第21章 一元二次方程（单元测试·基础卷）数学沪教版五四制2024八年级上册

2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第21章 一元二次方程·基础通关 建议用时：90分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列方程中，有实数根的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．∵方程根的判别式， ∴此方程没有实数根，故此选项不符合题意； B．∵方程根的判别式， ∴此方程没有实数根，故此选项不符合题意； C．∵方程根的判别式， ∴此方程没有实数根，故此选项不符合题意； D．∵方程根的判别式， ∴此方程有两个不相等的实数根，故此选项符合题意． 故选：D． 2．将一元二次方程化为一般形式后，二次项系数和常数项分别是（   ） A．5， B．2， C．， D．6，2 【答案】A 【详解】解：， ， ∴二次项系数为5，常数项为， 故选：A． 3．下列关于的二次三项式中，一定能在实数范围内因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、当时，，在实数范围内不能因式分解，不符合题意； B、当时，，在实数范围内不能因式分解，不符合题意； C、时，，在实数范围内能因式分解，符合题意； D、当时，，在实数范围内不一定能因式分解，不符合题意； 故选：C． 4．某工厂七月份的产值是100万元，计划第三季度共创产值484万元．若每个月产值的增长率相同，并设这个增长率为x，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵每个月产值的平均增长率为x，七月份的产值是100万元， ∴八月份产值为， 九月份产值为， ∵计划第三季度共创产值484万元， ∴， 故选：D． 5．若，关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】B 【详解】解：∵方程中，，，． ∴． ∵， ∴， ∴， 即． 故方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 6．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一根的一半，则称这样的方程为“半根方程”．以下关于半根方程的说法，正确的是（    ） A．方程是半根方程 B．方程是半根方程 C．若，则方程是半根方程 D．若点在函数的图象上，则关于的方程是半根方程 【答案】C 【详解】解：A．方程的解为，此方程不是半根方程，此结论错误； B．方程的解为，此方程不是半根方程，此结论错误； C． ∵， ∴或， ∵方程的解为 ∴或， 则方程是半根方程，此结论正确． D．∵点在函数的图象上， ∴， 关于的方程解得： ， ， ∴此方程不是半根方程，此结论错误． 故选：C 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．当 时，方程为一元二次方程． 【答案】 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得：， 故答案为：． 8．若是方程的一个根，则该方程的另一个根是 ． 【答案】 【详解】解：设方程的另一个根为t， ∵和是方程的一个根， ∴， ∴， ∴方程的另一个根为， 故答案为：． 9．用换元法解方程，如果假设，则原方程可以化为关于y的整式方程是 ． 【答案】 【详解】解：设，则， ∴原方程化为， 去分母，得， 整理，得． 故答案为：． 10．若方程的两个根是和4，则 ． 【答案】 【详解】解：∵方程的两个根是和4， ∴， ∴， 故答案为：． 11．方程的解为 ． 【答案】， 【详解】解： 或 ∴，， 故答案为：，． 12．某种药品的价格经过两次连续降价后，由每盒100元下调至81元，且每次降价的百分率相同，则降价的百分率为 ． 【答案】 【详解】解：设这种药品每次降价的百分率是， 根据题意得：， 解得：（舍）． 故这种药品每次降价的百分率是． 故答案为：． 13．方程有两个实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【详解】解：由题意，得：，且， 解得：且； 故答案为：且． 14．要建造一个面积为130平方米的仓库，仓库的一边靠墙，并在与墙垂直的一边开一个1米宽的门，现有能围32米长的木板，若设仓库垂直于墙面的一边长为米，则可列方程： ． 【答案】 【详解】解：设仓库的垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为米， 依题意得，即， 故答案为：． 15．二次三项式在实数范围内因式分解： ． 【答案】 【详解】解：当时， 解得：， 则． 故答案为：． 16．已知是等腰的三条边长，其中，如果是关于的一元二次方程的两个根，则n的值是 ． 【答案】9 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的两个根， ∴， ∵是等腰的三条边长，其中， ∴当时，，此时不能构成三角形，舍去； 当时，，此时不能构成三角形，舍去； 当时，能构成三角形，， 故答案为：9． 17．已知关于的一元二次方程，设方程两个实数根分别为，且满足， ． 【答案】或 【详解】解：因为是关于x的一元二次方程的两个实数根， 所以． 又因为， 所以， 解得， 经检验，两根都是原方程的解，且满足， 所以k的值为或． 故答案为：或． 18．对于实数，，定义运算“*”： ．例如，因为，所以．若是一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】或30 【详解】解： ∴或 ∴或， 当，时， ； 当，时， ． 故答案为：或30． 三、解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本题6分）解方程：． 【详解】解：， 整理得：， ∵，，， ∴，……（3分） ∴， ∴，．……（6分） 20．（本题6分）解方程： 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 解得：，，……（4分） 经检验，当时，原方程分母等于0，故是增根； 当时，原方程分母不等于0，故是原方程的解．……（6分） 21．（本题6分）若关于的方程有增根，求的值． 【详解】解： ， ∵若关于的方程有增根， ∴或， 当时，， ∴；……（3分） 当时，， 整理得： ∴或； 综上：的值为或．……（6分） 22．（本题6分）已知关于x的方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若为整数，且，是方程的一个根，求代数式的值． 【详解】（1）解：由题意得， ∴， ， ． ， 且．……（3分） （2）解：由题意得：，且为的整数， ． 将，代入 得：， 将代入中 ．……（6分） 23．（本题8分）为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？ 【详解】解：设现在计划每天加固的长度为x米，……（1分） 由题意知：，……（3分） 整理可得：， 解得，（舍），……（5分） 经检验，是所列分式方程的解， 即现在计划每天加固的长度为160米，……（7分） （米）， 因此每天加固的长度还要再增加64米．……（8分） 24．（本题8分）某商店如果将进货价为每件10元的商品按每件12元出售，每天可销售200件，这种商品如果每涨价一元，其销售量就减少10件． (1)将售价定为每件多少元时，能使这天所获利润达到1200元？ (2)将售价定为每件多少元时，能使这天所获利润最大？最大的利润是多少？ 【详解】（1）设每件商品的售价定为x元，依题意，得 ， 整理得：， 解得：，， ∴把售价定为每件20元或22元能使每天利润达到1200元；……（4分） （2）设这天的利润为y元， 则， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为1210， 答：将售价定位每件21元时，能使这天可获的利润最大，最大利润是1210元．……（8分） 25．（本题8分）阅读下面的材料，回答问题． 解方程． 这是一个一元四次方程，由这个方程的特点，可以采用“换元法”起到降次的目的，将其转化成一元二次方程求解，它的解法如下： 解：设，那么，于是原方程可变为，解得，． 当时，，； 当时，，； 所以，原方程有四个根，分别为，，，． 请运用以上方法回答问题： 已知，求的值． 【详解】解：设，于是原方程可变为， ……（3分） ∴或， 解得，，……（5分） 当时，整理得，，符合题意；……（6分） 当时，整理得，，不符合题意；……（7分） 综上所述，．……（8分） 26．（本题10分）若一元二次方程有两个实数根为、，那么，，这就是一元二次方程的根与系数的关系．利用该结论，不解方程便可以求二次方程的两根之和与积，例如的两个根分别为、．则，． (1)小聪同学喜爱思考，他发现利用根与系数的关系不仅可以求解两根之和与两根之积，还可求解方程两根的倒数和．不解方程，请求一元二次方程的两个根的倒数和． (2)小明同学酷爱数学，他进一步研究根与系数的关系，发现了一种解一元二次方程的新方法．例如方程，、、，，． 设，，则，即，解得，所以原方程的解为、．请利用小明的方法解方程． (3)小睿同学善于发现，他对三次方程的根与系数关系作了探究，将该方程两边同时除以可得．若该方程的三个根分别为、、，则，将其展开后为，于是、、．若三次方程的三个根分别为、、，且．请先说明、再直接（不必书写过程）写一个三次方程且使得该三次方程的三个根分别为、、． 【详解】（1）∵，， ∴；……（3分） （2）， 、、， ，． 设，， ∴，即， 解得， ∴原方程的解为、；……（6分） （3）∵三次方程的三个根分别为、、，且， ∴由根与系数的关系，可得，，， ∴， 由题意得，可设新方程为， ∵新的三次方程，其三个根分别为、、， 又∵， ∴新的三次方程，其三个根分别可化为、、， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴新方程为．……（10分） 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第21章 一元二次方程·基础通关 建议用时：90分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列方程中，有实数根的方程是（　　） A． B． C． D． 2．将一元二次方程化为一般形式后，二次项系数和常数项分别是（   ） A．5， B．2， C．， D．6，2 3．下列关于的二次三项式中，一定能在实数范围内因式分解的是（   ） A． B． C． D． 4．某工厂七月份的产值是100万元，计划第三季度共创产值484万元．若每个月产值的增长率相同，并设这个增长率为x，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 5．若，关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 6．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一根的一半，则称这样的方程为“半根方程”．以下关于半根方程的说法，正确的是（    ） A．方程是半根方程 B．方程是半根方程 C．若，则方程是半根方程 D．若点在函数的图象上，则关于的方程是半根方程 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．当 时，方程为一元二次方程． 8．若是方程的一个根，则该方程的另一个根是 ． 9．用换元法解方程，如果假设，则原方程可以化为关于y的整式方程是 ． 10．若方程的两个根是和4，则 ． 11．方程的解为 ． 12．某种药品的价格经过两次连续降价后，由每盒100元下调至81元，且每次降价的百分率相同，则降价的百分率为 ． 13．方程有两个实数根，则的取值范围是 ． 14．要建造一个面积为130平方米的仓库，仓库的一边靠墙，并在与墙垂直的一边开一个1米宽的门，现有能围32米长的木板，若设仓库垂直于墙面的一边长为米，则可列方程： ． 15．二次三项式在实数范围内因式分解： ． 16．已知是等腰的三条边长，其中，如果是关于的一元二次方程的两个根，则n的值是 ． 17．已知关于的一元二次方程，设方程两个实数根分别为，且满足， ． 18．对于实数，，定义运算“*”： ．例如，因为，所以．若是一元二次方程的两个根，则 ． 三、解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本题6分）解方程：． 21．（本题6分）若关于的方程有增根，求的值． 22．（本题6分）已知关于x的方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若为整数，且，是方程的一个根，求代数式的值． 23．（本题8分）为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？ 24．（本题8分）某商店如果将进货价为每件10元的商品按每件12元出售，每天可销售200件，这种商品如果每涨价一元，其销售量就减少10件． (1)将售价定为每件多少元时，能使这天所获利润达到1200元？ (2)将售价定为每件多少元时，能使这天所获利润最大？最大的利润是多少？ 25．（本题8分）阅读下面的材料，回答问题． 解方程． 这是一个一元四次方程，由这个方程的特点，可以采用“换元法”起到降次的目的，将其转化成一元二次方程求解，它的解法如下： 解：设，那么，于是原方程可变为，解得，． 当时，，； 当时，，； 所以，原方程有四个根，分别为，，，． 请运用以上方法回答问题： 已知，求的值． 26．（本题10分）若一元二次方程有两个实数根为、，那么，，这就是一元二次方程的根与系数的关系．利用该结论，不解方程便可以求二次方程的两根之和与积，例如的两个根分别为、．则，． (1)小聪同学喜爱思考，他发现利用根与系数的关系不仅可以求解两根之和与两根之积，还可求解方程两根的倒数和．不解方程，请求一元二次方程的两个根的倒数和． (2)小明同学酷爱数学，他进一步研究根与系数的关系，发现了一种解一元二次方程的新方法．例如方程，、、，，． 设，，则，即，解得，所以原方程的解为、．请利用小明的方法解方程． (3)小睿同学善于发现，他对三次方程的根与系数关系作了探究，将该方程两边同时除以可得．若该方程的三个根分别为、、，则，将其展开后为，于是、、．若三次方程的三个根分别为、、，且．请先说明、再直接（不必书写过程）写一个三次方程且使得该三次方程的三个根分别为、、． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第21章 一元二次方程（参考答案） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 D A C D B C 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7. 8. 9. 10. 11. ， 12. 13. 且 14. 15. 16. 9 17. 或 18. 或30 三、解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本题6分） 【详解】解：， 整理得：， ∵，，， ∴，……（3分） ∴， ∴，．……（6分） 20．（本题6分） 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 解得：，，……（4分） 经检验，当时，原方程分母等于0，故是增根； 当时，原方程分母不等于0，故是原方程的解．……（6分） 21．（本题6分） 【详解】解： ， ∵若关于的方程有增根， ∴或， 当时，， ∴；……（3分） 当时，， 整理得： ∴或； 综上：的值为或．……（6分） 22．（本题6分） 【详解】（1）解：由题意得， ∴， ， ． ， 且．……（3分） （2）解：由题意得：，且为的整数， ． 将，代入 得：， 将代入中 ．……（6分） 23．（本题8分） 【详解】解：设现在计划每天加固的长度为x米，……（1分） 由题意知：，……（3分） 整理可得：， 解得，（舍），……（5分） 经检验，是所列分式方程的解， 即现在计划每天加固的长度为160米，……（7分） （米）， 因此每天加固的长度还要再增加64米．……（8分） 24．（本题8分） 【详解】（1）设每件商品的售价定为x元，依题意，得 ， 整理得：， 解得：，， ∴把售价定为每件20元或22元能使每天利润达到1200元；……（4分） （2）设这天的利润为y元， 则， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为1210， 答：将售价定位每件21元时，能使这天可获的利润最大，最大利润是1210元．……（8分） 25．（本题8分） 【详解】解：设，于是原方程可变为， ……（3分） ∴或， 解得，，……（5分） 当时，整理得，，符合题意；……（6分） 当时，整理得，，不符合题意；……（7分） 综上所述，．……（8分） 26．（本题10分） 【详解】（1）∵，， ∴；……（3分） （2）， 、、， ，． 设，， ∴，即， 解得， ∴原方程的解为、；……（6分） （3）∵三次方程的三个根分别为、、，且， ∴由根与系数的关系，可得，，， ∴， 由题意得，可设新方程为， ∵新的三次方程，其三个根分别为、、， 又∵， ∴新的三次方程，其三个根分别可化为、、， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴新方程为．……（10分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第21章 一元二次方程·基础通关 建议用时：90分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列方程中，有实数根的方程是（　　） A． B． C． D． 2．将一元二次方程化为一般形式后，二次项系数和常数项分别是（   ） A．5， B．2， C．， D．6，2 3．下列关于的二次三项式中，一定能在实数范围内因式分解的是（   ） A． B． C． D． 4．某工厂七月份的产值是100万元，计划第三季度共创产值484万元．若每个月产值的增长率相同，并设这个增长率为x，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 5．若，关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 6．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一根的一半，则称这样的方程为“半根方程”．以下关于半根方程的说法，正确的是（    ） A．方程是半根方程 B．方程是半根方程 C．若，则方程是半根方程 D．若点在函数的图象上，则关于的方程是半根方程 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．当 时，方程为一元二次方程． 8．若是方程的一个根，则该方程的另一个根是 ． 9．用换元法解方程，如果假设，则原方程可以化为关于y的整式方程是 ． 10．若方程的两个根是和4，则 ． 11．方程的解为 ． 12．某种药品的价格经过两次连续降价后，由每盒100元下调至81元，且每次降价的百分率相同，则降价的百分率为 ． 13．方程有两个实数根，则的取值范围是 ． 14．要建造一个面积为130平方米的仓库，仓库的一边靠墙，并在与墙垂直的一边开一个1米宽的门，现有能围32米长的木板，若设仓库垂直于墙面的一边长为米，则可列方程： ． 15．二次三项式在实数范围内因式分解： ． 16．已知是等腰的三条边长，其中，如果是关于的一元二次方程的两个根，则n的值是 ． 17．已知关于的一元二次方程，设方程两个实数根分别为，且满足， ． 18．对于实数，，定义运算“*”： ．例如，因为，所以．若是一元二次方程的两个根，则 ． 三、解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本题6分）解方程：． 21．（本题6分）若关于的方程有增根，求的值． 22．（本题6分）已知关于x的方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若为整数，且，是方程的一个根，求代数式的值． 23．（本题8分）为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？ 24．（本题8分）某商店如果将进货价为每件10元的商品按每件12元出售，每天可销售200件，这种商品如果每涨价一元，其销售量就减少10件． (1)将售价定为每件多少元时，能使这天所获利润达到1200元？ (2)将售价定为每件多少元时，能使这天所获利润最大？最大的利润是多少？ 25．（本题8分）阅读下面的材料，回答问题． 解方程． 这是一个一元四次方程，由这个方程的特点，可以采用“换元法”起到降次的目的，将其转化成一元二次方程求解，它的解法如下： 解：设，那么，于是原方程可变为，解得，． 当时，，； 当时，，； 所以，原方程有四个根，分别为，，，． 请运用以上方法回答问题： 已知，求的值． 26．（本题10分）若一元二次方程有两个实数根为、，那么，，这就是一元二次方程的根与系数的关系．利用该结论，不解方程便可以求二次方程的两根之和与积，例如的两个根分别为、．则，． (1)小聪同学喜爱思考，他发现利用根与系数的关系不仅可以求解两根之和与两根之积，还可求解方程两根的倒数和．不解方程，请求一元二次方程的两个根的倒数和． (2)小明同学酷爱数学，他进一步研究根与系数的关系，发现了一种解一元二次方程的新方法．例如方程，、、，，． 设，，则，即，解得，所以原方程的解为、．请利用小明的方法解方程． (3)小睿同学善于发现，他对三次方程的根与系数关系作了探究，将该方程两边同时除以可得．若该方程的三个根分别为、、，则，将其展开后为，于是、、．若三次方程的三个根分别为、、，且．请先说明、再直接（不必书写过程）写一个三次方程且使得该三次方程的三个根分别为、、． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $