精品解析：湖南衡阳市第二十六中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

高二数学期末 本试卷分地第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 时量120分钟 满分150分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】依题意，，所以． 2. 已知在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】由在复平面内对应的点为，得． 3. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面垂直的判定与性质以及法向量和方向向量的关系判断即可. 【详解】由直线方向向量和平面法向量的定义可知： 由“”可以推出“”，反之，由“”也可以推出“”， 所以“”是“”的充分必要条件，故C正确. 4. 函数在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由已知，， 因此切线方程为，即. 5. 某学校高一年级科技节数学活动中，某班有件打印作品，其中有件花瓶作品，现需要从中选出件做展示，则选出的作品中恰有1件花瓶作品的选法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得需从件花瓶作品中选件，从件非花瓶作品中选件，根据组合公式求解即可. 【详解】件作品恰有件花瓶作品， 则从件花瓶作品中选件，从件非花瓶作品中选件， 一共有种选法． 6. 藻井通常位于室内的上方，呈伞盖形，由细密的斗拱承托，象征天宇的崇高，藻井上一般都绘有彩画、浮雕．据《风俗通》记载：“今殿作天井．井者，东井之像也．菱，水中之物．皆所以厌火也．”藻井的形式有四方八方，圆形等，构造复杂．如图1为北京法海寺藻井的局部图，从图中可以看到最中间为正八边形，则图2中∠OED的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】正八边形每条边所对的圆心角为，则， 则． （或） 7. 在长方体中，，，点是的中点，点为线段的中点，则直线与平面所成角的正弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接交于点，连接，得到直线与平面所成角，构造直角三角形计算即可. 【详解】连接交于点，连接， 因为长方体中，平面，所以， 由，所以平面， 所以平面平面，所以点在平面上的投影落在直线上， 所以直线与平面所成角为与所成角， 取的中点，连接，则，所以，， 又，所以， 则直线与平面所成角的正弦值为，故C正确. 8. 设数列{an}的前n项和构成数列{Sn}，{Sn}的前n项的平均数构成数列{Cn}，已知数列{an}满足a1=1，an+an+1=3，则C2026=（ ） A. 3079520 B. 1520 C. 1521 D. 3079521 【答案】B 【解析】 【分析】通过对赋值，判断数列为周期数列，得出数列的通项公式，从而求出，进而求. 【详解】因为数列满足， 则， 因此数列是周期为2的周期数列，且奇数项，偶数项. 所以，当，时，， 当，时，. 所以 所以． 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知的二项展开式共有7项，则下列说法正确的有（ ） A. n=6 B. 第3项的二项式系数为20 C. 含x3项的系数为160 D. 常数项为1 【答案】ACD 【解析】 【详解】A.因为的二项展开式共有项， 所以，即，A正确； B.的通项为， 所以当时，第3项的二项式系数为，B错误； C.当时，含x3项的系数为，C正确； D.当时，常数项为，D正确． 10. 已知函数在处取得极大值，的导函数为，则（ ） A. B. 有两个极值点 C. D. 当时， 【答案】ABC 【解析】 【分析】求定义域，求导，根据极值点得到方程，求出，求出函数单调性和极值情况，进而判断各个选项 【详解】由，得，则函数的定义域为， 则， 则， 因为函数在处取得极大值， 所以，即， 所以， 则， 令，得或； 令，得． 所以函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增， 则函数在处取得极大值，在处取得极小值，符合题意，即，故A正确； 由上述过程知有两个极值点，故B正确； 由， 则， 所以，故C正确； 由上述可知函数在区间上单调递减， 当时，，则，故D错误． 11. 若满足，满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用函数的单调性结合函数零点存在性的判定方法，可判断A的真假；利用函数图象的对称性，数形结合，先确定的值，结合基本不等式，可判断BC的真假；设，利用该函数的单调性，可判断D的真假. 【详解】令,在上单调递增． ， 的零点，故A正确； 由得，即函数与函数的图象交于点， 由得， 即函数与函数的图象交于点， 函数与函数的图象关于直线对称，的图象也关于直线对称， 点与点关于直线对称． 记直线与交于点,，解得. 故点的坐标为， ，，故B错误； ，故C正确； 由及知， ， 令． 在区间上单调递减，在区间上单调递增， 在区间上单调递减， ， ，故D正确． 第Ⅱ卷 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 双曲线的离心率为___________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以该双曲线是等轴双曲线，等轴双曲线的离心率为． 13. 在中，角所对的边分别为，已知点在边上，，，，，则___________ 【答案】## 【解析】 【分析】先根据已知条件求出，利用正弦定理求出，进而求出，然后利用余弦定理求解. 【详解】 依题意，点在边上，且，， 则时钝角，故， 因，则， 在中，由正弦定理得，即， 因为为钝角，则，， 再由余弦定理得，， 即，解得(负根舍去)， 所以． 14. 一个不透明的盒子中有三张纸牌，分别标有数字1，2，3，每一次从盒子中摸出一张牌，记录数字后放回，直到连续两次摸到3号牌结束游戏，记游戏终止时摸牌次数为X，则E（X）=___________ 【答案】12 【解析】 【分析】设已经连续摸出次3号牌的情况下，还需摸次牌才结束游戏，列出，的分布列，表示出，的均值，解方程组求得. 【详解】设已经连续摸出次3号牌的情况下，还需摸次牌才结束游戏，每一次摸到3号牌的概率为，摸到的不是3号牌的概率为， 显然的分布列如下所示： 1 故．① 的分布列如下所示： 故．② 由①②解得，即． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文宇说明、证明过程成演算步骤） 15. 已知． （1）求函数的单调增区间； （2）设，求函数在区间上的值域. 【答案】（1）． （2）． 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换可得，结合正弦函数的性质求解即可； （2）先求得函数在上的值域，再利用换元法结合二次函数的性质求解即可. 【小问1详解】 因为 ． 令， 解得． 所以的单调增区间为． 【小问2详解】 当时，， 因此． 令，则， 该函数图象开口向上，对称轴为直线． 最小值：． 令， 则， 令，则． 则在区间上的值域为． 16. 匹克球是一种集网球、乒乓球、羽毛球技术特点于一体的隔网对抗性拍球运动，因其上手快、趣味性强且老少皆宜而广受欢迎．某校随机调查了100名男生和100名女生对匹克球的爱好程度，现统计得出样本中爱好匹克球的人数占样本总数的50%，其中爱好匹克球的女生有45人． 爱好匹克球 不爱好匹克球 合计 男生 女生 45 合计 200 （1）请根据已知条件将上述列联表补充完整，依据小概率值的独立性检验，分析爱好匹克球是否与性别有关； （2）现从这100名男生中采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取20人，然后从这20人中随机抽取3人参加有奖问答，记3人中爱好匹克球的人数为，求的分布列和数学期望． 附： 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 【答案】（1） 爱好匹克球 不爱好匹克球 合计 男生 55 45 100 女生 45 55 100 合计 100 100 200 在犯错误的概率不超过的前提下，不能认为爱好匹克球与性别有关 （2）的分布列为 的数学期望为 【解析】 【分析】（1）首先完善列联表，计算的值，然后进行判断；（2）确定随机变量的取值及概率，列出分布列，计算数学期望. 【小问1详解】 依题意可得列联表如下： 爱好匹克球 不爱好匹克球 合计 男生 55 45 100 女生 45 55 100 合计 100 100 200 ， 所以在犯错误的概率不超过的前提下，不能认为爱好匹克球与性别有关． 【小问2详解】 依题意，从爱好匹克球的男生中抽取人， 从不爱好匹克球的男生中抽取人， 则的可能取值为， 则， ， 则的分布列为 所以的数学期望为． 17. 如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长均为2，M，N，P分别为线段BB1，AB，A1C的中点． （1）证明：NP//平面； （2）作出过M，N，P三点的截面与正三棱柱表面的交线（请保留作图痕迹，并用文字语言叙述作图过程），并求出交线的长度之和． 【答案】（1）证明：如图，取的中点，连接， 因为N，P分别为线段AB，A1C的中点， 所以，， 又因为正三棱柱ABC-A1B1C1，,所以. 因为平面，平面，所以平面. 同理可证平面， 又因为，且平面，平面， 所以平面平面． 因为平面，所以NP//平面. （2） 【解析】 【分析】(1)利用面面平行的判定证明平面平面，进而得到NP//平面. (2)根据点、线、面的位置关系作出图形，再利用三角形相似等知识点求出相关线段长度. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 如图，过的直线交的延长线于点，连接，并延长交于点，交于点，连接，直线与的延长线交于点，连接，与交于点，连接，则五边形即为所求. 因为正三棱柱的棱长均为2， 所以由图可知，， 因此，， 由余弦定理得， 在平面内，，过作交于点， 则， 则，，即为中点， 所以， 所以五边形的周长为． 18. 若有导函数，二阶导数是对一阶导数再求导的结果，通常记．若函数在区间内有二阶导数，，使，且存在，在上的符号与在上的符号相反，则为的拐点．已知 （1）求函数的拐点； （2）已知直线与的图象有两个交点，求实数的取值范围； （3）已知函数在和处的切线斜率相等，证明：． 【答案】（1）2 （2） （3）令， 因为函数在和处的切线斜率相等， 所以， 由（2）可知，在上递减，在上递增，且时，的图象如下图所示： 故， 要证明，即证， 即证，即证． 不妨设， 则， 因为，所以，，所以， 所以，故在上递减， 因此，，即，即． 【解析】 【分析】（1）先求一阶导和二阶导，令二阶导为零得 ，再验证二阶导在  左右两侧符号相反（由负变正），确定拐点为； （2）利用二阶导符号判断的单调性，找到其最小值点 ，并分析在两侧的极限和零点；结合函数图象与水平直线有两个交点，得出参数  的取值范围； （3）构造函数，由  推出 ，要证 ，等价于证 ，令 ，通过求导判断其单调性，利用端点值  完成证明． 【小问1详解】 ， 令，得， 因为在上为负，上为正， 所以的拐点为2. 【小问2详解】 由（1）知当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 当时，；当；当． 令，得， 的大致图象如下所示， 当直线与的图象有两个交点时，． 【小问3详解】 略. 19. 已知中所对的三边分别为，且，（其中）， （1）证明：为常数列； （2）若在中，，点的轨迹为曲线，E，F为曲线上的两个动点，O为坐标原点，直线OE，OF的斜率分别为，当时，的面积是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，说明理由． （3）若，的面积为，判断数列的单调性并说明理由． 【答案】（1） 为常数列， . 设，则． 是以0为首项的常数列， ，即为常数列． （2）的面积为定值． （3）中，， 在以为焦点的椭圆上，为焦点三角形面积，． ， 又, ， 是一个正负摆动的数列，但随的增大而减小， 三角形两边之差越来越小， 随着的增大，在轴上左右来回横跳，但离轴距离越来越近，越来越大， 随的增大而增大，即是递增数列． 【解析】 【分析】(1)由先得到为常数列，再根据构造得到其为常数列，由此得证. (2)由（1）结合椭圆定义得到的轨迹为椭圆.设直线，将直线与椭圆联立消元得到韦达定理；表示出三角形面积后将韦达定理直接代入化简得到三角形面积为定值. (3)分析可知在以为焦点的椭圆上，焦点三角形面积，根据指数函数单调性判断单调性即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，即， 点在以点为焦点的椭圆上. 设该椭圆方程为， 则解得故椭圆方程为， 又点不在直线上， 曲线的方程为． 当直线的斜率不存在时，由于，考虑到关于轴对称，不妨设， 则点的坐标分别为， 此时； 当直线的斜率存在时，设，直线的方程为， 由消可得，， 则有，即， 所以 点到直线的距离， 又因为， 所以， 化简可得，满足， 代入， 综上，的面积为定值． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学期末 本试卷分地第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 时量120分钟 满分150分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 2 3. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 某学校高一年级科技节数学活动中，某班有件打印作品，其中有件花瓶作品，现需要从中选出件做展示，则选出的作品中恰有1件花瓶作品的选法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 6. 藻井通常位于室内的上方，呈伞盖形，由细密的斗拱承托，象征天宇的崇高，藻井上一般都绘有彩画、浮雕．据《风俗通》记载：“今殿作天井．井者，东井之像也．菱，水中之物．皆所以厌火也．”藻井的形式有四方八方，圆形等，构造复杂．如图1为北京法海寺藻井的局部图，从图中可以看到最中间为正八边形，则图2中∠OED的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 在长方体中，，，点是的中点，点为线段的中点，则直线与平面所成角的正弦值是（ ） A. B. C. D. 8. 设数列{an}的前n项和构成数列{Sn}，{Sn}的前n项的平均数构成数列{Cn}，已知数列{an}满足a1=1，an+an+1=3，则C2026=（ ） A. 3079520 B. 1520 C. 1521 D. 3079521 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知的二项展开式共有7项，则下列说法正确的有（ ） A. n=6 B. 第3项的二项式系数为20 C. 含x3项的系数为160 D. 常数项为1 10. 已知函数在处取得极大值，的导函数为，则（ ） A. B. 有两个极值点 C. D. 当时， 11. 若满足，满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 双曲线的离心率为___________． 13. 在中，角所对的边分别为，已知点在边上，，，，，则___________ 14. 一个不透明的盒子中有三张纸牌，分别标有数字1，2，3，每一次从盒子中摸出一张牌，记录数字后放回，直到连续两次摸到3号牌结束游戏，记游戏终止时摸牌次数为X，则E（X）=___________ 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文宇说明、证明过程成演算步骤） 15. 已知． （1）求函数的单调增区间； （2）设，求函数在区间上的值域. 16. 匹克球是一种集网球、乒乓球、羽毛球技术特点于一体的隔网对抗性拍球运动，因其上手快、趣味性强且老少皆宜而广受欢迎．某校随机调查了100名男生和100名女生对匹克球的爱好程度，现统计得出样本中爱好匹克球的人数占样本总数的50%，其中爱好匹克球的女生有45人． 爱好匹克球 不爱好匹克球 合计 男生 女生 45 合计 200 （1）请根据已知条件将上述列联表补充完整，依据小概率值的独立性检验，分析爱好匹克球是否与性别有关； （2）现从这100名男生中采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取20人，然后从这20人中随机抽取3人参加有奖问答，记3人中爱好匹克球的人数为，求的分布列和数学期望． 附： 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 17. 如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长均为2，M，N，P分别为线段BB1，AB，A1C的中点． （1）证明：NP//平面； （2）作出过M，N，P三点的截面与正三棱柱表面的交线（请保留作图痕迹，并用文字语言叙述作图过程），并求出交线的长度之和． 18. 若有导函数，二阶导数是对一阶导数再求导的结果，通常记．若函数在区间内有二阶导数，，使，且存在，在上的符号与在上的符号相反，则为的拐点．已知 （1）求函数的拐点； （2）已知直线与的图象有两个交点，求实数的取值范围； （3）已知函数在和处的切线斜率相等，证明：． 19. 已知中所对的三边分别为，且，（其中）， （1）证明：为常数列； （2）若在中，，点的轨迹为曲线，E，F为曲线上的两个动点，O为坐标原点，直线OE，OF的斜率分别为，当时，的面积是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，说明理由． （3）若，的面积为，判断数列的单调性并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $