第08讲 有理数的乘除运算（暑假预习讲义）新七年级数学新教材北师大版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第08讲有理数的乘除运算 予内容导航 01预习航标→析目标明方向：预习导航精准定向 02 教材全解建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1两个有理数的乘法运算 题型2多个有理数的乘法运算 题型3倒数 题型4有理数乘法运算律 题型5有理数乘法的实际应用 题型6有理数的除法运算 题型7有理数的乘除混合运算 题型8有理数的乘除混合运算之新定义型问题 题型9有理数的除法中绝对值之分类讨论问题 04过关检测→练考点： 强落实：过关检测全面巩固 01预习航标 关键词 学习目标导航 1.掌握有理数的乘法法则，能确定多个因数相乘的积的符号（奇负偶正）， 并能准确计算。 乘法法则、符号法则、2.理解倒数的概念，能求出一个有理数的倒数(0除外)，掌握乘法运算律 倒数、除法法则、转化、（交换、结合、分配）。 奇负偶正。 3.掌握有理数的除法法侧（除以一个数等于乘以这个数的倒数），能将除法 统一为乘法。 4.能熟练进行有理数的乘除混合运算，体会转化思想，培养运算能力与严谨 性。 学习重点：有理数乘除法法则，特别是多个因数相乘的符号确定，以及除法向乘法的转化。 学习难点：理解乘法法则中“同号得正，异号得负”的算理，以及除法法则中“除以一个数等于乘以 它的倒数”的灵活运用，特别是当除数为分数或负数时。 02 教材全解 1/16 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 知1识|框|架 同号得正异号负，绝对值相乘记清是 乘法口诀 得正 0乘任何数得0 解题方法与口决 同号两数相柔 绝对值相乘 除号变乘号，除数变6数 除法口快 有理数乘法法则 得负 符号判断错误 异号两数相乘 绝对值相乘 除法变乘法时侧做错误 高频易错点 与0相乘 积为0 除混合远算顺序混乱 交换律 ab=ba 乘法法则应用 有理数乘法运算律 结合律(ab)c=a(bc) 徐法法测应用 高频考点 有理数的乘法与除法 分配律 a(b+c)sab+ac 运算律筒便计慎 等于乘以它的倒整 求n个相同因敬的积概客 除以一个非零敌 有理数乘方初步 公式表示：a+b=a×1/b a的n次方记作a”表示方法 同号得正 除法变平法 有理数除法法则 两数相除 异号得负 统一为乘法 转化为分数柔法 有理数乘除混合运算 始对值相除 从左到右依次计算 运算顺序 商为0 O除以非零数 先算脸后算加减 0不能作除数 知|识|精|讲 知识点01有理数的乘法法则 (1)两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘 (2)任何数同0相乘，都得0. (3)多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇 数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正.②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0. 倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数. 【注意】：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数有1和1 【易错提醒】 有理数乘法易错警示：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘得0。注意：多 个数相乘，负因数个数为奇数时积为负，偶数时为正。勿忘符号。 即时即练1.-2026的倒数为 2.计算： (1)(-3)×7: (2)0.1×(-100): 8-6x8: ④ 3.计算： 2/16 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)-2)×5×(-0.25): (2)100×15×(-0.01: 别 ④30日》 知识点02有理数的乘法运算律 (1)乘法交换律：ab=ba;(2)乘法结合律：(ab)c=a(bc);(3)乘法分配律：a(b+c)=ab+ac. 【易错提醒】 有理数乘法运算律易错警示：交换律、结合律、分配律均可使用。注意分配律α(b+c)ab+ac且可反向使用。 括号前是负数时，分配后各项均需变号。勿漏乘括号内每一项。 即时即练1.下列运算中用的运算律是() 日3x8-63到-日×24-名24-24=4-18=-14 A.乘法结合律及分配律 B.乘法交换律及分配律 C.乘法交换律及乘法结合律 D.分配律及加法结合律 2.计算： 375 、4128 ×-24 知识点03确定积符号 (1)若a<0,b>0,则ab<0;(2)若a<0,b<0,则ab>0;(3)若ab>0,则a、b同号； (4)若ab<0,则a、b异号；(5)若ab=0,则a、b中至少有一个数为0. 【易错提醒】 乘积符号（多个有理数相乘）易错警示：结果符号由负因数个数决定：*奇数个负因数为负，偶数个为正* *。计算时先定符号，再算绝对值。注意：有因数为0时积为0，无需再判断符号。 即时即练1.下列式子中，积的符号为负的是() A.( （6引 3/16 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 c.-3x}-jx0 D.(-9+}+ 2对于3列×(-3到x…x(-3) 若m=2025,则其结果为() m个(-3)相乘 A.正数 B.负数 C.0 D.不能确定 知识点04有理数除法法测 ◆除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数 ◆两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除 【注意】：0除以任何不为0的数，都得0 【易错提醒】 有理数除法易错警示：除以一个不为0的数等于乘它的倒数。即a÷b=α×言（仍≠0）。同号得正，异号得 负。注意：0不能作除数，勿忽略倒数转化步骤。 即时即练1.计算： 0号12： (2)(-378)÷（-7): 7 63-035: 》) 2.阅读下面解题过程： 解：乐式=-20(》3 ① =(-20）÷-5)② =-4.③ ()上面解题过程中有两处错误，第一处是第步，第二处是第步： (2)请你写出这道题的正确解答过程. 4/16 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 03 题型突破 题型1两个有理数的乘法运算 【例1】计算： (1)-4)×(-5): (2)-0.125)×-8 }引 (4)0×-13.52: -32s): (6(-1)×a. 【例2】计算： (1)(-5)×(-12): (2)8×(-0.25): a- ④}0： : o 【技巧归纳】 两数相乘：先定符号（同号得正，异号得负），再将绝对值相乘。任何数与0相乘得0。小数乘法化伪分数或整 数计算；带分数化成服分数。结果能约分先约分，最后化为最简形式（假分数或带分数视要求）。 【变式1-1】计算： (1)-12)×(-4. a36x8 028》 ④2 5/16 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式1-2】计算： (1)-5)×(-3): (2)-7）×4: (3}x025-4到： 题型2多个有理数的乘法运算 【例3】计算： 0-}4): e-列x6号 【例4】计算： 0125x0-: 0-9x}-08到×写 a》+9 ④2x1-9列+5x-15. 6 61 【技巧归纳】 多个有理数相乘：先数负号个数，奇负得负，偶负得正。再绝对值相乘。有因子0则结果为0。运用乘法交换律、 结合律：整数、分数分组，先约分再相乘，带分数化假分数。小数化成分数更易约分。 【变式2-1】计算： 2 (0)3.5×(-9列×7： a}-24) ag+-0: 引引 6/16 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式2-2】计算： 0-025x-4: @-8到x-61x-0到 (3-24)× 2,31 3+4+12) 题型3倒数 【例5】 的倒数是」 3 【例6)】2的倒数是 【技巧归纳】 乘积为1的两数互为倒数。求倒数：整数效如5倒数为1/5，分数a/b倒数为b1a(a≠0)。小数先化成分数。正数 倒数为正，负数倒数为负，0没有倒数。注意倒数与相反数的区别：相反数和为0。 【变式31】-1三的倒数是；-(2-7)的相反数是；-4的绝对值是】 【变式3-2】-的倒数是 > 相反数是 绝对值是 题型4有理数乘法运算律 【例7】用简便方法计算： 0-127×075-027×个引月 29g1-18 157f6） 【例8】计算： 12.15 111 1 1 (21k5+5x9+9x133x1717x21 【技巧归纳】 乘法交换律：a×b=b×a;结合律：(a×b)×c=a×(b×c);分配律：a×(b+c)=a×b+a×c。运用技巧：带分数拆城整 7/16 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 数加分数，便于分配；小数化分数；同分母或易约分的数先乘，避免大数运算。 【变式4-1】计算： 0-x(-x号-3x9 a分8}2 【变式4-2】请你参考下面黑板上老师的板书，计算下列各题 利用运算律计算： 例1：98×12=(100-2)×12=1200-24=1176： 例2：-16×233+17×233=-16+17×233=233 (1)999×12; a99x18g+33x-99x18 5 题型5有理数乘法的实际应用 【例9】外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定每天 送餐量超过40单（送一次外卖称为一单）的部分记为“+”，低于40单的部分记为“-”.下表是该外卖小哥 周的送餐量： 星期 四 五 六 日 送餐量（单位：单） -3 +5 -5 +13 -8 +7 +12 (1)该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多 单； (2)求该外卖小哥这一周一共送餐多少单？ (3)外卖小哥送单补贴的方案如下：每天送单量不超过40单，每单补贴4元；超过40单，该天所有单每单 补贴6元.该外卖小哥这一周收入多少元？ 【例10】近几年来，我国新能源汽车产销量都大幅增加，网约车司机小王新换了一辆新能源纯电动汽车， 他连续7天记录了每天行驶的路程，以100千米为标准，多于记为“+”，不足记为“-”； 时间 星期 星期二 星期三 星期四 路程（千米） +96 -24 -72 -40 ()这一周行驶路程最多的一天比最少的一天多走 千米. (2)求小王的新能源汽车这七天平均每天行驶多少千米？ (3)已知小王原来的汽油车每行驶100千米需要汽油7升，每升汽油8元，而新能源汽车每行驶100千米耗电 8/16 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 15度，每度电0.6元.请你帮小王估算一下，换过新能源汽车后的一个月（按30天）比之前的汽油车能节 约多少钱？ 【技巧归纳】 实际应用如计算总价、面积、连续升降等。先明确单位量（单价、速度）与数量，列出乘法算式。注意方向：正 数表示同向，负数表示反向。可结合正负意义理解结果符号，如亏损×次数=总亏损。单位统一。 【变式5-1】嘉陵江沿岸某米粉店依托本地饮食文化经营，计划一周(7天)卖出4200碗米粉，以每天卖出 600碗为标准，由于客流波动、原料供应等原因，实际每天销售量与计划销售量相比有出入，下表是本周的 销量情况（超产为正，减产为负）： 星期 四 五 六 日 增减 -12 +6 -36 +11 +75 -34 +27 (1)根据记录可知前三天共卖出多少碗米粉？ (②)销售量最多的一天比销售量最少的一天多卖出多少碗？ (3)该米粉店实行计件工资制，每天卖出一碗米粉得0.2元，每天超额卖出一碗奖0.5元，少卖出一碗扣1元， 那么该米粉店工人这一周的工资总额是多少？ 【变式5-2】李老师的电动自行车上周日骑行里程为75km·下表是这辆电动自行车本周每日骑行里程相对 前一日的变化情况（正数表示当日骑行里程比前一日增多，负数表示当日骑行里程比前一日减少）· 星期 四 里程变化/km -5 +3 (①)本周哪一天该电动自行车骑行里程最多？这一天骑行的里程是多少千米？ (2)本周该电动自行车的总骑行里程为多少千米？ (3)已知该电动自行车满电续航里程（电池充满电时可骑行的总路程）为550km,当续航里程不足满电续航 里程的10%时需要充电.本周一早上出发时该电动自行车为满电状态，请通过计算说明，本周日李老师使 用完该电动自行车后，是否需要为其充电？ 题型6有理数的除法运算 【例11】计算： o a(引 6-8-22 9/16 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【例12】计算： (1)-60)÷(-12); 2-39号 (3)-0.75÷0.25; 【技巧归纳】 除法转化为乘法：除以一个数等于乘它的倒数，即a÷b=a×(I/b)(b≠0)。先定符号（同号得正，异号得负）， 再将绝对值相乘除。带分数化成假分数，小数化成分数。0除以任何非0数得0,0不能作除数。 【变式6-1】计算： 0①)-14042 7 (2)-8÷(-1.25): 3③)-244÷(-8)： 5 ④24号( 【变式6-2】计算： (1)0÷(-0.12)； (2)(-0.5)÷(←： (3)(-378)÷(-7)÷(-9): 5 ④(-0.7)*4(-0.3). 题型7有理数的乘除混合运算 【例13】计算：64+22×2-27列： 38 【例14】计算： 【技巧归纳】 统一为乘法：将除法变为乘倒数，连乘形式。先确定符号（负号个数奇负偶正），再约分绝对值。小数化分数， 带分数化假分数。利用乘法交换结合律，将整数、分母相同的分数先乘，最后化为最简分数@或整数。 【变式7-1】计算： 10/16 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 -212x-) a引4引 【变式7-2】计算： -07s29 a-08 倒- 题型8有理数的乘除混合运算之新定义型问题 【例15】已知a、b为有理数，现规定一种新运算，满足a*b=a×b-a+b. (1)求-2*(-4)的值： (2)求(1*3)*(-2)的值. 【例16如果对于任何有理数a,b定义运算△下：a△b-(),如2△3=（引-月 (1)-1a2; (2)求(-2△7)△4的值， 【技巧归纳】 先理解新定义运算规则（如α⑧b表示α除以b的相反数），将自定义式转化为有理数乘除算式。注意运算顺序， 括号优洗。按乘除法测计算：统一为乘法，定符号，约分。可尝试代入特殊值验证规则理解是否正确。 【变式8-1】在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣.他在课外阅读中看到了一些定义符号 45 的运算，例如：对于数45,6、7，定义 7 =4×7-5×6=28-30=-2.小奇突发面想，也尝试定义一新运 算符号“⊕”，规则如下：a⊕b=a×b-2×a,试运用此规则完成下列运算. (1)4©(-1)； (2)-2⊕(-3⊕5). 【变式8-2】在学习了《有理数的运算》后，小奇同学对有理数运算产生了浓厚的兴趣.借助有理数的运算， 定义了一种新运算“⊕”，运算规则如下：a⊕b=a×b+2×a（a,b不相等)，例如，3⊕4=3×4+2×3=18. (1)填空：3⊕(-2)= 11/16 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)试以(-4)©3和3⊕(-4)的值说明：对于新定义的运算“©”，交换律是否成立？ 题型9有理数的除法中绝对值之分类讨论问题 【例17】在学习一个数的绝对值过程中，化简d时，可以这样分类：当a>0时，d=a;当a=0时， a=0;当a<0时，lad=-a,请用这种方法解决下列问题 (1)当a=3时， 则 ；当a=-2时，则司 a b ②已知a,6是有理数，当b>0时，试求问+何的值. 【例18】阅读下列材料： x,x>0, xx x= 0,x=0,即当x>0时， =1,当x<0时，1. xx -x,x<0, 用这个结论可以解决下面问题： a b ()已知a,b是有理数，当ab+0时，求问+闪的值： a b c (2)己知a,b,c是有理数，当abc≠0时， 求闪+的值. 【技巧归纳】 含绝对值除法：先根据条件判断绝对值内正负，去绝对值号（正数不变，负数取相反数），再按除法法却测计算。 注意0的绝对值是0。常需对参数分情况讨论，如x>0、x<0,分别化简，避晚漏掉负数情况。 【变式91】探究题：阅读下列材料并解决有关问题。 我们知道x= 20,所以当>0时，高-兰1，当<0附，司 [x,x>0 -=-1 -x,x<0 请用上面的结论解决下列问题： 0已知a,b是有理数，当ab>0时，a十6- +b (②已知a,b,c是有理数，当abc<0时，1a十b+1d- a b c 3)已知a,b,G,d是有理数，当ac1时，名+6+二+的 的最大值是_。 abed 【变式9-2】在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思 想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题， 12/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【提出问题】三个有理数a,b,c满足hc>0,求@+A+□的值， b 【解决问题】解：由题意得，α，b,c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数. ①若a,b,c都是正数，即a>0,b>0,c>0时， 则回++_“+b+=1+1+1=3 a b c a b c ②若a,b,c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a>0,b<0,c<0, @,_0+-b+c=1+-)+-1)=-1, a b c a b c 综上所达，a,A的值为3或-1. a b c 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (I)三个有理数a,b,c满足abc<0,求4，A,L的值： a b c ②法…，c为三个不为0的有数。且日，以，日-1，求的监， abc a b c 04 过关检测 一、单选题 1.若a的倒数是 ,那么a是() B C.3 2 2.下列各式运用运算律不正确的是() A.（-4)×8=8×-4 B.[(-3)×2]×(-5列=(-3)×[2×(-5] c.12*g=12*12*2时 D.(-x-x对-×（周 3.在数-4,2，-3,5中任取2个数相乘，其中最小的积是4，最大的积是b,则号的值是() A B. C._5 4 D. 4.如图，数轴上的两点A、B表示的数分别为α、b,下列结论正确的是() 13/16 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A 0 1 b A.ax-b B.-a<b C.abx0 p.80 5.小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：定义运算口为：α口b= 60则 1☆(-2)的值为() A B. C.-2 D.2 二、填空题 6.若(-4)×0=8，则内的数字是 7.-3的倒数是一，22的相反数是一，6=一 5 8.对于有理数a、b,定义运算“※"如下：※b=b (其中a+b≠0)，则2※3= a+b 9.如图，A、B两点在数轴上表示的数分别为a,b,有下列结论：①a-b<0;②a+b>0;③ b-1 (b-1(a+1<0:④a- >0,其中正确的有 A 的 -1a 0 1b 10.爱动脑筋的小明设计了一种“幻圆”游戏，将1，-2,3，-4,5，-6,7，-8分别填入图中的圆圈内， 使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，若他已经将1，-2，-6,7这四个数填入了圆圈，则图 中m-n的值为 6 7 (-2 b 三、解答题 11.计算： Q(-8)-I-)x-p): 14/16 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 -2-12× 2a-b(azb) 12.对于有理数a,b,定义了一种“⑧”的新运算，具体为a⑧b= a-a<b,计算：①28-：② 3 (-4)⑧(-3). 在计第4（引》-列时。小明的辩题过程蜘下： 13 解：原式 -4[4- =4÷2 =2 判断小明的解法是否正确.若不正确，请指出错误的原因，并给出正确的解答， 14.某校学生食堂要购进20袋土豆，以每袋30千克为质量标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记 作负数，称后的记录（单位：千克）如下： 每袋与标准质量的差 3 -1.5 0 2 05 3 袋数 3 2 (1)求这20袋土豆的平均质量是多少？ (2)若土豆每千克的售价为1.5元，求买这20袋土豆共需多少钱？ 1以.限鉴上老给出道计家想：女分。 ,同学们积极思考，甲、乙、丙三位同学的做法如下： :限〔动0行〔引 么：式〔) 两：照的间做6)0(6款24(24g24(34-249=7 故原式= 1 17 请认真阅读，解答下列问题： (①)上述三位同学的解法中，正确的是，错误的是；（填写“甲“乙“丙） (2)计算： 15116 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (动传}。时+分) 16.计算 (119991991x1_1997 199941999 a2+19+}-品+号+引 60 60 3,5,7 25 (④1×2x3+2x3x43x4×5 …十 12×13×14 17.我们知道在化简a的时候，需要判断a的正负：当a>0时，a=a;当a<0时，d=-a. d b0 a→ (1)已知a,b,c三个数在数轴上的对应的点如图所示： 用“>”、“<”或=”填空， a-b0,b+c0,a+c0, (2)化简：a-b+lb+c-a+c. (3)思维扩展：由“当a>0时，a=a;a<0时，a=-a”可以推出： 当a>0时，回=9=1；当a<0时，回-=a.-1. aa aa 应用这个结论，解决下列问题： 已知，八：是有理数，++：=0，z≠0，化简：因，以+日。 x y z 16/16 第08讲 有理数的乘除运算 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 两个有理数的乘法运算 题型2 多个有理数的乘法运算 题型3 倒数 题型4 有理数乘法运算律 题型5 有理数乘法的实际应用 题型6 有理数的除法运算 题型7 有理数的乘除混合运算 题型8 有理数的乘除混合运算之新定义型问题 题型9 有理数的除法中绝对值之分类讨论问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 乘法法则、符号法则、倒数、除法法则、转化、奇负偶正。 1. 掌握有理数的乘法法则，能确定多个因数相乘的积的符号（奇负偶正），并能准确计算。 2. 理解倒数的概念，能求出一个有理数的倒数（0除外），掌握乘法运算律（交换、结合、分配）。 3. 掌握有理数的除法法则（除以一个数等于乘以这个数的倒数），能将除法统一为乘法。 4. 能熟练进行有理数的乘除混合运算，体会转化思想，培养运算能力与严谨性。 学习重点：有理数乘除法法则，特别是多个因数相乘的符号确定，以及除法向乘法的转化。 学习难点：理解乘法法则中“同号得正，异号得负”的算理，以及除法法则中“除以一个数等于乘以它的倒数”的灵活运用，特别是当除数为分数或负数时。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 有理数的乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. （2）任何数同0相乘，都得0. （3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇 数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数. 【注意】：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数有1和-1. 【易错提醒】 有理数乘法易错警示：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘得0。注意：多个数相乘，负因数个数为奇数时积为负，偶数时为正。勿忘符号。 即时即练1．的倒数为_____． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的倒数，根据乘积为1的两个数互为倒数，即可求解． 【详解】解：的倒数为， 故答案为：． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查两个有理数的乘法，根据“同号得正，异号得负”的法则求解即可． 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)5 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算和乘法运算律，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据有理数乘法运算法则，进行计算即可； （2）根据有理数乘法运算法则，进行计算即可； （3）根据有理数乘法运算法则，进行计算即可； （4）根据乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 知识点02 有理数的乘法运算律 （1）乘法交换律：；（2）乘法结合律：；（3）乘法分配律：． 【易错提醒】 有理数乘法运算律易错警示：交换律、结合律、分配律均可使用。注意分配律a(b+c)=ab+ac且可反向使用。括号前是负数时，分配后各项均需变号。勿漏乘括号内每一项。 即时即练1.下列运算中用的运算律是（  ） ． A．乘法结合律及分配律 B．乘法交换律及分配律 C．乘法交换律及乘法结合律 D．分配律及加法结合律 【答案】A 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查有理数的混合运算，乘法运算律，熟练掌握乘法运算律是解题的关键． 根据题干中的解题过程，结合乘法运算律即可得出答案． 【详解】解： （乘法结合律） （乘法分配律） ∴运用的运算律为乘法结合律及分配律， 故选：A． 2.计算： 【答案】47 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查了有理数的乘法分配律，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 利用有理数的乘法分配律求解即可． 【详解】 ． 知识点03 确定乘积符号 （1）若a＜0，b＞0，则ab < 0；（2）若a＜0，b＜0，则ab > 0；（3）若ab＞0，则a、b同号； （4）若ab＜0，则a、b异号；（5）若ab = 0，则a、b中至少有一个数为0. 【易错提醒】 乘积符号（多个有理数相乘）易错警示：结果符号由负因数个数决定：**奇数个负因数为负，偶数个为正**。计算时先定符号，再算绝对值。注意：有因数为0时积为0，无需再判断符号。 即时即练1.下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘法运算，根据有理数乘法的运算法则，积的符号由因数中负号的个数决定，奇负偶正，进行判断即可． 【详解】解：A、有2个负号，积的符号为正，不符合题意； B、有4个负号，积的符号为正，不符合题意； C、积为0，不符合题意； D、有3个负号，积的符号为负，符合题意； 故选D． 2.对于，若，则其结果为（    ） A．正数 B．负数 C．0 D．不能确定 【答案】B 【分析】考查有理数的乘法运算，熟练掌握有理数的乘法运算符号法则是解题关键． 根据负数的乘法符号规律：奇数个负数相乘结果为负数，偶数个负数相乘结果为正数，即可判断． 【详解】解：由题意个相乘，当时，有奇数个负数相乘，所以结果为负． 故选：B． 知识点04 有理数除法法则 ◆除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数 ◆两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 【注意】：0除以任何不为0的数，都得0. 【易错提醒】 有理数除法易错警示：除以一个不为0的数等于乘它的倒数。即a ÷ b = a × (b ≠ 0)。同号得正，异号得负。注意：0不能作除数，勿忽略倒数转化步骤。 即时即练1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的除法，有理数的除法法则是除以一个数等于乘以这个数的倒数，解决本题的关键是根据有理数的除法法则把除法转化为乘法，再根据有理数的乘法法则进行计算． (1)根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，可得：原式，再根据有理数的乘法法则计算； (2)根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，可得：原式，再根据有理数的乘法法则计算； (3)先将小数化为分数，再根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，可得：原式，再根据有理数的乘法法则计算； (4)根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，可得：原式，再根据有理数的乘法法则计算； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 2．阅读下面解题过程： 计算： 解：原式…………① …………② …………③ (1)上面解题过程中有两处错误，第一处是第_____步，第二处是第_____步； (2)请你写出这道题的正确解答过程． 【答案】(1)②③ (2)36 【分析】（1）第②步运算顺序出错；第③步运算符号出错； （2）根据乘除运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：第②步运算顺序出错；第③步运算符号出错； （2）解：原式 ． 题型1 两个有理数的乘法运算 【例1】计算： (1)； (2) (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2)1 (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了有理数的乘法法则． （1）根据有理数的乘法法则计算即可； （2）根据有理数的乘法法则计算即可； （3）将带分数化为假分数，根据有理数的乘法法则计算即可； （4）根据“乘以任何数都等于”计算即可； （5）将小数化为分数，根据有理数的乘法法则计算即可； （6）根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： （6）解： 【例2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)60 (2) (3)2 (4)0 (5) (6)1 【分析】（1）同号相乘，结果为正，并把绝对值相乘； （2）异号相乘，结果为负，并把绝对值相乘； （3）先把带分数化成假分数再去计算结果； （4）任何数与0相乘结果仍为0； （5）异号相乘，结果为负，并把绝对值相乘； （6）互为倒数的两数相乘结果是1． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 【技巧归纳】 两数相乘：先定符号（同号得正，异号得负），再将绝对值相乘。任何数与0相乘得0。小数乘法化为分数或整数计算；带分数化成假分数。结果能约分先约分，最后化为最简形式（假分数或带分数视要求）。 【变式1-1】计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的乘法，掌握有理数的乘法法则是解题的关键． 利用有理数的乘法法则计算各小题，根据计算结果得结论． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式. （4）解：原式. 【变式1-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则与运算律是解题的关键． （1）根据有理数乘法法则运算即可； （2）根据有理数乘法法则运算即可； （3）根据有理数乘法法则和运算律运算即可； （4）根据乘法分配律运算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 题型2 多个有理数的乘法运算 【例3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查有理数的乘法法则，熟练掌握运算法则“多个有理数相乘，符号由负因数个数决定，当负因数个数是奇数时，结果为负；当负因数个数是偶数时，结果为正”． （1）根据有理数乘法法则求解即可； （2）根据有理数乘法法则求解即可． 【详解】（1）解： ； ； （2）解： ． ． 【例4】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算和乘法运算律，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据乘法交换律简化计算即可； （2）根据乘法交换律和结合律简化计算即可； （3）根据乘法分配律进行计算即可； （4）逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【技巧归纳】 多个有理数相乘：先数负号个数，奇负得负，偶负得正。再绝对值相乘。有因子0则结果为0。运用乘法交换律、结合律：整数、分数分组，先约分再相乘，带分数化假分数。小数化成分数更易约分。 【变式2-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)1 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算和乘法运算律，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据有理数乘法运算法则，进行计算即可； （2）根据有理数乘法运算法则，进行计算即可； （3）根据乘法分配律进行计算即可； （4）根据乘法的交换律和结合律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式2-2】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算和乘法运算律，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据乘法交换律，进行计算即可； （2）根据有理数乘法运算法则，进行计算即可； （3）根据乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型3 倒数 【例5】的倒数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．根据乘积为1的两个数互为倒数，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴的倒数是． 故答案为：． 【例6】的倒数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了倒数的概念，熟练掌握基本概念是解题的关键． 先将带分数化为假分数，再将分子分母颠倒位置即可得到答案． 【详解】解：， ∴的倒数是， 故答案为：． 【技巧归纳】 乘积为1的两数互为倒数。求倒数：整数如5倒数为1/5，分数a/b倒数为b/a（a≠0）。小数先化成分数。正数倒数为正，负数倒数为负，0没有倒数。注意倒数与相反数的区别：相反数和为0。 【变式3-1】的倒数是 ；的相反数是 ；的绝对值是 ． 【答案】 4 【分析】本题考查了化简多重符号，绝对值，相反数，倒数的性质，先整理，，，然后结合倒数，相反数，绝对值等性质进行逐个解答即可． 【详解】解：∵， 则的倒数是， ∴的相反数是 ， ∴的绝对值是， 故答案为： 【变式3-2】的倒数是_________，相反数是_________，绝对值是_________． 【答案】 【分析】本题考查倒数、相反数、绝对值的定义，关键是先将带分数化为假分数，再根据定义计算． 【详解】解：先将带分数化为假分数，得． 倒数：乘积为1的两个数互为倒数，因此的倒数为； 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，因此的相反数为； 绝对值：负数的绝对值是它的相反数，因此． 故答案为：；；． 题型4 有理数乘法运算律 【例7】用简便方法计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算及乘法分配律，正确掌握有理数乘法运算法则是关键． （1）先将化为，再利用乘法分配律计算即可； （2）利用乘法分配律进行计算即可； （3）利用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）． 【例8】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数混合运算、乘法运算律及裂项相消法，熟记裂项相消法、有理数相关运算法则及运算律是解决问题的关键． （1）先由乘法分配律展开，再计算有理数乘法，最后由有理数加法运算计算即可得到答案； （2）先利用裂项相消的方法化简，再逆用乘法分配律，最后根据有理数乘法运算计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【技巧归纳】 乘法交换律：a×b=b×a；结合律：(a×b)×c=a×(b×c)；分配律：a×(b+c)=a×b+a×c。运用技巧：带分数拆成整数加分数，便于分配；小数化分数；同分母或易约分的数先乘，避免大数运算。 【变式4-1】计算： (1) (2) 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查了有理数的乘法和加减法的混合运算，正确计算是解题的关键． （1）利用乘法分配律计算； （2）利用乘法分配律计算． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 【变式4-2】请你参考下面黑板上老师的板书，计算下列各题． 利用运算律计算： 例1：； 例2：． (1)； (2)． 【答案】(1)11988 (2)99900 【分析】（1）将所求式子变形为，再结合有理数的混合运算法则计算即可得出结果； （2）将所求式子变形为，再结合乘法运算律计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型5 有理数乘法的实际应用 【例9】外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定每天送餐量超过40单（送一次外卖称为一单）的部分记为“”，低于40单的部分记为“”．下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） (1)该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多_____单； (2)求该外卖小哥这一周一共送餐多少单？ (3)外卖小哥送单补贴的方案如下：每天送单量不超过40单，每单补贴4元；超过40单，该天所有单每单补贴6元．该外卖小哥这一周收入多少元？ 【答案】(1)21 (2)该外卖小哥这一周一共送餐301单 (3)该外卖小哥这一周的工资收入是1598元 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数的混合运算，解题的关键是掌握正负数的实际意义以及有理数混合运算法则． （1）根据正负数的实际意义以及有理数的减法法则，用周四送餐量减去周五送餐量进行计算即可； （2）根据题意，列出算式，利用有理数的混合运算法则进行计算即可； （3）根据题意，列出算式，利用有理数的混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多（单）， 故答案为：21； （2）解： （单）， 答：该外卖小哥这一周一共送餐301单； （3）解： （元）． 答：该外卖小哥这一周的工资收入是1598元． 【例10】近几年来，我国新能源汽车产销量都大幅增加，网约车司机小王新换了一辆新能源纯电动汽车，他连续天记录了每天行驶的路程，以千米为标准，多于记为“”，不足记为“”； 时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 路程（千米） (1)这一周行驶路程最多的一天比最少的一天多走________千米． (2)求小王的新能源汽车这七天平均每天行驶多少千米？ (3)已知小王原来的汽油车每行驶千米需要汽油7升，每升汽油元，而新能源汽车每行驶千米耗电度，每度电元．请你帮小王估算一下，换过新能源汽车后的一个月（按天）比之前的汽油车能节约多少钱？ 【答案】(1) (2) 千米 (3) 元 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数混合运算的实际应用，理解正负数的意义是解题的关键； （1）由表格可知，行驶路程最多的一天是星期五，最少的一天是星期三，相减即可得出答案； （2）先求出这七天高于（或低于）的标准所行驶的路程，再求七天的平均行驶的路程，即可求解； （3）分别求出汽油费和电费，即可求解． 【详解】（1）解：（千米）， 故答案为：； （2）解：， （千米）， 答：小王的新能源汽车这七天平均每天行驶千米； （3）解：（元）， 答：换过新能源汽车后的一个月（按天）比之前的汽油车能节约元. 【技巧归纳】 实际应用如计算总价、面积、连续升降等。先明确单位量（单价、速度）与数量，列出乘法算式。注意方向：正数表示同向，负数表示反向。可结合正负意义理解结果符号，如亏损×次数=总亏损。单位统一。 【变式5-1】嘉陵江沿岸某米粉店依托本地饮食文化经营，计划一周（7天）卖出4200碗米粉，以每天卖出600碗为标准，由于客流波动、原料供应等原因，实际每天销售量与计划销售量相比有出入，下表是本周的销量情况（超产为正，减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前三天共卖出多少碗米粉？ (2)销售量最多的一天比销售量最少的一天多卖出多少碗？ (3)该米粉店实行计件工资制，每天卖出一碗米粉得0.2元，每天超额卖出一碗奖0.5元，少卖出一碗扣1元，那么该米粉店工人这一周的工资总额是多少？ 【答案】(1)碗 (2)碗 (3)元 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用； （1）根据题意列出，即可求解； （2）根据题意列出，即可求解； （3）根据题意列出，即可求解． 【详解】（1）解： （碗）， 答：前三天共卖出碗米粉； （2）解：由题意得 （碗）， 答：销售量最多的一天比销售量最少的一天多卖出碗； （3）解：由题意得 （碗）， （元）， 答：该米粉店工人这一周的工资总额元． 【变式5-2】李老师的电动自行车上周日骑行里程为．下表是这辆电动自行车本周每日骑行里程相对前一日的变化情况（正数表示当日骑行里程比前一日增多，负数表示当日骑行里程比前一日减少）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 里程变化 (1)本周哪一天该电动自行车骑行里程最多？这一天骑行的里程是多少千米？ (2)本周该电动自行车的总骑行里程为多少千米？ (3)已知该电动自行车满电续航里程（电池充满电时可骑行的总路程）为，当续航里程不足满电续航里程的时需要充电．本周一早上出发时该电动自行车为满电状态，请通过计算说明，本周日李老师使用完该电动自行车后，是否需要为其充电？ 【答案】(1)本周五该电动车行驶里程最多，这一天该电动车行驶了千米 (2)本周该电动车的行驶里程为千米 (3)本周日李老师使用完该电动车后，需要为该电动车充电 【分析】本题考查有理数混合运算，正数和负数的实际应用，将骑行里程的变化转化为数学表达式是解题关键． （1）根据正数和负数的实际意义分别求得本周每天的实际行驶里程即可； （2）将每天的行驶里程相加即可； （3）结合（2）中所求列式计算并将结果与比较即可． 【详解】（1）解：根据正数和负数的实际意义分别求得本周每天的实际行驶里程如下： 周一：（千米）， 周二：（千米）， 周三：（千米）， 周四：（千米）， 周五：（千米）， 周六：（千米）， 周日：（千米）， 答：本周五该电动车行驶里程最多，这一天该电动车行驶了千米． （2）解：（千米）， 答：本周该电动车的行驶里程为千米． （3）解：已知当续航里程不足千米时需要充电， 本周日李老师使用完电动车后剩余里程为（千米）， ，故需要充电． 答：本周日李老师使用完该电动车后，需要为该电动车充电． 题型6 有理数的除法运算 【例11】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)0 (3) 【分析】本题主要考查有理数的除法，掌握有理数除法的运算法则是解题的关键． （1）将除法化为乘法，再计算即可； （2）根据0除任何数都等于0，计算即可； （3）根据有理数除法的运算法则计算即可． 【详解】（1）． （2）． （3）． 【例12】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)5 (2) (3) (4)36 【分析】本题考查了有理数的除法，熟练掌握有理数除法计算法则是解答本题的关键． （1）根据有理数除法法则，两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； （2）根据有理数除法法则，除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数，即可解答； （3）根据有理数除法法则，两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； （4）根据有理数除法法则，除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数，即可解答； 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 【技巧归纳】 除法转化为乘法：除以一个数等于乘它的倒数，即 a÷b=a×(1/b)（b≠0）。先定符号（同号得正，异号得负），再将绝对值相乘除。带分数化成假分数，小数化成分数。0除以任何非0数得0，0不能作除数。 【变式6-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的除法运算： （1）变除法为乘法，再约分化简即可； （2）变小数为分数，再变除法为分数乘法，最后约分化简； （3）变带分数为假分数，变除法为乘法，再约分化简即可； （4）变带分数为假分数，变除法为乘法，再约分化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：. 【变式6-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0 (2)2 (3)-6 (4)2 【分析】此题考查了有理数的除法运算，根据有理数的除法运算法则求解即可． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）． 题型7 有理数的乘除混合运算 【例13】计算：； 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数乘除混合运算，熟练掌握有理数乘除混合运算法则，是解题的关键．有理数乘除混合运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 【例14】计算： 【答案】 39 【分析】先计算括号里面的，再根据混合运算的法则即可求解． 本题考查了有理数的混合运算，掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：原式 ． 【技巧归纳】 统一为乘法：将除法变为乘倒数，连乘形式。先确定符号（负号个数奇负偶正），再约分绝对值。小数化分数，带分数化假分数。利用乘法交换结合律，将整数、分母相同的分数先乘，最后化为最简分数或整数。 【变式7-1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查有理数的乘除法混合运算： （1）将小数化为分数，将带分数化为假分数，化除为乘再计算即可； （2）将带分数化为假分数，化除为乘再计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【变式7-2】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）先计算绝对值，并将小数、带分数化为假分数，再将除法转化为乘法，最后计算乘法即可； （2）先计算绝对值，并将小数、带分数化为假分数，再将除法转化为乘法，最后计算乘法即可； （3）先将带分数化为假分数，再将除法转化为乘法，最后计算乘法即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 题型8 有理数的乘除混合运算之新定义型问题 【例15】已知、为有理数，现规定一种新运算，满足． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 【例16】如果对于任何有理数a，b定义运算“”如下：，如． (1)； (2)求的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】此题考查新定义运算，有理数的混合运算，掌握运算顺序与运算法则是解决问题的关键． （1）按照规定的运算方法把式子改为有理数的混合运算，进而计算得出结果即可． （2）按照规定的运算方法把式子改为有理数的混合运算，先计算括号内的运算，进而计算得出结果即可． 【详解】（1）解：， ∴ ； （2）， ∴ ， ∴ ． 【技巧归纳】 先理解新定义运算规则（如a⊗b表示a除以b的相反数），将自定义式转化为有理数乘除算式。注意运算顺序，括号优先。按乘除法则计算：统一为乘法，定符号，约分。可尝试代入特殊值验证规则理解是否正确。 【变式8-1】在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．他在课外阅读中看到了一些定义符号的运算，例如：对于数，定义．小奇突发面想，也尝试定义一新运算符号“”，规则如下：，试运用此规则完成下列运算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，有理数的四则混合运算； （1）根据新定义运算可得，再计算即可； （2）根据新定义运算先计算可得，再计算即可； 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解： ； 【变式8-2】在学习了《有理数的运算》后，小奇同学对有理数运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，运算规则如下：（不相等），例如，． (1)填空：_________； (2)求的值； (3)试以和的值说明：对于新定义的运算“”，交换律是否成立？ 【答案】(1)0 (2)40 (3)对于新定义的运算“”，交换律是不成立的 【分析】本题主要考查有理数的运算，解题的关键是理解题中所给新定义运算； （1）根据题中所给新定义运算可进行求解； （2）根据题中所给新定义运算可进行求解； （3）分别得出和的值，然后问题可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； 故答案为0； （2）解：由题意得： ， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴对于新定义的运算“”，交换律是不成立的． 题型9 有理数的除法中绝对值之分类讨论问题 【例17】在学习一个数的绝对值过程中，化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．请用这种方法解决下列问题． (1)当时，则___________；当时，则___________． (2)已知是有理数，当时，试求的值． 【答案】(1)1， (2)2或 【分析】本题考查了有理数的绝对值和有理数的运算，正确理解题意、熟练掌握有理数的相关知识是解题的关键； （1）先化简绝对值，再计算除法即可； （2）由可得或，再分两种情况结合绝对值的性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，则； 当时，则， 故答案为：1，． （2）解：当，则或， 当时，； 当时，； 综上，的值是2或． 【例18】阅读下列材料： 即当时，；当时，． 用这个结论可以解决下面问题： (1)已知a，b是有理数，当时，求的值； (2)已知a，b，c是有理数，当时，求的值． 【答案】(1)或0 (2)或 【分析】本题考查了绝对值的化简，分类思想，有理数除法法则，熟练掌握分类思想，准确理解绝对值化简是解题的关键． （1）根据题意，分类讨论：①，，②，，进行计算即可得； （2）根据题意可分，，和，，，和a，b，c两负一正和a，b，c两正一负，四种情形求解即可． 【详解】（1）解：已知a，b是有理数，当时， ①若，，则； ②若，，则； ③若a，b异号，则． 故的值为或0； （2）解：已知a，b，c是有理数，当时， ①若，，，则； ②若，，，则； ③若a，b，c两负一正，则； ④若a，b，c两正一负，则． 故的值为或． 【技巧归纳】 含绝对值除法：先根据条件判断绝对值内正负，去绝对值号（正数不变，负数取相反数），再按除法法则计算。注意0的绝对值是0。常需对参数分情况讨论，如x>0、x<0，分别化简，避免漏掉负数情况。 【变式9-1】探究题：阅读下列材料并解决有关问题． 我们知道，所以当时，；当时，． 请用上面的结论解决下列问题： (1)已知，是有理数，当时， ． (2)已知，，是有理数，当时， ． (3)已知，，，是有理数，当时，的最大值是 ． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了绝对值的意义， （1）根据，得出，或，，然后根据绝对值的意义化简绝对值即可； （2）根据，得出a、b、c中有3个负数或一负两正，然后根据绝对值的意义化简绝对值即可； （3）根据，得出、、、中有1个或3个负数，然后根据绝对值的意义化简绝对值即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴a、b同号，即，或，， ∴或； ∴当时，； 故答案为：． （2）解：∵， ∴a、b、c中有3个负数或两正一负， 当a、b、c都是负数时，； 当a、b、c中有两正一负时，设，； ∴时，的值为或； 故答案为：或． （3）解：∵， ∴、、、中有1个或3个负数 设， 设， ∴的最大值是 【变式9-2】在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数a，b，c满足，求的值． 【解决问题】解：由题意得，a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①若a，b，c都是正数，即，，时，则； ②若a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，， ， 综上所述，的值为3或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)三个有理数a，b，c满足，求的值； (2)若a，b，c为三个不为0的有理数，且，求的值． 【答案】(1)或1 (2) 【分析】本题考查有理数混合运算，绝对值的意义． （1）根据有理数乘法运算法则判断a，b，c的符号，然后根据绝对值的意义进行化简，注意分情况讨论； （2）由题意得，a，b，c中有2个负数，1个正数，则，利用绝对值的意义可得结论． 【详解】（1）解：由题意得，a，b，c三个有理数都为负数或其中一个为负数，另两个为正数． ①若a，b，c都是负数，即，，时， ； ②若a，b，c中有一个为负数，另两个为正数时， 不妨设，，， 则， 综上所述，的值为或1． （2）解：∵a，b，c为三个不为0的有理数，且， ∴a，b，c有2个负数，1个正数， ∴， ∴． 一、单选题 1．若a的倒数是，那么a是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据倒数的定义计算a的值即可得到答案． 【详解】解：∵a的倒数是， ∴． 2．下列各式运用运算律不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律的定义． 结合乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律及除法无分配律的特性，逐一判断各选项运算律的运用是否正确即可． 【详解】解：选项A运用乘法交换律，运算律运用正确； 选项B运用乘法结合律，运算律运用正确； 选项C中，除法无分配律，运算律运用错误； 选项D运用乘法分配律，运算律运用正确； 故选：C． 3．在数中任取个数相乘，其中最小的积是，最大的积是，则 的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘法，关键是掌握有理数乘法法则；根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】解：∵可能的积为： ∴最小的积，最大的积， ∴． 4．如图，数轴上的两点A、B表示的数分别为a、b，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由数轴得到，进而根据相反数的几何意义和有理数乘除法的符号规则逐项判断即可． 【详解】解：由数轴知，， ∴，，，， 故选项D符合题意． 5．小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：定义运算☆为：a☆b= ，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据规定的运算要求直接套用公式即可求得结果． 【详解】∵，， ∴． 二、填空题 6．若，则内的数字是________． 【答案】 【详解】解：根据乘除互为逆运算可得，内的数字是． 7．的倒数是____, 的相反数是____，____． 【答案】 6 【详解】解：根据倒数的定义，乘积为的两个数互为倒数，可得的倒数是； 根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，可得的相反数是； 根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，可得． 8．对于有理数、，定义运算“※”如下：（其中），则______ 【答案】 【分析】根据题中给出的新定义运算规则，将对应数值代入公式计算即可得到结果． 【详解】解：根据定义的新运算，将，代入得：． 9．如图，、两点在数轴上表示的数分别为，，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的有_______． 【答案】①②④ 【详解】解：由数轴图可知，， 对于①：∵， ∴，故①正确； 对于②：∵， ∴，故②正确； 对于③：∵， ∴，， ∴，故③错误； 对于④：∵，， ∴，故④正确． 10．爱动脑筋的小明设计了一种“幻圆”游戏，将，，，，，，，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，若他已经将，，，这四个数填入了圆圈，则图中的值为_____ 【答案】或 【分析】求得横、竖以及内外两圈上的个数字之和为，求得的值，即可得到的值，代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 即：， ∵， ∴， 当时，， 当时，， 综上：或． 三、解答题 11．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，掌握有理数乘除混合运算的运算法则是解题关键． （1）按照有理数乘除混合运算的法则进行计算即可； （2）按照有理数乘除混合运算的法则进行计算即可； （3）按照有理数乘除混合运算的法则进行计算即可． 【详解】（1）； （2）； （3）． 12．对于有理数，，定义了一种“”的新运算，具体为，计算：①；②． 【答案】①；② 【分析】①根据结合已给定义列式求解即可； ②根据结合已给定义列式求解即可． 【详解】解：①∵，且， ∴； ②∵，， ∴． 13．在计算时，小明的解题过程如下： 解：原式 判断小明的解法是否正确．若不正确，请指出错误的原因，并给出正确的解答． 【答案】不正确，原因是同级运算的运算顺序错误； 【分析】有理数的乘除混合运算属于同级运算，应按照从左到右的顺序依次计算． 【详解】解：不正确，原因是同级运算的运算顺序错误． 正确解答如下： 原式 ． 14．某校学生食堂要购进袋土豆，以每袋千克为质量标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录(单位：千克)如下： 每袋与标准质量的差 0 2 3 袋数 1 3 4 3 3 4 2 (1)求这袋土豆的平均质量是多少？ (2)若土豆每千克的售价为元，求买这袋土豆共需多少钱？ 【答案】(1)千克； (2)元 【分析】（1）先计算袋土豆与标准质量的差值总和，再结合标准总质量求出实际总质量，最后除以袋数得到平均质量； （2）利用“总价=总质量×单价”的数量关系，代入数据计算即可． 【详解】（1）解： (千克)， 20袋土豆的实际总质量为(千克)， 平均质量为(千克)． （2）解：总费用为(元)， 答：买这袋土豆共需元． 15．课堂上老师给出一道计算题：．同学们积极思考，甲、乙、丙三位同学的做法如下： 甲：原式 乙：原式 丙：原式的倒数 故原式． 请认真阅读，解答下列问题： (1)上述三位同学的解法中，正确的是______，错误的是______；(填写“甲”“乙”“丙”) (2)计算： ① ② 【答案】(1)乙、丙；甲； (2)①；② 【分析】本题考查有理数的混合运算，核心知识点为有理数的除法法则与混合运算顺序，关键在于明确除法不满足分配律，对于复杂的除法运算可通过倒数法简化计算． （1）根据除法运算的性质判断：除法没有分配律，甲错误运用分配律导致结果错误；乙按照“先括号内，再括号外”的运算顺序计算，步骤正确；丙利用倒数的性质，先计算原式的倒数再求原式，方法简便且正确． （2）①可先计算括号内的加减运算，再进行除法运算； ②由于括号内的项较多，采用倒数法计算更简便，先求原式的倒数，再通过倒数关系得到原式的值． 【详解】（1）解：除法不具有分配律，甲同学将除法错误地使用分配律，甲的解法错误； 乙同学先计算括号内的有理数加减，再进行除法运算，符合有理数混合运算顺序，解法正确； 丙同学先计算原式的倒数，再根据倒数关系求出原式的值，方法正确；故正确的是乙、丙，错误的是甲； 故答案为：乙、丙；甲． （2）①解： ； ②解：设原式为，则的倒数为， ， 的倒数为， ． 16．计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)499 (2)7 (3)885 (4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握乘法分配律及裂项法是解题的关键. （1）把写成，再运用乘法分配律计算即可； （2）把写成，再运用乘法分配律计算即可； （3）根据同分母分数加法运算法则进行计算，再变形，根据同分母分数加法运算法则，进行计算即可； （4）将原式变形为，然后裂项，再根据加法交换律和结合律，结合裂项法，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：                   ； （3）解： ； （4）解： ． 17．我们知道在化简的时候，需要判断a的正负：当时，；当时，． (1)已知a，b，c三个数在数轴上的对应的点如图所示： 用“>”、“<”或“=”填空， ______0，______0，______0， (2)化简：． (3)思维扩展：由“当时，；时，”可以推出： 当时，；当时，． 应用这个结论，解决下列问题： 已知x，y，z是有理数，，，化简：______． 【答案】(1)>，<，< (2) (3) 【分析】本题考查了绝对值的化简，整式的加减运算，数轴与有理数，解题的关键是熟练掌握绝对值的化简． （1）根据数轴可得且，即可判断所求式子的正负； （2）根据绝对值的性质去绝对值符号，再合并同类项即可； （3）根据，，可知，，中一正两负或两正一负，据此化简即可． 【详解】（1）解：由数轴知：且， ，，， 故答案为：，，； （2）解：，，， ； （3）解：，， 当，，中一正两负时，； 当，，中两正一负时，， 综上所述，． 故答案为：． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $