费增加0.55元，该选项正确，不符合题干要求； C、若用电量为8千瓦·时，应缴电费为元元，该选项错误，符合题干要求； D、若所缴电费为3.3元，用电量为 千瓦·时，该选项正确，不符合题干要求． 故本题选C． 2．某家纺公司生产四种针织产品，每种产品货源充足，各产品重量及价格如表： 产品 重量（千克） 价格（元） 在某次展销活动中，根据客户需求，现在想将部分产品做成套装礼盒销售，每个礼盒总重量不超过千克． （1）若每个礼盒中只装同一种产品，则一个礼盒的总价值最高是________元； （2）若每个礼盒中同一种产品最多装件，则一个礼盒的总价值最高是________元． 【答案】 【分析】（1）分别计算只装同一种产品时，每个礼盒最多可装的包数，计算对应总价值，比较得到最大值； （2）根据每种产品最多装2件的限制，列举所有符合总重量要求的组合，计算总价值后比较得到最大值． 【详解】解：（1）分别计算每种产品的总价值： 产品A：每件重千克，最多装件，总价值（元）， 产品B：每件重千克，最多装件，总价值（元）， 产品C：每件重千克，最多装件，总价值（元）， 产品D：每件重千克，最多装件，总价值（元）， 比较得，一个礼盒的总价值最高是元； （2）计算单位重量价值（优先选单价高的）： 、（元）， 、（元）， 、（元）， 、（元）， ∵， 即按照单位重量价值从大到小排序为：， 故优先级为． 按照每种最多件：最多件（），最多件（），最多件（），最多件（）， 先装满优先级高的产品，再用剩余重量搭配次优产品： ①件：，价值（元）， 件：，价值（元）， 已用重量：，剩余重量：， 剩余恰好装件，且只装件，符合限制条件， 此时件件件，总重量：（千克），总价值：（元）； ②件件，总重量：（千克），总价值：（元）元； ③件件，总重量：（千克），总价值：（元）元； ④件件件，总重量：（千克），总价值：（元）元； ⑤件件件，总重量：（千克），总价值：（元）元； 其余符合重量限制的组合总价均低于元，因此最高总价值是元． 3．小悦和冬冬玩游戏，每玩一局，输的就要给赢的一枚棋子，一开始小悦有枚棋子，冬冬有枚．玩了若干局后，小悦反而比冬冬多了枚棋子．请问此时小悦有多少枚棋子？ 【答案】枚 【分析】根据题意，小悦和冬冬的棋子总数始终不变，为枚，玩了若干局后，小悦比冬冬多了枚棋子，根据题意可得玩了若干局后，“小悦的棋子数小悦的棋子数总数”，据此求解即可． 【详解】解：两人棋子总数为：（枚）， 根据和差问题公式，此时小悦的棋子数为：（枚）， 答：此时小悦有枚棋子． 题型23.根据点在数轴的位置判断式子的正负 1．数轴上三点对应的数为，满足，下列式子成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知的大小关系，判断各因式的正负，再利用同号得正，异号得负判断乘积的符号，即可选出正确选项. 【详解】解：∵， ∴ ，， ∵ ， ∴ ，， ∵ ， ∴ ，， 逐个分析选项： 选项A：，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：，C成立； 选项D：，D错误. 2．如图，数轴上的点、分别表示数、，则_______．（填“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，利用数轴可得，即可求解． 【详解】解：由数轴可知，， ∴． 故答案为：． 3．已知，，三点在不完整的数轴上的位置如图所示，它们表示的数分别是，，． (1)比较大小：______0，______0（填写“>”或“<”） (2)若，请把的倒数表示在数轴上； (3)在（2）的条件下，点从点出发，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，求此时点在数轴上表示的数． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数、倒数的定义、有理数的运算； （1）由数轴可得，，，即可得出答案； （2）的倒数为，再将表示在数轴上即可； （3）根据题意即可求解． 【详解】（1）解：由数轴可得，，， ∴，． 故答案为：；； （2）解：的倒数为， 在数轴上表示如图所示； （3）解：∵ ∴， 即点在数轴上表示的数是． 题型24.数轴上的翻折 1．数轴上有三点，，，其中点，分别表示数，2．现以为折点，将数轴向右对折（如图），若点的对应点落在数轴上，且点与点之间的距离是2，则点表示的数是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键．先求出点表示的数，再据此求出点C表示的数即可． 【详解】已知点表示数，点表示数2，以为折点将数轴向右对折，点的对应点为， 则点是与的中点． 因为与之间的距离是2， 所以分两种情况讨论： 此时表示的数为． 设点表示的数为，根据中点坐标公式可得，解得． 当在的右侧时： 此时表示的数为． 同样设点表示的数为，由中点坐标公式可得解得． 综上，点表示的数是或． 故选：D． 2．如图，、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为，现将一纸条如图放置，再沿纸条上的某处折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条纸条，若这三条纸条的长度之比为，然后把纸条复原，请计算说明折痕处对应的点在数轴上所表示的数是___________． 【答案】或或 【分析】此题考查了数轴上任意两点之间的距离，结合分类讨论数学思想进行求解，要做到不重不漏．由线段总长度及三条纸条的长度之比，可得三条线段的长度，再分情况讨论，且结合作图，进行分析，即可作答． 【详解】解：点对应的数为，点对应的数为， ，三条纸条的长度为三部分， 则 三条纸条的长度分别是，，， 如图所示，当从到三条纸条长度为，，时， ， ∵点对应的数为， 此时折痕表示的数为； 如图所示，当从到三条纸条长度为，，时， ， ∵点对应的数为， 此时折痕表示的数为； 如图所示，当从到三条纸条长度为，，时， ， ∵点对应的数为， 此时折痕表示的数为； 综上，折痕处对应的点在数轴上所表示的数是或或， 故答案为：或或． 3．数轴是一个非常重要的数学工具，用数轴上的点表示数对数学的发展起了重要的作用，以数轴为基础，可以借助图形直观地表示很多与数有关的问题，它是“数形结合”的基础．小海在草稿纸上画了一条数轴，如图是数轴的一部分（不完整），并利用折叠进行下列的操作探究： (1)操作一：折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合，则表示的点与_________表示的点重合；表示的点与_________表示的点重合； (2)操作二：折叠纸面，若使5表示的点与表示的点重合： ①设折痕处对应的点记为C，则C点表示的数是_________； ②表示的点与_________表示的点重合； ③数轴上从左往右有A、B两点，表示的数分别为a和b，若折叠后A，B两点重合，且A，B两点的距离为4050，求a，b的值． 【答案】(1)6；2025 (2)①1；②3；③； 【分析】本题考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，折叠的性质，熟知数轴的相关知识是解题的关键． （1）根据题意可知数轴上数1表示的点与表示的点关于原点对称，由此即可得到答案； （2）①根据折叠的性质求解即可； ②据折叠的性质求解即可； ③根据结合A、B关于1对称进行求解即可． 【详解】（1）解：∵1表示的点与表示的点重合， ∴数轴上数1表示的点与表示的点关于原点对称， ∴数轴上数表示的点与数6表示的点重合；表示的点与2025表示的点重合； 故答案为：6；2025； （2）解：①∵5表示的点与表示的点重合， ∴数轴上数5表示的点与数表示的点关于数1表示的点对称， ∴C点表示的数是1． 故答案为：1； ②∵折痕C点表示的数是1， ∴表示的点与3表示的点重合； 故答案为：3； ③∵折痕C点表示的数是1，， ∴点A、B到1的距离均为2025， 又∵A在B的左侧， ∴A点表示的数是，B表示的数是． ✺巩固测试 一、单选题 1．将写成省略加号的和的形式，正确的是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】去括号时，括号前是正号，去掉括号后括号内各项不变号；括号前是负号，去掉括号后括号内各项变号． 【详解】解：∵原式为， ∴按去括号法则变形得． 2．某种疫苗保存温度为，最合适的温度范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据标注计算温度的最低值和最高值，即可得到合适温度范围． 【详解】解：表示保存温度的最低值为， 最高值为：， 最合适的温度范围是． 3．计算：的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的乘法分配律的应用，熟练掌握乘法分配律是解题的关键． 利用乘法分配律将36分别与括号内的数相乘，再进行加减运算即可． 【详解】解： ， 故选：． 4．一天早晨的气温是，中午上升了，晚上又下降了，晚上的气温是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，根据气温上升为正、下降为负列出算式，再依据有理数加减法法则计算即可，理解题意是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 5．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用数轴确定a、b的取值范围，然后逐项判断即可． 【详解】解：由数轴可得：， ∴，，，， ∴选项A、B、C说法错误；选项D说法正确． 6．在数轴上距有个单位长度的点所表示的数是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查数轴上两点间距离的计算，解题需分所求点在已知点左侧和右侧两种情况讨论，避免漏解． 【详解】解：∵数轴上距有个单位长度的点存在两种情况， ①当所求点在的左侧时， ∴该点表示的数为； ②当所求点在的右侧时， ∴该点表示的数为； 综上，符合条件的数是或． 7．对于有理数，下列说法正确的有（     ） ①若，则与互为相反数； ②若，则一定异号； ③若且两数同号，则； ④若，两数异号，则； ⑤若，则． A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个 【答案】A 【分析】通过定义判断、举反例、分类讨论验证每个说法的正误即可． 【详解】解：①若，则与互为相反数，故①正确； ②若，举反例：取，，满足，但、同为负，是同号，故②错误； ③若且两数同号，根据同号两数相加的法则：同号相加取相同符号，若两数同为负，和一定为负，无法满足和大于0，因此两数只能同为正，即，故③正确； ④若且两数异号，举反例：取，，满足且两数异号，，不符合结论，故④错误； ⑤若，因为， 因此可得， 分类讨论：若，则，可得； 若，则，整理得， 因此无论取何值，都有，故⑤正确． 综上，正确的说法共3个． 8．安安想将7个相同的正方体放入一个底面为，初始水位为的水箱中．水位最高可以达到（     ）厘米（注：根据图示，小正方体的边长为） A． B． C． D． E． 【答案】D 【分析】先计算得水箱底面积，水的体积；正方体棱长，水箱一层最多可放个正方体，底层6个恰好填满的高度空间，剩余1个放在第二层，此时水的有效底面积为，可得水位再次上升的高度，即可得总水位高度． 【详解】解：由题意得，水箱底面积为， 水的初始体积为， 单个正方体体积为，单个底面积， 由题意得，水箱内长方向可放个，宽方向可放个，一层最多可放个正方体， ∵6个正方体的总体积为，而水箱高度的总容积为， ∴底层6个正方体刚好填满的空间，此高度内没有水， ∵第7个正方体放在第二层， ∴水的底面积水箱底面积第7个正方体的底面积为， ∵水的体积仍为， ∴以上的水位高度为：， ∴总水位高度． 二、填空题 9．把算式改写成省略括号和加号的形式：______． 【答案】 【分析】根据有理数的减法法则进行变形，即可得到结果． 【详解】解：． 10．如图，数轴上点A、B、C分别表示有理数a、b、c，若a、b、c三个数的乘积为正数，这三个数的和与其中一个数相等，则b____0． 【答案】 【分析】根据有理数的乘法法则：几个数的积是正数，则这几个数中负因数的个数应该是偶数个，从而得出 a，b，c 三个数都是正数或其中两个是负数，又根据这三个数的和与其中一个数相等得出这三个数只能是一个正数，两个为负数，由数轴可知，故只能 a，b 是负数，c 是正数，即可得出结果． 【详解】解：∵a 、b、c 三个数的乘积为正数， ∴a，b，c 三个数都是正数或其中两个是负数， 又∵这三个数的和与其中一个数相等， ∴这三个数只能是一个正数，两个为负数， ∵， ∴只能 a，b 是负数，c 是正数， 即． 11．如图，将一张印有数轴的纸条翻折，使得表示的点与表示1的点重合，此时，表示数字的点与表示数字______的点重合（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴的翻折，掌握中点公式是解题的关键．数轴翻折后，表示的点与表示1的点重合，则数轴沿中点翻折，根据重合的数中点是即可解答． 【详解】解：由题意得数轴沿和1的中点翻折， 设与表示数字的点重合的是表示数字b的点， 则， 解得， 故答案为． 12．《九章算术》中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十……”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米），其大意：“50单位的粟，可换得30单位的粝米……”问题：现有4斗（1斗=10升）的粟，若按照此“粟米之法”，则可以换得粝米_______升． 【答案】24 【分析】本题主要考查了有理数乘法及除法的实际应用．按照题意列式并进行计算即可． 【详解】解：根据题意，得（升）． 13．填写下列运算的依据 ________ ________． 【答案】 加法结合律 有理数加法法则 【分析】本题考查有理数的运算，掌握相关知识是解决问题的关键．第一个步骤将算式分组结合，依据加法结合律；第二个步骤计算异号两数相加，依据有理数加法法则． 【详解】解：在计算过程中，第三步将算式分组为，这应用了加法结合律，即多个有理数相加，可以先将同号数结合相加； 第五步计算得到，这应用了有理数加法法则，即异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． 故答案为：加法结合律，有理数加法法则． 14．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是________（填序号）． ①；②；③；④． 【答案】④ 【分析】根据数轴上点的位置确定的取值范围及正负性，再结合有理数的运算法则及绝对值的意义逐一判断即可． 【详解】解：由数轴可知，， 对于①，∵在原点左侧，，故①错误 对于②，∵，，∴，根据有理数加法法则，∴，故②错误 对于③，∵，∴，故③错误 对于④，∵，，根据有理数乘法法则，∴，故④正确 综上所述，结论正确的是④ 15．计算：=______． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的运算，有理数的加减运算，掌握好绝对值的非负性是关键． 根据绝对值的性质，去掉绝对值，然后计算即可． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 16．如图所示，公路旁自西向东依次有，，…，共6处住宅和一所学校．每个工作日早上，每处住宅各有1名学生需乘同一辆校车前往该学校，校车仅在设于某一住宅处的车站停车一次，每名学生需从自家住宅沿公路步行至该车站乘车，6名学生都上车后，校车沿公路向东行驶至学校． 已知每名学生在相邻两处住宅间的步行时间均为，校车在相邻两处住宅间的行驶时间均为，校车从处至学校的行驶时间为．一名学生的理想通勤时间是指该学生从自家住宅至车站的步行时间与校车从车站至学校的行驶时间之和（不考虑其他因素）． （1）若车站设在处，则住在处的学生的理想通勤时间为________； （2）若当车站设在处时这6名学生的理想通勤时间之和最小，则________． 【答案】 34 5 【分析】（1）求出​到之间有4个相邻住宅间隔，即可求解； （2）求出学生从处总步行时间和以及6名学生的校车行驶时间和，可得总时间和为，即可求解． 【详解】解：（1）根据题意得：​到之间有个相邻住宅间隔， 所以住在处的学生的理想通勤时间为； （2）车站设在处， 学生从处总步行时间和为． 校车从​处到学校的行驶时间为， 所以6名学生的校车行驶时间和为， 总时间和为， 时，总时间和为； 时，总时间和为； 时，总时间和为； 时，总时间和为； 时，总时间和为； 时，总时间和为； 因为， 所以时，总时间和最小， 三、解答题 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 18．某市客运管理部门对中秋国庆假期八天客流变化量进行了不完全统计，数据如下（用正数表示客流量比前一天上升数，用负数表示客流量比前一天下降数）． 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 变化量/万人 (1)10月3日的客流量比10月1日的客流量少___________万人；在10月1日至10月8日期间，10月___________日客流量最多，10月___________日客流量最少； (2)通过计算说明10月8日的客流量比10月1日的客流量多多少人或少多少人？ 【答案】(1)，， (2)少万人 【分析】分别计算出各天的人数即可求解． 【详解】（1）解：∵日：； 日：； 日：； ∴； ∴月日的客流量比月日的客流量少万人； 日：； 日：； 日：； 日：； 日：； ∵， ∴日的客流量最多，日的客流量最少； 故答案为：， （2）解：∵， ∴月日的客流量比月日的客流量少万人． 19．焦庄户地道战遗址纪念馆是爱国主义教育示范基地，场馆内开放了可以实地穿行的真实地道，工作人员定期对地道路线进行维护、甲、乙两人合作完成其中三条路线的维护，维护要求：每条路线的维护需要先由甲进行检查，结束后再由乙进行清洁；每人同一时间只能维护一条路线．每人完成各自工序需要的时间（单位：）如下： 路线1 路线2 路线3 甲 2 5 6 乙 5 4 3 （1）若按照路线3→路线2→路线1的维护顺序，总时长为________； （2）若要求维护三条路线的总时长不超过，请写出一种满足条件的维护顺序________． 【答案】 【分析】（1）根据题目所给的顺序，计算总时长即可； （2）根据题意，列出所有的情况，分别计算总时长，再与比较大小即可得出结论． 【详解】解：（1）按照的顺序维护，总时长最少为． （2）由（1）得，按照的顺序维护，总时长最少为； 按照的顺序维护，总时长为； 按照的顺序维护，总时长为； 按照的顺序维护，总时长为； 按照的顺序维护，总时长为； 按照的顺序维护，总时长为； 要求三条路线维护完成的总时长不超过，满足条件的维护顺序为或或（写出一种即可）． 20．请你仔细阅读下列材料并计算： 解法：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故 再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算：. 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，乘法分配律的运用，熟练掌握有理数混合运算的法则和乘法分配律是解题的关键.计算，把除法变成乘法，再利用乘法分配律求解，所得结果取倒数即为答案. 【详解】解：原式的倒数为： ， ∴． 故答案为. 21．有理数、、在数轴上的位置如图． (1)把、、，，，，这七个数用“”连起来； (2)判断正负，用“”或“”填空：______，______，______，______． 【答案】(1)； (2)；；；． 【分析】本题主要考查了利用数轴比较有理数的大小、根据点在数轴的位置判断式子的正负，根据数轴得出且是解此题的关键． （1）由数轴可得且，由此即可得到答案； （2）由数轴可得且，由此逐个判断即可得到答案． 【详解】（1）解：由数轴可得：且， ∴； （2）∵由数轴可得， ∴； ∵由数轴可得，且， ∴； ∵由数轴可得， ∴； ∵由数轴可得， ∴． 故答案为：；；；． 22．“十一”黄金周期间，某风景区在7天假期中每天旅游的人数变化如表：（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）（单位：万人），已知9月30日游客为2万． 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化 (1)求10月2日游客的人数为多少？ (2)请判断7天内游客人数最多的是哪天？最少的是哪天？它们相差多少万人？ 【答案】(1)10月2日游客的人数为4.4万人 (2)3日人数最多，7日人数最少，它们相差2.2万人 【分析】（1）将9月30日游客人数加上1日和2日增加的人数就是10月2日的游客人数； （2）先计算出这7天每天的人数，比较得到人数最多和最少的天数，计算出相差多少万人即可； 【详解】（1）解：10月2日游客的人数为：（万人）； （2）解：10月1日有游客：（万人）； 10月2日游客的人数为（万人）； 10月3日游客的人数为（万人）； 10月4日游客的人数为（万人）； 10月5日游客的人数为（万人）； 10月6日游客的人数为（万人）； 10月7日游客的人数为（万人）； 所以游客最多的是10月3日，最少的是10月7日，它们相差（万人）； 23．【用数学的眼光观察】 观察下列等式，定义运算： ； ， ． 【用数学的语言表达】 (1)思考上述运算，归纳运算法则： 两数进行运算时：同号两数运算____，异号两数运算____，特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，仍____． (2)计算写出最后化简结果： ①____； ②____； (3)若，则的值为________． 【答案】(1)结果为正，并将两数的绝对值相加；结果为负，并用较大绝对值减去较小绝对值；得这个数 (2)①30；② (3)2 【分析】本题考查了定义新运算、有理数的加减运算，观察等式，归纳运算法则是解题的关键． （1）根据已知等式可得运算法则； （2）根据（1）中所得运算法则进行计算即可； （3）先根据结果的正负判断出和的符号，再结合运算规律可得答案． 【详解】（1）解：两数进行运算时：同号两数运算结果为正，并将两数的绝对值相加，异号两数运算结果为负，并用较大绝对值减去较小绝对值，特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，仍得这个数． 故答案为：结果为正，并将两数的绝对值相加；结果为负，并用较大绝对值减去较小绝对值；得这个数； （2）解：①； 故答案为：30； ②； 故答案为：； （3）解：∵， ∴与同号，即， ∴， ∵， ∴与异号，即， ∴， ∴． 故答案为：2． 24．【定义新知】 数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题．同学们都知道，表示与2的差的绝对值，可理解为与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，可理解为在数轴上对应的点分别到1和所对应的点的距离和． 请根据数轴解决以下问题： 【举一反三】 （1）可理解为______与______在数轴上所对应的两点之间的距离； （2）若，则的值为______； 【问题解决】 （3）请你结合数轴探究：的最小值是______； （4）借助数轴思考，当x为何值时，与的值相等． 【拓展应用】 （5）如图，、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为100．现有一只电子蚂蚁从点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，请你求出点所对应的数是多少． 【答案】（1），3；（2）或0；（3）5；（4）；（5）28 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，绝对值的意义； （1）根据为与在数轴上所对应的两点之间的距离，即可求解； （2）根据为与在数轴上所对应的两点之间的距离为，即可求解； （3）表示与和在数轴上所对应的两点之间的距离之和，当时，有最小值； （4）当表示数的点为线段的中点时，与的值相等，据此结合数轴即可求解； （5）先求得的长，进而根据相遇问题可得秒后相遇，进而求得点的路程，即可得出点表示的数 【详解】（1）解：表示与的差的绝对值，可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离； 可理解为与在数轴上所对应的两点之间的距离， 故答案为：，； （2）解：，可理解为与在数轴上所对应的两点之间的距离为， 则或， 故答案为：或； （3）解：表示与和在数轴上所对应的两点之间的距离之和， 当时，的最小值是， 故答案为：； （4）解：和可看成数轴上表示数的点与表示的点和表示的点的距离， 又与的值相等， 如图所示：当表示数的点为线段的中点时，与的值相等，此时，               （5）解：，之间的距离为， 依题意有：秒，即秒后相遇， 即相同时间点运动路程为：（个单位）， 则从数向右运动个单位到数， 故点对应的数是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03有理数的加减、乘除运算 暑假预习讲义 ✺知识框架 模块结构：本节承接有理数基础概念：正负数、绝对值，是初中代数运算的核心入门内容，整体分为四大连贯模块。依次为：有理数加减法（基础运算规则+运算律）、有理数加减混合运算（统一化简运算）、有理数乘法（法则、符号规律、乘法运算律）、有理数除法（倒数、除法法则、乘除混合运算）。四大模块由浅入深、层层衔接，构建完整的有理数基础运算体系，是后续复杂混合运算、整式计算的重要基础。 ✺学习目标 基础掌握：熟记有理数加减、乘除运算法则，掌握符号判断与绝对值计算核心方法，厘清正负有理数的运算差异；掌握有理数加法、乘法三大运算律，能灵活运用运算律简化计算、提升运算效率。 熟练运算：能规范完成有理数单步加减、乘除运算，熟练掌握加减、乘除混合运算的标准步骤。理解倒数的定义与核心性质，掌握0在四则运算中的特殊规则，规避常见运算错误。 思维进阶：突破小学无符号运算思维，建立初中有理数“先判符号、后算数值”的专属运算思维。掌握数学转化思想，将减法转化为加法、除法转化为乘法，统一运算形式，简化运算流程。 ✺题型归纳 题型1.有理数加法运算 题型2.有理数加法中的符号问题 题型3.有理数加法在生活中的应用 题型4.有理数加法运算律 题型5.有理数的减法运算 题型6.有理数减法的实际应用 题型7.有理数的加减混合运算 题型8.有理数加减中的简便运算 题型9.有理数加减混合运算的应用 题型10.省略加法和括号的形式 题型11.数轴上两点之间的距离 题型12.两个有理数的乘法运算 题型13.多个有理数的乘法运算 题型14.有理数乘法的实际应用 题型15.倒数 题型16.有理数乘法运算律 题型17.有理数的除法运算 题型18.有理数除法的应用 题型19.有理数乘除混合运算 题型20.有理数乘除中的简便运算 题型21.有理数四则混合运算 题型22.有理数四则混合运算的实际应用 题型23.根据点在数轴的位置判断式子的正负 题型24.数轴上的翻折 题型25.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、有理数的加法 1. 加法法则： 同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加。正数加正数和为正，负数加负数和为负。 异号两数相加：绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；绝对值相等时，和为0（互为相反数相加得0）。 一个数与0相加，仍得这个数。 2.加法运算律 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。 字母表示：a+b=b+a 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。字母表示：(a+b)+c=a+(b+c) 3.简便运算技巧：计算时可优先组合互为相反数、同符号、能凑整数的数，快速简化算式。 知识点二、有理数的减法 1. 减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数。 字母表示：a-b=a+(-b) 2.运算步骤 变符号：减号变加号； 变减数：减数变为它的相反数； 按有理数加法法则计算。 3.特殊运算规则：一个数减0仍得原数；0减去任意数，结果为这个数的相反数。 知识点三、有理数加减混合运算 1. 统一运算形式：借助减法法则，将所有减法转化为加法，省略算式中的加号和括号，写成和式简化计算。 用式子表示为：a+b-c=a+b+（-c) 2.规范读法：可读作几个正、负数的和，也可直接按常规加减运算读法读取。 3.运算顺序：从左至右依次计算，可结合加法运算律分组简算，无需越级运算。 知识点四、有理数的乘法 1.乘法法则 两数相乘：同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 任何数与0相乘：都得0。 2.多因数相乘符号规律 因数中无0时，负因数的个数为偶数，积为正数；负因数的个数为奇数，积为负数。 因数中只要有一个0，积就为0。 3.乘法运算律 乘法交换律：a×b=b×a 乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c) 乘法分配律：a×(b+c)=a×b+a×c 知识点五、倒数 1.定义：乘积为1的两个有理数，互为倒数。 2.核心性质 1的倒数是1，-1的倒数是-1； 0没有倒数 正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，倒数不改变数的符号。 知识点六、有理数的除法 1. 有理数除法 法则1：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 0除以任何不为0的数，都得0。 法则2：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即a÷b=a∙（b≠0），适用于所有分数、小数除法计算。 2.注意：0可以作为被除数，但不能作为除数，否则运算无意义。 知识点七、有理数乘除混合运算 1.运算顺序：从左到右依次计算，先将所有除法转化为乘法，再统一约分计算。 2.符号判定：统一转为乘法后，根据负因数的个数奇偶性判断最终符号，再计算绝对值乘积。 3.运算规范：计算时将小数化为分数、带分数化为假分数，方便约分简化运算。 知识点八、有理数的加减乘除混合运算 1. 有理数的加减乘除混合运算 ●有理数的四则混合运算，应遵循有括号先算括号（一般先算小括号，再算中括号，最后算大括号）里面的运算，无括号则按“先乘除，后加减”的顺序进行。●在同级运算中，要按从左到右的顺序来计算，并合理运用运算律来简化运算。 ✺题型精讲 题型1.有理数加法运算 1．将统一为加法运算，正确的是（     ） A． B． C． D． 2．_____． 3．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 题型2.有理数加法中的符号问题 1．两个有理数的和是正数．则（   ） A．必须是两个正数 B．可以是两个负数 C．可以是一个正数一个负数，且正数的绝对值较大 D．可以是一个正数一个负数，且负数的绝对值较大 2．用“”或“”填空： （1）如果，那么______0； （2）如果，那么______0； （3）如果，那么______0； （4）如果，那么______0． 3．计算： (1)，； (2)，． (3)___________． 题型3.有理数加法在生活中的应用 1．春节假期期间某一天早晨的气温是，中午上升了，则中午的气温是（   ） A． B． C． D． 2．温度从℃上升了℃后，则温度计上显示的温度是________度． 3．某股民上周五买进股票1000股，每股27元．本周每日涨跌情况如下（单位：元）：，，，，．问本周五收盘时，每股多少元？ 题型4.有理数加法运算律 1．下列对加法运算律的运用正确的是（   ） A． B． C． D． 2．计算：_______． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 题型5.有理数的减法运算 1．下列数中比小1的数是（     ） A． B．1 C． D．3 2．计算：______． 3．计算： (1) ； (2) ； (3) ． 题型6.有理数减法的实际应用 1．北京市2026年5月1日的“日出、日中、日落时刻”如下表所示，则北京市2026年5月1日的白昼时长是（     ） 日出时刻 日中时刻 日落时刻 A． B． C． D． 2．在1个标准大气压下，固态酒精的熔点为，固态氧的熔点为，固态酒精的熔点比固态氧的熔点高________． 3．某冷库的温度是，现需将温度降低以保存特殊疫苗，降温后的温度是多少？ 题型7.有理数的加减混合运算 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．若方框表示运算，则方框 =_____． 3．计算： (1) (2) 题型8.有理数加减中的简便运算 1．请指出下面计算从哪一步开始出错（   ） ① ② ③ ．④ A．① B．② C．③ D．④ 2．计算的结果是_________． 3．计算：． 题型9.有理数加减混合运算的应用 1．在综合实践课中，同学们探究得出，某地日出、日落时刻关于正午时刻对称．若该地日出时刻为，日落时刻为，则当天太阳高度达到最大值的时间为（     ） A． B． C． D． 2．小王微信钱包原有零钱1000元，一天内的收支情况如下：收到转账80元，扫二维码付款给超市45元，付款给网约车23元，收到红包30元，付款给书店18元．则当天结束后，小王微信钱包剩余零钱为________元． 3．[热点情境·防近视]根据国家卫生健康委发布的《儿童青少年近视防控适宜技术指南》，建议中学生每天使用电子产品的时间不超过2小时，某校想了解该校学生每天使用电子产品的时间情况，特制作了调查表进行调查，如表是该校某学生某周每天使用电子产品的时间情况（标准使用时间为每天2小时，超过记为正、不足记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)该生周三使用电子产品多少个小时？ (2)该生使用电子产品的时间最多的一天比时间最少的一天多多少小时？ (3)该生这一周使用电子产品共用了多少小时？ 题型10.省略加法和括号的形式 1．将式子省略括号和加号后变形正确的是（    ） A． B． C． D． 2．不计算，把式子写成省略加号的和的形式：______． 3．请把下列各式写成省略加号的形式： (1)； (2)． 题型11.数轴上两点之间的距离 1．数轴上表示的点与表示的点之间的距离是（   ） A． B．8 C．4 D． 2．若x为任意有理数，表示在数轴上表示的点到原点的距离，表示在数轴上表示的点到表示的点的距离，则的最小值为______． 3．已知：为原点，是数轴上的点，表示的数字互为相反数，． (1)若是数轴上如图所示，点表示的数字为，求点表示的数字； (2)若，求点表示的数字． 题型12.两个有理数的乘法运算 1．计算的结果等于（     ） A．0 B．1 C． D． 2．计算： ______． 3．小明同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，他借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，运算规则为：． (1)计算的值； (2)填空：___________（填“>”或“=”或“<”） (3)求的值． 题型13.多个有理数的乘法运算 1．下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 2．已知，均为有理数，现定义一种新的运算“※”，规定：．则的值是_____． 3．计算： (1)； (2)． 题型14.有理数乘法的实际应用 1．湖里中学九（3）班在庆祝“建党100周年”开展的一次学党史知识手抄报活动中，一个由5人组成的小组里所有同学均相互传阅自己制作的手抄报，则该小组的同学共传阅（　　） A．5次 B．15次 C．20次 D．25次 2．一种笔记本售价是2.3元/本，如果一次买100本以上（不含100本），售价是2.2元/本，如果需要100本笔记本，最少需要_______元． 3．小北爸爸在聚餐饮酒后呼叫代驾返家，代驾收费分为两部分： ①起步价（分时段）7千米以内：为元；为35元；为55元． ②里程费：超出起步路程后每千米收费4.5元（不足1千米，按1千米计算）． 小北爸爸晚上呼叫代驾，车程共13.7千米，需要支付代驾费多少元？ 题型15.倒数 1．的倒数是（     ） A． B． C． D． 2．的相反数的倒数是_________． 3．已知的绝对值为与互为相反数，与互为倒数，求的值． 题型16.有理数乘法运算律 1．下列各式运用运算律不正确的是（     ） A． B． C． D． 2．计算：________． 3．计算： 题型17.有理数的除法运算 1．计算的结果等于（  ） A． B． C． D．30 2．计算： __________． 3．计算：． 题型18.有理数除法的应用 1．毕业考试的考场按学生的准考证号码编排．每30人一个考场，即号在第1考场，号在第2考场，依次类推，奇思同学的准考证号是218号，他应该在第（    ）考场． A．6 B．7 C．8 D．9 2．2026年美加墨世界杯共有48支参赛球队，第一阶段为小组循环赛，每4支球队分为一个小组，小组内任意两队之间各赛1场；第一阶段结束后32支球队晋级第二阶段；第二阶段采用单场淘汰赛（每场比赛淘汰1支球队）决出冠军，半决赛落败的两支球队还要额外进行一场三四名决赛．根据以上赛制，本届世界杯全程一共要进行______场比赛． 3．某冷冻厂的一个冷库现在的温度是，一批食品需要在下冷冻保存，如果该冷库每小时能降温，那么需要几小时才能降到这批食品所需的保存温度？ 题型19.有理数乘除混合运算 1．（     ） A．2 B． C．1 D．4 2．计算：__________． 3．计算：． 题型20.有理数乘除中的简便运算 1．运用你学过的运算律、规律、性质等使计算简便，写出主要过程． (1)； (2)； (3)． 2．用简便方法计算： (1)； (2)． 3．数学老师布置了一道思考题： “计算：，小明仔细思考了一番，用了一种特殊的方法解决了这个问题：原式的倒数为，所以请你运用小明的方法计算：． 题型21.有理数四则混合运算 1．按照运算顺序，计算第一步应算（     ） A． B． C．同时计算 D．无法确定 2．把四个数字分成横着两行、竖着两列，左右各画一根竖线包住，横着的一组数叫一行，从上往下是第一行、第二行；竖着的一组数叫一列，从左往右是第一列、第二列.这个整体就叫二阶行列式．例如我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为，如，请你计算的值为______． 3．计算： ． 题型22.有理数四则混合运算的实际应用 1．下表反映的是某地区的用电量与应缴电费之间的关系： 用电量（千瓦·时） 1 2 3 4 …… 应缴电费（元） 0.55 1.10 1.65 2.20 …… 下列叙述错误的是（    ） A．应缴电费随用电量的增加而增加； B．用电量每增加1千瓦·时，电费增加0.55元； C．若用电量为8千瓦·时，则应缴电费4.6元 D．若所缴电费为3.3元，则用电量为6千瓦·时 2．某家纺公司生产四种针织产品，每种产品货源充足，各产品重量及价格如表： 产品 重量（千克） 价格（元） 在某次展销活动中，根据客户需求，现在想将部分产品做成套装礼盒销售，每个礼盒总重量不超过千克． （1）若每个礼盒中只装同一种产品，则一个礼盒的总价值最高是________元； （2）若每个礼盒中同一种产品最多装件，则一个礼盒的总价值最高是________元． 3．小悦和冬冬玩游戏，每玩一局，输的就要给赢的一枚棋子，一开始小悦有枚棋子，冬冬有枚．玩了若干局后，小悦反而比冬冬多了枚棋子．请问此时小悦有多少枚棋子？ 题型23.根据点在数轴的位置判断式子的正负 1．数轴上三点对应的数为，满足，下列式子成立的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，数轴上的点、分别表示数、，则_______．（填“”或“”）． 3．已知，，三点在不完整的数轴上的位置如图所示，它们表示的数分别是，，． (1)比较大小：______0，______0（填写“>”或“<”） (2)若，请把的倒数表示在数轴上； (3)在（2）的条件下，点从点出发，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，求此时点在数轴上表示的数． 题型24.数轴上的翻折 1．数轴上有三点，，，其中点，分别表示数，2．现以为折点，将数轴向右对折（如图），若点的对应点落在数轴上，且点与点之间的距离是2，则点表示的数是（   ） A． B． C．或 D．或 2．如图，、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为，现将一纸条如图放置，再沿纸条上的某处折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条纸条，若这三条纸条的长度之比为，然后把纸条复原，请计算说明折痕处对应的点在数轴上所表示的数是___________． 3．数轴是一个非常重要的数学工具，用数轴上的点表示数对数学的发展起了重要的作用，以数轴为基础，可以借助图形直观地表示很多与数有关的问题，它是“数形结合”的基础．小海在草稿纸上画了一条数轴，如图是数轴的一部分（不完整），并利用折叠进行下列的操作探究： (1)操作一：折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合，则表示的点与_________表示的点重合；表示的点与_________表示的点重合； (2)操作二：折叠纸面，若使5表示的点与表示的点重合： ①设折痕处对应的点记为C，则C点表示的数是_________； ②表示的点与_________表示的点重合； ③数轴上从左往右有A、B两点，表示的数分别为a和b，若折叠后A，B两点重合，且A，B两点的距离为4050，求a，b的值． ✺巩固测试 一、单选题 1．将写成省略加号的和的形式，正确的是（   ） A．B． C． D． 2．某种疫苗保存温度为，最合适的温度范围是（    ） A． B． C． D． 3．计算：的值为（   ） A． B． C． D． 4．一天早晨的气温是，中午上升了，晚上又下降了，晚上的气温是（    ） A． B． C． D． 5．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 6．在数轴上距有个单位长度的点所表示的数是（    ） A． B．或 C． D．或 7．对于有理数，下列说法正确的有（     ） ①若，则与互为相反数； ②若，则一定异号； ③若且两数同号，则； ④若，两数异号，则； ⑤若，则． A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个 8．安安想将7个相同的正方体放入一个底面为，初始水位为的水箱中．水位最高可以达到（     ）厘米（注：根据图示，小正方体的边长为） A． B． C． D． E． 二、填空题 9．把算式改写成省略括号和加号的形式：______． 10．如图，数轴上点A、B、C分别表示有理数a、b、c，若a、b、c三个数的乘积为正数，这三个数的和与其中一个数相等，则b____0． 11．如图，将一张印有数轴的纸条翻折，使得表示的点与表示1的点重合，此时，表示数字的点与表示数字______的点重合（用含的代数式表示） 12．《九章算术》中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十……”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米），其大意：“50单位的粟，可换得30单位的粝米……”问题：现有4斗（1斗=10升）的粟，若按照此“粟米之法”，则可以换得粝米_______升． 13．填写下列运算的依据 ________ ________． 14．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是________（填序号）． ①；②；③；④． 15．计算：=______． 16．如图所示，公路旁自西向东依次有，，…，共6处住宅和一所学校．每个工作日早上，每处住宅各有1名学生需乘同一辆校车前往该学校，校车仅在设于某一住宅处的车站停车一次，每名学生需从自家住宅沿公路步行至该车站乘车，6名学生都上车后，校车沿公路向东行驶至学校． 已知每名学生在相邻两处住宅间的步行时间均为，校车在相邻两处住宅间的行驶时间均为，校车从处至学校的行驶时间为．一名学生的理想通勤时间是指该学生从自家住宅至车站的步行时间与校车从车站至学校的行驶时间之和（不考虑其他因素）． （1）若车站设在处，则住在处的学生的理想通勤时间为________； （2）若当车站设在处时这6名学生的理想通勤时间之和最小，则________． 三、解答题 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．某市客运管理部门对中秋国庆假期八天客流变化量进行了不完全统计，数据如下（用正数表示客流量比前一天上升数，用负数表示客流量比前一天下降数）． 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 变化量/万人 (1)10月3日的客流量比10月1日的客流量少___________万人；在10月1日至10月8日期间，10月___________日客流量最多，10月___________日客流量最少； (2)通过计算说明10月8日的客流量比10月1日的客流量多多少人或少多少人？ 19．焦庄户地道战遗址纪念馆是爱国主义教育示范基地，场馆内开放了可以实地穿行的真实地道，工作人员定期对地道路线进行维护、甲、乙两人合作完成其中三条路线的维护，维护要求：每条路线的维护需要先由甲进行检查，结束后再由乙进行清洁；每人同一时间只能维护一条路线．每人完成各自工序需要的时间（单位：）如下： 路线1 路线2 路线3 甲 2 5 6 乙 5 4 3 （1）若按照路线3→路线2→路线1的维护顺序，总时长为________； （2）若要求维护三条路线的总时长不超过，请写出一种满足条件的维护顺序________． 20．请你仔细阅读下列材料并计算： 解法：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故 再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算：. 21．有理数、、在数轴上的位置如图． (1)把、、，，，，这七个数用“”连起来； (2)判断正负，用“”或“”填空：______，______，______，______． 22．“十一”黄金周期间，某风景区在7天假期中每天旅游的人数变化如表：（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）（单位：万人），已知9月30日游客为2万． 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化 (1)求10月2日游客的人数为多少？ (2)请判断7天内游客人数最多的是哪天？最少的是哪天？它们相差多少万人？ 23．【用数学的眼光观察】 观察下列等式，定义运算： ； ， ． 【用数学的语言表达】 (1)思考上述运算，归纳运算法则： 两数进行运算时：同号两数运算____，异号两数运算____，特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，仍____． (2)计算写出最后化简结果： ①____； ②____； (3)若，则的值为________． 24．【定义新知】 数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题．同学们都知道，表示与2的差的绝对值，可理解为与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，可理解为在数轴上对应的点分别到1和所对应的点的距离和． 请根据数轴解决以下问题： 【举一反三】 （1）可理解为______与______在数轴上所对应的两点之间的距离； （2）若，则的值为______； 【问题解决】 （3）请你结合数轴探究：的最小值是______； （4）借助数轴思考，当x为何值时，与的值相等． 【拓展应用】 （5）如图，、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为100．现有一只电子蚂蚁从点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，请你求出点所对应的数是多少． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $